安徽省无为市部分学校2024届九年级下学期4月月考数学试卷(含解析)

这是一份安徽省无为市部分学校2024届九年级下学期4月月考数学试卷(含解析)，共18页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
说明：共8大题，计23小题，满分150分，作答时间120分钟．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 的相反数是（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】A
解析：解：的相反数是3，
故选：A．
2. 下列各式中，计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
解析：A．不能合并，所以A不正确，该选项不符合题意；
B．，所以B不正确，该选项不符合题意；
C．，所以C不正确，该选项不符合题意；
D．，所以D正确，该选项符合题意．
故选：D．
3. 石墨烯是2004年科学家从石墨中分离出的单层石墨片，这是目前世界上人工制得的最薄的材料，仅为米，数据用科学记数法表示为（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
解析：解：，
故选B．
4. 一个由两个长方体组成的几何体按如图所示的方式水平放置，则它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：从上面观察组合体是外面是一个正方形，中间有一个正方形，且都是实线，如图所示．
故选：C．
5. 点向右平移3个单位长度后，恰好在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A. 3B. C. 6D.
【答案】C
解析：解：由题意知，，
∵在的图象上，
∴．
故选：C．
6. 某校举行以“我和我的祖国”为主题的演讲比赛，7位评委给某同学打分（满分10分），该同学的得分情况是8，6，8，7，8，5，7．对于该组数据，下列说法错误的是（ ）
A. 平均数为7B. 众数为8C. 中位数为7D. 方差为2
【答案】D
解析：解：把这组数据从小到大排列为5，6，7，7，8，8，8，处在最中间的数是7，
∴这组数据的中位数为7，故C不符合题意；
∵这组数据中8出现了3次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为8，故B不符合题意；
这组数据的平均数为，故A不符合题意；
这组数据的方差为 ，故D符合题意；
故选：D．
7. 如图，四边形内接于，连接，且平分，则错误的结论是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
解析：解：A、 无法证明，故选项A错误，符合题意；
B、∵平分，∴，∴，故选项B正确，不符合题意；
C、∵四边形内接于，∴，故选项C正确，不符合题意；
D、∵平分，∴，∴，∴，故选项D正确，不符合题意；
故选：A
8. 如图，是等边三角形，是边上一点，连接，点在的延长线上，且，延长交于点，若，则的值为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
解析：解：过点作交于点作于点，如图，
∵是等边三角形，
∴
∵，
∴
∴是等边三角形，
∴
设，
∵，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴，
∴，
∴，
故选：B
9. 已知二次函数的图象如图所示，则二次函数与一次函数的图像大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：解：根据二次函数图象得出，
抛物线对称轴为
∴
∴二次函数的开口向上，与y轴交于正半轴，对称轴为；
一次函数的图像经过第一、二、四象限，
故选：C．
10. 如图，矩形的边分别是上的动点，连接，将沿着翻折，点的对应点为点，连接和，当的值最小时，的最小值为（ ）
A. 10B. C. D.
【答案】C
解析：解：根据题意得：点的轨迹在以点为圆心，的长为半径的圆上，所以当三点共线时，的值最小，此时，．
设， ．
在中，
∴，即
解得，3．
∴，，
作于点，
则，
∴，
在和中，
．
如图，作点关于直线的对称点，则，
连接与的交点即所求，此时的值最小，且，
在中，．
故选：C
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. ________．
【答案】2
解析：解：
，
故答案为：2．
12. 分解因式：_____．
【答案】
解析：解：
，
故答案为：．
13. 我国明代商人，珠算发明家程大位在《算法统宗》中记载了这样一个问题：一古寺内有三百六十四只碗，如果三个和尚共吃一碗饭，四个和尚共吃一碗羹，碗刚好够用．问古寺内共有和尚多少人?根据上述问题，可知和尚的总人数是________．
【答案】624人
解析：解：设寺内有x个和尚，
依题意，得：
解得
故答案为：624人
14. 如图，是反比例函数在第一象限内的图象上的一点，连接并延长至点，使得，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点．
（1）若，则________．
（2）________．
【答案】 ①. ②. 3
解析：（1）如图，过点作轴．
在中，，，
．
（2）如图，连接，作轴于点，交于点．
分别是的中点，
，且相似比均为．
设的面积为，则的面积为的面积为，
的面积为的面积为．
与的高相等，
．
故答案为：，3．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解不等式：．
【答案】
解析】解：
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
系数化为1，得．
16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．
（1）以原点为位似中心，将放大为原来的3倍，画出放大后的．
（2）以直线为对称轴，画出（1）中关于直线对称．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【小问1解析】
如图所示：即为所求；
【小问2解析】
即为所求．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 劳动教育已纳人人才培养全过程，某学校加大劳动教育投人，建设校园农场．该农场一种作物的产量在两年内从200千克增加到242千克，若平均每年的增产率相同，求该作物平均每年的增产率．
【答案】该作物平均每年的增产率为10%．
解析：解：设该作物平均每年的增产率为，根据题意，得
，
解得（不合题意，舍去）．
答：该作物平均每年的增产率为．
18. 观察下列等式．
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
第4个等式：．
第5个等式：．
…
按照以上规律，解决下列问题．
（1）写出第6个等式：________．
（2）写出你猜想的第个等式：________（用含的式子表示），并证明．
【答案】（1）
（2），证明见解析
【小问1解析】
解：观察等式可知：
第6个等式：，
故答案为：；
小问2解析】
解：第个等式：，
证明：左边 ，
右边，
左边=右边，
，
故答案为：
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 安徽省科技馆是大型公益性科普教育场所，开馆以来，吸引了大量学生和家长前去参观和体验．如图1，这是馆内的一个全国最大的球状屏幕，图2是它的示意图，是球屏的平面图，的直径为28米，是测角仪，高度为0.5米．垂直水平地面，此时测得球屏视线最上部的仰角为，即，视线最下部的仰角为，即．视线与相切，切点分别为和．求点到的距离．（参考数据：，，，，，）
【答案】点至的距离为3.3米．
解析：解：如图，连接．
与相切，
平分．
，
．
又的直径为28米，
米．
在中，米．
由题意得四边形是矩形，
米．
在中，米，
米．
答：点至的距离为3.3米．
20. 如图，菱形的对角线相交于点，分别过点作的平行线，且与相交于点．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）求四边形与菱形的面积比．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【小问1解析】
证明：四边形为菱形，
．
∴，
，
四边形为平行四边形，
平行四边形为矩形．
【小问2解析】
解：四边形为菱形，
．
又菱形的面积，
矩形的面积，
四边形与菱形的面积比为．
六、（本题满分12分）
21. 某中学近期举行了“我的中国梦”歌手大赛，根据初赛成绩，选出了5位歌手．为了了解学生最喜爱的歌手，随机抽取若干名学生进行投票，投给自己最喜爱的歌手，每人都要投票且只投一人，将投票结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图．
（1）本次随机抽取的学生人数为________，并补全条形统计图．
（2）若参与投票的学生共有500名，可估计出其中最喜爱歌手的学生人数为_______，扇形统计图中所占的圆心角的度数为________°．
（3）学校计划在4位歌手中随机抽取2位分享心得体会，求恰好选中歌手和歌手的概率．
【答案】（1）60人，图见解析；
（2）125；54； （3）．
【小问1解析】
解：本次随机抽取的学生人数为（人）．
最喜爱E人数为：（人）
补全条形统计图如下：
故答案为：60；
【小问2解析】
解：最喜爱歌手的学生人数为（人）；
扇形统计图中所占的圆心角的度数为，
故答案为：125；54；
【小问3解析】
解：画树状图如下：
以上共有12种等可能的结果，恰好选中歌手和歌手的结果有2种，
恰好选中歌手和歌手的概率为．
七、（本题满分12分）
22. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，连接，某同学设计了一条抛物线取不同的值，便可得到不同的抛物线，设抛物线与直线交于点．
（1）用含的代数式表示抛物线的对称轴及顶点坐标．
（2）设点的纵坐标为，当取得最小值时，抛物线上有两点，且，请求出的最小值，并比较与的大小．
（3）当抛物线与线段有公共点时，求出的取值范围．
【答案】（1）对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）最小值是，；
（3）或．
【小问1解析】
解： ，
该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．
【小问2解析】
解：把代入抛物线解析式，得，
当时，取得最小值，且最小值是，
此时抛物线的解析式为，
当时，随的增大而增大．
．
【小问3解析】
解：当抛物线分别经过点时，
可得，
解得或．
如图1，当抛物线在对称轴右侧的部分分别经过点时，抛物线与线段有一个公共点，此时；
如图2，当抛物线在对称轴左侧的部分分别经过点时，抛物线与线段有一个公共点，此时．
综上所述，符合题意的的取值范围为或．
八、（本题满分14分）
23. 如图，四边形是正方形，是对角线，点和点分别在边和上，且，过点作，交的延长线于点，连接．
（1）求证：．
（2）当为的中点时，求．
（3）求证：．
【答案】（1）见解析；
（2）；
（3）见解析．
【小问1解析】
证明：是正方形的对角线，
．
又，
，
，
．
，
，
．
【小问2解析】
解：是正方形的对角线，
．
，
．
设，则，
如图1，过点作于点，则
∵
∴，
∴是等腰直角三角形．
又，
．
，
，
，
，
．
又，
，
，
在中，．
【小问3解析】
证明：如图2，作于点，连接．
由（1）知，设，
则，
，
，
在中，．