浙教版八年级数学下册期中期末挑战满分冲刺卷特训14期末解答题汇编46道(浙江精选归纳)(原卷版+解析)

这是一份浙教版八年级数学下册期中期末挑战满分冲刺卷特训14期末解答题汇编46道(浙江精选归纳)(原卷版+解析)，共64页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2023春·浙江·八年级专题练习）计算：
(1)；
(2)．
2．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）计算：
(1)×÷；
(2)（﹣）×；
(3)．
3．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期末）（1）解方程：
（2）计算：
4．（2022秋·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）化简或解方程：
(1)÷﹣84；
(2)＋（）2；
(3)3x2﹣2＝4x；
(4)（2x＋3）2＝2（2x＋3）．
5．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）解方程：
(1)；
(2)；
(3)．
6．（2022春·浙江金华·八年级统考期末）解方程：
(1)
(2)
7．（2023春·浙江衢州·八年级校考阶段练习）请选择适当的方法解下列一元二次方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
8．（2023春·浙江衢州·八年级校考阶段练习）已知关于x的方程．
(1)求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程根的判别式的值为5，求m的值及方程的根．
9．（2021春·浙江杭州·八年级期末）已知关于的一元二次方程：．
(1)求证：这个方程总有两个实数根．
(2)若等腰的一边长，另两边b、c恰好是这个方程的两个实数根，求的周长．
10．（2022春·浙江绍兴·八年级统考期末）已知关于x的方程．
(1)求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根．
(2)若这个方程的两个实根，，满足，求m的值．
11．（2021春·浙江·八年级期末）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m＋1）x＋m2＋5＝0的两实数根．
(1)若（x1﹣1）（x2﹣1）＝28，求m的值；
(2)已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．
12．（2020春·浙江杭州·八年级期末）已知：关于x的方程kx2﹣（4k﹣3）x＋3k﹣3＝0
(1)求证：无论k取何值，方程都有实根；
(2)若x＝﹣1是该方程的一个根，求k的值；
(3)若方程的两个实根均为正整数，求k的值（k为整数）．
13．（2021春·浙江·八年级期末）完成下列各小题：
（1）已如，求的值；
（2）已知，求式子的值；
14．（2020秋·浙江·八年级期末）求值：
（1）若，，求的值；
（2）若的整数部分为a，小数部分为b，求的值．
15．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
16．（2023春·浙江·八年级专题练习）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，
如：，
；
【类比归纳】
(1)请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方．
【变式探究】
(2)若且a，m，n均为正整数，求a值．
17．（2023秋·浙江宁波·八年级校考期末）下表是小明这一学期数学成绩测试记录，根据表格提供的信息，回答下列问题：
(1)求小明6次成绩的众数与中位数；
(2)若把四次练习成绩的平均分作为平时成绩，按照学校规定，本学期的综合成绩的权重如下图所示，请求出小明本学期的综合成绩；
(3)若全班共有45名同学，综合成绩排名前23的同学可以获得奖励，小明知道了自己的分数后，想知道自己能不能获奖，还需知道全班同学综合成绩的______．（填“平均数、中位数、众数、方差”）
18．（2020春·浙江杭州·八年级期末）在抗击“新冠肺炎疫情”的日子里，某校积极开展“停课不停学”的线上教学活动．为了解全校名学生一周内平均每天在家进行体育锻炼时间的情况，随机调查了该校名学生一周内平均每天在家进行体育锻炼时间的情况，结果如表：
完成下列问题：
(1)根据统计表信息，写出这名学生一周内平均每天在家体育锻炼时间的中位数和众数．
(2)请估计该校一周内平均每天在家体育锻炼时间不少于分钟的学生大约有多少人？
19．（2022春·浙江金华·八年级统考期末）某班准备从甲、乙两名男生中选派一名参加学校组织的一分钟跳绳比赛，在相同条件下，分别对两名同学进行了次一分钟跳绳测试，现将测试结果绘制成如下统计图表，请根据统计图表中的信息解答下列问题：
(1)表中______；______．
(2)求出乙得分的方差．
(3)根据已有的信息，你认为应选谁参赛较好，请说明理由．
20．（2022春·浙江舟山·八年级校联考期末）某中学九年级组织了一次数学计算比赛（禁用计算器），每班选25名同学参加比赛，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中A等级得分为100分，B等级得分为85分，C等级得分为75分，D等级得分为60分，数学教研组将九年级一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图，请根据提供的信息解答下列问题．
(1)把一班竞赛成绩统计图补充完整．
(2)填表：
(3)请从以下给出的两个方面对这次比赛成绩的结果进行分析：
①从平均数、众数方面来比较一班和二班的成绩；
②从B级以上（包括B级）的人数方面来比较一班和二班的成绩．
21．（2022春·浙江台州·八年级统考期末）学校餐厅对某天中午的三个套餐的满意度进行调研，随机选取了部分学生，对A，B，C三个套餐的色、香、味三个方面分别进行评分（各项评分60-100分，评分均为整数），并按照色、香、味3∶3∶4的比例计算综合得分，将数据进行整理、描述后得到下列信息：
信息一：学生小张对三个套餐各项评分（单位：分）
信息二：三个套餐综合得分x在各分数段的人数比例分布图
根据以上信息，回答下列问题：
(1)根据信息一：求小张对套餐A的评分的综合得分；
(2)根据信息二：套餐B的综合得分的中位数位于_______分数段；试估计该学校餐厅______套餐综合得分不低于90分人数最多；
(3)若套餐A综合得分高于小张评分的人数有a人，套餐C的综合得分高于小张评分（综合得分为79.8）的有b人，试比较a和b的大小，并说明理由．
22．（2022春·浙江绍兴·八年级统考期末）请根据图片内容，回答下列问题：
(1)每轮传染中，平均一个人传染了几个人？
(2)按照这样的速度传染，第三轮将新增多少名感染者（假设每轮传染人数相同）？
23．（2019春·浙江金华·八年级统考期末）社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示，已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车区，要铺花砖，其余部分是通道，且宽度相等．已知铺花砖的面积为640平方米．
(1)求通道的宽是多少米？
(2)该停车场共有车位64个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位．为了维护消费者利益，物价部门规定，每个车位租金不得超过500元，要想让停车场的月租金收入为14400元，每个车位的月租金应上涨多少元？
24．（2021春·浙江·八年级期末）今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
(1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．
(2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？
25．（2023春·浙江温州·八年级统考期中）有一块长为米，宽为米的长方形场地，计划在该场地上修建宽均为x米的两条互相垂直的道路，余下的四块长方形场地建成草坪．
(1)已知，，且四块草坪的面积和为平方米，则每条道路的宽为多少米？
(2)若，，且四块草坪的面积和为平方米，则原来矩形场地的长和宽各为多少米？
(3)已知，，现要在场地上修建若干条宽均为米的纵横小路，假设有条水平方向的小路，条竖直方向的小路(其中n为常数)，使草坪地的总面积为平方米，则 (直接写出答案)．
26．（2022春·浙江杭州·八年级统考期末）某小区计划用40米的篱笆围一个矩形花坛，其中一边靠墙（墙足够长，篱笆要全部用完）．
(1)如图1，问为多少米时，矩形的面积为200平方米？
(2)如图2，矩形的面积比（1）中的矩形面积减小20平方米，小明认为只要此时矩形的长比图①中矩形的长少2米就可以了．请你通过计算，判断小明的想法是否正确．
27．（2022春·浙江湖州·八年级统考期末）奥运会是各个国家彰显国家实力的舞台．2022年冬季奥运会和冬季残奥会两件赛事在我国首都北京和河北省石家庄市举行．本次运动会的两个可爱的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”以满满的“未来感”和“中国风”圈粉无数．某商家购进了两种类型的冬奥吉祥物纪念品，两次购进纪念品的情况如下表：
(1)求两种类型的纪念品每个进价各是多少元？
(2)在销售过程中，“冰墩墩”类纪念品因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大“雪容融”类纪念品的销售量，商家决定对“雪容融”类纪念品进行降价销售，当销售价为每个44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个．请问商家应将“雪容融”类纪念品每个降价多少元时，每天售出此类纪念品能获利400元？
28．（2021春·浙江嘉兴·八年级统考期末）如图1，将一块形状为矩形的空地ABCD修建成一个花圃，其中AB=12米，BC=20米．设计方案为：该花圃由一条宽度相等的环形小道（图2中阴影）和花卉种植区域（图2中矩形EFGH）组成．
（1）若环形小道面积是花圃面积的，求小道的宽度．
（2）若花卉种植区域分割成如图3的形状，点I，J，K分别在边EH，EF，FG上，L为花圃内一点，四边形HIJL和四边形GLJK均为平行四边形．已知KG的长是小道宽度的2倍，且四边形HIJL与四边形GLJK的面积之和是花圃面积的，求小道的宽度．
29．（2021春·浙江温州·八年级统考期末）用总长的木板制作矩形置物架（如图），已知该置物架上面部分为正方形，下面部分是两个全等的矩形和矩形，中间部分为矩形．已知，设正方形的边长
（1）当时，的长为______．
（2）置物架的高的长为 （用含的代数式表示）．
（3）为了便于置放物品，的高度不小于，若矩形的面积为，求的值．
30．（2020春·浙江杭州·八年级期末）如图，在中，，，垂足分别为，，求证：四边形是平行四边形．
31．（2020春·浙江杭州·八年级期末）如图，在中，分别是和的角平分线，已知．
(1)求线段的长；
(2)延长 ，交的延长线于点．
请在答卷上补全图形；
若，求的周长．
32．（2022春·浙江金华·八年级统考期末）如图，在平行四边形中，点、分别为，的中点，点，在对角线上，且．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)如图，连交于点，若，，求的长．
33．（2022春·浙江湖州·八年级统考期末）在的菱形网格中，点A，B，C都在格点上，仅用无刻度的直尺，按要求画图：
(1)在图1中找一个格点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形；
(2)在图2中作中平行于边的中位线．（保留画图痕迹，不写画法）
34．（2022春·浙江丽水·八年级统考期末）如图，在菱形中，E为对角线上一点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
35．（2019春·浙江绍兴·八年级统考期末）如图，矩形中，点E、F分别在边、上，且．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若四边形是菱形，，，求菱形的周长．
36．（2022春·浙江杭州·八年级校考期末）如图，在四边形中，，，的平分线交于点，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
37．（2022春·浙江杭州·八年级统考期末）已知：如图，在菱形中，为对角线，是上的点，分别连结，并延长交于点，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
38．（2022春·浙江舟山·八年级校联考期末）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AB、BC的中点，连接AF、DE交于点G，连结BG．
(1)试判断AF与DE的数量关系与位置关系，并证明．
(2)求证：BG平分∠EGF．
39．（2022春·浙江宁波·八年级校联考期末）正方形中，对角线、交于点，为上一点，延长到点，使，连接、．
(1)求证：．
(2)求证：为直角三角形．
(3)若，正方形的边长为，求的长．
40．（2017春·浙江·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与双曲线在第二象限内交于点．
(1)求a和b的值；
(2)过点B作直线l平行x轴交y轴于点C，连接，求的面积．
41．（2022春·浙江湖州·八年级统考期末）如图，已知是一次函数和反比例函数的图象的两个交点，直线与y轴交于点C．求：
(1)反比例函数和一次函数的解析式；
(2)不等式的解集（直接写出答案）．
42．（2022春·浙江杭州·八年级统考期末）已知点， 都在反比例函数的图象上．
(1)当时
①求反比例函数表达式，并求出点的坐标；
②当时，求的取值范围．
(2)若一次函数与轴交于点，求的值．
43．（2022春·浙江宁波·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数图象交于A、B两点，其中A点坐标为．
(1)分别求出k、m的值．
(2)求B点的坐标．
(3)根据图象，直接写出不等式的解集．
44．（2021春·浙江宁波·八年级统考期末）为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”，如图，药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与燃烧时间x（分）成正比例，10分钟时药物燃尽，此时教室内每立方米空气含药量为8毫克，燃尽后y与x成反比例．
(1)求第5分钟时教室内每立方米空气中的含药量；
(2)画出药物燃尽后y关于x的反比例函数图象；
(3)当每立方米空气中含药量低于1.6毫克时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，在哪个时段学生不能停留在教室里？
45．（2023春·浙江·八年级期末）边长为1的8个正方形如图摆放在直角坐标系中，直线平分这8个正方形所组成的图形的面积，交其中两个正方形的边于A，B两点，过点B的反比例函数的图象的一支交其中两个正方形的边于C，D两点，另一支交直线于点E，连接OC，OD，CD，
(1)求k1，k2的值；
(2)求的面积；
(3)过原点O的另一条直线交反比例函数的图象于P，Q两点（P点在第一象限），若由点B，E，P，Q为顶点的四边形的面积为12，求点P的横坐标．（直接写出答案）
46．（2023春·浙江·八年级期末）定义：只有三边相等的四边形称为准菱形．
（1）如图1，图形 （填序号）是准菱形；
（2）如图2，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，求证：四边形ABCD是准菱形；
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA，OC分别落在y轴，x轴上，反比例函数y＝（k＞0）的图象分别与边AB，BC交于点D，E．已知AD＝DE，△ADE的面积为10，AD：DB＝5：3，若点F是坐标平面上一点，四边形ADEF是准菱形，当准菱形ADEF面积最大时，求点F的坐标．
测试
平时成绩
期中测试
期末测试
练习一
练习二
练习三
练习四
成绩
88
92
90
86
90
96
时间分
人数
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
方差（分）
甲
175
a
b
93.75
乙
175
175
180
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
一班
82.8


二班

75
100
套餐
色
香
味
A
72
90
80
B
68
76
92
C
88
82
72
进货批次
“冰墩墩”类纪念品（个）
“雪容融”类纪念品（个）
总费用（元）
一
100
200
8000
二
200
300
13000
特训14 期末解答题汇编46道（浙江精选归纳）
一、解答题
1．（2023春·浙江·八年级专题练习）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用完全平方公式和平方差公式计算．
【解析】（1）解：
；
（2）解：
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
2．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）计算：
(1)×÷；
(2)（﹣）×；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据二次根式的乘除法计算，然后化成最简式子即可；
（2）先化简括号内的式子，然后计算括号外的乘法即可；
（3）先化简，然后合并同类二次根式即可．
【解析】（1）×÷
=
=
=4；
（2）()
=(3）
=6﹣6；
（3）
．
【点睛】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
3．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期末）（1）解方程：
（2）计算：
【答案】（1），（2）
【分析】（1）利用因式分解法求解；
（2）先利用二次根式的性质化简，再合并同类项．
【解析】解：（1），
移项，得，
等号左边提取公因式，得，
即，
因此或，
解得；
（2）原式
．
【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程、二次根式的加减运算，解（1）的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的步骤；解（2）的关键是掌握二次根式的性质．
4．（2022秋·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）化简或解方程：
(1)÷﹣84；
(2)＋（）2；
(3)3x2﹣2＝4x；
(4)（2x＋3）2＝2（2x＋3）．
【答案】(1)
(2)
(3)，
(4)，
【分析】（1）根据二次根式混合运算的法则计算即可；
（2）利用完全平方公式和二次根式的除法法则运算．
（3）利用公式法求解即可；
（4）利用因式分解法求解即可．
(1)
原式
；
(2)
原式
；
(3)
，
，
△，
，
，
(4)
，
，
，
或，
，．
【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解本题的关键．
5．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）解方程：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可得；
（2）整理后，直接开平方法解方程；
（3）利用公式法求解即可．
【解析】（1）解：∵，
∴，
∴或，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
，
∴，
则，
即．
【点睛】此题主要考查解一元二次方程，熟练根据方程特点选择合适的方法是解题关键．
6．（2022春·浙江金华·八年级统考期末）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）先移项得到，然后利用因式分解法解方程．
（1）
解：，
∴，
∴，；
（2）
解：移项得：，
因式分解得：，
∴，
∴3x=0或x+2=0，
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
7．（2023春·浙江衢州·八年级校考阶段练习）请选择适当的方法解下列一元二次方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，
【分析】（1）利用直接开方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可；
（3）利用公式法求解求解即可；
（4）利用因式分解法求解即可．
【解析】（1）解：
∴
直接开方得：或，
解得：，；
（2）
，
∴，
解得：，；
（3），
其中，
∴，
∴,，
∴，；
（4）
移项得：，
∴，
整理得：，
解得：，．
【点睛】题目主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法步骤是解题关键．
8．（2023春·浙江衢州·八年级校考阶段练习）已知关于x的方程．
(1)求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程根的判别式的值为5，求m的值及方程的根．
【答案】(1)见解析
(2)或3，当时，方程的解为；当时，方程的解为；
【分析】（1）先得出一元二次方程根的判别式，再证明判别式大于0即可解答；
（2）令判别式等于5求得或3，然后分和两种情况，分别代入方程求解即可．
【解析】（1）证明：∵，
∴，
∴不论m为何值时，方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：令，则，解得：或3
当时，原方程可化为：
∴
∴；
当时，原方程可化为：
∴
∴；
综上，当时，方程的解为；当时，方程的解为．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程等知识点，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键．
9．（2021春·浙江杭州·八年级期末）已知关于的一元二次方程：．
(1)求证：这个方程总有两个实数根．
(2)若等腰的一边长，另两边b、c恰好是这个方程的两个实数根，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】（1）先计算△，化简得到，易得，然后根据△的意义即可得到结论；
（2）利用求根公式计算出方程的两根，，则可设，，然后讨论：当、为腰；当、为腰，分别求出边长，但要满足三角形三边的关系，最后计算周长．
【解析】（1）解：证明：
，
无论取什么实数值，，
，
无论取什么实数值，方程总有实数根；
（2），
，，
，恰好是这个方程的两个实数根，设，，
当、为腰，则，即，解得，此时三角形的周长；
当、为腰时，，此时，故此种情况不存在．
综上所述，的周长为10．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及分类讨论思想的运用．
10．（2022春·浙江绍兴·八年级统考期末）已知关于x的方程．
(1)求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根．
(2)若这个方程的两个实根，，满足，求m的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)，
【分析】（1）△=＞0，无论m取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据根与系数关系可得：，即可求解.
（1）
证明：∵，
无论m取何实数，的值都大于零．
∴这个方程总有两个不相等的实数根．
（2）
解：∵，是方程的两个实数根，
∴．
又∵，
∴．
∴，代入原方程得：
，
化简得：．
解得：，．
【点睛】本题考查了根的判别式及根与系数的关系、解一元二次方程，解题的关键是熟知根与系数的关系及用根的判别式判定根的情况．
11．（2021春·浙江·八年级期末）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m＋1）x＋m2＋5＝0的两实数根．
(1)若（x1﹣1）（x2﹣1）＝28，求m的值；
(2)已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．
【答案】(1)6
(2)17
【分析】（1）根据一元二次方程的判别式与根的关系可得△≥0，解不等式即可得出m的取值范围，根据一元二次方程根与系数的关系可得出x1+x2和x1x2的值，代入可得关于m的方程，解方程求出m的值即可；
（2）分7为腰和底边两种情况，分别根据一元二次方程的解的定义及一元二次方程根的判别式求出m的值，可得出三角形的三边长，根据三角形的三边关系即可求出三角形的周长．
【解析】（1）∵关于x的一元二次方程有两实数根，
∴=4（m+1）2-4（m2+5）=8m-16≥0，
解得：m≥2．
∵x1，x2是关于x的一元二次方程的两实数根．
∴x1+x2=2（m+1），x1x2=m2+5，
∵（x1-1）（x2 -1）=28，即x1x2-（x1+x2）+1=28，
∴m2+5-2（m+1）+1=28，
整理得：m2-2m-24=0，解得m1=6，m2=-4，
∵m≥2，
∴m的值为6．
（2）①当7为腰时，则x1、x2中有一个为7，设x1=7，
把x1=7代入方程得：49-14（m+1）+m2+5=0，
整理得m2-14m+40=0，
解得m1=10，m2=4，
当m=10时，x1+x2=2（m+1）=22，
解得：x2=15，
∵7+7<15，
∴不能构成三角形，故舍去；
当m=4时，x1+x2=2（m+1）=10，
解得：x2=3，
∴三角形周长为3+7+7=17；
②当7为底边时，则x1=x2，
∴=8m-16=0，
解得：m=2，
∴方程化为x2-6x+9=0，解得x1=x2=3，
∵3+3<7，
∴不能构成三角形，故舍去，
∴这个三角形的周长为17．
【点睛】本题考查此题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．若x1，x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=，x1x2=．也考查了三角形的三边关系．
12．（2020春·浙江杭州·八年级期末）已知：关于x的方程kx2﹣（4k﹣3）x＋3k﹣3＝0
(1)求证：无论k取何值，方程都有实根；
(2)若x＝﹣1是该方程的一个根，求k的值；
(3)若方程的两个实根均为正整数，求k的值（k为整数）．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)k＝﹣3或k＝﹣1或k＝3
【分析】（1）直接计算根的判别式即可证明；
（2）将x=-1带入即可求解；
（3）由公式法表示出方程的两根，根据两根均为正整数即可求出k的值．
【解析】（1）证明：当k≠0时，
∵方程
∴
∴
当k＝0时，3x﹣3＝0，解得x＝1．
∴无论k取何值，方程都有实根．
（2）把x＝﹣1代入方程得k+4k﹣3+3k﹣3＝0，解得k．故k的值为．
（3）解： ，
∴a＝k，b＝﹣（4k﹣3），c＝3k﹣3，
∵运用公式法解方程可知道此方程的根为x，
∴此方程的两个根分别为 ，，
∵方程的两个实根均为正整数，
∴k＝﹣3或k＝﹣1或k＝3．
【点睛】本题主要考查了根的判别式的知识，熟知一元二次方程的根的判别式是解答此题的关键，此题难度不大．
13．（2021春·浙江·八年级期末）完成下列各小题：
（1）已如，求的值；
（2）已知，求式子的值；
【答案】（1）15；（2）±4
【分析】（1）利用完全平方公式把原式变形，代入计算得到答案．
（2）根据已知等式可得，再利用完全平方公式变形可得结果．
【解析】解：（1）∵，
∴，，
∴原式=2（x+y）2-xy=15．
（2）∵，
∴，
∴，
∴=±4．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，一元二次方程的解，掌握二次根式的混合运算法则、完全平方公式是解题的关键．
14．（2020秋·浙江·八年级期末）求值：
（1）若，，求的值；
（2）若的整数部分为a，小数部分为b，求的值．
【答案】（1）4；（2）
【分析】（1）先将原式变形为，再由、的值计算出、的值，进而代入计算即可；
（2）根据分母有理化，可得，根据，可得，可得，的值，进而代入求值即可求得答案．
【解析】解：（1）原式
，
，，
、，
∴原式
；
（2），
∵，
∴，
∴，
∴，
∵的整数部分为a，小数部分为b，
∴的整数部分为a，小数部分为b，
∴，．
当，时，
．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值以及估算无理数的大小，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式，第（2）问中利用，得出、的值是解题关键．
15．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)；
(2)0
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件，列出不等式组，即可求解；
（2）由（1）得，推出，再根据非负数的性质列式计算即可求解．
【解析】（1）解：依题意有，即，
∴，
解得；
（2）解：由（1）得，
则，
∴，
解得，
则．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，非负数的性质，关键是能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
16．（2023春·浙江·八年级专题练习）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，
如：，
；
【类比归纳】
(1)请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方．
【变式探究】
(2)若且a，m，n均为正整数，求a值．
【答案】(1)；
(2)或10．
【分析】（1）将7看成是，则，由此求解即可；
（2）根据，，可以得到，，再根据a，m，n均为正整数，则，由此求解即可．
【解析】（1）解：
；
（2）解：∵，，
∴，，
∵a，m，n均为正整数，
∴，
∴或．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，解题的关键在于能够准确读懂题意．
17．（2023秋·浙江宁波·八年级校考期末）下表是小明这一学期数学成绩测试记录，根据表格提供的信息，回答下列问题：
(1)求小明6次成绩的众数与中位数；
(2)若把四次练习成绩的平均分作为平时成绩，按照学校规定，本学期的综合成绩的权重如下图所示，请求出小明本学期的综合成绩；
(3)若全班共有45名同学，综合成绩排名前23的同学可以获得奖励，小明知道了自己的分数后，想知道自己能不能获奖，还需知道全班同学综合成绩的______．（填“平均数、中位数、众数、方差”）
【答案】(1)90分，90分；
(2)小明本学期的综合成绩为分．
(3)中位数
【分析】（1）根据众数和中位数的概念得出结论即可；
（2）求出小明平时四次成绩的平均数， 根据图中的占比得出综合成绩即可．
（3）利用中位数判断即可．
【解析】（1）解：由题意知，小明6次成绩的众数是90（分），
6次成绩按照从小到大排序为：86，88，90，90，92，96，
∴中位数是（分），
（2）平时成绩为： （分），
综合成绩为：（分），
即小明本学期的综合成绩为分．
（3）全班共有45名同学，综合成绩排名前23的同学可以获得奖励，小明知道了自己的分数后，想知道自己能不能获奖，还需知道全班同学综合成绩的中位数．
【点睛】本题主要考查扇形统计图，众数，加权平均数，中位数等知识，熟练掌握众数，中位数，平均数等知识是解题的关键．
18．（2020春·浙江杭州·八年级期末）在抗击“新冠肺炎疫情”的日子里，某校积极开展“停课不停学”的线上教学活动．为了解全校名学生一周内平均每天在家进行体育锻炼时间的情况，随机调查了该校名学生一周内平均每天在家进行体育锻炼时间的情况，结果如表：
完成下列问题：
(1)根据统计表信息，写出这名学生一周内平均每天在家体育锻炼时间的中位数和众数．
(2)请估计该校一周内平均每天在家体育锻炼时间不少于分钟的学生大约有多少人？
【答案】(1)中位数是25，众数是20
(2)432
【分析】（1）中位数为第50和第51位的平均数，众数为出现次数最多的数；
（2）用总人数调查的100名学生中锻炼时间不少于35分钟的比例即可．
【解析】（1）解：一共100个数据，从小到大排列第50和第51个数分别是25，25，
这组数据的中位数是，
20出现了24次，是出现次数最多的数，
这组数据的众数是20；
（2）解：由题意得100名学生一周内平均每天在家体育锻炼时间不少于35分钟的学生人数：（人）
（人），
答：该校一周内平均每天在家体育锻炼时间不少于分钟的学生大约有432人．
【点睛】本题考查中位数、众数和根据样本估算总体，需要注意，因为样本容量为偶数，故中位数需要算最中间的两组数据的平均数．
19．（2022春·浙江金华·八年级统考期末）某班准备从甲、乙两名男生中选派一名参加学校组织的一分钟跳绳比赛，在相同条件下，分别对两名同学进行了次一分钟跳绳测试，现将测试结果绘制成如下统计图表，请根据统计图表中的信息解答下列问题：
(1)表中______；______．
(2)求出乙得分的方差．
(3)根据已有的信息，你认为应选谁参赛较好，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)乙的方差为
(3)应选甲参赛较好（答案不唯一），理由见解析
【分析】（1）先把甲的成绩按照从小达到排列，再根据中位数与众数的含义求解即可；
（2）直接利用方差公式进行计算即可得到答案；
（3）可以从平均数与方差的角度进行分析，也可以从中位数与众数的角度进行分析，从而可得答案．
【解析】（1）解：甲的成绩从小到大排列为：，，，，，，，，
甲的中位数，
出现了次，出现的次数最多，
众数是．
故答案为：
（2）乙的方差为：
（3）应选甲参赛较好答案不唯一，
理由：从平均数和方差相结合看，甲、乙的平均数相等，乙的方差小于甲的方差，所以乙的成绩比甲的成绩稳定；
从众数和中位数相结合看，甲的成绩好些．
【点睛】本题考查的是平均数，中位数，众数，方差的含义与计算，利用平均数，中位数，众数，方差作判断，理解以上统计量的含义是解本题的关键．
20．（2022春·浙江舟山·八年级校联考期末）某中学九年级组织了一次数学计算比赛（禁用计算器），每班选25名同学参加比赛，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中A等级得分为100分，B等级得分为85分，C等级得分为75分，D等级得分为60分，数学教研组将九年级一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图，请根据提供的信息解答下列问题．
(1)把一班竞赛成绩统计图补充完整．
(2)填表：
(3)请从以下给出的两个方面对这次比赛成绩的结果进行分析：
①从平均数、众数方面来比较一班和二班的成绩；
②从B级以上（包括B级）的人数方面来比较一班和二班的成绩．
【答案】(1)2，图见解析
(2)85，85，84
(3)①从平均数、众数方面来比较，二班成绩更好；②从B级以上（包括B级）的人数方面来比较，一班成绩更好
【分析】（1）根据频数之和为25可求出一班C组的频数，进而补全条形统计图；
（2）根据中位数、众数、平均数的计算方法进行计算即可；
（3）①从平均数、众数比较得出答案；②按照B级及以上人数比较得出答案．
【解析】（1）解：一班C等级的学生有：25﹣6﹣12﹣5＝2（人），
补全的条形统计图如下图所示；
（2）一班25名学生成绩从小到大排列，处在第13为的一个数B等级，是85分，因此一班的中位数是85，
一班25名学生成绩出现次数最多的是85分，因此众数是85．
二班的平均数为100×44%+85×4%+75×36%+60×16%＝84（分），
故答案为：85，85，84；
（3）①从平均数、众数方面来比较，二班成绩更好；
②一班B级及以上的人数为6+12＝18（人），二班B级及以上的人数为25×（44%+4%）＝12（人），
由于18＞12，
因此从B级以上（包括B级）的人数方面来比较，一班成绩更好．
【点睛】本题考查中位数、众数、条形统计图、扇形统计图，掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键．
21．（2022春·浙江台州·八年级统考期末）学校餐厅对某天中午的三个套餐的满意度进行调研，随机选取了部分学生，对A，B，C三个套餐的色、香、味三个方面分别进行评分（各项评分60-100分，评分均为整数），并按照色、香、味3∶3∶4的比例计算综合得分，将数据进行整理、描述后得到下列信息：
信息一：学生小张对三个套餐各项评分（单位：分）
信息二：三个套餐综合得分x在各分数段的人数比例分布图
根据以上信息，回答下列问题：
(1)根据信息一：求小张对套餐A的评分的综合得分；
(2)根据信息二：套餐B的综合得分的中位数位于_______分数段；试估计该学校餐厅______套餐综合得分不低于90分人数最多；
(3)若套餐A综合得分高于小张评分的人数有a人，套餐C的综合得分高于小张评分（综合得分为79.8）的有b人，试比较a和b的大小，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，B
(3)，见解析
【分析】（1）直接运用加权平均数的求法计算即可；
（2）根据中位数的定义可知，套餐B的综合得分位于成绩由低到高排列的50左右，然后根据图表即可解答；
（3）根据信息二提供的信息分析即可解答．
（1）
解：小张对套餐A的评分的综合得分：（分）．
（2）
解：∵套餐B的综合得分占35%,占10%,占20%,
∴套餐B的综合得分的中位数位于分数段，
∵套餐B的综合得分占35%，是A、B、C三套餐中套餐B占比最多,
∴该学校餐厅B套餐综合得分不低于90分人数最多
故答案为：，B．
（3）
解：，理由如下：
根据信息二，套餐A的综合得分高于80分的人数比例为45%，则高于80.6分的人数更少，套餐C的综合得分高于80的人数比例为60%，而小张对套餐C评分的为79.8，则高于79.8的人数更多，所以．
【点睛】本题主要考查了求加权平均数、中位数、加权平均数的应用等知识点，理解相关定义是解答本题的关键．
22．（2022春·浙江绍兴·八年级统考期末）请根据图片内容，回答下列问题：
(1)每轮传染中，平均一个人传染了几个人？
(2)按照这样的速度传染，第三轮将新增多少名感染者（假设每轮传染人数相同）？
【答案】(1)每轮传染中，平均一个人传染了10个人
(2)第三轮将新增1210名感染者
【分析】（1）设平均一个人传染了x个人，第一轮传染了x人，第一轮传染后一共有（1+x）名感染者；第二轮传染时这（1+x）人每人又传染了x人，则第二轮传染了x（1+x）人，列出方程求解即可；
（2）根据（1）中的结果进行计算即可．
【解析】（1）解：设平均一个人传染了x个人．
则可列方程：．
解得，（舍去）．
答：每轮传染中，平均一个人传染了10个人．
（2）（名）．
答：按照这样的速度传染，第三轮将新增1210名感染者．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确地理解题意，找出题目中的等量关系列出方程求解是解题的关键．
23．（2019春·浙江金华·八年级统考期末）社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示，已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车区，要铺花砖，其余部分是通道，且宽度相等．已知铺花砖的面积为640平方米．
(1)求通道的宽是多少米？
(2)该停车场共有车位64个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位．为了维护消费者利益，物价部门规定，每个车位租金不得超过500元，要想让停车场的月租金收入为14400元，每个车位的月租金应上涨多少元？
【答案】(1)6；
(2)40
【分析】（1）设通道的宽为x米，根据矩形的面积公式列出方程并解答即可；
（2）设每个车位的月租金上涨a元，则租出的车位数量为个，再根据“月租金=每个车位的月租金×租出的车位数”列方程并求解．
【解析】（1）解：设通道的宽为x米，
根据题意，得，
，
，
或（不符合实际，舍去），
答：通道的宽是6米；
（2）解：设每个车位的月租金上涨a元，停车场的月租金收入为14400元，
根据题意，得，
整理，得，
解得，或，
，
不符合题意，舍去，
（元）
故每个车位的月租金应上涨40元时，停车场的月租金收入为14400元．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意找出等量关系列出方程是解答此题的关键．
24．（2021春·浙江·八年级期末）今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
(1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．
(2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？
【答案】(1)
(2)5元
【分析】（1）利用平均增长率的等量关系：，列式计算即可；
（2）利用总利润单件利润销售数量，列方程求解即可．
【解析】（1）解：设平均增长率为，由题意得：
，
解得：或（舍）；
∴四、五这两个月的月平均增长百分率为；
（2）解：设降价元，由题意得：
，
整理得：，
解得：或（舍）；
∴当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意正确的列出一元二次方程是解题的关键．
25．（2023春·浙江温州·八年级统考期中）有一块长为米，宽为米的长方形场地，计划在该场地上修建宽均为x米的两条互相垂直的道路，余下的四块长方形场地建成草坪．
(1)已知，，且四块草坪的面积和为平方米，则每条道路的宽为多少米？
(2)若，，且四块草坪的面积和为平方米，则原来矩形场地的长和宽各为多少米？
(3)已知，，现要在场地上修建若干条宽均为米的纵横小路，假设有条水平方向的小路，条竖直方向的小路(其中n为常数)，使草坪地的总面积为平方米，则 (直接写出答案)．
【答案】(1)
(2)长，宽
(3)
【分析】（1）将四块矩形场地拼成一个长方形，表示出长和宽，根据面积为列一元二次方程，解方程即可；
（2）由题意，四块矩形场地可拼合成一个长为，宽为的矩形，根据面积为列一元二次方程，解方程即可；
（3）草坪可拼合成相邻两边分别为，的矩形，则，即，将分解为，根据，可得，求出m和n的值，再根据题意进行取舍即可．
【解析】（1）解：四块矩形场地可拼合成一个长为，宽为的矩形．
依题意，
整理，得，
解得：（舍去）
答：每条道路的宽为
（2）解：四块矩形场地可拼合成一个长为，宽为的矩形．
依题意，，
整理，得，
解得：（舍去），
则，
答：原来矩形场地的长，宽；
（3）解：草坪可拼合成相邻两边分别为，的矩形．
依题意，得，即．
，，可得，
解得：
∴
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，因式分解，根据题意列出一元二次方程是解题的关键
26．（2022春·浙江杭州·八年级统考期末）某小区计划用40米的篱笆围一个矩形花坛，其中一边靠墙（墙足够长，篱笆要全部用完）．
(1)如图1，问为多少米时，矩形的面积为200平方米？
(2)如图2，矩形的面积比（1）中的矩形面积减小20平方米，小明认为只要此时矩形的长比图①中矩形的长少2米就可以了．请你通过计算，判断小明的想法是否正确．
【答案】(1)10米
(2)不正确，理由见解析
【分析】（1）设米，则米，根据矩形的面积为200平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）代入可求出的长，由，可求出的长，结合篱笆要全部用完，可求出的长，再利用矩形的面积计算公式，即可求出矩形的面积，将其与比较后即可得出结论．
【解析】（1）解：设米，则米，
依题意得：，
整理得：，
解得：．
答：为10米时，矩形的面积为200平方米．
（2）由（1）可知：．
（米），
（米），
矩形的面积（平方米），，
小明的想法不正确．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
27．（2022春·浙江湖州·八年级统考期末）奥运会是各个国家彰显国家实力的舞台．2022年冬季奥运会和冬季残奥会两件赛事在我国首都北京和河北省石家庄市举行．本次运动会的两个可爱的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”以满满的“未来感”和“中国风”圈粉无数．某商家购进了两种类型的冬奥吉祥物纪念品，两次购进纪念品的情况如下表：
(1)求两种类型的纪念品每个进价各是多少元？
(2)在销售过程中，“冰墩墩”类纪念品因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大“雪容融”类纪念品的销售量，商家决定对“雪容融”类纪念品进行降价销售，当销售价为每个44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个．请问商家应将“雪容融”类纪念品每个降价多少元时，每天售出此类纪念品能获利400元？
【答案】(1)“冰墩墩”类纪念品进价为20元，“雪容融”类纪念品进价为30元；
(2)商家应将“雪容融”类纪念品每个降价4元或6元时，每天售出此类纪念品能获利400元．
【分析】（1）设“冰墩墩”类纪念品进价为x元，“雪容融”类纪念品进价为y元，根据两次进货情况表，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据利润=（每台实际售价－每台进价）×销售量，列出一元二次方程，解之即可得解．
（1）
解：设“冰墩墩”类纪念品进价为x元，“雪容融”类纪念品进价为y元，
根据题意得： ，
解得： ；
∴“冰墩墩”类纪念品进价为20元，“雪容融”类纪念品进价为30元；
（2）
解：设商家应将“雪容融”类纪念品每个降价m元时，每天售出此类纪念品能获利400元,根据题意得：，
∴，即
解得：，；
∴商家应将“雪容融”类纪念品每个降价4元或6元时，每天售出此类纪念品能获利400元．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组及一元二次方程的实际应用，理解题意准确抓住相等关系，据此列出方程或方程组是解题的关键．
28．（2021春·浙江嘉兴·八年级统考期末）如图1，将一块形状为矩形的空地ABCD修建成一个花圃，其中AB=12米，BC=20米．设计方案为：该花圃由一条宽度相等的环形小道（图2中阴影）和花卉种植区域（图2中矩形EFGH）组成．
（1）若环形小道面积是花圃面积的，求小道的宽度．
（2）若花卉种植区域分割成如图3的形状，点I，J，K分别在边EH，EF，FG上，L为花圃内一点，四边形HIJL和四边形GLJK均为平行四边形．已知KG的长是小道宽度的2倍，且四边形HIJL与四边形GLJK的面积之和是花圃面积的，求小道的宽度．
【答案】（1）1米；（2）0.6米
【分析】（1）设小道的宽度为x米，分别用含x的式子表示出FG和HG的长度，然后利用图中面积关系列方程求解；
（2）设小道的宽度为x米，用含x的式子表示出KG的长度，然后结合平行四边形的面积公式并利用图中面积关系列方程求解．
【解析】解：（1）设小道的宽度为x米，
∵AB=12米，BC=20米，
∴FG=（20-2x）米，HG=（12-2x）米，
又∵环形小道面积是花圃面积的，
∴花卉种植区域（即图2中矩形EFGH）的面积是花圃面积的，
∴（20-2x）（12-2x）=×20×12，
解得：x1=1，x2=15（不合题意，舍去），
∴小道的宽度为1米；
（2）延长JL交HG于点M，
设小道的宽度为x米，
∵四边形HIJL和四边形GLJK均为平行四边形，
∴图3中KG=JL=2x，
∴S平行四边形HIJL+S平行四边形GLJK=KG•MG+JL•HM
=KG•MG+KG•HM
=KG（MG+HM）
=KG•HG，
由题意可得：2x（12-2x）=×20×12，
解得：x1=0.6，x2=5.4（不合题意，舍去），
∴小道的宽度为0.6米．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，结合图形根据等量关系列出方程是解题关键．
29．（2021春·浙江温州·八年级统考期末）用总长的木板制作矩形置物架（如图），已知该置物架上面部分为正方形，下面部分是两个全等的矩形和矩形，中间部分为矩形．已知，设正方形的边长
（1）当时，的长为______．
（2）置物架的高的长为 （用含的代数式表示）．
（3）为了便于置放物品，的高度不小于，若矩形的面积为，求的值．
【答案】（1）35；（2）；（3）75
【分析】（1）根据矩形和正方形的性质直接计算即可；
（2）根据矩形和正方形的性质直接列式即可；
（3）结合（2）列出方程，解方程即可．
【解析】解：（1）当时，则，，
（cm）
故答案为：35；
（2）置物架的高的长为（cm），
故答案为：；
（3）根据题意，由（2）得，，解得，，，
当时，的长为150cm，的高度为150-85-60=5（cm），小于26cm，舍去；
当时，的长为170cm，的高度为170-75-60=35（cm），不小于26cm，符合题意．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是准确把握题意，列出一元二次方程．
30．（2020春·浙江杭州·八年级期末）如图，在中，，，垂足分别为，，求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】先由平行四边形的性质得，，则，再证，得，即可得出结论．
【解析】解：证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，，
在和中，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质以及平行线的判定与性质等知识，熟练正确平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
31．（2020春·浙江杭州·八年级期末）如图，在中，分别是和的角平分线，已知．
(1)求线段的长；
(2)延长 ，交的延长线于点．
请在答卷上补全图形；
若，求的周长．
【答案】(1)
(2)见解析；36
【分析】（1）依据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到，，进而得出的长；
（2）根据题意直接补全图形即可；依据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到，再根据平分，即可得出，，依据勾股定理得出的长，进而得到．
【解析】（1）解：在中，，
，
，
，
平分，
，
，
，
同理可得，，
，
；
（2）解：如图所示：
，
，
又，
，
，
又平分，
，
中，，
，
的周长为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，解题时注意：平行四边形的对边平行，对边相等．
32．（2022春·浙江金华·八年级统考期末）如图，在平行四边形中，点、分别为，的中点，点，在对角线上，且．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)如图，连交于点，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用平行四边形的性质证明，可得，，再证明，从而可得结论；
（2）证明是的中位线，从而可得答案．
【解析】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
、分别为▱的边、的中点，
，
在与中，

≌，
，，
，
∴，
四边形是平行四边形．
（2）解：四边形是平行四边形，，
，，
，
，
即，
，
即，
，
，
为的中点，
是的中位线，
．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形的中位线的定义与性质，熟练的利用平行四边形的性质进行证明是解本题的关键．
33．（2022春·浙江湖州·八年级统考期末）在的菱形网格中，点A，B，C都在格点上，仅用无刻度的直尺，按要求画图：
(1)在图1中找一个格点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形；
(2)在图2中作中平行于边的中位线．（保留画图痕迹，不写画法）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用平行四边形的判定作出点D即可；
（2）利用格点特征作出AB、AC的中点E、F，线段EF即为所求．
（1）
解：如图，点D即为所求．
（2）
解：如图，线段EF即为所求．
【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，平行四边形的判定和性质，三角形中位线的定义等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
34．（2022春·浙江丽水·八年级统考期末）如图，在菱形中，E为对角线上一点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)30°
【分析】（1）由菱形的性质以及“SAS”可证，然后根据全等三角形的性质即可证明结论；
（2）由等腰三角形的性质可得∠EAD＝∠ADB＝∠ABD，然后根据三角形内角和定理求解即可．
【解析】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知识点，灵活应用菱形的性质是解题的关键．
35．（2019春·浙江绍兴·八年级统考期末）如图，矩形中，点E、F分别在边、上，且．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若四边形是菱形，，，求菱形的周长．
【答案】(1)见解析
(2)菱形的周长为20
【分析】（1）求证与平行且相等，通过一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证；
（2）根据矩形性质得出，，设，则，根据勾股定理列出方程，解方程得出x的值，即可求出菱形的周长．
【解析】（1）证明：∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形为矩形，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理得：
则
解得：，
∴菱形的周长为．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质和菱形的性质，平行四边形的判定，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定和菱形性质是解题的关键．
36．（2022春·浙江杭州·八年级校考期末）如图，在四边形中，，，的平分线交于点，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）由角平分线的性质和平行线的性质可得，可推导，再结合，即可得结论；
（2）由菱形的性质可得，，，进而可得，于是可得，，从而利用勾股定理即可求解．
【解析】（1）证明：如图，平分，
，
，，
≌，
，
，
，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：由知，四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
．
∵在中，，，
∴AO=AB，，
∴，
．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键．
37．（2022春·浙江杭州·八年级统考期末）已知：如图，在菱形中，为对角线，是上的点，分别连结，并延长交于点，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由菱形的性质得出CB＝CD，∠BCE＝∠DCE，结合CE＝CE，证明△BCE≌△DCE，得出∠CBE＝∠CDE，再证明△CBG≌△CDF，即可得出DF＝BG；
（2）连接BD交AC于点O，由菱形的性质得出AB＝AD，AO＝OC，OB＝OD＝BD，AC⊥BD，结合∠BAD＝60°，证明△ABD是等边三角形，继而得出BD＝2，OB＝OD＝1，OC＝，由直角三角形斜边上中线的性质得出OE＝OB＝OD＝1，即可求出CE的长度．
（1）
证明： ∵四边形ABCD是菱形，
∴CB＝CD，∠BCE＝∠DCE，
∵CE＝CE，
∴△BCE≌△DCE（SAS），
∴∠CBE＝∠CDE，
在△CBG和△CDF中，，
∴△CBG≌△CDF（ASA），
∴DF＝BG；
（2）
解：如图2，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝2，
∴AB＝AD，AO＝OC，OB＝OD＝BD，AC⊥BD，
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝2，OB＝OD＝1，OC＝OA＝，
∵BG⊥DF，
∴OE＝OB＝OD＝1，
∴CE＝OC−OE＝．
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，掌握菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识是解决问题的关键．
38．（2022春·浙江舟山·八年级校联考期末）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AB、BC的中点，连接AF、DE交于点G，连结BG．
(1)试判断AF与DE的数量关系与位置关系，并证明．
(2)求证：BG平分∠EGF．
【答案】(1)，，证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先根据正方形的性质、三角形全等的判定证出，再根据全等三角形的性质可得，，从而可得，由此即可得出；
（2）过点作于点，设，则，先利用勾股定理可得，再利用三角形的面积公式可得，然后利用勾股定理可得，从而可得，最后根据等腰直角三角形的性质可得，由此即可得证．
（1）
解：，，证明如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
∵、分别为边、的中点，
∴．
∴．
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴．
（2）
证明：如图，过点作于点，
设，则，
，
，
，
同理可得：，
在中，，
，
，
∴为等腰直角三角形．
∴，
由（1）已证：，
，
，
∴平分．
【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握正方形的性质、并正确找出全等三角形是解题关键．
39．（2022春·浙江宁波·八年级校联考期末）正方形中，对角线、交于点，为上一点，延长到点，使，连接、．
(1)求证：．
(2)求证：为直角三角形．
(3)若，正方形的边长为，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，易证得△ABE≌△CBE，继而证得AE＝CE．
（2）由AE＝CE，AE＝EN，即可证得∠ACN＝90°，则可判定△CAN为直角三角形；
（3）由AN＝ ，正方形的边长为6，易求得CN的长，然后由三角形中位线的性质，求得OE的长，继而求得答案．
（1）
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴，
在和中，
∴，
∴；
（2）
证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴为直角三角形；
（3）
解：∵正方形的边长为6，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的判定以及勾股定理等知识．注意利用勾股定理求得各线段的长是关键．
40．（2017春·浙江·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与双曲线在第二象限内交于点．
(1)求a和b的值；
(2)过点B作直线l平行x轴交y轴于点C，连接，求的面积．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）先把点B的坐标代入反比例函数解析式中求出a的值，即得到点B的坐标，再把点B的坐标代入一次函数解析式求出b的值即可；
（2）先求出点C的坐标，进而求出的长，再根据进行求解即可．
【解析】（1）解：把代入到反比例函数解析式中得：，
∴，
把代入到一次函数解析式中得：，
∴；
（2）解：∵，轴，
∴，
∴，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出点B的坐标是解题的关键．
41．（2022春·浙江湖州·八年级统考期末）如图，已知是一次函数和反比例函数的图象的两个交点，直线与y轴交于点C．求：
(1)反比例函数和一次函数的解析式；
(2)不等式的解集（直接写出答案）．
【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为
(2)或．
【分析】（1）根据A（n，﹣2），B（1，4）是一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象的两个交点，可以求得m的值，进而求得n的值，即可解答本题；
（2）根据函数图象以及点的横坐标即可求解．
【解析】（1）解：∵A（n，﹣2），B（1，4）是一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象的两个交点，
∴4，得：m＝4，
∴y，
∴﹣2，得：n＝﹣2，
∴点A（﹣2，﹣2），
∴，
得：，
∴一次函数解析式为y＝2x+2，
即反比例函数解析式为，一次函数解析式为；
（2）解：∵点A（﹣2，﹣2），点B（1，4），
∴不等式即的解集是：或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
42．（2022春·浙江杭州·八年级统考期末）已知点， 都在反比例函数的图象上．
(1)当时
①求反比例函数表达式，并求出点的坐标；
②当时，求的取值范围．
(2)若一次函数与轴交于点，求的值．
【答案】(1)①反比例函数解析式为y＝ ，点B（﹣3，﹣2）；②0＜x＜1；
(2)k＝1．
【分析】（1）把已知条件代入点的坐标，再把已知点的坐标数据代入函数解析式，确定函数解析式，再求点中未知的坐标．根据函数图像以及已知条件列不等式求x的取值范围．
（2）把已知数据代入点和直线解析式，确定k的值即可．
【解析】（1）解：①a＝3时，点A（2，a）就是（2，3），
代入解析式得3＝ ，
解得k＝6，
反比例函数解析式为y＝ ，
把点B（b，﹣2）代入解析式得﹣2＝，
解得b＝﹣3，
点B（﹣3，﹣2）；
②当y＞6时，由反比例函数图象可知是在第一象限部分，
∴＞6，
∴0＜x＜1；
（2）点A、B在反比例函数上，
代入整理得，﹣a＝b，
∵一次函数y＝kx+b与x轴交于点（a，0），
代入：0＝ak+b，
即：0＝ak﹣a，
∵A（2，a）在反比例函数上，
∴a≠0，
∴0＝k﹣1，
k＝1．
【点睛】本题考查反比例函数的性质、图象以及函数解析式，关键要熟练掌握运用待定系数法求函数解析式，把点中已知坐标数据代入解析式求未知坐标．
43．（2022春·浙江宁波·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数图象交于A、B两点，其中A点坐标为．
(1)分别求出k、m的值．
(2)求B点的坐标．
(3)根据图象，直接写出不等式的解集．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）有一次函数解析式求得m的值，进而求得A的坐标，代入即可求得k的值；
（2）解析式联立成方程组，解方程组即可求得点B的坐标；
（3）根据图像即可求得．
（1）
解：将代入一次函数得
∴
∴A点为，将A点代入反比例函数得
∴，
（2）
由（1）得，反比例函数表达式为
依题意得，解得（舍），
将代入得
即B点的坐标为．
（3）
由图象可得：或．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据A点坐标求出反比例函数解析式是解题关键．
44．（2021春·浙江宁波·八年级统考期末）为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”，如图，药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与燃烧时间x（分）成正比例，10分钟时药物燃尽，此时教室内每立方米空气含药量为8毫克，燃尽后y与x成反比例．
(1)求第5分钟时教室内每立方米空气中的含药量；
(2)画出药物燃尽后y关于x的反比例函数图象；
(3)当每立方米空气中含药量低于1.6毫克时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，在哪个时段学生不能停留在教室里？
【答案】(1)第5分钟时教室内每立方米空气中的含药量是4毫克
(2)见解析
(3)从第2分钟至第50分钟学生不能停留在教室里
【分析】（1）首先根据题意，药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y与燃烧时间x成正比例，再将x=5代入计算可求解；
（2）燃烧后，y与x成反比例；且其图象都过点（10，8），将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式，再画出图象可其求解；
（3）根据题意求解y＞1.6时的x的取值范围可得答案．
【解析】（1）解：设药物燃烧阶段函数解析式为y=k1x（k1≠0），由题意得：8=10k1，
∴，
∴此阶段函数解析式为，
当x=5时，y=4，
故第5分钟时教室内每立方米空气中的含药量为4毫克．
（2）解：设药物燃烧结束后函数解析式为，由题意得：，
∴k2=80，
∴此阶段函数解析式，
其图象如下：
（3）解：当y＞1.6时，得，
解得x＞2，
当y＞1.6时，得，
∵x＞0，
∴1.6x＜80，
解得x＜50．
即从消毒开始2分钟到50分钟之间时学生不能停留在教室里．
【点睛】本题考查一次函数、反比例函数的图象与性质，反比例函数的运用，解题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，进一步根据题意求解答案．
45．（2023春·浙江·八年级期末）边长为1的8个正方形如图摆放在直角坐标系中，直线平分这8个正方形所组成的图形的面积，交其中两个正方形的边于A，B两点，过点B的反比例函数的图象的一支交其中两个正方形的边于C，D两点，另一支交直线于点E，连接OC，OD，CD，
(1)求k1，k2的值；
(2)求的面积；
(3)过原点O的另一条直线交反比例函数的图象于P，Q两点（P点在第一象限），若由点B，E，P，Q为顶点的四边形的面积为12，求点P的横坐标．（直接写出答案）
【答案】(1)k1=，k2=；
(2)S△OCD=．
(3)点P的横坐标为或．
【分析】（1）设A（4，t），利用面积法得到×4×t=4+1，解方程得到A（4，），利用待定系数法求出直线解析式为y1=x，再确定B（2，），接着利用待定系数法确定k2的值即可；
（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征求出C（，2），D（3，），然后利用S△OCD等于梯形的面积计算即可求解；
（3）推出四边形PEQB为平行四边形，得到S△OPB=S平行四边形PEQB=3，设P（a，），利用S△OPB= S梯形PFGB列出方程，解方程即可求解．
【解析】（1）解：设A（4，t），
∵直线y1=k1x平分这8个正方形所组成的图形的面积，
∴×4×t=4+1，解得t=，
∴A（4，），
把A（4，）代入直线y1=k1x得4k1=，解得k1=，
∴直线解析式为y=x，
当x=2时，y=x=，则B（2，），
∵反比例函数y2=的图象经过点B，
∴k2=2×=；
（2）解：由（1）知反比例函数的解析式为y=，
当y=2时，=2，解得x=，则C（，2）；
当x=3时，y==，则D（3，），
过点C、D分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，
∴S△OCM=S△ODN=k2=，
∴S△OCD+ S△ODN=S梯形CMDN+S△OCM，
∴S△OCD= S梯形CMDN=(DN+CM)(ON-OM)=(+2)(3-)=．
（3）解：由反比例函数的性质知OB=OE，OP=OQ，
∴四边形PEQB为平行四边形，
∴S△OPB=S平行四边形PEQB=3，
设P（a，），
当点P在点B上方时，过点P、B分别作x轴的垂线，垂足分别为F，G，
同理得S△OPB= S梯形PFGB=(BG+PF)(OG-OF)=(+)(2-a)=3．
整理得5a2+24a-20=0，
解得a=(负值不合题意，舍去) ，
∴点P的横坐标为．
当点P在点B上方时，过点P、B分别作x轴的垂线，垂足分别为F，G，
同理得S△OPB= S梯形PFGB=(BG+PF)(OF-OG)=(+)(a-2)=3．
整理得5a2-24a-20=0，
解得a=(负值不合题意，舍去) ，
∴点P的横坐标为．
综上，点P的横坐标为或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式，公式法解一元二次方程．
46．（2023春·浙江·八年级期末）定义：只有三边相等的四边形称为准菱形．
（1）如图1，图形 （填序号）是准菱形；
（2）如图2，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，求证：四边形ABCD是准菱形；
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA，OC分别落在y轴，x轴上，反比例函数y＝（k＞0）的图象分别与边AB，BC交于点D，E．已知AD＝DE，△ADE的面积为10，AD：DB＝5：3，若点F是坐标平面上一点，四边形ADEF是准菱形，当准菱形ADEF面积最大时，求点F的坐标．
【答案】（1）②③；（2）见解析；（3）点F的坐标为(-，)或(8-，)．
【分析】（1）根据准菱形的定义即可判断；
（2）过点B作BE∥AD交CD于点E，证明四边形ABED为菱形以及BE=BC，即可证明四边形ABCD是准菱形；
（3）设DB=3a，则AD=DE=5a，利用勾股定理以及三角形面积公式求得，再根据点D，E在反比例函数的图象上，求得，得到点D的坐标为(5，)，点E的坐标为(8，)，点B的坐标为(8，)，然后根据菱形的定义，分两种情况讨论，求解即可．
【解析】（1）解：图①四边都相等，不符合准菱形的定义，不是准菱形；
图②有三边相等，符合准菱形的定义，是准菱形；
图③有三边相等，符合准菱形的定义，是准菱形；
图④不存在边相等，不符合准菱形的定义，不是准菱形；
故答案为：②③；
（2）过点B作BE∥AD交CD于点E，
∵AB∥DC，
∴四边形ABED为平行四边形，
∵AB＝AD，
∴四边形ABED为菱形，
∴∠D=∠BEC，∠ABC+∠C=180°，AD=BE，
∵∠ABC +∠D=180°，
∴∠D=∠BEC=∠C，
∴BE=BC，
∴AB＝AD=BC，
故四边形ABCD是准菱形；
（3）∵AD：DB＝5：3，AD＝DE，
设DB=3a，则AD=DE=5a，
在Rt△BDE中，
由勾股定理得BE=，
∵△ADE的面积为10，
∴，即，
∴(负值已舍)，
∵点D，E在反比例函数的图象上，
设点D的坐标为(5，)，点E的坐标为(8，)，点B的坐标为(8，)，
∵BE=4，
∴，
解得：，
∴点D的坐标为(5，)，点E的坐标为(8，)，点B的坐标为(8，)，
在Rt△ABE中，AE=，
四边形ADEF是准菱形，根据准菱形的定义知点F在以E为圆心，5为半径的圆上，
要使准菱形ADEF面积最大，即△AEF面积最大，
则当EF⊥AE时，△AEF面积最大，如图：
∵∠DAH+∠ADH=90°，∠BAE+∠AEB=90°，∠FEG+∠EFG=90°，∠FEG+∠AEB=90°，
∴∠DAH=∠FEG，
又∵AD=EF=5，
∴Rt△ADHRt△EFG(AAS)，
∴AH=EG，DH=FG，
在等腰△ADE中，△ADE的面积为10，AH=HE=AE=，
AE• DH=10，解得DH=，
FG=，EG，
点F的坐标为(8-，)；
四边形ADEF是准菱形，根据准菱形的定义知点F在以A为圆心，5为半径的圆上，
要使准菱形ADEF面积最大，即△AEF面积最大，
则当AF⊥AE时，△AEF面积最大，如图：
同理求得FG=，AG，
点F的坐标为(-，)；
综上，点F的坐标为(-，)或(8-，)．
【点睛】本题为反比例函数综合运用题，涉及到菱形的判定和性质、勾股定理、圆的基本知识、面积公式的运用等，综合性很强，难度大．
测试
平时成绩
期中测试
期末测试
练习一
练习二
练习三
练习四
成绩
88
92
90
86
90
96
时间分
人数
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
方差（分）
甲
175
a
b
93.75
乙
175
175
180
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
一班
82.8


二班

75
100
套餐
色
香
味
A
72
90
80
B
68
76
92
C
88
82
72
进货批次
“冰墩墩”类纪念品（个）
“雪容融”类纪念品（个）
总费用（元）
一
100
200
8000
二
200
300
13000