高中数学2.3 直线的交点坐标与距离公式精品课堂检测

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【夯实基础】
题型1两直线的交点问题
1.已知直线，则与的交点坐标是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】联立两直线方程，解方程即可得出交点的坐标.
【详解】由题意知，
，
所以两直线的交点为，
故选：A
2.直线与直线的交点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】直线的交点即方程组的解集；解得方程组的解即交点坐标.
【详解】根据课本概念可得到直线的交点即方程组的解集；解得方程组的解为.
故答案为D.
【点睛】在同一平面内，两条直线有三种位置关系，即相交、平行、重合．相应地由直线的方程组成的二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、有无数解．当的解只有一组时，这两条直线和有一个公共点，它们的位置关系为相交．当的解有无数组时，这两条直线和有无数个公共点，它们的位置关系为重合．当无解时，这两条直线和没有公共点，它们的位置关系为平行．
3.过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先求出两条直线的交点，根据垂直求出直线斜率，再用点斜式即可求出直线方程.
【详解】由题意得：
，
解得，
直线的斜率是，
故其垂线的斜率是：，
∴所求方程是：，
即，
故选：D
【点睛】本题主要考查两条直线的交点坐标，以及两直线垂直的应用，属于简单题.
4.直线与直线交点坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】联立两直线方程得到方程组，解方程组即交点坐标.
【详解】解：由得，
因此，所求交点坐标为．
故选：B
【点睛】本题考查两直线的交点坐标的求解，属于基础题.
5.直线:与:交点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】联立直线方程得到方程组，解得即可；
【详解】解：联立方程得
解得，所以直线:与:交点的坐标为
故选：A
题型2两点间的距离
6.已知点，，，且，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平面直角坐标系上任意两点间的距离公式计算可得；
【详解】解：因为点，，，且，所以
.解得.
故选：C.
【点睛】本题考查平面直角坐标系上两点间的距离公式的应用，属于基础题.
7.已知点(x，y)到原点的距离等于1，则实数x，y满足的条件是（ ）
A．x2－y2＝1B．x2＋y2＝0
C．＝1D．＝0
【答案】C
【分析】由两点间的距离公式即可求结果.
【详解】由两点间的距离公式得：
故选：C
8.已知过点(0，2)的圆的圆心在直线上，则圆的面积最小时圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用点到直线的距离求出半径的最小值，由两直线的交点坐标求出圆心坐标，从而得到圆的方程；
【详解】解:据题设分析知，圆半径的最小值，此时圆的圆心为直线与直线（直线)的交点．联立方程，解得，所以所求圆的方程是
故选：A
【点睛】本题考查点到直线的距离公式的应用，直线的交点坐标以及圆的标准方程的计算，属于中档题.
9.（多选题）对于，下列说法正确的是（ ）
A．可看作点与点的距离
B．可看作点与点的距离
C．可看作点与点的距离
D．可看作点与点的距离
【答案】BCD
【分析】化简，结合两点间的距离公式，即可求解.
【详解】由题意，可得，
可看作点与点的距离，可看作点与点的距离，可看作点与点的距离，故选项A不正确，
故答案为：BCD.
【点睛】本题主要考查平面上两点间的距离公式及其应用，其中解答中熟记平面上两点间的距离公式是解答的关键，属于基础题.
10.已知点在直线上运动，则取得最小值时点的坐标为_______．
【答案】
【分析】将所求目标转化为直线上的点到点的距离，可得点与直线垂直时两点间的距离最小，从而得到过点且与直线垂直的直线，然后联立得到点的坐标.
【详解】转化为直线上的点到点的距离的平方，
又点到直线的距离最小，
过点且与直线垂直的直线为
因此两直线联立，，解得
故点的坐标为
【点睛】本题考查定点到直线上点的距离的最小值，直线交点问题，属于简单题.
题型3直线过定点问题
11.已知满足，则直线必过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题先代换得，再化简直线方程为，最后建立方程组求所过定点.
【详解】由，得，代入直线方程中，
得，即.
令解得
该直线必过定点.
故选：D.
【点睛】本题考查直线所过定点问题，是基础题.
12.若直线与直线关于点对称，则直线一定过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】求出直线l1过定点，结合点的对称性进行求解即可．
【详解】∵＝k（x﹣1）+1，
∴l1：y＝kx﹣k+1过定点（1，1），
设定点（1，1）关于点（3，3）对称的点的坐标为（x，y），
则，得，即直线l2恒过定点
故选：C
【点睛】本题主要考查直线过定点问题，利用点的对称性是解决本题的关键．
13.动点P在直线上运动，为定点，当最小时，点P的坐标为 ．
【答案】
【分析】当与直线垂直时，最小，利用直线垂直的条件和点斜式方程求得过点与直线垂直的直线方程，然后联立方程组求解即得.
【详解】当与直线垂直时，最小，
直线的斜率为，∴其垂线的斜率为1，
∴过点与直线垂直的直线方程为,即,
由解得,
∴当最小时，点P的坐标为，
故答案为：.
【点睛】本题考查直线上动点到定点的距离最小问题，涉及直线的垂直的条件，直线方程的求法，两直线的交点坐标的求法，属中档题，难度一般.
14.（多选题）两直线，与x轴相交且能构成三角形，则m不能取到的值有
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】求出直线经过的定点，利用三条直线不能构成三角形求得的值，即可得到结论.
【详解】由题知，三条直线相交于同一个点时，此时，此时不能构成三角形；
直线整理得：，由，解得，
即直线经过定点，
当直线的斜率，即时，此时直线，与x轴不能构成三角形；
当直线与直线平行时，即时，三条直线不能构成三角形；
综上：两直线，与x轴相交不能构成三角形的的取值为：或或.
故选：ABD.
【点睛】本题考查了三点共线，两条直线平行与倾斜角、斜率的关系，训练了线系方程过定点的求法．
15.（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．直线必过定点
B．直线在y轴上的截距为1
C．过点且垂直于直线的直线方程为
D．直线的倾斜角为120°
【答案】AC
【分析】对于A，整理直线方程，合并出参数的系数，令其等于零，建立方程，可得答案；
对于B，将代入直线方程，结合截距的定义，可得答案；
对于C，根据直线之间的垂直关系，设未知直线方程，代入点，可得答案；
对于D，根据直线的一般式方程，明确直线的斜率，可得答案.
【详解】对于A，由直线方程，整理可得，当时，，故A正确；
对于B，将代入直线方程，可得，解得，故B错误；
对于C，由直线方程，则其垂线的方程可设为，将点代入上式，可得，解得，则方程为，故C正确；
对于D，由直线方程，可得其斜率为，设其倾斜角为，则，解得，故D错误.
故选：AC.
【能力提升】
单选题
1.直线x-y+2＝0与x+y-2＝0的交点坐标是（ ）
A．（0，2）B．（2，0）C．（1，1）D．（-1，1）
【答案】A
【分析】联立方程组进行求解即可求出直线的交点坐标．
【详解】由，得，即交点坐标为(0，2).
故选：A．
2.若直线l1：y＝kx＋1与l2：x－y－1＝0的交点在第一象限内，则k的取值范围是（ ）
A．(1，＋∞)B．(－1，1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)
【答案】B
【分析】联立直线方程求出焦点坐标，根据交点在第一象限列出不等式可求出.
【详解】联立直线方程，解得，
∵直线的交点在第一象限，，∴解不等式组可得.
故选：B．
3.经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0平行的直线l的方程为
A．3x－4y＋8＝0B．3x－4y＋6＝0
C．4x＋3y－6＝0D．4x＋3y＋6＝0
【答案】A
【分析】联立l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0，求出交点P，代入3x－4y＋c＝0中即可求出.
【详解】设所求直线方程为3x－4y＋c＝0，
联立 解得，代入3x－4y＋c＝0，
解得，故所求直线为：3x－4y＋8＝0
故选A.
【点睛】本题主要考查了两直线的交点，直线的平行，属于中档题.
4.直线与的交点在第四象限，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】联立方程可直接求出交点坐标，令交点的横坐标大于零，纵坐标小于零，解不等式组即可.
【详解】解：直线与的交点在第四象限，
，
联立方程： ，解得，即，解得：.故选：C.
5.点到直线距离的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】首先求直线恒过的定点，将点到直线的距离的最大值转化为两点间距离.
【详解】直线恒过点，,
点到直线距离，
即点到直线距离的最大值为.
故选：B
6.已知点，，线段的垂直平分线与x轴相交于点P，则的值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【分析】首先求出的垂直平分线方程，从而得到，再用两点之间距离公式计算即可.
【详解】线段AB的中点坐标为，
线段AB所在直线的斜率．
线段AB的垂直平分线方程为．
令，得．
解得，因此，．
.
故选：D
【点睛】本题主要考查直线方程，同时考查两点之间距离公式，属于简单题.
7.直线（）过定点，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先将直线方程转化为直线系方程，再求解直线和的交点即可得答案.
【详解】解：根据直线得，
故直线过定点为直线和的交点，
联立方程得，解得 ，
所以定点的坐标为.
故选：B.
【点睛】本题考查直线过定点问题，两直线的交点坐标，考查运算能力，是基础题.
8.一条光线沿直线照射到轴后反射，则反射光线所在的直线方程为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出直线与，轴的交点，点关于轴的对称点，反射光线所在的直线即为所在的直线，由截距式方程即可求出答案.
【详解】直线与，轴分别相交于点，，
点关于轴的对称点．
∴光线沿直线照射到轴后反射，
则反射光线所在的直线即为所在的直线，
直线方程为，即.故选：A．
多选题
9.已知直线：，则下列说法正确的是（ ）．
A．直线的斜率可以等于0B．直线恒过点
C．若直线与轴的夹角为，则或D．若直线在两坐标轴上的截距相等，则
【答案】BC
【分析】根据题意由直线的相关知识，逐个分析即可．
【详解】当时，直线的斜率不存在，
当时，直线的斜率为，不可能等于0，故A选项错误；
直线与轴的夹角为，直线的倾斜角为或，又直线的斜率为，
或或，故C选项正确；
直线的方程可化为，
所以直线过定点，故B选项正确；
当时，直线在轴上的截距不存在，
当时，令，得，令，得，
令，得，故D选项错误，
故选：BC．
10.已知直线，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过点（1，1）B．若直线与轴的夹角为30°，则或
C．直线的斜率可以等于0D．若直线在两坐标轴上的截距相等，则或
【答案】ABD
【分析】将方程化为判断直线过定点，判断A的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B的正误；讨论和时直线的斜率和截距情况，判断CD的正误；.
【详解】直线的方程可化为，所以直线过定点，故A选项正确；
∵直线与轴的夹角为30°，
∴直线的倾斜角为60°或120°，而直线的斜率为，
∴或，∴或，故B选项正确；
当时，直线，斜率不存在，
当时，直线的斜率为，不可能等于0，故C选项错误；
当时，直线，在轴上的截距不存在，
当时，令，得，令，得，
令，得，故D选项正确．
故选：ABD．
11.（多选）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线的一般式方程为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】考虑直线过原点和不过原点两种情况，进而通过斜截式和截距式求出答案.
【详解】当直线过原点时，斜率，所以直线方程为，即；当直线不过原点时，设直线方程为，代入点得，解得，所以直线方程为．综上所述，所求直线方程为或．
故选：CD.
12.已知平面上三条直线，，不能构成三角形，则实数k的值可以为（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】ABC
【分析】即找三直线其中两条平行或三线交于一点时实数k的值,
【详解】依题：三条直线交于一点或其中两条平行且与第三条直线相交，
①当直线经过直线与直线的交点时，
，解得.
②当直线与直线平行时，，解得；
当直线与直线平行时，可得，
综上：或或.
故选:ABC.
填空题
13.已知直线l过两直线x+2y+4＝0和2x﹣3y+8＝0的交点，且过点（0，1），则直线l的方程为 ．
【答案】
【分析】求出两直线x+2y+4＝0和2x﹣3y+8＝0的交点，则直线l过点（，0），（0，1），由此能求出直线l的方程．
【详解】解：直线l过两直线x+2y+4＝0和2x﹣3y+8＝0的交点，且过点（0，1），
联立，得，
∴直线l过点（，0），（0，1），
∴直线l的方程为，即．
故答案为：．
14.中，，，，则边上的中线所在的直线与边上的高所在的直线的交点坐标为
【答案】
【解析】利用中点坐标公式可得：线段的中点为，再利用点斜式可得边上的中线所在直线方程为．利用斜率计算公式可得，即可得出边上的高所在直线的方程为，联立解出即可．
【详解】线段的中点为，
边上的中线所在直线方程为，化为．
，边上的高所在直线的方程为，
化为，
联立，解得．
边上的中线所在直线与边上的高所在直线的交点坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式、直线的交点，考查计算能力，属于基础题．
15.两直线2x-3y-12=0和x+y-1=0的交点为 ，经过此交点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 或 ．
【答案】 （3，-2） 2x+3y=0 x+y-1=0
【分析】联立两直线方程即可求得交点坐标；分类讨论直线过原点与不过原点的情况,求解直线方程即可
【详解】解：联立,解得,
∴两直线和的交点为；
当直线过原点时,直线方程为,即,
当直线不过原点时,设直线方程为,则,即,
∴直线方程为
∴经过此交点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为或
故答案为；；
【点睛】本题考查两直线的交点坐标,考查直线的斜截式方程,考查分类讨论思想
16.直线必经过定点___________.
【答案】
【分析】根据直线方程可得，进而得出，解方程组即可.
【详解】由，得，
所以，解得，
即直线过定点.
故答案为：
解答题
17.已知直线：，：．
（1）求直线与交点的坐标；
（2）若直线经过点且在两坐标轴上的截距相等，求直线的一般方程.
【答案】（1） （2）或
【分析】（1）直接联立直线方程组成方程组，求出交点坐标即可．
（2）利用（1）所求点且直线经过原点或直线的斜率为，求出所求直线方程即可．
【详解】（1）由题意，联立方程得解得，所以点坐标为
（2）由截距相等可得直线过原点或斜率为
①过原点，斜率为，直线方程为
②斜率为时，直线方程为
综上的一般方程为或
【点睛】本题考查直线方程的求法，直线的截距相等不可以遗漏过原点的情况，属于基础题．
18.已知两条直线分别为3x－2y＋1＝0和x＋3y＋4＝0
（1）求两条直线的交点
（2）求过两条直线交点且垂直于直线x＋3y＋4＝0的直线方程
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据两条直线方程,联立即可求得两条直线的交点坐标.
（2）根据两条直线垂直的斜率关系可求得直线斜率,由点斜式即可求得直线方程.
【详解】（1）两条直线分别为和
则两条直线的交点为的解
解方程组可得
所以两条直线的交点坐标为
（2）与直线垂直
则两条直线的斜率之积为
即
解得
又因为过
由点斜式方程可知
化简得
即过两条直线交点且垂直于直线的直线方程为
【点睛】本题考查了直线交点坐标的求法,两条直线垂直的斜率关系,点斜式方程的应用,属于基础题.
19.已知直线和相交于点.
(1)若直线经过点且与垂直，求直线的方程；
(2)若直线经过点且与平行，求直线的方程.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）联立两直线方程，求出交点坐标，设的方程为，将代入方程，求出参数的值，即可得解；
（2）依题意设的方程为，将代入方程，求出参数的值，即可得解；
【详解】（1）解：由，解得，
所以与的交点为
设与垂直的直线的方程为，
将代入，即解得，
则的方程为；
（2）解：依题意设的方程为，
将代入，即解得，
∴的方程为.
20.求证：无论a取何值，方程总表示一条直线，且恒过一定点．
【答案】详见解析.
【分析】将方程变为求解.
【详解】方程可变为，
由，解得，
又a与1-2a不可能同时为0，
所以方程总表示一条直线，且恒过一定点.