沪教版八年级数学下册期中期末满分冲刺卷特训09期中解答题(题型归纳35题，20.1-22.2)(原卷版+解析)

这是一份沪教版八年级数学下册期中期末满分冲刺卷特训09期中解答题(题型归纳35题，20.1-22.2)(原卷版+解析)，共70页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
1．解方程：
2．（1）解方程组：
（2）
3．解方程：
(1)；
(2)．
4．解方程：
(1)；
(2)；
(3)
5．已知一次函数的图像经过，两点且与轴交与A点．
(1)求函数解析式及点A的坐标；
(2)当时，对于的每一个值，函数的值都小于函数的值，求的取值范围．
6．如图所示，在平面直角坐标系中，直线过点A，且与直线＝相交于点，直线与x轴相交于点C．
(1)求m的值．
(2)求的面积．
(3)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集．
7．已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，已知当时，；当时，．
(1)求一次函数的函数表达式；
(2)已知反比例函数图象上一点的横坐标为3，求的面积．
8．如图，一次函数（）的图象分别与轴、轴交于点、点，且．直线与反比例函数（，）的图象交于点．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)在该反比例函数图象上存在点，且到轴的距离为6，连接，直线交轴于点，求的面积．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，交x轴于点，点P是直线右边第一象限内的动点．
(1)①A的坐标是_____________
②求直线的表达式；
(2)点P是直线上一动点，当的面积与的面积相等时，求点P的坐标；
(3)当为等腰直角三角形时，请直接写出点P的坐标．
10．近来某区政府在金龙大道实施改造提质工程，该工程全长米，改造内容涉及病害路面整治，绿化景观提质，人行踏板铺设等．建工集团安排甲、乙两个金牌施工队分别从金龙大道的两头向中间施工，甲、乙两个金牌施工队负责的施工的长度总和等于该工程全长，已知甲施工队负责施工的长度的倍比乙施工队负责施工的长度长米．
(1)求出甲、乙施工队分别施工的长度是多少米；
(2)建工集团计划两队同时开始同时结束．两队开工天后，甲队将速度提高了，乙队将速度提高了，从而甲队比乙队早了天完工，求原计划甲、乙两队每天各施工多少米．
11．如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数且）的图象交于，B两点．
(1)求此反比例函数的表达式及点B的坐标；
(2)当反比例函数值大于一次函数值时，写出x的取值范围．
(3)在y轴上存在点P，使得的周长最小，求点P的坐标及的周长．
12．如图，是一个“函数求值机”示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)当输入的x值为时，输出的y值为 ；
(2)求k2，b的值；
(3)当输出的y值为24时，求输入的x值．
13．定义：对于平面直角坐标系中的不在同一条直线上的三点，，，若满足点绕点逆时针旋转后恰好与点重合，则称点为点关于点的“垂等点”．请根据以上定义，完成下列填空：
(1)若点在直线上，点与原点重合，且点关于点的“垂等点”刚好在坐标轴上，则点的坐标为___________；
(2)如图，已知点A的坐标为，点是轴上的动点，点是点A关于点的“垂等点”，连接，，则的最小值是___________．
14．如图，在直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，已知A点的纵坐标是2．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)根据图象求的解集；
(3)将直线向上平移6个单位后与y轴交于点C，与双曲线在第二象限内的部分交于点D，求的面积．
15．甲乙两车从A市去往B市，甲比乙早出发了2个小时，甲到达B市后停留一段时间返回，乙到达B市后立即返回．甲车往返的速度都为40千米/时，乙车往返的速度都为20千米/时，下图是两车距A市的路程S（千米）与行驶时间t（小时）之间的函数图像．请结合图像回答下列问题：
(1)A、B两市的距离是___________千米，乙从A市出发到达B市需要___________小时．
(2)如图，甲车返回时的路程S（千米）关于时间t（小时）的函数关系式___________
(3)当___________时，甲车与乙车第二次相遇．
16．反比例函数与一次函数交于，B两点.
(1)求反比例函数解析式，并在网格中画出反比例函数和一次函数的图象；
(2)当时，直接写出自变量x的取值范围；
(3)若与x轴交于点C，点A关于y轴的对称点为点D，求的面积.
17．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的点和点．过点作x轴的垂线，垂足为点，的面积为3
(1)分别求出一次函数与反比例函数的表达式；
(2)结合图象直接写出的解集；
(3)在x轴正半轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标．
18．如图①，已知直线与轴、轴分别交于点、，以、为边在第一象限内作长方形．
(1)求点、的坐标．
(2)将对折，使得点的与点重合，折痕交于点，求直线的解析式（图②）．
(3)在坐标平面内，是否存在点（除点外），使得与全等？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
19．已知一直角三角形纸片，其中，，，将该纸片放置在平面直角坐标系中，如图1所示.
(1)求经过A，B两点的直线的函数表达式.
(2)折叠该纸片，使点B与点A重合，折痕与边交于点C，与边交于点D（如图2所示），求点C的坐标.
(3)①若P为内一点，其坐标为，过点P作x轴的平行线交于点M，作y轴的平行线交于点N（如图3所示），求点M，N的坐标并求的长.
②若P为上一动点，设的中点为点E，的中点为点（如图4所示）求的最小值，并求取得最小值时点P的坐标.
20．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)作出向右平移个单位长度的；
(2)作出关于轴对称的；
(3)在y轴上求作一点，使得的值最小，并直接写出点的坐标．
21．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线：交于点C．
(1)若直线解析式为，求：点C的坐标；
(2)在（1）的条件下，若P是x轴上的一个动点，直接写出当是等腰三角形时P点的坐标．
(3)如图2，作的平分线，若，垂足为E，，P是线段上的动点，过点P作的垂线，垂足分别为M，N，试问的值是否变化，若不变，求出的值；若变化，请说明理由．
22．在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：
如果，那么称点为点的“关联点”，例如：点的“关联点”为点，点的“关联点”为点
(1)点的“关联点”为，则______；
(2)①如果点是一次函数图象上点的“关联点”，那么点的坐标为______；
②如果点是一次函数图象上点的“关联点”，求点的坐标
23．探究归纳题：
(1)试验分析：
如图1，经过一个顶点（如点）可以作___________条对角线，它把四边形分为___________个三角形；
(2)拓展延伸：
运用（1）的分析方法，可得：图2过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形；图3过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形；
(3)探索归纳：对于边形，过一个顶点的所有对角线把这个边形分为___________个三角形．（用含的式子表示）
(4)特例验证：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为___________个三角形．
24．已知：如图，中，对角线，相交于点，延长至，使，连接交于点．
(1)求证：；
(2)若，求：的度数和的长．
25．如图，点E为的边上一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接，H为的中点，连接，．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若的面积为4，则的面积为__________．（直接写出结果）
26．如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的一点，且．与相交于点N，与相交于点M．
(1)求证：；
(2)判断四边形的形状，并证明．
27．在中，，，点P为边上的动点（点P不与点D重合），连接，过点P作交直线于点E．
(1)如图①，当点P为线段的中点时，求证：；
(2)如图②，当点P在线段上时，求证：．
28．如图，在梯形中，，，，是的中点．点以每秒个单位长度的速度从点A出发，沿向点运动；点同时以每秒个单位长度的速度从点出发，沿向点运动．点停止运动时，点也随之停止运动．
(1)_________，__________用含的式子表示
(2)当运动时间为多少秒时，；
(3)当运动时间为多少秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．
29．在平面直角坐标系中，为原点，，点，点E是边中点，把绕点A顺时针旋转，得，点，B旋转后的对应点分别为D，C．记旋转角为．
(1)如图①，当点D恰好在上时，求点D的坐标；
(2)如图②，若时，求证：四边形是平行四边形．
30．已知、为平行四边形的对角线上两点，，垂是为，，垂足为，连接，．
(1)如图求证：四边形为平行四边形；
(2)如图2，当时，请直接写出面积等于四边形的面积的所有三角形．
31．已知平行四边形，E为边上的中点，F为边上的一点，
(1)如图1，连接并延长交的延长线于点G，求证：；
(2)如图2，若，，求；
(3)如图3，若，P为的中点，Q为的中点，，，
①判断与的位置关系，并说明理由；
②求．
32．平行四边形中，，，在的延长线上，在上，连接．
(1)如图1，连接，若，，求的面积；
(2)如图2，将绕着逆时针旋转，连接交于点，若点为中点，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接、，取中点，当，时，直接写出的面积.
33．△ABC与△DCE均为等边三角形，D在边AC上，连接BE．
(1)如图1，若AB＝4，CE＝2，求BE的长；
(2)如图2，若AB＞DC，在平面内将图1中△DCE绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜120°），连接BD、AE，交于点O，连接OC，在△CDE运动过程中，猜想线段AO，OC，BO之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，将△DCE绕点C顺时针旋转30°，连接BD，点F、G为直线BD上两个动点，且FG＝，连接CF，AG．若CD＝2，AB＝CD，求CF+FG+GA的最小值．
34．在中，D为中点，与射线分别相交于点E、F（射线不经过点D）．
(1)如图①，当时，连接并延长交于点H．求证：四边形是平行四边形；
(2)如图②，当于点E，于点F时，分别取的中点M、N，连接．求证：．
35．在中，点M为的中点．
(1)如图1，求证：；
(2)延长到D，使得，延长到E，使得，联结．
①如图2，联结，若，请你探究线段与线段之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明；
②请你在图3中证明：．
输入x
…
0
2
…
输出y
…
19
15
11
0
8
…
特训09 期中解答题（题型归纳35题，20.1-22.2）
一、解答题
1．解方程：
【答案】
【分析】应用代入消元法，消去x后求解y即可解决问题．
【解析】解：依题意，
由①得： ③，
由②得： ④，
将④代入③化简得，即．
解得：．
将代入④得：．
∴原方程组的解为．
【点睛】本题考查了二元二次方程组，掌握代入消元法是解题的关键．
2．（1）解方程组：
（2）
【答案】（1）或；（2）.
【分析】（1）将方程组的第二个方程移项、两边平方求出，再代入第一个方程可求出y的值，然后将y的最代入第二个方程可求出x的值，从而可得方程组的解；
（2）将原方程组的两个方程通过去括号、合并同类项变形可得一个二元一次方程组，再利用加减消元法求解即可.
【解析】（1）
由②可得：
两边平方化简得：，即
代入①得：，即
解得：或
将代入②得：，解得：
将代入②得：，解得：
故原方程组的解为：或；
（2）
去括号化简得：，即
得：，解得：
将代入①得：，解得：
故原方程组的解为.
【点睛】本题考查了利用消元法解方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键.
3．解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)无解；
(2)
【分析】（1）将分式方程化为整式方程求解，再检验即可；
（2）原分式方程可整理为，即说明，解出x的值，再检验即可．
【解析】（1）解：
方程两边同时乘，得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的增根，
∴原方程无解；
（2）解：，
，
，
，
，
∴，
解得：．
经检验是原分式方程的解，
∴原方程的解为．
【点睛】本题考查解分式方程．掌握解分式方程的步骤是解题关键．
4．解方程：
(1)；
(2)；
(3)
【答案】(1)
(2)，；
(3)，，，．
【分析】（1）移项后两边平方得出，求出，再方程两边平方得出，求出，再进行检验即可；
（2）观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解；
（3）令，则，代入原方程，得，所以，，然后分两种情况分别解方程即可．
【解析】（1）
解：移项得，，
两边平方得，，
合并同类项得，，
∴，
两边平方得，，
整理得，，
∴，
解得：，，
经检验，，不是原方程的解，
∴原方程的解为：．
（2）
解：方程两边同时乘以得，
整理得，，
解得，，
∴，，
经检验，，时，，
∴原方程的根为：，．
（3）
解：
令，代入原方程得，，
∴，
解得：，，
当时，，即： ，
∴，解得：，，
当时，，即： ，
∴，解得：，，
经检验都为原方程的解
∴原方程的解为：，，，．
【点睛】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键；还考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，（2）解分式方程一定注意要验根．
5．已知一次函数的图像经过，两点且与轴交与A点．
(1)求函数解析式及点A的坐标；
(2)当时，对于的每一个值，函数的值都小于函数的值，求的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)；
【分析】（1）将，两点代入解析式求解得到一次函数解析式，再令即可得到答案；
（2）根据时函数的值都小于函数的值列不等式求解即可得到答案；
【解析】（1）解：将，两点代入解析式可得，
，
解得：，
∴，
当时，，
∴；
（2）解：∵时，函数的值都小于函数的值，
当，
即，
当，即时，
，
即，
解得：，
即当时，时，函数的值都小于函数的值；
当，即时，
，
不符合题意，不存在此类情况；
综上所述当时，在时，函数的值都小于函数的值；
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数解析式与坐标轴交点问题及一次函数与不等式之间关系，解题的关键是分类讨论．
6．如图所示，在平面直角坐标系中，直线过点A，且与直线＝相交于点，直线与x轴相交于点C．
(1)求m的值．
(2)求的面积．
(3)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集．
【答案】(1)
(2)4
(3)
【分析】（1）由点的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征可求出值；
（2）由点的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征可求出的值，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点、的值，由点、、的坐标利用三角形的面积可求出的面积；
（3）根据两直线的上下位置关系结合点的横坐标，即可得出不等式的解集，从而得到不等式的解集．
【解析】（1）解：直线过点，
，
解得：．
（2）直线过点，
，
解得：，
直线的解析式为．
当时，，
点的坐标为；
当时，，
点的坐标为，
，
．
（3）观察函数图象，可知：当时，直线在直线的上方，
∴不等式的解集为，
∴不等式的解集为
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：利用一次函数图象上点的坐标特征求出点、的坐标；由两直线的上下位置关系找出不等式的解集．
7．已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，已知当时，；当时，．
(1)求一次函数的函数表达式；
(2)已知反比例函数图象上一点的横坐标为3，求的面积．
【答案】(1)
(2)21
【分析】（1）首先根据时，，时，确定点的横坐标，然后代入反比例函数解析式求出点的纵坐标，从而得到点的坐标，再利用待定系数法求直线解析式解答；
（2）根据点的横坐标求出点的坐标，过点作轴交直线于，求出点的坐标，然后得到的长度，再联立一次函数与双曲线解析式求出点的坐标，然后的面积的面积的面积，列式进行计算即可得解．
【解析】（1）解：当时，；当时，，
点的横坐标为1，
代入反比例函数解析式，，
解得，
点的坐标为，
又点在一次函数图象上，代入得：
，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）第一象限内点的横坐标为3，
，
点的坐标为，
过点作轴交直线于，
则点的纵坐标为2，
，
解得，
点的坐标为，
，
点到的距离为，
联立，
解得（舍去），，
点的坐标为，
点到的距离为，
．
【点睛】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，根据已知条件先判断出点的横坐标是解题的关键．
8．如图，一次函数（）的图象分别与轴、轴交于点、点，且．直线与反比例函数（，）的图象交于点．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)在该反比例函数图象上存在点，且到轴的距离为6，连接，直线交轴于点，求的面积．
【答案】(1)一次函数的表达式，反比例函数的表达式为
(2)8
【分析】（1）先求得点坐标，将、代入一次函数表达式，得到一次函数的表达式，再求得点的坐标，将点代入反比例函数解析式即可求解；
（2）求得点坐标，再求得直线解析式，再求得点坐标，由图形可得，分别求得和即可求解．
【解析】（1）解： ，
，
又，
．
将，分别代入中，得 ，
解得：，
一次函数的表达式．
将代入中，
得，
．
将代入中，得，
，
该反比例函数的表达式为．
（2）解：点到y轴的距离为，点在第二象限，
．
在的图象上，
，
，
设直线的表达式为，
将，分别代入中，得 ，
解得：，
直线的表达式为．
直线交轴于点，
当时，，
，
．
．
【点睛】此题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用，涉及了割补法求解三角形面积，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，交x轴于点，点P是直线右边第一象限内的动点．
(1)①A的坐标是_____________
②求直线的表达式；
(2)点P是直线上一动点，当的面积与的面积相等时，求点P的坐标；
(3)当为等腰直角三角形时，请直接写出点P的坐标．
【答案】(1)①，②直线的解析式是
(2)
(3)；；
【分析】（1）把代入即可求点A的坐标；把B点的坐标代入求得即可求得结果；
（2）设点P的坐标为，先求出，再由可得，根据求出a，即可求点P的坐标；
（3）当点P为顶点时，过点P作轴，过点A作垂直于的延长线于点F，
证明可得，，根据四边形是矩形可得，最后根据点A、B的坐标可得即可求出结果；
当点B为顶点时，过点P作轴，证明可得，，最后根据点A、B的坐标可得即可求出结果；
当点A为顶点时，过点P作轴，证明可得，，最后根据点A、B的坐标可得即可求出结果．
【解析】（1）解：①∵直线交y轴于点A，
∵当时，，
∴点，
故答案为：；
②解：∵直线交x轴于点，
∴把点B代入可得：，
，
∴直线的解析式是．
（2）解：如图直线与y轴相交于点E，且直线过点P，
∴点E的坐标为，
∵设点P的坐标为，，，
，，，，，
，，
，
又，
，
，
∴ 点P的坐标为：．
（3）解：如图1，当点P为顶点时，过点P作轴，过点A作垂直于的延长线于点F，
∵是等腰直角三角形，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
∴四边形是矩形，
，，
，
、，
，，
，
，，
，
∴点P的坐标为；
如图2，当点B为顶点时，过点P作轴，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
、，
，，
，，
∴点P的坐标为；
如图3，当点A为顶点时，过点P作轴，
是等腰直角三角形，
，，
，，
，
在和中，
，
，，
、，
，，
，，
∴点P的坐标为，
故答案为：；；．
【点睛】本题考查了一次函数的综合运用，等腰直角三角形的性质和矩形的性质及全等三角形的性质的判定，熟练求一次函数的解析式和构造全等三角形是解题的关键．
10．近来某区政府在金龙大道实施改造提质工程，该工程全长米，改造内容涉及病害路面整治，绿化景观提质，人行踏板铺设等．建工集团安排甲、乙两个金牌施工队分别从金龙大道的两头向中间施工，甲、乙两个金牌施工队负责的施工的长度总和等于该工程全长，已知甲施工队负责施工的长度的倍比乙施工队负责施工的长度长米．
(1)求出甲、乙施工队分别施工的长度是多少米；
(2)建工集团计划两队同时开始同时结束．两队开工天后，甲队将速度提高了，乙队将速度提高了，从而甲队比乙队早了天完工，求原计划甲、乙两队每天各施工多少米．
【答案】(1)甲施工队施工长度为米，乙施工队施工长度为米
(2)甲施工队原计划每天施工米，乙施工队原计划每天施工米
【分析】（1）设甲施工队施工长度为米，乙施工队施工长度为米，根据题意列出二元一次方程组，解出即可；
（2）设甲施工队原计划每天施工米，则乙施工队原计划每天施工米，根据题意列出分式方程，解出方程并检验，即可得出答案．
【解析】（1）解：设：甲施工队施工长度为米，乙施工队施工长度为米．
∴由题意得：，
∴解得：，
∴甲施工队施工长度为米，乙施工队施工长度为米．
（2）解：设：甲施工队原计划每天施工米，则乙施工队原计划每天施工米．
∴由题意得：，
∴解得：，
经检验：为分式方程的解，且符合题意，
则：，
∴甲施工队原计划每天施工米，乙施工队原计划每天施工米．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用和分式方程的应用，根据题目意思列出方程并正确解出方程是解答本题的关键．
11．如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数且）的图象交于，B两点．
(1)求此反比例函数的表达式及点B的坐标；
(2)当反比例函数值大于一次函数值时，写出x的取值范围．
(3)在y轴上存在点P，使得的周长最小，求点P的坐标及的周长．
【答案】(1)，
(2)或
(3)，
【分析】（1）先把点A坐标代入一次函数解析式求出点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再联立一次函数与反比例函数解析式求出点B的坐标即可；
（2）利用图象法求解即可；
（3）如图所示，作点B关于y轴对称的点C，连接交y轴于P，则，求出，进一步得到当三点共线时最小，即的周长最小，最小为；再求出直线的解析式即可求出点P的坐标．
【解析】（1）解：把代入到一次函数中得：，
∴，
∴，
把代入到反比例函数中得：，
∴，
∴反比例函数解析式为，
联立，
解得或，
∴；
（2）解：由函数图象可知，当或时，反比例函数值大于一次函数值；
（3）解：如图所示，作点B关于y轴对称的点C，连接交y轴于P，则，
∴，
∴的周长，
∵，
∴的周长，
∴当三点共线时最小，即的周长最小，最小为，
∴的周长最小；
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，轴对称最短路径问题，勾股定理，灵活运用所学知识是解题的关键．
12．如图，是一个“函数求值机”示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)当输入的x值为时，输出的y值为 ；
(2)求k2，b的值；
(3)当输出的y值为24时，求输入的x值．
【答案】(1)2
(2)
(3)x值是6或
【分析】（1）先解得k1的值，再将代入求解；
（2）由题意得关于，b的二元一次方程组进行求解；
（3）分别按不同的计算程序求得对应的x的值，并进行讨论验证．
【解析】（1）由题意得，
解得，
∵，
∴当x值为时，
，
故答案为：2；
（2）由题意得，
解得，
即；
（3）若，
解得，
∵，
∴符合题意；当输出的y值为24时，输入的x值是6；
若，
解得，
∵，
∴符合题意，
∴当输出的y值为24时，输入的x值是6或．
【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，函数求值问题，关键是是求出函数解析式．
13．定义：对于平面直角坐标系中的不在同一条直线上的三点，，，若满足点绕点逆时针旋转后恰好与点重合，则称点为点关于点的“垂等点”．请根据以上定义，完成下列填空：
(1)若点在直线上，点与原点重合，且点关于点的“垂等点”刚好在坐标轴上，则点的坐标为___________；
(2)如图，已知点A的坐标为，点是轴上的动点，点是点A关于点的“垂等点”，连接，，则的最小值是___________．
【答案】(1)或；
(2)
【分析】（1）根据刚好在坐标轴上可得，M也在坐标轴上，由直线方程得到与坐标轴交点坐标，即可得到答案；
（2）设，表示出B点坐标，列出与m的关系式即可得到答案；
【解析】（1）解：∵点关于点的“垂等点”刚好在坐标轴上，
∴M也在坐标轴上，
∵点在直线上，
∴当时，，当时，，
∴点M为或，
逆时针旋转可得，
N点坐标为或；
（2）解：设，过B作轴于H，如图所示，
∵是点A关于点的“垂等点”，
∴，，
∵，轴
∴，，
∴，
∴，，，
∴点B的坐标为，
∴
的值，相当于点到，的距离之和，
相当于在直线上找一点到，距离之和最小点，
作点M关于直线对称的点，连接，即为最小距离点，
根据对称可得点，
∴，
∴的最小值是：；
【点睛】本题考查一次函数的应用，最短距离问题，新定义，及图形旋转的性质，解题的关键是根据题意找到最短居里点，利用一次函数问题解决最短距离问题．
14．如图，在直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，已知A点的纵坐标是2．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)根据图象求的解集；
(3)将直线向上平移6个单位后与y轴交于点C，与双曲线在第二象限内的部分交于点D，求的面积．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）利用求出点A的坐标，将点A的坐标代入反比例函数中求出k即可；
（2）联立两个函数解析式，求出点坐标，再结合图象即可得到解集；
（3）根据平移规则，求出平移后的解析式，连接，得到的面积等于的面积，利用，进行计算即可得出结果．
【解析】（1）解：令一次函数中，则，
解得：，即点A的坐标为，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：联立，解得：或
∴，
由图象可知，的解集为或；
（3）解：由题意，得：平移后的解析式为
当时，，
∴，
∴，
连接、如图所示．
∵，
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解题的关键．
15．甲乙两车从A市去往B市，甲比乙早出发了2个小时，甲到达B市后停留一段时间返回，乙到达B市后立即返回．甲车往返的速度都为40千米/时，乙车往返的速度都为20千米/时，下图是两车距A市的路程S（千米）与行驶时间t（小时）之间的函数图像．请结合图像回答下列问题：
(1)A、B两市的距离是___________千米，乙从A市出发到达B市需要___________小时．
(2)如图，甲车返回时的路程S（千米）关于时间t（小时）的函数关系式___________
(3)当___________时，甲车与乙车第二次相遇．
【答案】(1)120，6
(2)
(3)12
【分析】（1）从图中看，甲车3小时到达B市，则千米，即A、B两市的距离是120千米，根据乙车往返的速度都为20千米/时，即可求解；
（2）分别表示G、D两点的坐标，利用待定系数法求解析式，并写t的取值；
（3）运用待定系数法求出的解析式，再由联立两解析式建立方程求出其解即可．
【解析】（1）解：由题意，得A、B两市的距离是千米，
乙从A市出发到达B市需要小时．
故答案为：120，6；
（2）解：∵A、B两市的距离是120千米，
∴，
设线段的解析式为，由题意，得：
，解得：，
∴甲车返回时的路程S（千米）与时间t（小时）之间的函数关系式为：；
（3）解：设的解析式为，由题意，得：
，
解得：，
∴，
当时，，
即当时，甲车与乙车第二次相遇．
故答案为：12
【点睛】本题主要考查了一次函数与实际问题、待定系数法求一次函数的解析式、一次函数与一元一次方程之间的关系的运用，解答本题的关键是求出函数的解析式．
16．反比例函数与一次函数交于，B两点.
(1)求反比例函数解析式，并在网格中画出反比例函数和一次函数的图象；
(2)当时，直接写出自变量x的取值范围；
(3)若与x轴交于点C，点A关于y轴的对称点为点D，求的面积.
【答案】(1)，图见详解；
(2)或
(3)
【分析】（1）将点代入解析式求出解析式，描点画线即可得到答案；
（2）根据（1）的图形交点即可得到答案；
（3）令，代入求出点C，根据对称的性质得到点D，联立两个函数解出B点即可得到答案；
【解析】（1）解：将点代入解析式可得，
，解得：，
∴，
联立与可得，
，
解得：，，
∴点B为，
描点，用平滑的曲线连接可得，如图所示，
；
（2）解：根据（1）中函数图像可得，
当或时，直线在曲线的上方，
∴的解集为：或；
（3）解：当时，，解得，
∴，
∵，
∴点A关于y轴的对称点为点D为：
∵，
过B作交于E，
设的解析式为，
将：，，代入解析式可得，
，
∴，
当时，，
∴，
∴；
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合，解题的关键是求出两个解析式及交点．
17．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的点和点．过点作x轴的垂线，垂足为点，的面积为3
(1)分别求出一次函数与反比例函数的表达式；
(2)结合图象直接写出的解集；
(3)在x轴正半轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标．
【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数表达式为．
(2)或
(3)
【分析】（1）由的面积为3，可求出a的值，确定反比例函数的关系式，把点坐标代入可求b的值．
（2）结合图像观察，求一次函数图像位于反比例函数图像的下方时，自变量x的取值范围即可．
（3）作对称点关于x的对称点，直线与x轴交点就是所求的点，求出直线与x轴的交点坐标即可．
【解析】（1）解：根据题意，，
，
，
结合图形，可得，
将代入得，
反比例函数的表达式为．
把代入反比例函数得，
，
将和代入解得：，，
一次函数表达式为．
（2）由图象可以看出的解集为或．
（3）解：如图，作点关于x轴的对称点，连接与x轴交于，此时最大．
，
，
设直线的关系式为，将，代入，
解得，，
直线的关系式为，
当时，解得，
．
【点睛】本题考查反比例函数的图像和性质、一次函数、轴对称以及待定系数法求函数关系式等知识，理解轴对称知识作图是解题的关键．
18．如图①，已知直线与轴、轴分别交于点、，以、为边在第一象限内作长方形．
(1)求点、的坐标．
(2)将对折，使得点的与点重合，折痕交于点，求直线的解析式（图②）．
(3)在坐标平面内，是否存在点（除点外），使得与全等？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)
(3)；；
【分析】（1）已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，即可求得A和C的坐标；
（2）根据题意可知是等腰三角形，由折叠的性质和勾股定理可求出长，即可求得D点坐标，最后即可求出的解析式；
（3）将点P在不同象限进行分类，根据全等三角形的判定方法找出所有全等三角形，找出符合题意的点P的坐标．
【解析】（1）解：当时，，
∴；
当时，，解得，
∴；
∴；．
（2）解：由折叠知：．设，则，
根据题意得：解得：
此时，，，
设直线为，把代入得 解得：
∴设直线解析式为；
（3）解：①当点P与点O重合时，，此时，
②当点P在第一象限时，如图，
由得，
则点P在直线上．过P作于点Q，
在中，
由得：
∴
∴，把代入得
此时，
③当点P在第二象限时，如图
由（2）同理可求得：
∴在中，根据勾股定理
∴
此时．
综合得，满足条件的点P有三个，分别为：；；
【点睛】本题主要考查对于一次函数图象的应用以及勾股定理的运用和全等三角形的判定，解题的关键是掌握以上知识点．
19．已知一直角三角形纸片，其中，，，将该纸片放置在平面直角坐标系中，如图1所示.
(1)求经过A，B两点的直线的函数表达式.
(2)折叠该纸片，使点B与点A重合，折痕与边交于点C，与边交于点D（如图2所示），求点C的坐标.
(3)①若P为内一点，其坐标为，过点P作x轴的平行线交于点M，作y轴的平行线交于点N（如图3所示），求点M，N的坐标并求的长.
②若P为上一动点，设的中点为点E，的中点为点（如图4所示）求的最小值，并求取得最小值时点P的坐标.
【答案】(1)
(2)
(3)①3；②
【分析】（1）由题意得，，则利用待定系数法即可求出直线的解析式；
（2）设,则在中，利用勾股定理即可求出的值，进而得出点C坐标；
（3）①由已知可知点M的纵坐标为1，点N的横坐标为，再代入直线的解析式即可求出点M和点N的坐标，进而求出的长；
②作点F关于y轴的对称点，连接交于点P，此时的值最小，从而可求出最小值和此时点P的坐标．
【解析】（1）解：由题意得，，
设直线的解析式，则
，解得，
所以直线的解析式为；
（2）解：设，则，
在中，，
解得，
∴．
（3）解：①∵，
∴，
∴点M的纵坐标为1，
把代入，得，
∴，
∵，
∴点N的横坐标为，
把代入，得，
∴，
所以；
②作点F关于ｙ轴的对称点
所以，
连接交于点P，此时的值最小，为，
∵，
∴直线为，
令，则，
∴
【点睛】本题综合考查了运用轴对称、一次函数图象与几何变化．折叠型动态问题是近年来中考试题中的热点问题，它可以考查学生的综合能力，如想象能力、动手操作及创新意识能力等等，对于这类问题，通常从原图中选取满足条件的基本图形进行分析、解决问题．
20．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)作出向右平移个单位长度的；
(2)作出关于轴对称的；
(3)在y轴上求作一点，使得的值最小，并直接写出点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据平移的性质，找到的顶点向右平移个单位长度的对应点，顺次连接即可求解；
（2）根据轴对称的性质，找到的顶点关于轴对称的对应点，顺次连接即可求解；
（3）作关于轴的对称点，连接交轴于点，待定系数法求解析式，进而即可求解．
【解析】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）如图所示，即为所求；
（3）作关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求，
∵关于轴的对称点，
∴，
设直线的解析式为，
，
解得：，
∴直线的解析式为，
令，解得：，
∴．
【点睛】本题考查了平移作图，作轴对称图形，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴交点问题，轴对称求线段和的最值问题，数形结合是解题的关键．
21．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线：交于点C．
(1)若直线解析式为，求：点C的坐标；
(2)在（1）的条件下，若P是x轴上的一个动点，直接写出当是等腰三角形时P点的坐标．
(3)如图2，作的平分线，若，垂足为E，，P是线段上的动点，过点P作的垂线，垂足分别为M，N，试问的值是否变化，若不变，求出的值；若变化，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或或或
(3)
【分析】（1）把两个解析式联立成方程组，解方程组即可；
（2）设点P的坐标为根据，分类讨论，根据腰相等，利用勾股定理列方程即可求解；
（3）证明，连接，作于H，利用等积法证明即可．
【解析】（1）解：根据题意，把、解析式联立得，
，
解得，，
点C的坐标为．
（2）解：设点P的坐标为根据，
因为点C的坐标为，
所以，，，，
当时，，解得，，点P的坐标为或；
当时，，解得，，点P的坐标为；
当时，，解得，或（舍去），点P的坐标为；
综上，点P的坐标为或或或．
（3）解：的值不变化；
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
连接，作于H，
，，，
∵，
∴，
∴，
设点C的坐标为，
则，
解得，，（舍去），
即．
【点睛】本题考查了一次函数的性质和勾股定理、等腰三角形的性质与判定，解题关键是根据一次函数的有关性质，求函数图像交点，利用点的坐标列出相关方程．
22．在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：
如果，那么称点为点的“关联点”，例如：点的“关联点”为点，点的“关联点”为点
(1)点的“关联点”为，则______；
(2)①如果点是一次函数图象上点的“关联点”，那么点的坐标为______；
②如果点是一次函数图象上点的“关联点”，求点的坐标
【答案】(1)
(2)①；②点的坐标是或
【分析】（1）根据“关联点”的定义解答即可；
（2）①根据“关联点”的定义解答即可；
②由题意点的纵坐标是或，由此可解决问题．
【解析】（1）点的“关联点”为，
，，
（2）①是一次函数图象上点的“关联点”，
②点是一次函数图象上点的“关联点”，
当时，点的纵坐标为；当时，点的纵坐标为，
点在一次函数的图象上，
或，
或，
或．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上的点的坐标的特征，“关联点”的定义等知识，理解题意，灵活运用所学知识解决问题是解本题的关键．
23．探究归纳题：
(1)试验分析：
如图1，经过一个顶点（如点）可以作___________条对角线，它把四边形分为___________个三角形；
(2)拓展延伸：
运用（1）的分析方法，可得：图2过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形；图3过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形；
(3)探索归纳：对于边形，过一个顶点的所有对角线把这个边形分为___________个三角形．（用含的式子表示）
(4)特例验证：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为___________个三角形．
【答案】(1)1，2；
(2)3，4；
(3)
(4)8
【分析】（1）根据对角线的定义，可得答案；
（2）边形中过一个顶点的所有对角线有条，把这个多边形分成个三角形，根据这一点即可解答；
（3）边形中过一个顶点的所有对角线有条，把这个多边形分成个三角形，根据这一点即可解答；
（4）边形中过一个顶点的所有对角线有条，把这个多边形分成个三角形，根据这一点即可解答．
【解析】（1）解：如下图：
经过点可以做1条对角线，它把四边形分为2个三角形，
故答案为：1，2；
（2）解：拓展延伸：
运用（1）的分析方法，可得：
图2过一个顶点，共有2条对角线，将这个多边形分为3个三角形；
图3过一个顶点，共有3条对角线，将这个多边形分为4个三角形；
故答案为：3，4；
（3）解：对于边形，过一个顶点的所有对角线把这个边形分为个三角形，
故答案为：；
（4）解：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为个三角形，
故答案为：．
【点睛】本题考查了多边形的对角线，正确理解多边形的对角线的条数，与所分成的三角形的个数的关系，是解决本题的关键．
24．已知：如图，中，对角线，相交于点，延长至，使，连接交于点．
(1)求证：；
(2)若，求：的度数和的长．
【答案】(1)见解析
(2)，
【分析】（1）由平行四边形的性质即可证出；
（2）根据题意可判断出是的中位线，得出即可求出．
【解析】（1）证明：∵四边形是平行四边形．
∴，
∵ ．
∵，．
∴四边形是平行四边形．
∴ ．
（2）①∵四边形是平行四边形，且 ．
∴四边形是菱形
∴
∴
∵四边形是平行四边形
∴
∴
②
∴
∵，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的性质，，熟练掌握平行四边形对边平行且相等，菱形的对角线垂直平分是解题的关键．
25．如图，点E为的边上一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接，H为的中点，连接，．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若的面积为4，则的面积为__________．（直接写出结果）
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，证明是的中位线，可得，，证明，，由平行四边形的判定方法可得出结论．
（2）根据中位线的性质可求出的面积，从而得出平行四边形的面积．
【解析】（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵，，
∴为的中位线，
∴，，
∴，，
∵H为的中点，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形．
（2）如图，连接，，
∵点H为的中点，，，
∴点B，C分别为，的中点，
∴，，是的中位线，
∵的面积为4，
∴，
∴，
∴平行四边形的面积为2．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理，熟练掌握相关定理并能进行运用是解题的关键．
26．如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的一点，且．与相交于点N，与相交于点M．
(1)求证：；
(2)判断四边形的形状，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)四边形是平行四边形，证明见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质，运用SAS证明全等即可．
（2）根据平行四边形的判定证明即可．
【解析】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴（SAS）．
（2）解：四边形是平行四边形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形、四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．
27．在中，，，点P为边上的动点（点P不与点D重合），连接，过点P作交直线于点E．
(1)如图①，当点P为线段的中点时，求证：；
(2)如图②，当点P在线段上时，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接，根据题意可得是等腰直角三角形，再证明，即可；
（2）过点P作交于点F，可得，再结合平行四边形的性质可得，可得，再由勾股定理可得，即可．
【解析】（1）证明：如图，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵点P为线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图，过点P作交于点F，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
28．如图，在梯形中，，，，是的中点．点以每秒个单位长度的速度从点A出发，沿向点运动；点同时以每秒个单位长度的速度从点出发，沿向点运动．点停止运动时，点也随之停止运动．
(1)_________，__________用含的式子表示
(2)当运动时间为多少秒时，；
(3)当运动时间为多少秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．
【答案】(1)；；
(2)为1.5秒时，
(3)当运动时间为1秒或3.5秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．
【分析】（1）根据题意列出代数式即可；
（2）根据、可判定四边形为平行四边形，此时，可得方程，解方程即可得解；
（3）分别从当在上时，四边形为平行四边形和当在上时，四边形为平行四边形两方面分析求解即可求得答案；
【解析】（1）解：∵，，点以每秒个单位长度的速度从点A出发，沿向点运动；点同时以每秒个单位长度的速度从点出发，沿向点运动，
∴，，
故答案为：；；
（2）解：如图示，
∵，
∴四边形为平行四边形
∴
又∵，，
∴．
当运动时间为1.5秒时，．
（3）由题意知，此时有两种情况，在上或在上，
①当在上时，四边形为平行四边形
此时，
又∵，
∴
∴
∴满足题意
②当在上时，四边形为平行四边形
此时．
又∵，
∴
∴
∴满足题意；
当运动时间为1秒或3.5秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了动点形成的几何图形综合问题，列代数式及平行四边形的判定和性质，分类讨论的数学思想，需灵活运用所学知识点，结合图形认真审题是解题的关键．
29．在平面直角坐标系中，为原点，，点，点E是边中点，把绕点A顺时针旋转，得，点，B旋转后的对应点分别为D，C．记旋转角为．
(1)如图①，当点D恰好在上时，求点D的坐标；
(2)如图②，若时，求证：四边形是平行四边形．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意得，由旋转的性质得，过作于，求出，，得到，进而得出答案；
（2）延长交于，证是等边三角形，得出，由旋转性质得，得出，再求出，证出即可得出结论．
【解析】（1）解：∵，点，
∴，，
∴得，
由旋转的性质得，，
过D作于M，如图①所示：
则在中，，，
∴，
，；
（2）证明：延长交于，如图②所示：
在中，点为的中点，，
，，
是等边三角形，
，，
，
由旋转的性质得，
．
，
，
由旋转的性质知，，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、坐标与图形性质、旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、直角三角形斜边中线的性质、解直角三角形等知识；熟练掌握平行四边形的判定和旋转的性质是解题的关键．
30．已知、为平行四边形的对角线上两点，，垂是为，，垂足为，连接，．
(1)如图求证：四边形为平行四边形；
(2)如图2，当时，请直接写出面积等于四边形的面积的所有三角形．
【答案】(1)见解析
(2)，，，
【分析】（1）根据，，得出，证明，得出，即可得证；
（2）证明，根据（1）的结论，结合平行四边形的性质，根据三角形面积公式即可求解．
【解析】（1）证明：，，
，，
，
∴，
为平行四边形
，，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形
（2）∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵四边形为平行四边形
∴，
∴面积等于四边形的面积的所有三角形为，，，
【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
31．已知平行四边形，E为边上的中点，F为边上的一点，
(1)如图1，连接并延长交的延长线于点G，求证：；
(2)如图2，若，，求；
(3)如图3，若，P为的中点，Q为的中点，，，
①判断与的位置关系，并说明理由；
②求．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)①；理由见解析；②
【分析】（1）证明，即可得证；
（2）法一：连接并延长交的延长线于点，易得，进而得到，利用，得到，即可得解；法二：延长与相交于点，可证，得到，易得，得到，利用，得到，即可得解；
（3）①连接并延长交的延长线于点，易得，进而得到，从而得到，即可得证；②由①可知为直角三角形，利用勾股定理进行求解即可．
【解析】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵为边上的中点，
∴，
∴，
∴；
（2）∵四边形是平行四边形，
∴，
连接并延长交的延长线于点，由（1）可得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
方法二：延长与相交于点，
同（1）可得： （AAS或ASA），
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）①连接并延长交的延长线于点，由（1）可得，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②由①的为直角三角形，
∵为的中点，为的中点，
∴设，，
∵，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握平行四边形的性质，通过添加辅助线，证明三角形全等，是解题的关键．
32．平行四边形中，，，在的延长线上，在上，连接．
(1)如图1，连接，若，，求的面积；
(2)如图2，将绕着逆时针旋转，连接交于点，若点为中点，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接、，取中点，当，时，直接写出的面积.
【答案】(1)
(2)见详解
(3)
【分析】（1）根据平行四边形的性质并结合，可求出的值，进而求出的面积，再利用等高的三角形的面积比等于底之比，可以求出的面积．
（2）通过作辅助线构建三角形可以证明≌，再证明和是等腰直角三角形找出、与、之间的关系即可．
（3）通过作辅助线可以将求的面积转化为求的面积，构建直角三角形同时结合（1）（2）找出相应线段之间的等量关系式可求出和的长，从而可以求出 的面积．
【解析】（1）解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
，
；
，
，
．
（2）
证明：过作交的延长线于点，过作交于点，
，是的中点，，
，
点为中点，
是的中位线，
；
由（1）得，，，
，
，，
，
，
；
将绕着逆时针旋转，
，，
，
又，
，
在和中
，
≌，
，，
，，
，
即：，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
（3）
解：连接、、，
由（2）得：，，，
，
，
，
点为中点，
四边形是平行四边形，，
，，
，，
由（1）得：，
，
，
又是的中点，
，
、、三点共线，，
，
是直角三角形，
，
，
设，则有，，
，，
，，
在中：，
即：，
解得：，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质及判定，旋转的性质，等腰直角三角形的判定及性质、勾股定理、三角形的中位线等三角形知识的综合应用；熟练掌握相关的性质及定理并会灵活运用是解题的关键．
33．△ABC与△DCE均为等边三角形，D在边AC上，连接BE．
(1)如图1，若AB＝4，CE＝2，求BE的长；
(2)如图2，若AB＞DC，在平面内将图1中△DCE绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜120°），连接BD、AE，交于点O，连接OC，在△CDE运动过程中，猜想线段AO，OC，BO之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，将△DCE绕点C顺时针旋转30°，连接BD，点F、G为直线BD上两个动点，且FG＝，连接CF，AG．若CD＝2，AB＝CD，求CF+FG+GA的最小值．
【答案】(1)2
(2)BO＝AO+CO，理由见解析
(3)
【分析】（1）过点E作EH⊥BC交BC的延长线于H，由直角三角形的性质可求CH，EH的长，由勾股定理可求解；
（2）过点C作CP⊥AE于P，CF⊥BD于F，在BO上截取OH＝OC，连接CH，由“SAS”可证△BCD≌△ACE，可得∠CBD＝∠CAE，AE＝BD，S△ACE＝S△BCD，由面积法可得CP＝CF，可证OC平分∠BOE，由“ASA”可证△BCH≌△ACO，可得BH＝AO，即可求解；
（3）先证四边形CNGF是平行四边形，可得FC＝GN，则CF+FG+GA＝GN++GA，即当A，点G，点N三点共线时，GN+GA有最小值为AN，即CF+FG+GA有最小值，由勾股定理可求解．
（1）
解：如图，过点E作EH⊥BC交BC的延长线于H，
∵△ABC与△DCE均为等边三角形，
∴AB＝BC＝4，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ECH＝60°，
∴∠CEH＝30°，
∴CH＝CE＝1，，
∴BH＝BC+CH＝5，
在Rt△BEH中，；
（2）
解：BO＝AO+CO，
证明如下：
如图，过点C作CP⊥AE于P，CF⊥BD于F，在BO上截取OH＝OC，连接CH，
∵△ABC与△DCE均为等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝∠ACE，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠CBD＝∠CAE，AE＝BD，S△ACE＝S△BCD，
∴，
∴CP＝CF，
又∵CP⊥AE，CF⊥BD，
∴OC平分∠BOE，
∵∠ABC+∠BAC＝120°，
∴∠ABO+∠CBO+∠BAC＝120°，
∴∠ABO+∠BAO+∠BAC＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴∠BOE＝120°，
∵OC平分∠BOE，
∴∠BOC＝∠EOC＝60°，
∵HO＝CO，
∴△CHO是等边三角形，
∴CH＝HO＝CO，∠HCO＝60°＝∠ACB，
∴∠BCH＝∠ACO，
∴△BCH≌△ACO（ASA），
∴BH＝AO，
∴BO＝BH+OH＝AD+CO；
（3）
解：∵将△DCE绕点C顺时针旋转30°，
∴∠ACD＝30°，
∴∠BCD＝∠ACE＝90°，
∵CD＝2，，
∴，
∴，
∴BD＝2CD，
∴∠DBC＝30°，
∴∠BDC＝60°＝∠DCE，
∴，
如图，在CE上截取，连接GN，
∵CN＝FG，，
∴四边形CNGF是平行四边形，
∴FC＝GN，
∵CF+FG+GA＝GN++GA，
∴当A，点G，点N三点共线时，GN+GA有最小值为AN，即CF+FG+GA有最小值，
∴，
∴CF+FG+GA的最小值为．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质等知识，添加恰当的辅助线是解题的关键
34．在中，D为中点，与射线分别相交于点E、F（射线不经过点D）．
(1)如图①，当时，连接并延长交于点H．求证：四边形是平行四边形；
(2)如图②，当于点E，于点F时，分别取的中点M、N，连接．求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平行线的性质求得，然后根据求得得出，最后根据判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形求得．
（2）连接、，延长交于点，根据直角三角形斜边的中线定理和三角形的中位线定理求得，，再根据即可证明，最后根据全等三角形的对应角相等求得．
（1）证明：如图①，为的中点，，，，在与中，，，，四边形是平行四边形；
（2）证明：如图②连接、，延长交于点，，，，由（1）可知，又，，在中，是的中点，，在中，、分别是、的中点，，，同理，，在与中，，，．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，平行四边形的证明、平行线的性质，直角三角形斜边中线的性质，中位线的定理，解题的关键是能够找出三角形全等的条件，证得三角形全等．
35．在中，点M为的中点．
(1)如图1，求证：；
(2)延长到D，使得，延长到E，使得，联结．
①如图2，联结，若，请你探究线段与线段之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明；
②请你在图3中证明：．
【答案】(1)见解析
(2)①；见解析；②见解析
【分析】（1）延长AP至H，使PH=AP，则AH、BC互相平分，四边形ABHC是平行四边形；在中，由三角形三边关系知：而等量代换后即可证得所求的结论；
（2）①过点B作AE的平行线，交DE于点H，连接可知若∠则是等边三角形，易证也是等边三角形，此时可证四边形是平行四边形，点P为对角线的交点，且再证明，可进一步得出结论；②分两种情况：情况1：时，由题意知则BC是三角形的中位线，此时情形2：时，以BC、BD为边作平行四边形DBCG，连接GE，易证则；由平行四边形的性质得，在等腰三角形中，由三角形三边关系得即综合上述两种情况即可证得所求结论
（1）
证明：延长至H点，使得，连接、、
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴
在中，，
∴，
∴．
（2）
解：①结论：
证明：过点B作BH//AE交于点H，连接、
∵BH//AE，
∴，
∵，，
∴，
∴为等边三角形
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴四边形是平行四边形
∵M是的中点，
∴M是对角线与的交点，
∴A、M、H三点共线，
在和中，
，，，
∴，
∴；
②证明：i）时，，
∴
ii）时，以、为一组邻边作平行四边形，
∴，，
∵AD//CG，
∴，
∵，
∴，
∴
在中，，
∴，
综上所述，
【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，等腰三角形的性质、平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
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