人教版七年级数学下册《同步考点解读•专题训练》专题9.4一元一次不等式(组)的实际应用(知识解读)(原卷版+解析)

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专题9.4 一元一次不等式（组）的实际应用（知识解读）【学习目标】能够用一元一次不等式解决一些简单的实际问题熟能能够用一元一次不等式组解决实际问题【知识点梳理】知识点一：根据实际问题列出一元一次不等式；知识点二：积分、分配和行程问题积分问题分类问题行程问题，常用等量关系：路程=速度×时间知识点三：经济与方案问题1.经济问题：常见等量关系：利润=售价-成本. 利润率=（售价-成本）/成本 X100%. 售价=成本X（1+利润率）2.方案问题【典例分析】【考点1：根据实际问题列一元一次不等式】【典例1】（2023春•西安月考）“x的3倍与2的差是正数”用不等式可以表示为（　　）A．3x﹣2＞0 B．（3+2）x＞0 C．3x﹣2≥0 D．3x+2＜0【变式1-1】（2023春•定远县校级月考）根据“x的2倍与5的和小于3”列出的不等式是（　　）A．2x+5≥3 B．2x+5≤3 C．2x+5＞3 D．2x+5＜3【变式1-2】（2023•邯山区校级一模）语句“x的与x的差不超过3”可以表示为（　　）A． B． C． D．【变式1-3】（2023春•桐柏县校级月考）“m的2倍与8的和不大于2与m的差”用不等式表示为 　 ．【考点2：积分问题】【典例2】（2022秋•洪江市期末）我校举行数学竞赛，一共有25道题，满分100分，每答对一题得4分，答错扣一分，不答记0分．（1）某同学只有一道题未作答，最后满分86分，则该生一共答对多少题？（2）若规定参赛者每题必须作答，得分大于或等于90分，才可以评为一等奖，则参赛者至少答对多少题才能获评一等奖？【变式2-1】（2023春•定远县校级月考）某大学举办“学习强国”知识竞赛，规定答对一题得20分，答错一题扣10分，在8道必答题中，得分不低于100分即可进入下一轮，冉冉进入了下一轮，则冉冉答错题数最多为 　 　．【变式2-2】（2022春•唐河县期中）为了庆祝中国共产党的生日，增进广大师生对中国共产党发展历程的了解，加强同学们爱国爱党的意识，某校开展了题为“学党史，庆党生，铭党恩，跟党走”的知识竞赛，本次知识竞赛共25题，答对一题得10分，答错一题或不答题扣5分，设小凌同学在这次竞赛中答对了x道题．（1）根据所给的条件，补全表格：（2）若小凌同学的竞赛成绩不低于150分，则小凌至少要答对几道题？【变式2-3】（2022秋•雨花区期中）为了庆祝中共二十大胜利召开，雅礼某初中举行了以“二十大知多少”为主题的知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．（1）若某参赛同学有2道题没有作答，最后他的总得分为82分，则该参赛同学一共答对了多少道题？（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于92分才可以被评为“二十大知识小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“二十大知识小达人”？【考点3：分配问题】【典例3】（2022春•番禺区期末）把一部分书分给几名同学，如果每人分3本，则余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本（包含分不到书的情况），这些书有多少本？共有多少人？【变式3-1】（2021春•高明区校级期末）现在有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满．若设宿舍间数为x，则可以列得不等式组为　 　．【变式3-2】（2022春•嘉定区校级期中）某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人．如果分给每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒．问该敬老院的老人至少有多少人？【变式3-3】（2020春•崇川区校级期中）启秀中学初一年级组计划将m本书奖励给本次期中考试取得优异成绩的n名同学，如果每人分4本，那么还剩下78本；如果每人分8本，那么最后一人分得的书不足8本，但不少于4本，最终，年级组经讨论后决定，给这n名同学每人发6本书，那么将剩余多少本书？【考点4：行程问题】【典例4】（2019春•番禺区期末）张翔上午7：30出发，从学校骑自行车去县城，路程全长20km，中途因道路施工步行一段路他步行的平均速度是5km/h．（1）若张翔骑车的平均速度是15km/h，当天上午9：00到达县城，则他骑车与步行各用多少时间？（2）若张翔必须在当天上午9：00之前赶到县城，他的步行平均速度不变，则他骑车的平均速度应在什么范围内？【变式4-1】（2020春•嘉祥县期末）某人要完成2.1千米的路程，并要在18分钟内到达，已知他每分钟走90米．若跑步每分钟可跑210米，问这人完成这段路程，至少要跑（　　）A．3分钟 B．4分钟 C．4.5分钟 D．5分钟【变式4-2】（2021春•市南区校级期中）甲、乙两地相距45km，小李要从甲地到乙地办事，若他以7km/h的速度可按时到达，现在小李走了4h后因有事停留了0.5h，为了不迟到，小李后来的速度至少是多少？【考点5：经济问题】【典例5】（2022秋•碑林区校级期末）新年到来之际，百货商场进行促销活动，某种商品进价1000元，出售时标价为1400元，本次打折销售要保证利润不低于5%，则最多可打（　　）A．六折 B．七折 C．七五折 D．八折【变式5-1】21.（2022•牡丹江一模）某种商品每件的进价为120元，商场按进价提高50%标价，为增加销量，准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可以打_______折（　　）A．7 B．7.5 C．8 D．8.5【变式5-2】（2022春•上蔡县期中）某种商品进价为20元，标价为30元出售，商场规定可以打折销售，但其利润率不能少于5%这种商品最多可以按几折销售？设这种商品打x折销售，则下列符合题意的不等式是（　　）A．30x﹣20≥20×5% B．30x﹣20≤20×5% C．30×﹣20≥20×5% D．30×﹣20≤20×5%【典例6】（2023•大连模拟）学校为了奖励在“诗词大赛”中获奖同学，准备购买甲、乙两种奖品，已知购买1件甲奖品、4件乙奖品，共需240元；购买2件甲奖品、1件乙奖品，共需165元．（1）求每件甲奖品和每件乙奖品各多少元？（2）如果学校准备购买甲、乙两种奖品共40件，总费用不超过2140元，那么至少购买多少件乙奖品？【变式6-1】（2023•高新区模拟）某文具店经销甲、乙两种笔记本，每次购买同一种笔记本的单价相同，购进笔记本的具体信息如表：（1）求甲、乙两种笔记本的购买单价；（2）若第三次计划用不超过920元购买甲、乙两种笔记本共50本，求至少购买甲种笔记本多少本？【变式6-2】（2023•蜀山区校级模拟）某超市现有甲、乙两种商品，已知一个甲商品比一个乙商品贵20元，购买甲、乙两种型号各10个共需1760元．（1）求甲、乙两种商品的单价各是多少元？（2）为吸引顾客，该超市准备对甲商品进行打折促销活动．已知甲商品的进价为49元/个，为保证打折后利润率不低于20%，至多可打几折．【考点6：方案问题】【典例7】（2023•林州市模拟）某初级中学为了提高教职工的身体素质，举办了“坚持锻炼，活力无限”的健身活动，并准备购买一些体育器材为活动做准备．已知购买2副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需要350元，购买6副乒乓球拍和3副羽毛球拍共需要420元．（1）购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？（2）已知该中学需要购买两种球拍共80副，羽毛球拍的数量不超过40副．现商店推出两种购买方案，方案A：购买一副羽毛球拍赠送一副乒乓球拍；方案B：按总价的八折付款．试说明选择哪种购买方案更实惠．【变式7】（2022•长垣市一模）书法是中华民族的文化瑰宝，是人类文明的宝贵财富，是我国基础教育的重要内容．某学校准备为学生的书法课购买一批毛笔和宣纸，已知购买40支毛笔和100张宣纸需要280元；购买30支毛笔和200张宣纸需要260元．（1）求毛笔和宣纸的单价；（2）某超市给出以下两种优惠方案：方案A：购买一支毛笔，赠送一张宣纸；方案B：购买200张宣纸以上，超出的部分按原价打八折，毛笔不打折．学校准备购买毛笔50支，宣纸若干张（超过200张）．选择哪种方案更划算？请说明理由．【典例8】（2023春•新城区校级月考）学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张．若学校购进20张甲种办公桌和15张乙种办公桌共花费17000元，购买10张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费1000元．（1）求甲、乙两种办公桌每张各多少元；（2）若学校购买甲、乙两种办公桌共40张，甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3倍，且总费用不超过18400元，那么有几种购买方案？【变式8-1】（2023春•长沙月考）某商店从批发商处购进甲、乙两种产品，购进5件甲产品和8件乙产品需要成本170元，购进2件甲产品和4件乙产品需要成本80元．销售时，每件甲产品售价为20元，每件乙产品售价为35元．（1）求每件甲产品和每件乙产品的成本价；（2）若商店从批发商处购进甲、乙两种产品共100件，购进时总成本不超过1300元，且全部销售完以后利润不低于1580元，请问有几种购进方案？【变式8-2】（2022秋•长沙期中）我市在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗2棵，需要900元；购买A种树苗5棵，B种树苗4棵，需要700元．（1）求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？（2）考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于32棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过5750元，若购进这两种树苗共80棵，则有哪几种购买方案？答题情况题数（题）每题得分（分）得分（分）答对x10　　答错或不答　　 　　　　 进货批次甲种笔记本数量（单位：本）乙种笔记本数量（单位：本）购买总费用（单位：元）第一次1520640第二次3025980专题9.4 一元一次不等式（组）的实际应用（知识解读）【学习目标】能够用一元一次不等式解决一些简单的实际问题熟能能够用一元一次不等式组解决实际问题【知识点梳理】知识点一：根据实际问题列出一元一次不等式；知识点二：积分、分配和行程问题积分问题分类问题行程问题，常用等量关系：路程=速度×时间知识点三：经济与方案问题1.经济问题：常见等量关系：利润=售价-成本. 利润率=（售价-成本）/成本 X100%. 售价=成本X（1+利润率）2.方案问题【典例分析】【考点1：根据实际问题列一元一次不等式】【典例1】（2023春•西安月考）“x的3倍与2的差是正数”用不等式可以表示为（　　）A．3x﹣2＞0 B．（3+2）x＞0 C．3x﹣2≥0 D．3x+2＜0【答案】A【解答】解：根据题意得：3x﹣2＞0．故选：A．【变式1-1】（2023春•定远县校级月考）根据“x的2倍与5的和小于3”列出的不等式是（　　）A．2x+5≥3 B．2x+5≤3 C．2x+5＞3 D．2x+5＜3【答案】D【解答】解：根据题意可得：2x+5＜3．故选：D．【变式1-2】（2023•邯山区校级一模）语句“x的与x的差不超过3”可以表示为（　　）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：“x的与x的差不超过3”，用不等式表示为x﹣x≤3．故选：B．【变式1-3】（2023春•桐柏县校级月考）“m的2倍与8的和不大于2与m的差”用不等式表示为 　 ．【答案】2m+8≤2+m．【解答】解：由题意可列不等式为：2m+8≤2+m．故答案为：2m+8≤2+m．【考点2：积分问题】【典例2】（2022秋•洪江市期末）我校举行数学竞赛，一共有25道题，满分100分，每答对一题得4分，答错扣一分，不答记0分．（1）某同学只有一道题未作答，最后满分86分，则该生一共答对多少题？（2）若规定参赛者每题必须作答，得分大于或等于90分，才可以评为一等奖，则参赛者至少答对多少题才能获评一等奖？【答案】（1）该生一共答对了22道题；（2）参赛者至少需答对23道题才能获评一等奖．【解答】解：（1）设该生一共答对了x道题，则答错了25﹣x﹣1＝（24﹣x）道题，由题意可得：4x﹣（24﹣x）×1＝86，解得x＝22，答：该生一共答对了22道题；（2）设参赛者需答对a道题才能获评一等奖，由题意可得：4a﹣（25﹣a）≥90，解得a≥23，答：参赛者至少需答对23道题才能获评一等奖．【变式2-1】（2023春•定远县校级月考）某大学举办“学习强国”知识竞赛，规定答对一题得20分，答错一题扣10分，在8道必答题中，得分不低于100分即可进入下一轮，冉冉进入了下一轮，则冉冉答错题数最多为 　2道　．【答案】2道．【解答】解：设冉冉答错了x道题，则答对了（8﹣x）道题，根据题意得：20（8﹣x）﹣10x≥100，解得：x≤2，∴x的最大值为2，∴冉冉答错题数最多为2道．故答案为：2道．【变式2-2】（2022春•唐河县期中）为了庆祝中国共产党的生日，增进广大师生对中国共产党发展历程的了解，加强同学们爱国爱党的意识，某校开展了题为“学党史，庆党生，铭党恩，跟党走”的知识竞赛，本次知识竞赛共25题，答对一题得10分，答错一题或不答题扣5分，设小凌同学在这次竞赛中答对了x道题．（1）根据所给的条件，补全表格：（2）若小凌同学的竞赛成绩不低于150分，则小凌至少要答对几道题？【答案】（1）10x，（25﹣x），﹣5，﹣5（25﹣x）；（2）小凌至少要答对19道题．【解答】解：（1）∵本次知识竞赛共25题，且小凌同学在这次竞赛中答对了x道题，∴答错或不答（25﹣x）道题；又∵答对一题得10分，答错一题或不答题扣5分，∴答对题目的得分为10x分，答错或不答题目的得分为﹣5（25﹣x）分．故答案为：10x，（25﹣x），﹣5，﹣5（25﹣x）；（2）根据题意得：10x﹣5（25﹣x）≥150，解得：x≥，又∵x为整数，∴x的最小值为19．答：小凌至少要答对19道题．【变式2-3】（2022秋•雨花区期中）为了庆祝中共二十大胜利召开，雅礼某初中举行了以“二十大知多少”为主题的知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．（1）若某参赛同学有2道题没有作答，最后他的总得分为82分，则该参赛同学一共答对了多少道题？（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于92分才可以被评为“二十大知识小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“二十大知识小达人”？【答案】（1）21道；（2）24道．【解答】解：（1）设该参赛同学一共答对了x道题，则答错了（25﹣2﹣x）道题，依题意得：4x﹣（25﹣2﹣x）＝82，解得：x＝21．答：该参赛同学一共答对了21道题．（2）设参赛者需答对y道题才能被评为“二十大知识小达人”，则答错了（25﹣y）道题，依题意得：4y﹣（25﹣y）≥92，解得：y≥，又∵y为正整数，∴y的最小值为24．答：参赛者至少需答对24道题才能被评为“二十大知识小达人”．【考点3：分配问题】【典例3】（2022春•番禺区期末）把一部分书分给几名同学，如果每人分3本，则余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本（包含分不到书的情况），这些书有多少本？共有多少人？【答案】这些书有26本，共有6人．【解答】解：设共有x人，则这些书有（3x+8）本，依题意得：，解得：5＜x≤．又∵x为正整数，∴x＝6，∴3x+8＝3×6+8＝26．答：这些书有26本，共有6人．【变式3-1】（2021春•高明区校级期末）现在有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满．若设宿舍间数为x，则可以列得不等式组为　 　．【答案】【解答】解：∵若每间住4人，则还有19人无宿舍住，∴学生总人数为（4x+19）人，∵一间宿舍不空也不满，∴学生总人数﹣（x﹣1）间宿舍的人数在1和5之间，∴列的不等式组为：，故答案为：．【变式3-2】（2022春•嘉定区校级期中）某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人．如果分给每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒．问该敬老院的老人至少有多少人？【答案】30人．【解答】解：设该敬老院的老人有x人，依题意，得：，解得：29＜x≤32，又∵x为正整数，∴x可以取的最小值为30．答：该敬老院的老人至少有30人．【变式3-3】（2020春•崇川区校级期中）启秀中学初一年级组计划将m本书奖励给本次期中考试取得优异成绩的n名同学，如果每人分4本，那么还剩下78本；如果每人分8本，那么最后一人分得的书不足8本，但不少于4本，最终，年级组经讨论后决定，给这n名同学每人发6本书，那么将剩余多少本书？【答案】38本．【解答】解：依题意，得：，解得：＜n≤．又∵n为正整数，∴n＝20，∴m＝4n+78＝158，∴m﹣6n＝158﹣6×20＝38．答：将剩余38本书【考点4：行程问题】【典例4】（2019春•番禺区期末）张翔上午7：30出发，从学校骑自行车去县城，路程全长20km，中途因道路施工步行一段路他步行的平均速度是5km/h．（1）若张翔骑车的平均速度是15km/h，当天上午9：00到达县城，则他骑车与步行各用多少时间？（2）若张翔必须在当天上午9：00之前赶到县城，他的步行平均速度不变，则他骑车的平均速度应在什么范围内？【答案】（1）骑车用了1.25小时，步行用了0.25小时 （2）的平均速度大于15km/h【解答】解：（1）设他骑车用了x小时，步行用了y小时，依题意得：，解得，答：他骑车用了1.25小时，步行用了0.25小时，（2）设骑车的平均速度为vkm/h，依题意得：1.25v+5×0.25＞20，解得：v＞15，答：骑车的平均速度大于15km/h【变式4-1】（2020春•嘉祥县期末）某人要完成2.1千米的路程，并要在18分钟内到达，已知他每分钟走90米．若跑步每分钟可跑210米，问这人完成这段路程，至少要跑（　　）A．3分钟 B．4分钟 C．4.5分钟 D．5分钟【答案】B【解答】解：设这人跑了x分钟，则走了（18﹣x）分钟，根据题意得：210x+90（18﹣x）≥2100，解得：x≥4，答：这人完成这段路程，至少要跑4分钟．故选：B．【变式4-2】（2021春•市南区校级期中）甲、乙两地相距45km，小李要从甲地到乙地办事，若他以7km/h的速度可按时到达，现在小李走了4h后因有事停留了0.5h，为了不迟到，小李后来的速度至少是多少？【解答】解：设小李后来的速度为xkm/h，由题意得：4×7+（﹣4﹣0.5）x≥45，解得：x≥8，答：为了不迟到，小李后来的速度至少是8km/h【考点5：经济问题】【典例5】（2022秋•碑林区校级期末）新年到来之际，百货商场进行促销活动，某种商品进价1000元，出售时标价为1400元，本次打折销售要保证利润不低于5%，则最多可打（　　）A．六折 B．七折 C．七五折 D．八折【答案】C【解答】解：设该商品打x折销售，依题意得：1400×﹣1000≥1000×5%，解得：x≥7.5，∴该商品最多可打七五折．故选：C．【变式5-1】21.（2022•牡丹江一模）某种商品每件的进价为120元，商场按进价提高50%标价，为增加销量，准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可以打_______折（　　）A．7 B．7.5 C．8 D．8.5【答案】A【解答】解：设打x折，由题意可得：120（1+50%）×﹣120≥120×5%，解得x≥7，即至多打7折，故选：A．【变式5-2】（2022春•上蔡县期中）某种商品进价为20元，标价为30元出售，商场规定可以打折销售，但其利润率不能少于5%这种商品最多可以按几折销售？设这种商品打x折销售，则下列符合题意的不等式是（　　）A．30x﹣20≥20×5% B．30x﹣20≤20×5% C．30×﹣20≥20×5% D．30×﹣20≤20×5%【答案】C【解答】解：设这种商品可以按x折销售，则售价为30×，那么利润为：30×﹣20，根据题意可得：30×﹣20≥20×5%，故选：C．【典例6】（2023•大连模拟）学校为了奖励在“诗词大赛”中获奖同学，准备购买甲、乙两种奖品，已知购买1件甲奖品、4件乙奖品，共需240元；购买2件甲奖品、1件乙奖品，共需165元．（1）求每件甲奖品和每件乙奖品各多少元？（2）如果学校准备购买甲、乙两种奖品共40件，总费用不超过2140元，那么至少购买多少件乙奖品？【答案】（1）每件甲奖品的价格是60元，每件乙奖品的价格是45元；（2）至少购买18件乙奖品．【解答】解：（1）设每件甲奖品的价格是x元，每件乙奖品的价格是y元，根据题意得：，解得：．答：每件甲奖品的价格是60元，每件乙奖品的价格是45元；（2）设购买m件乙奖品，则购买（40﹣m）件甲奖品，根据题意得：60（40﹣m）+45m≤2140，解得：m≥，又∵m为正整数，∴m的最小值为18．答：至少购买18件乙奖品．【变式6-1】（2023•高新区模拟）某文具店经销甲、乙两种笔记本，每次购买同一种笔记本的单价相同，购进笔记本的具体信息如表：（1）求甲、乙两种笔记本的购买单价；（2）若第三次计划用不超过920元购买甲、乙两种笔记本共50本，求至少购买甲种笔记本多少本？【答案】（1）甲种笔记本的购买单价为16元/本，乙种笔记本的购买单价为20元/本；（2）至少购买甲种笔记本20本．【解答】解：（1）设甲种笔记本的购买单价为x元/本，乙种笔记本的购买单价为y元/本，根据题意得：，解得：．答：甲种笔记本的购买单价为16元/本，乙种笔记本的购买单价为20元/本；（2）设购买甲种笔记本m本，则购买乙种笔记本（50﹣m）本，根据题意得：16m+20（50﹣m）≤920，解得：m≥20，∴m的最小值为20．答：至少购买甲种笔记本20本．【变式6-2】（2023•蜀山区校级模拟）某超市现有甲、乙两种商品，已知一个甲商品比一个乙商品贵20元，购买甲、乙两种型号各10个共需1760元．（1）求甲、乙两种商品的单价各是多少元？（2）为吸引顾客，该超市准备对甲商品进行打折促销活动．已知甲商品的进价为49元/个，为保证打折后利润率不低于20%，至多可打几折．【答案】（1）甲种商品的单价是98元，乙种商品的单价是78元；（2）至多可打6折．【解答】解：（1）设乙种商品的单价是x元，则甲种商品的单价是（x+20）元，由题意得：10（x+20）+10x＝1760，解得：x＝78，∴x+20＝78+20＝98，答：甲种商品的单价是98元，乙种商品的单价是78元；（2）设甲商品可打a折，由题意得：98×0.1a﹣49≥49×20%，解得：a≥6，答：至多可打6折【考点6：方案问题】【典例7】（2023•林州市模拟）某初级中学为了提高教职工的身体素质，举办了“坚持锻炼，活力无限”的健身活动，并准备购买一些体育器材为活动做准备．已知购买2副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需要350元，购买6副乒乓球拍和3副羽毛球拍共需要420元．（1）购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？（2）已知该中学需要购买两种球拍共80副，羽毛球拍的数量不超过40副．现商店推出两种购买方案，方案A：购买一副羽毛球拍赠送一副乒乓球拍；方案B：按总价的八折付款．试说明选择哪种购买方案更实惠．【答案】（1）购买一副乒乓球拍需35元，一副羽毛球需70元；（2）当购买羽毛球拍的数量少于20副时，选项方案B更实惠；当当购买羽毛球拍的数量等于20副时，选项两种购买方案所需总费用相同；当购买羽毛球拍的数量大于20副且不超过40副时，选项方案A更实惠．【解答】解：（1）设购买一副乒乓球拍需x元，一副羽毛球需y元，依题意得：，解得：．答：购买一副乒乓球拍需35元，一副羽毛球需70元．（2）设购买m（0＜m≤20且m为整数）副羽毛球拍，则选择方案A所需总费用为70m+35（80﹣m）＝2800（元），选项方案B所需总费用为80%×[70m+35（80﹣m）]＝（28m+2240）（元）．当2800＞28m+2240时，m＜20，∵m＞0，∴0＜m＜20；当2800＝28m+2240时，m＝20；当2800＜28m+2240时，m＞20，∵m≤40，∴20＜m≤40．答：当购买羽毛球拍的数量少于20副时，选项方案B更实惠；当当购买羽毛球拍的数量等于20副时，选项两种购买方案所需总费用相同；当购买羽毛球拍的数量大于20副且不超过40副时，选项方案A更实惠．【变式7】（2022•长垣市一模）书法是中华民族的文化瑰宝，是人类文明的宝贵财富，是我国基础教育的重要内容．某学校准备为学生的书法课购买一批毛笔和宣纸，已知购买40支毛笔和100张宣纸需要280元；购买30支毛笔和200张宣纸需要260元．（1）求毛笔和宣纸的单价；（2）某超市给出以下两种优惠方案：方案A：购买一支毛笔，赠送一张宣纸；方案B：购买200张宣纸以上，超出的部分按原价打八折，毛笔不打折．学校准备购买毛笔50支，宣纸若干张（超过200张）．选择哪种方案更划算？请说明理由．【答案】（1）毛笔的单价为6元，宣纸的单价为0.4元；（2）当购买的宣纸数量超过200张不足450张时，选择方案A更划算；当购买的宣纸数量等于450张时，选择两方案所需费用相同；当购买的宣纸数量超过450张时，选择方案B更划算．【解答】解：（1）设毛笔的单价为x元，宣纸的单价为y元，依题意得：，解得：．答：毛笔的单价为6元，宣纸的单价为0.4元．（2）设购买宣纸m（m＞200）张．选择方案A所需费用为50×6+0.4×（m﹣50）＝0.4m+280（元）；选择方案B所需费用为50×6+0.4×200+0.4×0.8×（m﹣200）＝0.32m+316．当0.4m+280＜0.32m+316时，解得：m＜450，∴当200＜m＜450时，选择方案A更划算；当0.4m+280＝0.32m+316时，解得：m＝450，∴当m＝450时，选择方案A和方案B所需费用一样；当0.4m+280＞0.32m+316时，解得：m＞450，∴当m＞450时，选择方案B更划算．答：当购买的宣纸数量超过200张不足450张时，选择方案A更划算；当购买的宣纸数量等于450张时，选择两方案所需费用相同；当购买的宣纸数量超过450张时，选择方案B更划算．【典例8】（2023春•新城区校级月考）学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张．若学校购进20张甲种办公桌和15张乙种办公桌共花费17000元，购买10张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费1000元．（1）求甲、乙两种办公桌每张各多少元；（2）若学校购买甲、乙两种办公桌共40张，甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3倍，且总费用不超过18400元，那么有几种购买方案？【答案】（1）甲种办公桌每张400元，乙种办公桌每张600元；（2）3种方案．【解答】解：（1）设甲种办公桌每张x元，乙种办公桌每张y元，由题意可得，解得，∴甲种办公桌每张400元，乙种办公桌每张600元；（2）设购买甲种办公桌m张，由题意可得，解得28≤m≤30，∵m取整数，∴m的取值为28或29或30，∴共有3种方案．【变式8-1】（2023春•长沙月考）某商店从批发商处购进甲、乙两种产品，购进5件甲产品和8件乙产品需要成本170元，购进2件甲产品和4件乙产品需要成本80元．销售时，每件甲产品售价为20元，每件乙产品售价为35元．（1）求每件甲产品和每件乙产品的成本价；（2）若商店从批发商处购进甲、乙两种产品共100件，购进时总成本不超过1300元，且全部销售完以后利润不低于1580元，请问有几种购进方案？【答案】（1）每件甲产品的成本价为10元，每件乙产品的成本价为15元；（2）有3种购进方案．【解答】解：（1）设每件甲产品的成本价为x元，每件乙产品的成本价为y元，，解之得：，答：每件甲产品的成本价为10元，每件乙产品的成本价为15元；（2）设商店从批发商处购进甲产品a件，则购进乙产品（100﹣a）件，，解之得：40≤a≤42，∵a为整数，∴a＝40，41，42，答：有3种购进方案．【变式8-2】（2022秋•长沙期中）我市在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗2棵，需要900元；购买A种树苗5棵，B种树苗4棵，需要700元．（1）求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？（2）考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于32棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过5750元，若购进这两种树苗共80棵，则有哪几种购买方案？【解答】解：（1）设购买A种树苗每棵需x元，购买B种树苗每棵需y元，根据题意得：，解得，答：购买A种树苗每棵需100元，购买B种树苗每棵需50元；（2）设购买A种树苗m棵，则购买B种树苗（80﹣m）棵，∵购进A种树苗不能少于32棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过5750元，∴，解得32≤m≤35，∵m是正整数，∴m可取32，33，34，35，∴有4种购买方案：①购买A种树苗32棵，购买B种树苗48棵，②购买A种树苗33棵，购买B种树苗47棵，③购买A种树苗34棵，购买B种树苗46棵，④购买A种树苗35棵，购买B种树苗45棵．答题情况题数（题）每题得分（分）得分（分）答对x10　10x　答错或不答　（25﹣x）　　﹣5　　﹣5（25﹣x）　进货批次甲种笔记本数量（单位：本）乙种笔记本数量（单位：本）购买总费用（单位：元）第一次1520640第二次3025980