2022-2023学年安徽省芜湖市部分学校九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省芜湖市部分学校九年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  实数的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  计算结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  年安徽省经济总量迈上亿元新台阶，其中亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，将一个圆柱体垂直切去右边一部分，左边部分的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  将一块等边三角形蛋糕切三次，最多能分成的块数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列因式分解中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  某中学开展校徽设计评比七、八年级分别设计了个作品，九年级共设计了个作品如果不考虑其他因素，从这四个作品中随机选取两个供全校投票选择，则选中的个作品来自不同年级的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，点，，均在上，若，，则(    )

A.
B.
C.
D.

9.  在平面直角坐标系中，已知为常数，且，，则关于的一次函数与的图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  ，分别是正方形的两边，的中点，，相交于，，分别是，的中点，连接，则下列结论错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.  的立方根是______．

12.  命题：“如果，那么”的逆命题是______．

13.  如图，一次函数与反比例函数的图象交于和两点，已知，则 ______ ．

14.  已知关于的二次函数为常数，且，的图象与轴交于，两点请完成下列问题：
线段的长为______ ．
若该二次函数的图象的顶点为，且与轴的正半轴交于点当时，的值为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
计算：．

16.  本小题分
如图，在每个小正方形的边长为个单位的网格中，的顶点均在格点网格线的交点上已知是格点的一部分，且是轴对称图形．
在图中画出；
将绕点逆时针旋转，得到，画出．

17.  本小题分
某地新开发风景区月份的游客人数比月份增加，月份的游客人数比月份减少了．
设该风景区月份的游客人数为万人，请用含的代数式填表：

求该风景区月份、月份游客人数的月平均增长率．

18.  本小题分
观察下列等式：
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；

按照以上规律，解决下列问题：
写出第个等式：______ ；
写出你猜想的第个等式用含的式子表示，并证明．

19.  本小题分
如图，山的南北两面分别有两条索道和，索道的底端与山脚的距离为米，在和处分别测得山顶的仰角，，在山的另一面处测得山顶的仰角分别求两条索道和的长参考数据：，，，

20.  本小题分
如图，为半圆的直径，四边形为平行四边形，为的中点，平分，交于点．
求证：；
若，，求的长．

21.  本小题分
某工厂有甲、乙两个分厂，其中甲分厂有名青工，乙分厂有名青工在全厂这名青工中开展了劳动技能大赛，并按统一标准将比赛成绩从小到大分成，，，，五个等级两个分厂各自随机抽取了名青工的成绩，分别绘制了如下两种不完整的统计图．

补全甲分厂的条形统计图，并求出乙分厂的扇形统计图中等级对应的扇形圆心角的度数；
求出甲、乙两分厂抽取的名青工成绩的中位数分别属于哪个等级？
如果，等级的成绩为优秀，请估计该厂甲、乙两个分厂青工本次劳动技能大赛成绩的优秀率以及全厂青工本次劳动技能大赛成绩的优秀率结果精确到

22.  本小题分
某水果店一种水果的日销售量千克与销售价格元千克满足一次函数关系，部分数据如表．

求这种水果日销售量与销售价格之间的函数关系式；
若将这种水果每千克的价格限定在元元的范围，求这种水果日销售量的范围；
已知这种水果购进的价格为元千克，求这种水果在日销售量不超过千克的条件下可获得的最大毛利润假设：毛利润销售额购进成本

23.  本小题分
在和中，，，，连接．

如图，若点在边上，，相交于点．
求证：；
若，，，求的长．
如图，若，为的中点，连接，求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：实数的绝对值是．
故选：．
负数的绝对值是其相反数，依此即可求解．
本题考查了绝对值的知识，掌握绝对值的性质是本题的关键，解题时要细心．
 

2.【答案】 

【解析】解：

，
故选：．
先算乘方，再算除法，即可解答．
本题考查了整式的混合运算，幂的乘方与积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正整数，当原数绝对值小于时，是负整数．
本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：左边部分的左视图是：
．
故选：．
左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案．
此题考查了简单几何体的三视图，解答本题的关键是掌握左视图的观察位置．
 

5.【答案】 

【解析】解：将一块等边三角形按如图所示切次，最多可分成块，

故选：．
根据等边三角形作图即可确定答案．
本题考查了等边三角形的性质，作出图形是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、原式，不符合题意；
B、原式，符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，不符合题意；
故选：．
A、先提取公因式，再用完全平方公式因式分解；
B、用完全平方公式因式分解；
C、先提取公因式，再用平方差公式因式分解；
D、提取负号后不能再因式分解．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解因式，分解因式要彻底是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：把七、八年级设计的作品分别记为、，九年级设计的个作品分别记为、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中选中的个作品来自不同年级的结果有种，
选中的个作品来自不同年级的概率为，
故选：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中选中的个作品来自不同年级的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

，
，
，
，
，
．
故选：．
连接，根据，得，再根据，得．
本题考查了圆的性质和等腰三角形的性质，关键是利用圆的半径相等和等腰三角形的性质．
 

9.【答案】 

【解析】解：当，时，一次函数图象都过第一、三、四象限，的图象过第一、二、四象限，无选项符合题意；
当，时，一次函数与的图象都过第二、三、四象限，选项D符合题意；
当，时，一次函数图象都过第一、二、四象限，的图象过第一、三、四象限，无选项符合题意．
故选：．
根据一次函数的图象和性质判断即可．
本题考查了一次函数图象：一次函数、为常数，是一条直线，当，图象经过第一、三象限，随的增大而增大；当，图象经过第二、四象限，随的增大而减小；图象与轴的交点坐标为．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图所示，

，分别是正方形的两边，的中点，
，
，，
≌，
，
，
，
即，
，
故A正确；
如图所示，延长交的延长线于，

正方形中，，
，
是的中点，
，
，
≌，
，
是的中点，
中，；
故B正确；
设正方形的边长为，
则，
，
，
，
，
，分别是，的中点，
，
，
在中，，
，，
故C错误，D正确；
故选：．
证明≌，根据全等三角形的性质得出，进而得出，即可判断，延长交的延长线于，证明≌，得出，即可判断，设正方形的边长为，则，勾股定理得出，根据，得出，进而勾股定理求得，即可求解．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，正切的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
的立方根是．
故答案为：．
先求得的值，然后再利用立方根的性质求解即可．
本题主要考查的是立方根的性质，熟练掌握立方根的性质是解题的关键．
 

12.【答案】如果，那么 

【解析】

【分析】
本题考查的是命题和定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．根据逆命题的概念解答即可．
【解答】

解：如果，那么的逆命题是如果，那么，
故答案为：如果，那么．

13.【答案】 

【解析】解：如图所示，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，

依题意，，
又，
，
和，
，
解得：，
和在上，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，根据题意得出，代入，的坐标得出，将，代入一次函数，得出，进而求得点，根据反比例函数的的几何意义，即可求解．
本题考查了反比例函数的的几何意义，一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握反比例函数的的几何意义是解题的关键．
 

14.【答案】  

【解析】解：令，得，
解得，，
，
故答案为：；
二次函数化为：，
该二次函数的图象的顶点为：，
二次函数的图象与轴的正半轴交于点，
，
，，
，，
，
，
，
，
解得或舍去，
，
故答案为：．
令，求出，，进而得出的长；
二次函数化为：一般式，根据顶点坐标公式求出的坐标，二次函数的图象与轴的正半轴交于点，求出的坐标，再根据，列出等式，解出方程即可．
本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，掌握这三个知识点的综合应用是解题关键．
 

15.【答案】解：原式


． 

【解析】直接利用负整数指数幂的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值，分别化简得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

16.【答案】解：如图所示，即为所求；
如图所示，即为所求． 

【解析】根据轴对称的性质结合网格即可求解；
根据旋转变换的性质找出对应点即可求解．
本题考查了轴对称变换的性质与旋转变换的性质，熟练掌握轴对称变换的性质与旋转变换的性质是解题的关键．
 

17.【答案】   

【解析】解：由题意可知，月份的游客人数为万人，
月份的游客人数为：万人，
故答案为：，；
设该风景区月份、月份游客人数的月平均增长率为，
由题意得：，
解得：，不符合题意舍去，
答：该风景区月份、月份游客人数的月平均增长率为．
由题意分别列式计算即可；
设该风景区月份、月份游客人数的月平均增长率为，由月份游客人数月平均增长率，列出一元二次方程，解方程取符合题意的值即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：第个等式为：，
故答案为：；
猜想：，
证明：等式左边




右边．
故猜想成立．
根据所给的等式的形式进行求解即可；
分析所求的等式的形式，再进行总结即可，并对等式的左边进行整理，即可验证．
本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．
 

19.【答案】解：如图所示，过点作于点，

在中，，
在中，，
，
，即，
解得：，
在中，米，
在中，米 

【解析】过点作于点，在，中，分别求得，，根据，求得，进而在，中，求得米，米．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键．
 

20.【答案】证明：连接，如图所示，

为的中点，
，
，
平分，
，
是直径，
，，则，
，
是等腰直角三角形，
；

解：如图所示，设，交于点，

是等腰直角三角形，，
，
在中，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】连接，根据已知条件得出，，，根据直径所对的圆周角是直角，得出，，根据三角形的外角的性质得出，即可证明是等腰直角三角形，从而得证；
设，交于点，根据是等腰直角三角形，得出，勾股定理求得，得出，进而解，，即可求解．
本题考查了等弧所对的圆周角相等，解直角三角形，直径所对的圆周角是直角，熟练掌握以上知识是解题的关键．
 

21.【答案】解：甲分厂中等级的人数为：，
补全甲分厂的条形统计图如下：

乙分厂的扇形统计图中等级对应的扇形圆心角的度数为；
甲分厂抽取的名青工成绩的中位数位于等级；
乙分厂抽取的名青工成绩的中位数位于等级；
甲分厂青工本次劳动技能大赛成绩的优秀率为；
乙分厂青工本次劳动技能大赛成绩的优秀率为：；
全厂青工本次劳动技能大赛成绩的优秀率为：． 

【解析】用减去其它四个等级的人数可得等级人数，进而补全甲分厂的条形统计图；用乘等级所占百分比可得乙分厂的扇形统计图中等级对应的扇形圆心角的度数；
根据中位数的定义解答即可；
用优秀人数除以总数可得优秀率．
本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
 

22.【答案】解：设这种水果日销售量与销售价格之间的函数关系式为，
把，；，代入解析式，
则，
解得，
这种水果日销售量与销售价格之间的函数关系式为；
当时，，
当时，，
在中，，
随的增大而减小，
，
这种水果每千克的价格限定在元元的范围时，这种水果日销售量的范围为千克千克；
设毛利润为元，
根据题意得：，
这种水果在日销售量不超过千克，
，
解得，
，
当时，随的增大而减小，
当时，有最大值，最大值为元，
答：最大毛利润为元． 

【解析】根据表中数据，用待定系数法求出函数解析式；
根据中函数解析式的性质求出的取值范围；
设毛利润为元，根据毛利润销售额购进成本列出函数解析式，利用函数的性质求最值．
本题考查了二次函数的应用和待定系数法求一次函数解析式，关键是求出函数解析式．
 

23.【答案】证明：，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：，，
，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
设，则，
∽，
，即，
，，
，
，
解得：，
；
证明：，，，
如图，将绕点逆时针旋转得到，延长交于点，，交于点，

≌，
，即，
，
，
，
是的中点，，
，
． 

【解析】利用“”证明≌，由全等三角形的性质即可证明；
设，则，证明∽，列比例式，表示和的长，根据，列方程可解答；
如图，将绕点逆时针旋转得到，延长交于点，，交于点，则≌，再根据三角形的中位线定理可得结论．
本题是三角形的综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，旋转的性质，直角三角形两锐角互余等知识，解题关键是证明≌，熟练运用全等三角形的性质解决问题．