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沪教版八年级数学下册期中期末满分冲刺卷专题02一次函数(难点)(原卷版+解析)
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这是一份沪教版八年级数学下册期中期末满分冲刺卷专题02一次函数(难点)(原卷版+解析)，共46页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后经过点，则b的值为（ ）
A．B．C．2D．4
2．如图，直线与x轴、y轴交于A、B两点，的平分线所在的直线的解析式是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，直线l是一次函数的图象，且直线l过点，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．直线l过坐标为的点
C．若点，在直线l上，则
D．
4．已知，一次函数的图象经过点，下列说法中不正确的是（ ）
A．若x满足，则当时，函数y有最小值
B．该函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为
C．该函数的图象与一次函数的图象相互平行
D．若函数值y满足时，则自变量x的取值范围是
5．A，B两地相距640km，甲、乙两辆汽车从A地出发到B地，均匀速行驶，甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距s（km），甲行驶的时间为t（h），s与t的关系如图所示，下列说法：
①甲车行驶的速度是60km/h，乙车行驶的速度是80km/h；
②甲出发4h后被乙追上；
③甲比乙晚到；
④甲车行驶8h或，甲，乙两车相距80km；
其中错误的（ ）
A．序号①B．序号②C．序号③D．序号④
6．已知直线与直线都经过，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，为轴上任意一点，连接，，有以下说法：
①方程组的解为
②为直角三角形；
③；
④当的值最小时，点的坐标为．
其中正确的说法个数有（ ）
A．个B．个C．个D．个
二、填空题
7．若直线与直线没有交点，则_____．
8．当时，一次函数的图像不经过第_____象限．
9．已知直线在轴上的截距为，则直线解析式为______．
10．已知直线与坐标轴围成的三角形面积是，且经过，则这条直线的表达式是______．
11．已知一次函数，原点到直线的最大距离为 _____．
12．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，在销售过程中发现，该纪念册每周的销量（本）与每本的售价（元）之间满足一次函数关系：．已知某一周该纪念册的售价为每本30元，那么这一周的盈利是___________元．
13．如果，，则直线不经过______象限．
14．直线经过A（2，4），且交x轴于点B，在x轴上有一点C，令△ABC的面积为12，则C点坐标为___________________．
15．如图，的边在轴上，且，反比例函数的图象与边、分别相交于点、，连接，已知的面积为，若，直线的函数解析式为___________．
16．正方形、、；…按如图放置，其中点、、，…在x轴正半轴上，点、、…在直线上，依此类推，其中的坐标 ___________，点的坐标是 ___________．
17．如图，直线与x轴、y轴分别相交于点A，B两点，将线段绕着点A按顺时针方向旋转，点B恰好落在反比例函数在第一象限图象上的点D．则___________．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于，两点，于点，是线段上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值为______．
三、解答题
19．如图，一次函数的图象和轴交于点，与正比例函数的图象交于点
（1）求和的值；
（2）求的面积；
（3）求不等式的解集是 ．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A，点A的横坐标为4．直线交y轴负半轴于点B，且．
(1)求点B的坐标及直线的函数表达式；
(2)现将直线沿y轴向上平移5个单位长度，交y轴于点C，交直线于点D，试求的面积．
21．如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点，且点的坐标为，
(1)求的值；
(2)若函数的函数值不大于函数的函数值，直接写出的取值范围______；
(3)求的面积．
22．已知：如图，反比例函数的图象与直线相交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点．
(1)求直线的函数解析式；
(2)求点到直线的距离；
(3)若点是直线上一点，且是直角三角形，求点的坐标．
23．我们研究一个新函数时，常常会借助图像研究新函数的性质，在经历“列表、描点、连线”的步骤后，就可以得到函数图像，请运用这样的方法对函数进行探究：
(1)补全表格中所缺数据，并在所给平面直角坐标系中画出函数图像．
(2)根据所画图像，写出该函数的两条性质：① ；② ；
(3)结合所画图像回答：当时，的取值范围是什么？
24．定义：叫做关于直线的“分边折叠函数”．
(1)已知“分边折叠函数”
①直接写出该函数与y轴的交点坐标；
②若直线与该函数只有一个交点，求t的取值范围；
(2)已知“分边折叠函数”的图像被直线与y轴所夹的线段长为，则k的值为___________．
25．在2022年卡塔尔世界杯比赛期间，国内某公司接到定制某国国家队的旗帜的任务，要求5天内完成生产53万面旗帜，该公司安排甲，乙两车间共同完成生产任务，乙车间加工过程中停工一段时间维修设备，然后提高效率继续加工，直到与甲车间同时完成加工任务为止．设甲，乙两车间各自生产旗帜y（万面）与甲车间加工时间x（天）之间的关系如图1所示；两车间未生产旗帜z（万面）与甲车间加工时间x（天）之间的关系如图2所示，请结合图象回答下列问题：
(1)甲车间每天生产旗帜___________万面，第一天甲，乙两车间共生产旗帜___________万面，___________；
(2)停工一段时间提高效率后，乙车间每天生产旗帜多少万面？
(3)当x为何值时，两车间生产的旗帜数相同？
26．如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点，与直线交于点E．已知点D的坐标为，点C在A的左侧且．
(1)分别求出直线和直线的表达式；
(2)在直线上，是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在坐标轴上，是否存在一点Q，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
27．如图1，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点．直线：与直线交于点C．
(1)求直线的解析式．
(2)如图2，点P是射线上的任意一点，过点P作轴且与交于点D，连接．当时，求的面积．
(3)如图3，在（2）的条件下，将先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，点P的对应点为点F．在x轴上确定一点G，使得以点A，F，G为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出所有符合条件的点G的坐标．
28．在直角坐标系中，的顶点与原点重合，，．
(1)如图1，过点作轴于，过点作轴于，若点的坐标为，求点的坐标．
(2)如图2，将绕点任意旋转．若点的坐标为，求点的坐标．
(3)若点的坐标为，点的坐标为，试求，的值．
29．已知一次函数的图象与坐标轴交于A、B点（如图），AE平分∠BAO，交x轴于点E．
(1)求点B的坐标；
(2)求直线AE的表达式；
(3)过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB的面积．
(4)若将已知条件“AE平分∠BAO，交x轴于点E”改变为“点E是线段OB上的一个动点（点E不与点O、B重合）”，过点B作BF⊥AE，垂足为F．设OE=x，BF=y，试求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域．
0
1
2
3
4
1
1
专题02 一次函数（难点）
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后经过点，则b的值为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】B
【分析】将点，先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到平移后的点，该点一次函数的图象上，利用待定系数法求出b的值即可．
【解析】解：将点，先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点，即，
由题意，得：在一次函数的图象上，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】本题考查一次函数图象的平移．将图象的平移，转化为点的平移，利用待定系数法求解析式，是解题的关键．
2．如图，直线与x轴、y轴交于A、B两点，的平分线所在的直线的解析式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】对于已知直线，分别令与为0求出对应与的值，确定出与的坐标，在轴上取一点，使，连接，由为的平分线，得到，利用得出两三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得到，设，可得出，在中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出坐标，设直线解析式为，将与坐标代入求出与的值，即可确定出直线解析式．
【解析】
解：对于直线，
令，求出；令求出，
，，即，，
根据勾股定理得：，
在轴上取一点，使，连接，
为的平分线，
，
在和中，
，
，
，
设，则，
在中，，
根据勾股定理得：，
解得：，
，即，
设直线解析式为，
将与坐标代入得：，
解得：，
则直线解析式为．
故选：B．
【点睛】此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，全等三角形的判定与性质，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
3．如图，直线l是一次函数的图象，且直线l过点，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．直线l过坐标为的点
C．若点，在直线l上，则
D．
【答案】D
【分析】根据函数图象可知，即得出，可判断A；将点代入，即得出，即直线l的解析式为，由当时，，即可判断B；由图象可知该函数y的值随x的增大而减小，从而即可得出，可判断C正确；由该函数y的值随x的增大而减小，且当时，，即得出当时，，从而可判断D．
【解析】∵该一次函数的图象经过第二、三、四象限，且与y轴的交点位于x轴下方，
∴，
∴，故A正确，不符合题意；
将点代入，得：，
∴，
∴直线l的解析式为，
当时，，
∴直线l过坐标为的点，故B正确，不符合题意；
由图象可知该函数y的值随x的增大而减小，
又∵，
∴，故C正确，不符合题意；
∵该函数y的值随x的增大而减小，且当时，，
∴当时，，即，故D错误，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质．由图象确定出，y的值随x的增大而减小是解题关键．
4．已知，一次函数的图象经过点，下列说法中不正确的是（ ）
A．若x满足，则当时，函数y有最小值
B．该函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为
C．该函数的图象与一次函数的图象相互平行
D．若函数值y满足时，则自变量x的取值范围是
【答案】A
【分析】根据待定系数法确定一次函数的解析式，再由一次函数的性质及与坐标轴的交点依次判断即可．
【解析】解：一次函数的图象经过点，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴y随x的增大而减小，
A、x满足，则当时，函数y有最大值，选项错误，符合题意；
B、当时，，当时，，
∴与坐标轴的两个交点分别为，，
∴函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为：，选项正确，不符合题意；
C、与，k都为，图象相互平行，选项正确，不符合题意；
D、当时，，解得：；
当时，，解得：；
∴函数值y满足时，则自变量x的取值范围是，选项正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】题目主要考查确定一次函数解析式的方法、与坐标轴的交点问题，围成的三角形面积等，理解题意，熟练掌握一次函数的基本性质是解题关键．
5．A，B两地相距640km，甲、乙两辆汽车从A地出发到B地，均匀速行驶，甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距s（km），甲行驶的时间为t（h），s与t的关系如图所示，下列说法：
①甲车行驶的速度是60km/h，乙车行驶的速度是80km/h；
②甲出发4h后被乙追上；
③甲比乙晚到；
④甲车行驶8h或，甲，乙两车相距80km；
其中错误的（ ）
A．序号①B．序号②C．序号③D．序号④
【答案】D
【分析】根据图象可得甲车行驶的速度是，再由甲先出发，乙出发后追上甲，可得到乙车行驶的速度是，故①②正确；根据图象可得当乙到达地时，甲乙相距，从而得到甲比乙晚到，故③正确；然后分两种情况：当乙车在甲车前，且未到达地时和当乙车到达地后时，可得④错误．
【解析】解：①由图可得，甲车行驶的速度是，
根据图象可知：甲先出发，甲出发4h后被乙追上，
∴，
∴，
即乙车行驶的速度是，故①②正确；
③由图可得，当乙到达地时，甲乙相距，
∴甲比乙晚到，故③正确；
④由图可得，当乙车在甲车前，且未到达地时，则
解得；
当乙车到达地后时，，
解得，
∴甲车行驶或，甲，乙两车相距，故④错误；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了函数的图象，能从函数的获取准确信息，利用数形结合思想解答是解题的关键．
6．已知直线与直线都经过，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，为轴上任意一点，连接，，有以下说法：
①方程组的解为
②为直角三角形；
③；
④当的值最小时，点的坐标为．
其中正确的说法个数有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【分析】根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解即可判断①；根据一次函数的解析式求得交点坐标，求得和的长，根据三角形面积计算公式，即可得到的面积，即可判断③；根据勾股定理的逆定理即可判断②；根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，即可得到当的值最小时，求得点P的坐标即可判断④，逐一判断即可得出答案．
【解析】解：直线与直线都经过，
方程组的解为：，故①正确；
把代入直线，可得
令，则
把，代入直线，可得
解得：
直线
令，则
，故③错误；
，，
，，
为直角三角形，故②正确；
点A关于轴对称点为
设过点，的直线为，则
解得：
令，则
当的值最小时，点P的坐标为，故④正确
故选C．
【点睛】本题考查了一次函数图象与性质、勾股定理，三角形面积以及最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
二、填空题
7．若直线与直线没有交点，则_____．
【答案】
【分析】两直线没有交点，说明两条直线平行，k值相等．
【解析】解：由题意可得，k=．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查坐标系内两条直线平行问题；若两条直线平行，则k1=k2．
8．当时，一次函数的图像不经过第_____象限．
【答案】三
【分析】根据k-1＜0，k＞0判断即可．
【解析】∵，
∴k-1＜0，
∴函数图像一定经过第二、第四象限；
∵b=k＞0，
∴图像与y轴交于正半轴，
∴函数图像一定经过第一象限；
∴函数图像一定不经过第三象限；
故答案为：三．
【点睛】本题考查了一次函数图像的分布，熟练掌握根据k，b判断图像的分布是解题的关键．
9．已知直线在轴上的截距为，则直线解析式为______．
【答案】##y=1+x
【分析】根据题意，可得，求出的值，即可确定直线解析式．
【解析】解析：解：根据题意，得，
解得，
即直线的解析式为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的解析式，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
10．已知直线与坐标轴围成的三角形面积是，且经过，则这条直线的表达式是______．
【答案】或
【分析】先根据面积求出三角形在轴上边的长度，再分正半轴和负半轴两种情况讨论求解．
【解析】解：根据题意，设与轴交点坐标为
则，
解得，
，
当时，与轴交点为
∴，解得，
函数解析式为；
当时，与轴的交点为
∴解得，
函数解析式为．
这个一次函数的解析式是或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，先根据三角形面积求出与轴的交点，再利用待定系数法求函数解析式，本题需要注意有两种情况．
11．已知一次函数，原点到直线的最大距离为 _____．
【答案】
【分析】当时，，一次函数的图象过定点，设原点到直线的距离为d，点，根据斜边大于直角边，得到，求出的长，即为所求．
【解析】解：根据题意，设原点到直线的距离为d，
∵直线，当时，，
∴直线恒过定点，设，
则，
∴原点到直线的距离的最大值等于，
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数图象上的点，以及两点间的距离公式．根据一次函数的解析式，确定图象的必过点，是解题的关键．
12．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，在销售过程中发现，该纪念册每周的销量（本）与每本的售价（元）之间满足一次函数关系：．已知某一周该纪念册的售价为每本30元，那么这一周的盈利是___________元．
【答案】200
【分析】将代入中得到每周的销量，再乘以单件利润即可得到答案；
【解析】解：将代入中得，
（件），
∴当纪念册的售价为每本30元，这一周的盈利是：（元）；
故答案为：200．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，正确计算是解本题的关键．
13．如果，，则直线不经过______象限．
【答案】第二
【分析】由，得到，，然后根据一次函数图象与系数的关系易得直线经过第一、三、四象限．
【解析】解：，，
，
，，
，，
直线经过第一、三、四象限．
故答案为：第二．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数、为常数，是一条直线，当，图象经过第一、三象限，随的增大而增大；当，图象经过第二、四象限，随的增大而减小；图象与轴的交点坐标为．
14．直线经过A（2，4），且交x轴于点B，在x轴上有一点C，令△ABC的面积为12，则C点坐标为___________________．
【答案】
【分析】将点A（2，4）代入y=kx+2，求出k，得到点B的坐标，设点C（m，0），BC=，根据△ABC的面积为12，得到，求出m，由此得到点C坐标．
【解析】解：将点A（2，4）代入y=kx+2，得2k+2=4，
解得k=1，
∴y=x+2，
当y=0时，得x+2=0，
得x=-2，
∴B（-2，0），
设点C（m，0），
∴BC=，
∵△ABC的面积为12，
∴，
解得m=4或m=-8，
∴点C的坐标为，
故答案为．
【点睛】此题考查了一次函数的性质，求直线与坐标轴是交点，直线与坐标轴围成的三角形面积，正确掌握一次函数的性质是解题的关键．
15．如图，的边在轴上，且，反比例函数的图象与边、分别相交于点、，连接，已知的面积为，若，直线的函数解析式为___________．
【答案】
【分析】连接，过作于，依据，即可得到，即可得到反比例函数为，设，则点，依据的面积为，可得，即可得出，进而得到直线的函数表达式为
【解析】解：如图，连接，过作于，
∵的面积为
∴，，
∵反比例函数的图象经过点C，
∴，
又∵，
∴，
∴反比例函数为，
∵，
∴，
∴，
∴
∴为的中点，
∴，
设，则点，
∴，
∴，
∴，即，
设的表达式为，则，即，
直线的函数表达式为
故答案为：
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，等腰三角形的性质与判定，三角形中线的性质，求一次函数解析式，正确求出点C的坐标是解题的关键．
16．正方形、、；…按如图放置，其中点、、，…在x轴正半轴上，点、、…在直线上，依此类推，其中的坐标 ___________，点的坐标是 ___________．
【答案】
【分析】先根据直线的解析式以及正方形的性质，设的坐标是，再根据，得出一元一次方程，解出即可得出的坐标，然后分别得出，…的坐标，据此得出点的坐标规律，即可得出答案．
【解析】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵点在直线上，
∴设的坐标是，
∴，
解得：，
∴的坐标是，
∴点的坐标为，
∵是正方形，
∴，
∵点在直线上，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
同理，，
可得点的坐标为，
依此类推，，
∴的坐标为．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，正方形的性质以及坐标的变化规律，正确得到点的坐标的规律是解题的关键．
17．如图，直线与x轴、y轴分别相交于点A，B两点，将线段绕着点A按顺时针方向旋转，点B恰好落在反比例函数在第一象限图象上的点D．则___________．
【答案】3
【分析】先求出点，可得，过点D作轴于点C，证明，可得，可求出点，即可求解．
【解析】解：对于，
令，则，
令，则，
解得：，
∴点，
∴，
如图，过点D作轴于点C，
根据题意得：，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点，
把代入得：．
故答案为：3
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，求反比例函数的解析式，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握相关知识点，证明是解题的关键．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于，两点，于点，是线段上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值为______．
【答案】
【分析】由点的运动确定的运动轨迹是在与轴垂直的一段线段，当线段与垂直时，线段的值最小．
【解析】解：由已知可得，
三角形是等腰直角三角形，
，
，
又是线段上动点，将线段绕点逆时针旋转，
在线段上运动，所以的运动轨迹也是线段，
当在点时和在点时分别确定的起点与终点，
的运动轨迹是在与轴垂直的一段线段，
当线段与垂直时，线段的值最小，
在中，，，
，
又是等腰直角三角形，
，
．
故答案为．
【点睛】此题考查了直角三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特点，动点运动轨迹的判断，垂线段最短，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键．
三、解答题
19．如图，一次函数的图象和轴交于点，与正比例函数的图象交于点
（1）求和的值；
（2）求的面积；
（3）求不等式的解集是 ．
【答案】（1）；（2）5；（3）
【分析】（1）先把P（2，n）代入y=x即可得到n的值，从而得到P点坐标为（2，3），然后把P点坐标代入y=-x+m可计算出m的值；
（2）先利用一次函数解析式确定B点坐标，然后根据三角形面积公式求解．
（3）根据一次函数与一元一次不等式的关系解答即可．
【解析】（1）把代入得
所以点坐标为
把代入得得，解得
即和的值分别为；
（2）把代入得
所以点坐标为
所以的面积
（3）由图可知，因为点P的坐标为（2，3），
所以不等式x＞-x+m的解集是x＞2；
故答案为：x＞2．
【点睛】此题考查一次函数与一元一次不等式，两条直线相交或平行问题，解题关键在于掌握若直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2平行，则k1=k2；若直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2相交，则由两解析式所组成的方程组的解为交点坐标．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A，点A的横坐标为4．直线交y轴负半轴于点B，且．
(1)求点B的坐标及直线的函数表达式；
(2)现将直线沿y轴向上平移5个单位长度，交y轴于点C，交直线于点D，试求的面积．
【答案】(1)，
(2)15
【分析】（1）利用直线的解析式求出点的坐标，再根据勾股定理求出的长度，从而可以得到的长度，根据图象求出点的坐标，然后利用待定系数法列式即可求出直线的函数表达式；
（2）求得平移后的解析式，进而求得交点的坐标，利用进行计算即可得解．
【解析】（1）解：点的横坐标为4，
，
点的坐标是，
，
，
，
点的坐标是，
设直线的表达式是，
则，
解得，
直线的函数表达式是；
（2）将直线沿轴向上平移5个单位长度得，
∴点C坐标为，
解得交点的横坐标为6，
．
【点睛】本题考查了两直线相交的问题，待定系数法求直线的解析式，三角形的面积，求出点、的坐标是解题的关键．
21．如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点，且点的坐标为，
(1)求的值；
(2)若函数的函数值不大于函数的函数值，直接写出的取值范围______；
(3)求的面积．
【答案】(1)的值为2，的值为3，的值为
(2)
(3)的面积为
【分析】（1）把点的坐标为代入得，从而得到点的坐标为，将点的坐标代入，得到，解得，即可得到答案；
（2）直接根据函数图象即可得到答案；
（3）过点作轴交轴于点，根据计算即可得到答案．
【解析】（1）解：把点的坐标为代入得：
，
，
点的坐标为，
将点，点代入得：
，
解得，
一次函数的解析式为，
的值为2，的值为3，的值为；
（2）解：由（1）得点的坐标为，
由图象可得：当时，函数的函数值不大于函数的函数值，
故答案为：；
（3）解：如图所示，过点作轴交轴于点，
则点的坐标为，
函数的图象与轴交于点，
当时，，
点的坐标为，
一次函数的图象与轴交于点，
当时，，
解得，
点的坐标为，
，
的面积为．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象的性质、求三角形的面积，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象的性质是解题的关键，注意数形结合思想的运用．
22．已知：如图，反比例函数的图象与直线相交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点．
(1)求直线的函数解析式；
(2)求点到直线的距离；
(3)若点是直线上一点，且是直角三角形，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）设点，根据点是的中点，可得到，再把点A的坐标代入，即可求解；
（2）点到直线的距离为h，根据，即可求解；
（3）设点D的坐标为，可得，，，再根据勾股定理，即可求解．
【解析】（1）解：设点，
∵点是的中点，，
∴，
解得：，
∴点，
把点代入得：，
解得：，
∴直线的函数解析式为；
（2）设点到直线的距离为h，
由（1）得：点，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
点到直线的距离为；
（3）设点D的坐标为，
∵点，
∴，，，
由题意知，则分两种情况讨论：
①当是以为斜边的直角三角形，
∴，
∴，
解得：，
∴点D的坐标为；
②当是以为斜边的直角三角形，
∴，
∴，
解得：，
∵当时，与重合，故舍去，
∴点D的坐标为．
综上所述：点D的坐标为，．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，正比例函数的图形和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，利用数形结合思想解答是解题的关键．
23．我们研究一个新函数时，常常会借助图像研究新函数的性质，在经历“列表、描点、连线”的步骤后，就可以得到函数图像，请运用这样的方法对函数进行探究：
(1)补全表格中所缺数据，并在所给平面直角坐标系中画出函数图像．
(2)根据所画图像，写出该函数的两条性质：① ；② ；
(3)结合所画图像回答：当时，的取值范围是什么？
【答案】(1)0，，0
(2)①当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，②的最小值是
(3)
【分析】（1）将代入解析式即可求解，利用描点法可画出函数图象；
（2）观察图象得到函数的两条性质即可；
（3）根据画出的函数图象，观察图象即可求解．
【解析】（1）当时，，
当时，，
当时，，
画出函数的图象如图：
故答案为：0，，0；
（2）由图象可知：①当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，②的最小值是；
故答案为：①当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，②的最小值是；
（3）由图象可得，当时，的取值范围是．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，能够准确画出函数的图象，通过观察图象获取性质是解题的关键．
24．定义：叫做关于直线的“分边折叠函数”．
(1)已知“分边折叠函数”
①直接写出该函数与y轴的交点坐标；
②若直线与该函数只有一个交点，求t的取值范围；
(2)已知“分边折叠函数”的图像被直线与y轴所夹的线段长为，则k的值为___________．
【答案】(1)①；②当或
(2)
【分析】（1）①求出当时，的值即可得到答案；②分别求出当时，的函数值和的函数值，然后令函数经过求出的对应函数函数值的对应坐标即可得到答案；
（2）先求出函数与直线的交点坐标，与y轴的交点坐标，再利用勾股定理进行求解即可．
【解析】（1）解：①∵，，
∴当时，
∴函数与y轴的交点坐标为；
②令，代入得，
令经过点，
∴，
∴，
同理，令，代入得，
令经过点，
∴，
∴，
综上分析所得，当或时，与该函数只有一个交点；
（2）解：∵，
∴函数与y轴的交点坐标为，与直线的交点坐标为，
∵“分边折叠函数”的图像被直线与y轴所夹的线段长为，
∴，
∴，
∴（m等于0时，直线与y轴重合，不符合题意），
解得．
【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，勾股定理，正确理解题意是解题的关键．
25．在2022年卡塔尔世界杯比赛期间，国内某公司接到定制某国国家队的旗帜的任务，要求5天内完成生产53万面旗帜，该公司安排甲，乙两车间共同完成生产任务，乙车间加工过程中停工一段时间维修设备，然后提高效率继续加工，直到与甲车间同时完成加工任务为止．设甲，乙两车间各自生产旗帜y（万面）与甲车间加工时间x（天）之间的关系如图1所示；两车间未生产旗帜z（万面）与甲车间加工时间x（天）之间的关系如图2所示，请结合图象回答下列问题：
(1)甲车间每天生产旗帜___________万面，第一天甲，乙两车间共生产旗帜___________万面，___________；
(2)停工一段时间提高效率后，乙车间每天生产旗帜多少万面？
(3)当x为何值时，两车间生产的旗帜数相同？
【答案】(1)5，9，4
(2)停工一段时间提高效率后，乙车间每天生产旗帜8万面
(3)当时，两车间生产的旗帜数相同
【分析】（1）由图2可得第1天甲，乙两车间共生产（万面），第二天乙车间维修，甲车间生产（万面），可得乙车间第一天生产4万面，故可得；
（2）根据图1可得乙车间生产量和生产时间，利用生产量除以生产时间可求得每天生产量；
（3）分别求出甲、乙两车间生产旗帜数量y（万面）与x（天）之间的函数关系式，联立方程组，求出x的值即可
【解析】（1）由图象2可知，第一天甲乙共加工（万面），
第二天，乙停止工作，甲单独加工（万面），
则乙一天加工（万面）．
∴，
故答案为：5，9，4；
（2）
=
=8（万面）
所以，停工一段时间提高效率后，乙车间每天生产旗帜8万面；
（3）设乙车间维修设备后，乙车间生产旗帜数量y（万面）与x（天）之间函数关系式为
把，代入，得，
解得，，
∴；
设甲车间生产旗帜数量y（万面）与x（天）之间函数关系式为
把代入得，
∴；
联立方程组，
∴，解得，
所以，当时，两车间生产的旗帜数相同
【点睛】本题为一次函数实际应用问题，应用了待定系数法．解答要注意通过对边两个函数图象实际意义对比分析得到问题答案．
26．如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点，与直线交于点E．已知点D的坐标为，点C在A的左侧且．
(1)分别求出直线和直线的表达式；
(2)在直线上，是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在坐标轴上，是否存在一点Q，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)存在，若点P在右侧，；若点P在左侧，
(3)存在，或
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）先求出交点和，再分两种情况：①若点P在右侧，②若点P在左侧，利用三角形面积，分别求解即可；
（3）分两种情况：①当时，交x轴于Q，②当时，交x轴于Q，分别 求解即可．
【解析】（1）解：将，代入直线：，得：
，解得：，
∴直线：，
∵，，
∴，
设直线：()
将，代入直线：，得：
，解得：，
∴直线：．
（2）解：联立，解得：，
∴，
∴，
①若点P在右侧，
∵，
∴，
∴，解得，
∴
②若点P在左侧，
∵S△BEP=8，
∴，
∴，解得，
当时，，
∴．
（3）解：分两种情况：①当时，交x轴于Q，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当时，交x轴于Q，
同理，
∴，
∵，，
∴，
由勾股定理，得，
∴，
∴，
综上，存在，或．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，从标与图形，三解形面积，勾股定理，等腰直角 三角形，注意分类讨论思想的应用是解题的关键．
27．如图1，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点．直线：与直线交于点C．
(1)求直线的解析式．
(2)如图2，点P是射线上的任意一点，过点P作轴且与交于点D，连接．当时，求的面积．
(3)如图3，在（2）的条件下，将先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，点P的对应点为点F．在x轴上确定一点G，使得以点A，F，G为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出所有符合条件的点G的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或或或
【分析】（1）直接将的坐标代入直线：求解即可；
（2）先求出点C的横坐标，再根据求解即可；
（3）先求出点P的坐标，再根据点的平移写出点F的坐标，设，再根据等腰三角形的定义分三种情况讨论即可．
【解析】（1）把，代入，得
，解得，
∴直线的解析式为；
（2）∵直线：与直线交于点C，
∴，
解得，
∴点C的横坐标为，
∴，
∵，
∴；
（3）设点，
∵轴，
∴点，
∴，
∵点P是射线上的任意一点，
解得，
∴点，
∵将先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，点P的对应点为点F，
∴，
设，
∴，
以点A，F，G为顶点的三角形是等腰三角形有三种情况，讨论如下：
当时，即，
解得，
∴点G坐标为或；
当时，即，
解得或6（舍），
∴点G坐标为；
当时，即，
解得，
∴点G坐标为；
综上，点G坐标为或或或．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的交点，一次函数与三角形综合问题，等腰三角形的定义等，能够运用数形结合和分类讨论的思想是解题的关键．
28．在直角坐标系中，的顶点与原点重合，，．
(1)如图1，过点作轴于，过点作轴于，若点的坐标为，求点的坐标．
(2)如图2，将绕点任意旋转．若点的坐标为，求点的坐标．
(3)若点的坐标为，点的坐标为，试求，的值．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）根据点坐标可以得出，，由轴，轴，可得∴，结合，可得，证明即可得出结论．
（2）作轴于，作轴于．如图2，若点在第一象限，则，．可证，则，．
则第四象限点为即可得出结论．
（3）由（2），可得即可求解．
【解析】（1）∵，∴，．
∵轴，轴，∴．
∵，∴．
∴．
∵，∴．
∴，．
∴点的坐标为．
（2）作轴于，作轴于．
如图2，若点在第一象限，则，．
由（1），同理可证．则，．
则第四象限点为．
同理，若点在第二象限，则第一象限点为．
若点在第三象限，则第二象限点为．
若点在第四象限，则第三象限点为．
综上，若点的坐标为，点的坐标为．
（3）由（2），可得
由①，解得．
把代入②，得．
解得．检验符合．
∴，．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及一次函数的性质及图象特点，熟练掌握全等三角形的判定及一次函数的性质是解决本题的关键．
29．已知一次函数的图象与坐标轴交于A、B点（如图），AE平分∠BAO，交x轴于点E．
(1)求点B的坐标；
(2)求直线AE的表达式；
(3)过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB的面积．
(4)若将已知条件“AE平分∠BAO，交x轴于点E”改变为“点E是线段OB上的一个动点（点E不与点O、B重合）”，过点B作BF⊥AE，垂足为F．设OE=x，BF=y，试求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域．
【答案】(1)B（8，0）
(2)y=﹣2x+6
(3)△OFB为等腰三角形，S△OBF=8
(4)y=（0＜x＜8）
【分析】（1）对于一次函数，令和求出对应的与的值，确定出 及的长，即可确定出的坐标；
（2）由（1）得出A的坐标，利用勾股定理求出的长，过作垂直于，由为角平分线，利用角平分线定理得到，利用可得出直角三角形与直角三角形全等，可得出，设，由表示出，由表示出，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出的长，得出的坐标，即可求得直线的解析式；
（3）延长与轴交于点，利用得出△≌△，可得出，利用三线合一得到为的中点，在直角三角形中，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到，过作垂直于轴于点，利用三线合一得到为的中点，求出的长，即为的横坐标，将求出的横坐标代入直线解析式中求出对应的纵坐标，即为的长，以为底，为高，利用三角形的面积公式即可求出三角形的面积；
（4）在三角形中，设，再由的长，利用勾股定理表示出，再由表示出，由三角形的面积可以由为底，为高来求出，也可以由为底，为高来求出，两种方法表示出的面积相等列出关系式，整理后即可得到与的函数关系式，同时求出的范围即为函数的定义域．
（1）
解：对于，
当时，；当时，，
，，
在中，根据勾股定理得：，
则，；
（2）
解：过点作，垂足为（如图1所示），
平分，，，
，
在和中，
，
，
，
设，则有，，
在中，，，，
根据勾股定理得：，
解得：，
，
设直线的表达式为，
将，代入得：
，
解得：，
则直线的表达式为；
（3）
解：延长交轴于点（如图2所示），
平分，
，
又，
，
在和中，
，
，
，即为的中点，
又为直角三角形，
，
为等腰三角形，
过点作，垂足为（如图2所示），
，，
，
点的横坐标为，
设，将代入，得：，
，
则；
（4）
解：在中，，，
根据勾股定理得：，
又，（等积法），
，又，
则．
【点睛】本题主要考查一次函数，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，以及三角形面积的求法，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用面积法求高．
0
1
2
3
4
1
1
1．在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后经过点，则b的值为（ ）
A．B．C．2D．4
2．如图，直线与x轴、y轴交于A、B两点，的平分线所在的直线的解析式是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，直线l是一次函数的图象，且直线l过点，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．直线l过坐标为的点
C．若点，在直线l上，则
D．
4．已知，一次函数的图象经过点，下列说法中不正确的是（ ）
A．若x满足，则当时，函数y有最小值
B．该函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为
C．该函数的图象与一次函数的图象相互平行
D．若函数值y满足时，则自变量x的取值范围是
5．A，B两地相距640km，甲、乙两辆汽车从A地出发到B地，均匀速行驶，甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距s（km），甲行驶的时间为t（h），s与t的关系如图所示，下列说法：
①甲车行驶的速度是60km/h，乙车行驶的速度是80km/h；
②甲出发4h后被乙追上；
③甲比乙晚到；
④甲车行驶8h或，甲，乙两车相距80km；
其中错误的（ ）
A．序号①B．序号②C．序号③D．序号④
6．已知直线与直线都经过，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，为轴上任意一点，连接，，有以下说法：
①方程组的解为
②为直角三角形；
③；
④当的值最小时，点的坐标为．
其中正确的说法个数有（ ）
A．个B．个C．个D．个
二、填空题
7．若直线与直线没有交点，则_____．
8．当时，一次函数的图像不经过第_____象限．
9．已知直线在轴上的截距为，则直线解析式为______．
10．已知直线与坐标轴围成的三角形面积是，且经过，则这条直线的表达式是______．
11．已知一次函数，原点到直线的最大距离为 _____．
12．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，在销售过程中发现，该纪念册每周的销量（本）与每本的售价（元）之间满足一次函数关系：．已知某一周该纪念册的售价为每本30元，那么这一周的盈利是___________元．
13．如果，，则直线不经过______象限．
14．直线经过A（2，4），且交x轴于点B，在x轴上有一点C，令△ABC的面积为12，则C点坐标为___________________．
15．如图，的边在轴上，且，反比例函数的图象与边、分别相交于点、，连接，已知的面积为，若，直线的函数解析式为___________．
16．正方形、、；…按如图放置，其中点、、，…在x轴正半轴上，点、、…在直线上，依此类推，其中的坐标 ___________，点的坐标是 ___________．
17．如图，直线与x轴、y轴分别相交于点A，B两点，将线段绕着点A按顺时针方向旋转，点B恰好落在反比例函数在第一象限图象上的点D．则___________．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于，两点，于点，是线段上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值为______．
三、解答题
19．如图，一次函数的图象和轴交于点，与正比例函数的图象交于点
（1）求和的值；
（2）求的面积；
（3）求不等式的解集是 ．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A，点A的横坐标为4．直线交y轴负半轴于点B，且．
(1)求点B的坐标及直线的函数表达式；
(2)现将直线沿y轴向上平移5个单位长度，交y轴于点C，交直线于点D，试求的面积．
21．如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点，且点的坐标为，
(1)求的值；
(2)若函数的函数值不大于函数的函数值，直接写出的取值范围______；
(3)求的面积．
22．已知：如图，反比例函数的图象与直线相交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点．
(1)求直线的函数解析式；
(2)求点到直线的距离；
(3)若点是直线上一点，且是直角三角形，求点的坐标．
23．我们研究一个新函数时，常常会借助图像研究新函数的性质，在经历“列表、描点、连线”的步骤后，就可以得到函数图像，请运用这样的方法对函数进行探究：
(1)补全表格中所缺数据，并在所给平面直角坐标系中画出函数图像．
(2)根据所画图像，写出该函数的两条性质：① ；② ；
(3)结合所画图像回答：当时，的取值范围是什么？
24．定义：叫做关于直线的“分边折叠函数”．
(1)已知“分边折叠函数”
①直接写出该函数与y轴的交点坐标；
②若直线与该函数只有一个交点，求t的取值范围；
(2)已知“分边折叠函数”的图像被直线与y轴所夹的线段长为，则k的值为___________．
25．在2022年卡塔尔世界杯比赛期间，国内某公司接到定制某国国家队的旗帜的任务，要求5天内完成生产53万面旗帜，该公司安排甲，乙两车间共同完成生产任务，乙车间加工过程中停工一段时间维修设备，然后提高效率继续加工，直到与甲车间同时完成加工任务为止．设甲，乙两车间各自生产旗帜y（万面）与甲车间加工时间x（天）之间的关系如图1所示；两车间未生产旗帜z（万面）与甲车间加工时间x（天）之间的关系如图2所示，请结合图象回答下列问题：
(1)甲车间每天生产旗帜___________万面，第一天甲，乙两车间共生产旗帜___________万面，___________；
(2)停工一段时间提高效率后，乙车间每天生产旗帜多少万面？
(3)当x为何值时，两车间生产的旗帜数相同？
26．如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点，与直线交于点E．已知点D的坐标为，点C在A的左侧且．
(1)分别求出直线和直线的表达式；
(2)在直线上，是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在坐标轴上，是否存在一点Q，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
27．如图1，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点．直线：与直线交于点C．
(1)求直线的解析式．
(2)如图2，点P是射线上的任意一点，过点P作轴且与交于点D，连接．当时，求的面积．
(3)如图3，在（2）的条件下，将先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，点P的对应点为点F．在x轴上确定一点G，使得以点A，F，G为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出所有符合条件的点G的坐标．
28．在直角坐标系中，的顶点与原点重合，，．
(1)如图1，过点作轴于，过点作轴于，若点的坐标为，求点的坐标．
(2)如图2，将绕点任意旋转．若点的坐标为，求点的坐标．
(3)若点的坐标为，点的坐标为，试求，的值．
29．已知一次函数的图象与坐标轴交于A、B点（如图），AE平分∠BAO，交x轴于点E．
(1)求点B的坐标；
(2)求直线AE的表达式；
(3)过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB的面积．
(4)若将已知条件“AE平分∠BAO，交x轴于点E”改变为“点E是线段OB上的一个动点（点E不与点O、B重合）”，过点B作BF⊥AE，垂足为F．设OE=x，BF=y，试求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域．
0
1
2
3
4
1
1
专题02 一次函数（难点）
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后经过点，则b的值为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】B
【分析】将点，先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到平移后的点，该点一次函数的图象上，利用待定系数法求出b的值即可．
【解析】解：将点，先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点，即，
由题意，得：在一次函数的图象上，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】本题考查一次函数图象的平移．将图象的平移，转化为点的平移，利用待定系数法求解析式，是解题的关键．
2．如图，直线与x轴、y轴交于A、B两点，的平分线所在的直线的解析式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】对于已知直线，分别令与为0求出对应与的值，确定出与的坐标，在轴上取一点，使，连接，由为的平分线，得到，利用得出两三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得到，设，可得出，在中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出坐标，设直线解析式为，将与坐标代入求出与的值，即可确定出直线解析式．
【解析】
解：对于直线，
令，求出；令求出，
，，即，，
根据勾股定理得：，
在轴上取一点，使，连接，
为的平分线，
，
在和中，
，
，
，
设，则，
在中，，
根据勾股定理得：，
解得：，
，即，
设直线解析式为，
将与坐标代入得：，
解得：，
则直线解析式为．
故选：B．
【点睛】此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，全等三角形的判定与性质，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
3．如图，直线l是一次函数的图象，且直线l过点，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．直线l过坐标为的点
C．若点，在直线l上，则
D．
【答案】D
【分析】根据函数图象可知，即得出，可判断A；将点代入，即得出，即直线l的解析式为，由当时，，即可判断B；由图象可知该函数y的值随x的增大而减小，从而即可得出，可判断C正确；由该函数y的值随x的增大而减小，且当时，，即得出当时，，从而可判断D．
【解析】∵该一次函数的图象经过第二、三、四象限，且与y轴的交点位于x轴下方，
∴，
∴，故A正确，不符合题意；
将点代入，得：，
∴，
∴直线l的解析式为，
当时，，
∴直线l过坐标为的点，故B正确，不符合题意；
由图象可知该函数y的值随x的增大而减小，
又∵，
∴，故C正确，不符合题意；
∵该函数y的值随x的增大而减小，且当时，，
∴当时，，即，故D错误，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质．由图象确定出，y的值随x的增大而减小是解题关键．
4．已知，一次函数的图象经过点，下列说法中不正确的是（ ）
A．若x满足，则当时，函数y有最小值
B．该函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为
C．该函数的图象与一次函数的图象相互平行
D．若函数值y满足时，则自变量x的取值范围是
【答案】A
【分析】根据待定系数法确定一次函数的解析式，再由一次函数的性质及与坐标轴的交点依次判断即可．
【解析】解：一次函数的图象经过点，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴y随x的增大而减小，
A、x满足，则当时，函数y有最大值，选项错误，符合题意；
B、当时，，当时，，
∴与坐标轴的两个交点分别为，，
∴函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为：，选项正确，不符合题意；
C、与，k都为，图象相互平行，选项正确，不符合题意；
D、当时，，解得：；
当时，，解得：；
∴函数值y满足时，则自变量x的取值范围是，选项正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】题目主要考查确定一次函数解析式的方法、与坐标轴的交点问题，围成的三角形面积等，理解题意，熟练掌握一次函数的基本性质是解题关键．
5．A，B两地相距640km，甲、乙两辆汽车从A地出发到B地，均匀速行驶，甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距s（km），甲行驶的时间为t（h），s与t的关系如图所示，下列说法：
①甲车行驶的速度是60km/h，乙车行驶的速度是80km/h；
②甲出发4h后被乙追上；
③甲比乙晚到；
④甲车行驶8h或，甲，乙两车相距80km；
其中错误的（ ）
A．序号①B．序号②C．序号③D．序号④
【答案】D
【分析】根据图象可得甲车行驶的速度是，再由甲先出发，乙出发后追上甲，可得到乙车行驶的速度是，故①②正确；根据图象可得当乙到达地时，甲乙相距，从而得到甲比乙晚到，故③正确；然后分两种情况：当乙车在甲车前，且未到达地时和当乙车到达地后时，可得④错误．
【解析】解：①由图可得，甲车行驶的速度是，
根据图象可知：甲先出发，甲出发4h后被乙追上，
∴，
∴，
即乙车行驶的速度是，故①②正确；
③由图可得，当乙到达地时，甲乙相距，
∴甲比乙晚到，故③正确；
④由图可得，当乙车在甲车前，且未到达地时，则
解得；
当乙车到达地后时，，
解得，
∴甲车行驶或，甲，乙两车相距，故④错误；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了函数的图象，能从函数的获取准确信息，利用数形结合思想解答是解题的关键．
6．已知直线与直线都经过，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，为轴上任意一点，连接，，有以下说法：
①方程组的解为
②为直角三角形；
③；
④当的值最小时，点的坐标为．
其中正确的说法个数有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【分析】根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解即可判断①；根据一次函数的解析式求得交点坐标，求得和的长，根据三角形面积计算公式，即可得到的面积，即可判断③；根据勾股定理的逆定理即可判断②；根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，即可得到当的值最小时，求得点P的坐标即可判断④，逐一判断即可得出答案．
【解析】解：直线与直线都经过，
方程组的解为：，故①正确；
把代入直线，可得
令，则
把，代入直线，可得
解得：
直线
令，则
，故③错误；
，，
，，
为直角三角形，故②正确；
点A关于轴对称点为
设过点，的直线为，则
解得：
令，则
当的值最小时，点P的坐标为，故④正确
故选C．
【点睛】本题考查了一次函数图象与性质、勾股定理，三角形面积以及最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
二、填空题
7．若直线与直线没有交点，则_____．
【答案】
【分析】两直线没有交点，说明两条直线平行，k值相等．
【解析】解：由题意可得，k=．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查坐标系内两条直线平行问题；若两条直线平行，则k1=k2．
8．当时，一次函数的图像不经过第_____象限．
【答案】三
【分析】根据k-1＜0，k＞0判断即可．
【解析】∵，
∴k-1＜0，
∴函数图像一定经过第二、第四象限；
∵b=k＞0，
∴图像与y轴交于正半轴，
∴函数图像一定经过第一象限；
∴函数图像一定不经过第三象限；
故答案为：三．
【点睛】本题考查了一次函数图像的分布，熟练掌握根据k，b判断图像的分布是解题的关键．
9．已知直线在轴上的截距为，则直线解析式为______．
【答案】##y=1+x
【分析】根据题意，可得，求出的值，即可确定直线解析式．
【解析】解析：解：根据题意，得，
解得，
即直线的解析式为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的解析式，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
10．已知直线与坐标轴围成的三角形面积是，且经过，则这条直线的表达式是______．
【答案】或
【分析】先根据面积求出三角形在轴上边的长度，再分正半轴和负半轴两种情况讨论求解．
【解析】解：根据题意，设与轴交点坐标为
则，
解得，
，
当时，与轴交点为
∴，解得，
函数解析式为；
当时，与轴的交点为
∴解得，
函数解析式为．
这个一次函数的解析式是或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，先根据三角形面积求出与轴的交点，再利用待定系数法求函数解析式，本题需要注意有两种情况．
11．已知一次函数，原点到直线的最大距离为 _____．
【答案】
【分析】当时，，一次函数的图象过定点，设原点到直线的距离为d，点，根据斜边大于直角边，得到，求出的长，即为所求．
【解析】解：根据题意，设原点到直线的距离为d，
∵直线，当时，，
∴直线恒过定点，设，
则，
∴原点到直线的距离的最大值等于，
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数图象上的点，以及两点间的距离公式．根据一次函数的解析式，确定图象的必过点，是解题的关键．
12．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，在销售过程中发现，该纪念册每周的销量（本）与每本的售价（元）之间满足一次函数关系：．已知某一周该纪念册的售价为每本30元，那么这一周的盈利是___________元．
【答案】200
【分析】将代入中得到每周的销量，再乘以单件利润即可得到答案；
【解析】解：将代入中得，
（件），
∴当纪念册的售价为每本30元，这一周的盈利是：（元）；
故答案为：200．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，正确计算是解本题的关键．
13．如果，，则直线不经过______象限．
【答案】第二
【分析】由，得到，，然后根据一次函数图象与系数的关系易得直线经过第一、三、四象限．
【解析】解：，，
，
，，
，，
直线经过第一、三、四象限．
故答案为：第二．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数、为常数，是一条直线，当，图象经过第一、三象限，随的增大而增大；当，图象经过第二、四象限，随的增大而减小；图象与轴的交点坐标为．
14．直线经过A（2，4），且交x轴于点B，在x轴上有一点C，令△ABC的面积为12，则C点坐标为___________________．
【答案】
【分析】将点A（2，4）代入y=kx+2，求出k，得到点B的坐标，设点C（m，0），BC=，根据△ABC的面积为12，得到，求出m，由此得到点C坐标．
【解析】解：将点A（2，4）代入y=kx+2，得2k+2=4，
解得k=1，
∴y=x+2，
当y=0时，得x+2=0，
得x=-2，
∴B（-2，0），
设点C（m，0），
∴BC=，
∵△ABC的面积为12，
∴，
解得m=4或m=-8，
∴点C的坐标为，
故答案为．
【点睛】此题考查了一次函数的性质，求直线与坐标轴是交点，直线与坐标轴围成的三角形面积，正确掌握一次函数的性质是解题的关键．
15．如图，的边在轴上，且，反比例函数的图象与边、分别相交于点、，连接，已知的面积为，若，直线的函数解析式为___________．
【答案】
【分析】连接，过作于，依据，即可得到，即可得到反比例函数为，设，则点，依据的面积为，可得，即可得出，进而得到直线的函数表达式为
【解析】解：如图，连接，过作于，
∵的面积为
∴，，
∵反比例函数的图象经过点C，
∴，
又∵，
∴，
∴反比例函数为，
∵，
∴，
∴，
∴
∴为的中点，
∴，
设，则点，
∴，
∴，
∴，即，
设的表达式为，则，即，
直线的函数表达式为
故答案为：
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，等腰三角形的性质与判定，三角形中线的性质，求一次函数解析式，正确求出点C的坐标是解题的关键．
16．正方形、、；…按如图放置，其中点、、，…在x轴正半轴上，点、、…在直线上，依此类推，其中的坐标 ___________，点的坐标是 ___________．
【答案】
【分析】先根据直线的解析式以及正方形的性质，设的坐标是，再根据，得出一元一次方程，解出即可得出的坐标，然后分别得出，…的坐标，据此得出点的坐标规律，即可得出答案．
【解析】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵点在直线上，
∴设的坐标是，
∴，
解得：，
∴的坐标是，
∴点的坐标为，
∵是正方形，
∴，
∵点在直线上，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
同理，，
可得点的坐标为，
依此类推，，
∴的坐标为．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，正方形的性质以及坐标的变化规律，正确得到点的坐标的规律是解题的关键．
17．如图，直线与x轴、y轴分别相交于点A，B两点，将线段绕着点A按顺时针方向旋转，点B恰好落在反比例函数在第一象限图象上的点D．则___________．
【答案】3
【分析】先求出点，可得，过点D作轴于点C，证明，可得，可求出点，即可求解．
【解析】解：对于，
令，则，
令，则，
解得：，
∴点，
∴，
如图，过点D作轴于点C，
根据题意得：，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点，
把代入得：．
故答案为：3
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，求反比例函数的解析式，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握相关知识点，证明是解题的关键．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于，两点，于点，是线段上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值为______．
【答案】
【分析】由点的运动确定的运动轨迹是在与轴垂直的一段线段，当线段与垂直时，线段的值最小．
【解析】解：由已知可得，
三角形是等腰直角三角形，
，
，
又是线段上动点，将线段绕点逆时针旋转，
在线段上运动，所以的运动轨迹也是线段，
当在点时和在点时分别确定的起点与终点，
的运动轨迹是在与轴垂直的一段线段，
当线段与垂直时，线段的值最小，
在中，，，
，
又是等腰直角三角形，
，
．
故答案为．
【点睛】此题考查了直角三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特点，动点运动轨迹的判断，垂线段最短，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键．
三、解答题
19．如图，一次函数的图象和轴交于点，与正比例函数的图象交于点
（1）求和的值；
（2）求的面积；
（3）求不等式的解集是 ．
【答案】（1）；（2）5；（3）
【分析】（1）先把P（2，n）代入y=x即可得到n的值，从而得到P点坐标为（2，3），然后把P点坐标代入y=-x+m可计算出m的值；
（2）先利用一次函数解析式确定B点坐标，然后根据三角形面积公式求解．
（3）根据一次函数与一元一次不等式的关系解答即可．
【解析】（1）把代入得
所以点坐标为
把代入得得，解得
即和的值分别为；
（2）把代入得
所以点坐标为
所以的面积
（3）由图可知，因为点P的坐标为（2，3），
所以不等式x＞-x+m的解集是x＞2；
故答案为：x＞2．
【点睛】此题考查一次函数与一元一次不等式，两条直线相交或平行问题，解题关键在于掌握若直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2平行，则k1=k2；若直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2相交，则由两解析式所组成的方程组的解为交点坐标．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A，点A的横坐标为4．直线交y轴负半轴于点B，且．
(1)求点B的坐标及直线的函数表达式；
(2)现将直线沿y轴向上平移5个单位长度，交y轴于点C，交直线于点D，试求的面积．
【答案】(1)，
(2)15
【分析】（1）利用直线的解析式求出点的坐标，再根据勾股定理求出的长度，从而可以得到的长度，根据图象求出点的坐标，然后利用待定系数法列式即可求出直线的函数表达式；
（2）求得平移后的解析式，进而求得交点的坐标，利用进行计算即可得解．
【解析】（1）解：点的横坐标为4，
，
点的坐标是，
，
，
，
点的坐标是，
设直线的表达式是，
则，
解得，
直线的函数表达式是；
（2）将直线沿轴向上平移5个单位长度得，
∴点C坐标为，
解得交点的横坐标为6，
．
【点睛】本题考查了两直线相交的问题，待定系数法求直线的解析式，三角形的面积，求出点、的坐标是解题的关键．
21．如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点，且点的坐标为，
(1)求的值；
(2)若函数的函数值不大于函数的函数值，直接写出的取值范围______；
(3)求的面积．
【答案】(1)的值为2，的值为3，的值为
(2)
(3)的面积为
【分析】（1）把点的坐标为代入得，从而得到点的坐标为，将点的坐标代入，得到，解得，即可得到答案；
（2）直接根据函数图象即可得到答案；
（3）过点作轴交轴于点，根据计算即可得到答案．
【解析】（1）解：把点的坐标为代入得：
，
，
点的坐标为，
将点，点代入得：
，
解得，
一次函数的解析式为，
的值为2，的值为3，的值为；
（2）解：由（1）得点的坐标为，
由图象可得：当时，函数的函数值不大于函数的函数值，
故答案为：；
（3）解：如图所示，过点作轴交轴于点，
则点的坐标为，
函数的图象与轴交于点，
当时，，
点的坐标为，
一次函数的图象与轴交于点，
当时，，
解得，
点的坐标为，
，
的面积为．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象的性质、求三角形的面积，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象的性质是解题的关键，注意数形结合思想的运用．
22．已知：如图，反比例函数的图象与直线相交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点．
(1)求直线的函数解析式；
(2)求点到直线的距离；
(3)若点是直线上一点，且是直角三角形，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）设点，根据点是的中点，可得到，再把点A的坐标代入，即可求解；
（2）点到直线的距离为h，根据，即可求解；
（3）设点D的坐标为，可得，，，再根据勾股定理，即可求解．
【解析】（1）解：设点，
∵点是的中点，，
∴，
解得：，
∴点，
把点代入得：，
解得：，
∴直线的函数解析式为；
（2）设点到直线的距离为h，
由（1）得：点，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
点到直线的距离为；
（3）设点D的坐标为，
∵点，
∴，，，
由题意知，则分两种情况讨论：
①当是以为斜边的直角三角形，
∴，
∴，
解得：，
∴点D的坐标为；
②当是以为斜边的直角三角形，
∴，
∴，
解得：，
∵当时，与重合，故舍去，
∴点D的坐标为．
综上所述：点D的坐标为，．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，正比例函数的图形和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，利用数形结合思想解答是解题的关键．
23．我们研究一个新函数时，常常会借助图像研究新函数的性质，在经历“列表、描点、连线”的步骤后，就可以得到函数图像，请运用这样的方法对函数进行探究：
(1)补全表格中所缺数据，并在所给平面直角坐标系中画出函数图像．
(2)根据所画图像，写出该函数的两条性质：① ；② ；
(3)结合所画图像回答：当时，的取值范围是什么？
【答案】(1)0，，0
(2)①当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，②的最小值是
(3)
【分析】（1）将代入解析式即可求解，利用描点法可画出函数图象；
（2）观察图象得到函数的两条性质即可；
（3）根据画出的函数图象，观察图象即可求解．
【解析】（1）当时，，
当时，，
当时，，
画出函数的图象如图：
故答案为：0，，0；
（2）由图象可知：①当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，②的最小值是；
故答案为：①当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，②的最小值是；
（3）由图象可得，当时，的取值范围是．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，能够准确画出函数的图象，通过观察图象获取性质是解题的关键．
24．定义：叫做关于直线的“分边折叠函数”．
(1)已知“分边折叠函数”
①直接写出该函数与y轴的交点坐标；
②若直线与该函数只有一个交点，求t的取值范围；
(2)已知“分边折叠函数”的图像被直线与y轴所夹的线段长为，则k的值为___________．
【答案】(1)①；②当或
(2)
【分析】（1）①求出当时，的值即可得到答案；②分别求出当时，的函数值和的函数值，然后令函数经过求出的对应函数函数值的对应坐标即可得到答案；
（2）先求出函数与直线的交点坐标，与y轴的交点坐标，再利用勾股定理进行求解即可．
【解析】（1）解：①∵，，
∴当时，
∴函数与y轴的交点坐标为；
②令，代入得，
令经过点，
∴，
∴，
同理，令，代入得，
令经过点，
∴，
∴，
综上分析所得，当或时，与该函数只有一个交点；
（2）解：∵，
∴函数与y轴的交点坐标为，与直线的交点坐标为，
∵“分边折叠函数”的图像被直线与y轴所夹的线段长为，
∴，
∴，
∴（m等于0时，直线与y轴重合，不符合题意），
解得．
【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，勾股定理，正确理解题意是解题的关键．
25．在2022年卡塔尔世界杯比赛期间，国内某公司接到定制某国国家队的旗帜的任务，要求5天内完成生产53万面旗帜，该公司安排甲，乙两车间共同完成生产任务，乙车间加工过程中停工一段时间维修设备，然后提高效率继续加工，直到与甲车间同时完成加工任务为止．设甲，乙两车间各自生产旗帜y（万面）与甲车间加工时间x（天）之间的关系如图1所示；两车间未生产旗帜z（万面）与甲车间加工时间x（天）之间的关系如图2所示，请结合图象回答下列问题：
(1)甲车间每天生产旗帜___________万面，第一天甲，乙两车间共生产旗帜___________万面，___________；
(2)停工一段时间提高效率后，乙车间每天生产旗帜多少万面？
(3)当x为何值时，两车间生产的旗帜数相同？
【答案】(1)5，9，4
(2)停工一段时间提高效率后，乙车间每天生产旗帜8万面
(3)当时，两车间生产的旗帜数相同
【分析】（1）由图2可得第1天甲，乙两车间共生产（万面），第二天乙车间维修，甲车间生产（万面），可得乙车间第一天生产4万面，故可得；
（2）根据图1可得乙车间生产量和生产时间，利用生产量除以生产时间可求得每天生产量；
（3）分别求出甲、乙两车间生产旗帜数量y（万面）与x（天）之间的函数关系式，联立方程组，求出x的值即可
【解析】（1）由图象2可知，第一天甲乙共加工（万面），
第二天，乙停止工作，甲单独加工（万面），
则乙一天加工（万面）．
∴，
故答案为：5，9，4；
（2）
=
=8（万面）
所以，停工一段时间提高效率后，乙车间每天生产旗帜8万面；
（3）设乙车间维修设备后，乙车间生产旗帜数量y（万面）与x（天）之间函数关系式为
把，代入，得，
解得，，
∴；
设甲车间生产旗帜数量y（万面）与x（天）之间函数关系式为
把代入得，
∴；
联立方程组，
∴，解得，
所以，当时，两车间生产的旗帜数相同
【点睛】本题为一次函数实际应用问题，应用了待定系数法．解答要注意通过对边两个函数图象实际意义对比分析得到问题答案．
26．如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点，与直线交于点E．已知点D的坐标为，点C在A的左侧且．
(1)分别求出直线和直线的表达式；
(2)在直线上，是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在坐标轴上，是否存在一点Q，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)存在，若点P在右侧，；若点P在左侧，
(3)存在，或
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）先求出交点和，再分两种情况：①若点P在右侧，②若点P在左侧，利用三角形面积，分别求解即可；
（3）分两种情况：①当时，交x轴于Q，②当时，交x轴于Q，分别 求解即可．
【解析】（1）解：将，代入直线：，得：
，解得：，
∴直线：，
∵，，
∴，
设直线：()
将，代入直线：，得：
，解得：，
∴直线：．
（2）解：联立，解得：，
∴，
∴，
①若点P在右侧，
∵，
∴，
∴，解得，
∴
②若点P在左侧，
∵S△BEP=8，
∴，
∴，解得，
当时，，
∴．
（3）解：分两种情况：①当时，交x轴于Q，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当时，交x轴于Q，
同理，
∴，
∵，，
∴，
由勾股定理，得，
∴，
∴，
综上，存在，或．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，从标与图形，三解形面积，勾股定理，等腰直角 三角形，注意分类讨论思想的应用是解题的关键．
27．如图1，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点．直线：与直线交于点C．
(1)求直线的解析式．
(2)如图2，点P是射线上的任意一点，过点P作轴且与交于点D，连接．当时，求的面积．
(3)如图3，在（2）的条件下，将先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，点P的对应点为点F．在x轴上确定一点G，使得以点A，F，G为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出所有符合条件的点G的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或或或
【分析】（1）直接将的坐标代入直线：求解即可；
（2）先求出点C的横坐标，再根据求解即可；
（3）先求出点P的坐标，再根据点的平移写出点F的坐标，设，再根据等腰三角形的定义分三种情况讨论即可．
【解析】（1）把，代入，得
，解得，
∴直线的解析式为；
（2）∵直线：与直线交于点C，
∴，
解得，
∴点C的横坐标为，
∴，
∵，
∴；
（3）设点，
∵轴，
∴点，
∴，
∵点P是射线上的任意一点，
解得，
∴点，
∵将先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，点P的对应点为点F，
∴，
设，
∴，
以点A，F，G为顶点的三角形是等腰三角形有三种情况，讨论如下：
当时，即，
解得，
∴点G坐标为或；
当时，即，
解得或6（舍），
∴点G坐标为；
当时，即，
解得，
∴点G坐标为；
综上，点G坐标为或或或．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的交点，一次函数与三角形综合问题，等腰三角形的定义等，能够运用数形结合和分类讨论的思想是解题的关键．
28．在直角坐标系中，的顶点与原点重合，，．
(1)如图1，过点作轴于，过点作轴于，若点的坐标为，求点的坐标．
(2)如图2，将绕点任意旋转．若点的坐标为，求点的坐标．
(3)若点的坐标为，点的坐标为，试求，的值．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）根据点坐标可以得出，，由轴，轴，可得∴，结合，可得，证明即可得出结论．
（2）作轴于，作轴于．如图2，若点在第一象限，则，．可证，则，．
则第四象限点为即可得出结论．
（3）由（2），可得即可求解．
【解析】（1）∵，∴，．
∵轴，轴，∴．
∵，∴．
∴．
∵，∴．
∴，．
∴点的坐标为．
（2）作轴于，作轴于．
如图2，若点在第一象限，则，．
由（1），同理可证．则，．
则第四象限点为．
同理，若点在第二象限，则第一象限点为．
若点在第三象限，则第二象限点为．
若点在第四象限，则第三象限点为．
综上，若点的坐标为，点的坐标为．
（3）由（2），可得
由①，解得．
把代入②，得．
解得．检验符合．
∴，．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及一次函数的性质及图象特点，熟练掌握全等三角形的判定及一次函数的性质是解决本题的关键．
29．已知一次函数的图象与坐标轴交于A、B点（如图），AE平分∠BAO，交x轴于点E．
(1)求点B的坐标；
(2)求直线AE的表达式；
(3)过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB的面积．
(4)若将已知条件“AE平分∠BAO，交x轴于点E”改变为“点E是线段OB上的一个动点（点E不与点O、B重合）”，过点B作BF⊥AE，垂足为F．设OE=x，BF=y，试求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域．
【答案】(1)B（8，0）
(2)y=﹣2x+6
(3)△OFB为等腰三角形，S△OBF=8
(4)y=（0＜x＜8）
【分析】（1）对于一次函数，令和求出对应的与的值，确定出 及的长，即可确定出的坐标；
（2）由（1）得出A的坐标，利用勾股定理求出的长，过作垂直于，由为角平分线，利用角平分线定理得到，利用可得出直角三角形与直角三角形全等，可得出，设，由表示出，由表示出，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出的长，得出的坐标，即可求得直线的解析式；
（3）延长与轴交于点，利用得出△≌△，可得出，利用三线合一得到为的中点，在直角三角形中，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到，过作垂直于轴于点，利用三线合一得到为的中点，求出的长，即为的横坐标，将求出的横坐标代入直线解析式中求出对应的纵坐标，即为的长，以为底，为高，利用三角形的面积公式即可求出三角形的面积；
（4）在三角形中，设，再由的长，利用勾股定理表示出，再由表示出，由三角形的面积可以由为底，为高来求出，也可以由为底，为高来求出，两种方法表示出的面积相等列出关系式，整理后即可得到与的函数关系式，同时求出的范围即为函数的定义域．
（1）
解：对于，
当时，；当时，，
，，
在中，根据勾股定理得：，
则，；
（2）
解：过点作，垂足为（如图1所示），
平分，，，
，
在和中，
，
，
，
设，则有，，
在中，，，，
根据勾股定理得：，
解得：，
，
设直线的表达式为，
将，代入得：
，
解得：，
则直线的表达式为；
（3）
解：延长交轴于点（如图2所示），
平分，
，
又，
，
在和中，
，
，
，即为的中点，
又为直角三角形，
，
为等腰三角形，
过点作，垂足为（如图2所示），
，，
，
点的横坐标为，
设，将代入，得：，
，
则；
（4）
解：在中，，，
根据勾股定理得：，
又，（等积法），
，又，
则．
【点睛】本题主要考查一次函数，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，以及三角形面积的求法，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用面积法求高．
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