还剩53页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
沪教版七年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷特训02期中解答压轴题(第9章)(原卷版+解析)
展开
这是一份沪教版七年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷特训02期中解答压轴题(第9章)(原卷版+解析)，共56页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
1．利用多项式乘法法则计算：
（1） = ；
= ．
在多项式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，如果把上面计算结果作为结论逆运用，则成为因式分解中的立方和与立方差公式．
已知，利用自己所学的数学知识，以及立方和与立方差公式，解决下列问题：
（2） ；（直接写出答案）
（3） ；（直接写出答案）
（4） ；（写出解题过程）
2．阅读理解
（1）已知下列结果，填空：
（2）以（1）中最后的结果为参考，求下列代数式的值（结果可以含幂的形式）
3．（1）把左右两边计算结果相等的式子用线连接起来：
（2）观察上面计算结果相等的各式之间的关系，可归纳得出：
____________________________________________________
（3）利用上述规律计算下式的值：
4．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图可以得到．请解答下列问题：
（1）写出图中所表示的数学等式；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值；
（3）小明同学打算用张边长为的正方形，张边长为的正方形，张相邻两边长为分别为、的长方形纸片拼出了一个面积为 长方形，那么他总共需要多少张纸片？
5．探索、研究：仪器箱按如图方式堆放（自下而上依次为第1层、第2层、…），受堆放条件限制，堆放时应符合下列条件：每层堆放仪器箱的个数an与层数n之间满足关系式an＝n2−32n＋247，1⩽n＜16，n为整数．
(1)例如，当n＝2时，a2＝22−32×2＋247＝187，则a5＝ ，a6＝ ；
(2)第n层比第（n＋1）层多堆放多少个仪器箱；（用含n的代数式表示）
(3)假设堆放时上层仪器箱的总重量会对下一层仪器箱产生同样大小的压力，压力单位是牛顿，设每个仪器箱重54 牛顿，每个仪器箱能承受的最大压力为160牛顿，并且堆放时每个仪器箱承受的压力是均匀的．
①若仪器箱仅堆放第1、2两层，求第1层中每个仪器箱承受的平均压力；
②再确保仪器箱不被损坏的情况下，仪器箱最多可以堆放几层，为什么？
6．如图是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
(1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积
方法1： ；
方法2： ．
(2)请你写出下列三个代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系． ；
(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知：a﹣b＝5，ab＝﹣6，则（a+b）2＝ ．
(4)请你在下方画出一个几何图形来解释（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2左右相等．
7．在长方形中，，现将长方形向上平移，再向左平移后到长方形的位置(的对应点为，其它类似)．
当时，请画出平移后的长方形，并求出长方形与长方形的重叠部分的面积．
当满足什么条件时，长方形与长方形有重叠部分(边与边叠合不算在内)，请用的代数式表示重叠部分的面积．
在平移的过程中，总会形成一个六边形，试用来表示六边形的面积．
8．［知识回顾]
有这样一类题：
代数式的值与x的取值无关，求a的值；
通常的解题方法；
把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即．
［理解应用]
(1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值；
(2)已知的值与x无关，求y的值；
(3)（能力提升）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当AB的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
9．阅读理解下列材料：
“数形结合”是一种非常重要的数学思想．在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．所谓“等积法”就是用不同的方法表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．如图1，从整体看是一边长为的正方形，其面积为．从局部看由四部分组成，即：一个边长为的正方形，一个边长为的正方形，两个长、宽分别为，的长方形．这四部分的面积和为．因为它们表示的是同一个图形的面积，所以这两个代数式应该相等，即．
同理，图2可以得到一个等式：．
根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
(1)由图3可得等式：___________；
(2)由图4可得等式：____________；
(3)若，，，且，，求的值．
①为了解决这个问题，请你利用数形结合思想，仿照前面的方法在下方空白处画出相应的几何图形，通过这个几何图形得到一个含有，，的等式．
②根据你画的图形可得等式：______________；
③利用①的结论，求的值．
10．阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法：
设①
则②
②①得，．
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）______；
（2）求______；
（3）求的和；（请写出计算过程）
（4）求的和（其中且）．（请写出计算过程）
11．【阅读理解】
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决此类问题时一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则．
例：已知，，其中．求证：．证明：．
∵，
∴．
∴．
【新知应用】
（1）比较大小：______．
（2）甲、乙两个长方形的长和宽如图所示（m为正整数），其面积分别为、．试比较、的大小关系．
【实际应用】
（3）请用“作差法”解决下列问题：
某游泳馆在暑假期间对学生优惠开放，有A、B两种方案可供选择，A方案：每次按原价打八五折；B方案：第一次按照原价，从第二次起每次打八折．请问游泳的同学选择哪种方案更合算？
【拓展提升】
（4）已知x、y、z满足，，比较代数式与的大小．
12． 数学中的许多规律不仅可以通过数的运算发现，也可以通过图形的面积发现．
(1)填表：【数的角度】
(2)【形的角度】如图①，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，怎样计算图中阴影部分的面积？小明和小红分别用不同的方法计算图中阴影部分的面积．小明的方法：若阴影部分看成大正方形与小正方形的面积差，则阴影部分的面积用代数式表示为 ；小红的方法：若沿图①中的虚线将阴影部分剪开拼成新的长方形（图②），则阴影部分的面积用代数式表示为 ．
(3)【发现规律】猜想：a＋b、 a－b 、a2－b2这三个代数式之间的等量关系是 ．
(4)【运用规律】运用上述规律计算：502－492＋482－472＋462－452…＋22－1．
13．观察：已知．
…
（1）猜想： ；
（2）应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值：
① ；
② ；
（3）拓广：① ；
②判断的值的个位数是几？并说明你的理由．
14．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1：A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形．
(1)选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个长为的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式____________；
(2)请用这3种卡片拼出一个面积为的长方形（数量不限），在图3的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽；
(3)选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形DEFG框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分．已知GF的长度固定不变，DG的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，．若，则当a与b满足____时，S为定值，且定值为______．（用含b的代数式表示）
15．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
(1)图2中的阴影部分的面积为：____________（用a、b的代数式表示）；
(2)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是____________；
(3)利用（2）中的结论，若，，求的值____________；
(4)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，请你写出这个等式____________．
(5)如图4，点是线段上的一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG，连接EG、BG、BE，当时，的面积记为，当时，的面积记为，…，以此类推，当时，的面积记为，计算的值．
16．数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们常利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，如：探索整式乘法的一些法则和公式．
(1)探究一：
将图1的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图2的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的分解因式____________________．
(2)探究二：类似地，我们可以借助一个棱长为的大正方体进行以下探索：
在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图3所示，则得到的几何体的体积为____________；
(3)将图3中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图4、图5所示，∵，，，∴长方体①的体积为．类似地，长方体②的体积为________，长方体③的体积为________；（结果不需要化简）
(4)用不同的方法表示图3中几何体的体积，可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为______________．
(5)问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知a-b=6，ab=2，求的值．
(6)类比以上探究，尝试因式分解：= ．
17．阅读材料：把形如的二次三项式或其一部分配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆写，即．
例如：、、是的三种不同形式的配方即“余项”分别是常数项、一次项、二次项．
请根据阅读材料解决下列问题：
(1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方；
(2)已知，，求的值；
(3)当，何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？
18．【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．
例1 用配方法因式分解：a2＋6a＋8．
原式＝ a2＋6a＋9－1＝（a＋3）2－1＝（a＋3－1）（a＋3＋1）＝（a＋2）（a＋4）．
例2若M＝a2－2ab＋2b2－2b＋2，利用配方法求M的最小值；
a2－2ab＋2b2－2b＋2＝a2－2ab＋b2＋b2－2b＋1＋1＝（a－b）2＋（b－1）2＋1；
∵（a－b）2≥0，（b－1）2≥0，
∴当a＝b＝1时，M有最小值1．
请根据上述自主学习材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2＋10a＋________；
(2)用配方法因式分解：a2－12a＋35．
(3)若M＝a2－3a+1，则M的最小值为________；
(4)已知a2＋2b2＋c2－2ab＋4b－6c＋13＝0，则a＋b＋c的值为________；
19．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．
例如：由图1可得到
（1）写出由图2所表示的数学等式：_________________；
（2）写出由图3所表示的数学等式（利用阴影部分）：________________；
（3）已知实数满足．求：
①的值；
②的值．
20．“阅读素养的培养是构建核心素养的重要基础，华师中山附中以实施百书计划为突破口，着力提升学生的核心素养．”全校师生积极响应和配合，开展各种活动丰富其课余生活．在数学兴趣小组中，同学们从书上认识了很多有趣的数，其中有一个“和平数”引起了同学们的兴趣．描述如下：一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“和平数”．例如：1423，x=1+4，y=2+3，因为x=y，所以1423是“和平数”．
(1)直接写出：最大的“和平数”是___．
(2)将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后这两个“和平数”为“相关和平数”，例如：1423与4132为“相关和平数”．
设任意一个“和平数”千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，则该“和平数”和它的“相关和平数”的数值分别为：“和平数”值 ，“相关和平数”值是 ．
求证：任意的两个“和平数”与“相关和平数”之和是1111的倍数．
(3)求同时满足下列条件的所有“和平数”：
①个位上的数字是千位上的数字的两倍；
②百位上的数字与十位上的数字之和是12．
21．阅读下列材料，然后解答问题：
问题：分解因式：.
解答：把代入多项式，发现此多项式的值为0，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出，的值.再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”.
（1）求上述式子中，的值；
（2）请你用“试根法”分解因式：.
22．若一个正整数能表示成(是正整数，且)的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，与是的一个平方差分解. 例如：因为，所以5是“明礼崇德数”，3与2是5的平方差分解；再如：(是正整数)，所以也是“明礼崇德数”，与是的一个平方差分解.
(1)判断：9_______“明礼崇德数”(填“是”或“不是”)；
(2)已知(是正整数，是常数，且)，要使是“明礼崇德数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由；
(3)对于一个三位数，如果满足十位数字是7，且个位数字比百位数字大7，称这个三位数为“七喜数”.若既是“七喜数”，又是“明礼崇德数”，请求出的所有平方差分解.
23．阅读理解题
阅读材料：
两个两位数相乘，如果这两个因数的十位数字相同，个位数字的和是10，该类乘法的速算方法是：将一个因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足两位，用0补齐）．
比如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以；
再如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以；
又如，，不足两位，就将6写在百位：，不足两位，就将9写在个位，十位上写0，所以
该速算方法可以用我们所学的整式乘法与分解因式的知识说明其合理性；
设其中一个因数的十位数字为，个位数字是，（、表示1~9的整数），则该数可表示为，另一因数可表示为．
两数相乘可得：
.
（注：其中表示计算结果的前两位，表示计算结果的后两位．）
问题：
两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个位数字之和是10．
如、、等．
（1）探索该类乘法的速算方法，请以为例写出你的计算步骤；
（2）设十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是，则该数可以表示为___________．
设另一个因数的十位数字是，则该数可以表示为___________．（、表示1~9的正整数）
（3）请针对问题（1）（2）中的计算，模仿阅读材料中所用的方法写出如：的运算式：____________________
24．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
.
（1）上述分解因式的方法是______________法.
（2）分解的结果应为___________.
（3）分解因式：.
25．找规律：观察算式
13＝1
13+23＝9
13+23+33＝36
13+23+33+43＝100
…
（1）按规律填空）
13+23+33+43+…+103＝ ；
13+23+33+43+…+n3＝ ．
（2）由上面的规律计算：113+123+133+143+…+503（要求：写出计算过程）
（3）思维拓展：计算：23+43+63+…+983+1003（要求：写出计算过程）
26．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3
(1)根据上述规定，填空：（5，25）＝ ，（2，1）＝ ，（3，）＝ ．
(2)小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4），并作出了如下的证明：
设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n．
所以3x＝4，即（3，4）＝x，
所以（3n，4n）＝（3，4）．
试解决下列问题：
①计算（8，1000）﹣（32，100000）；
②请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，2）＋（3，5）＝（3，10）．
27．数形结合是一种非常重要的数学思想，它包含两个方面，第一种是“以数解形”，第二种是“以形助数”，我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微”．请你使用数形结合这种思想解决下面问题：
图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分为四块完成相同的小长方形，然后按照图2的形状拼成一个正方形．
(1)观察图2，用两种方法计算阴影部分的面积，可以得到一个等式，请使用代数式，，ab写出这个等式_____________．
(2)运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且，，试求的值．
(3)如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积．
28．阅读理解，解答下列问题：利用平面图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．
（1）例如，根据下图①，我们可以得到两数和的平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2根据图②能得到的数学公式是__________．
（2）如图③，请写出（a＋b）、（a﹣b）、ab之间的等量关系是__________
（3）利用（2）的结论，解决问题：已知x＋y＝8，xy＝2，求（x﹣y）2的值．
（4）根据图④，写出一个等式：__________．
（5）小明同学用图⑤中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片，用这些纸片恰好拼出一个面积为（3a＋b）（a＋3b）长方形，请画出图形，并指出x＋y＋z的值．
类似地，利用立体图形中体积的等量关系也可以得到某些数学公式．
（6）根据图⑥，写出一个等式：___________．
a
b
a＋b
a－b
a2－b2
2
1
3
1
3
3
－2
1
5
特训02 期中解答压轴题（第9章）
一、解答题
1．利用多项式乘法法则计算：
（1） = ；
= ．
在多项式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，如果把上面计算结果作为结论逆运用，则成为因式分解中的立方和与立方差公式．
已知，利用自己所学的数学知识，以及立方和与立方差公式，解决下列问题：
（2） ；（直接写出答案）
（3） ；（直接写出答案）
（4） ；（写出解题过程）
【答案】（1），；（2）6；（3）14；（4）198
【分析】（1）根据整式的混合运算法则展开计算即可；
（2）利用完全平方公式变形，再代入求值；
（3）利用立方差公式和完全平方公式变形，再代入求值；
（4）利用立方差公式和完全平方公式变形，再代入求值；
【解析】解：（1）
=
=
=
=，
故答案为：，；
（2）
=
=
=6；
（3）
=
=
=
=14；
（4）
=
=
=
=198
【点睛】本题考查了因式分解-运用公式法，正确的理解已知条件中的公式是解题的关键．
2．阅读理解
（1）已知下列结果，填空：
（2）以（1）中最后的结果为参考，求下列代数式的值（结果可以含幂的形式）
【答案】（1）；（2）342
【分析】（1）根据题中给出的等式，写出的值即可；（2）根据已知条件知，推导出 ，然后进行化简即可.
【解析】（1）依据题意
∴
(2)由已知得
∴
=
=
=
=342
故答案为（1）；（2）342
【点睛】本题考查了根据已知等式探索规律，通过已知的等式找出等式的规律是解题的关键.
3．（1）把左右两边计算结果相等的式子用线连接起来：
（2）观察上面计算结果相等的各式之间的关系，可归纳得出：
____________________________________________________
（3）利用上述规律计算下式的值：
【答案】
【解析】分析：按照题目中所给的数据可以知道， =(a+b)(a-b)，所以可以反复使用本公式计算.
详解：
（1）
（2）
（3）原式=
=
= .
点睛：观察已知数据，可以得到平方差公式的 =(a+b)(a-b)，的一种特殊形式，
.
4．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图可以得到．请解答下列问题：
（1）写出图中所表示的数学等式；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值；
（3）小明同学打算用张边长为的正方形，张边长为的正方形，张相邻两边长为分别为、的长方形纸片拼出了一个面积为 长方形，那么他总共需要多少张纸片？
【答案】（1）；（2）50；（3）143.
【分析】（1）直接求得正方形的面积，再根据正方形的面积=各矩形的面积之和求解即可.
（2）将，代入（1）中得到的式子，然后计算即可；
（3）长方形的面积，然后运算多项式乘多项式，从而求得x、y、z的值，代入即可求解.
【解析】解：（1）
（2）由（1）可知：
（3）根据题意得，
所以，，
所以
答：小明总共需要张纸．
【点睛】本题主要考查整式的运算，难度较大，熟练掌握整式的运算以及代数式求值是解题关键.
5．探索、研究：仪器箱按如图方式堆放（自下而上依次为第1层、第2层、…），受堆放条件限制，堆放时应符合下列条件：每层堆放仪器箱的个数an与层数n之间满足关系式an＝n2−32n＋247，1⩽n＜16，n为整数．
(1)例如，当n＝2时，a2＝22−32×2＋247＝187，则a5＝ ，a6＝ ；
(2)第n层比第（n＋1）层多堆放多少个仪器箱；（用含n的代数式表示）
(3)假设堆放时上层仪器箱的总重量会对下一层仪器箱产生同样大小的压力，压力单位是牛顿，设每个仪器箱重54 牛顿，每个仪器箱能承受的最大压力为160牛顿，并且堆放时每个仪器箱承受的压力是均匀的．
①若仪器箱仅堆放第1、2两层，求第1层中每个仪器箱承受的平均压力；
②再确保仪器箱不被损坏的情况下，仪器箱最多可以堆放几层，为什么？
【答案】(1)112，91；
(2)（31－2n）个
(3)①46.75N；②5层，理由见解析
【分析】（1）把n＝5，n＝6分别代入n2−32n＋247中进行计算；
（2）分别表示出n＋1和n时的代数式，然后进行减法计算；
（3）①根据公式分别求得第二层和第一层的个数，再根据第二层的总重量除以第一层的个数进行计算；②根据①中的方法进行估算，求得最多可以堆放的层数．
（1）
解：当n＝5时，a5＝52−32×5＋247＝112，
当n＝6时，a6＝62−32×6＋247＝91；
（2）
解：由题意可得，
答：第n层比第（n＋1）层多堆放（31－2n）个仪器箱．
（3）
解：①由题意得，
＝＝46.75（牛）
答：第1层中每个仪器箱承受的平均压力是46.75牛．
②该仪器箱最多可以堆放5层，理由如下．
当n＝1时，a1＝216，
当n＝2时，a2＝187，
当n＝3时，a3＝160，
当n＝4时，a4＝135，
当n＝5时，a5＝112，
当n＝6时，a6＝91，
当n＝5时，第1层中每个仪器箱承受的平均压力为：
＝148.5＜160（牛）
当n＝6时，第1层中每个仪器箱承受的平均压力为：
＝171.25＞160（牛）
所以，该仪器箱最多可以堆放5层．
【点睛】本题考查了图形变化规律探究问题，要能够根据所给的公式进行分析计算，同时体现了“估算”思想，体现了“优选”思想，对这类问题能从“中点”处、“黄金分割点”处思考是解答此题的重要思想．
6．如图是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
(1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积
方法1： ；
方法2： ．
(2)请你写出下列三个代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系． ；
(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知：a﹣b＝5，ab＝﹣6，则（a+b）2＝ ．
(4)请你在下方画出一个几何图形来解释（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2左右相等．
【答案】(1)（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn
(2)（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn
(3)1
(4)画图解释见解析
【分析】（1）主要通过观察和理解图形，用含m，n的式子来表示图中阴影部分的面积；
（2）将完全平方展开，合并同类项即可看出三个式子的等量关系；
（3）将题干所给已知条件带入（2）所得到的等量关系中，即可求出答案；
（4）根据所给等量关系，画出几何图形．
【解析】（1）图中阴影部分的面积为（m﹣n）2或（m+n）2﹣4mn，
故答案为：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn；
（2）（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn，
故答案为：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；
（3）∵a﹣b＝5，ab＝﹣6，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝25﹣24＝1，
故答案为1；
（4）如图③，
∵四边形ABCD的面积＝（a﹣b）（a+2b）或a（a+2b）﹣ab﹣2b2，
∴（a﹣b）（a+2b）＝a（a+2b）﹣ab﹣2b2，
∴（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2．
【点睛】本题考查了完全平方公式；值得注意的是，该题不仅仅考查了完全平方的运算求解能力，还与图形相结合，考查难度提升，要求学生对完全平方公式的掌握非常熟练并结合图形方可准确得出答案．
7．在长方形中，，现将长方形向上平移，再向左平移后到长方形的位置(的对应点为，其它类似)．
当时，请画出平移后的长方形，并求出长方形与长方形的重叠部分的面积．
当满足什么条件时，长方形与长方形有重叠部分(边与边叠合不算在内)，请用的代数式表示重叠部分的面积．
在平移的过程中，总会形成一个六边形，试用来表示六边形的面积．
【答案】（1）长方形见详解，重叠部分的面积=；（2）重叠部分的面积=，；（3）．
【分析】（1）根据题意，画出长方形，进而可得重叠部分的面积；
（2）根据题意得长方形与长方形的重叠部分的长为，宽为，从而得重叠部分的面积，由重叠部分的长与宽的实际意义，列出关于x的不等式组，进而即可求解；
（3）延长A1D1，CD交于点M，延长A1B1，CB交于点N，根据割补法，求出六边形的面积，即可．
【解析】（1）长方形，如图所示：
∵在长方形中，，将长方形向上平移，再向左平移后到长方形的位置，
∴长方形与长方形的重叠部分的面积=；
（2）∵，将长方形向上平移，再向左平移后到长方形的位置，
∴长方形与长方形的重叠部分的长为，宽为，
∴重叠部分的面积=，
∵且且，
∴；
（3）延长A1D1，CD交于点M，延长A1B1，CB交于点N，
六边形的面积=
=
=．
【点睛】本题主要考查图形的平移变换以及用代数式表示几何图形的数量关系，掌握平移变换的性质，是解题的关键．
8．［知识回顾]
有这样一类题：
代数式的值与x的取值无关，求a的值；
通常的解题方法；
把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即．
［理解应用]
(1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值；
(2)已知的值与x无关，求y的值；
(3)（能力提升）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当AB的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【分析】（1）根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得；
（2）先根据整式的加减求出的值，再根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得；
（3）设，先求出，从而可得，再根据“当的长变化时，的值始终保持不变”可知的值与的值无关，由此即可得．
(1)
解：
，
关于的多项式的值与的取值无关，
，
解得；
(2)
令
，
原式=
，
的值与无关，
，
解得；
(3)
解：设，
由图可知，，，
则
，
当的长变化时，的值始终保持不变，
的值与的值无关，
，
．
【点睛】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加减乘法的运算法则是解题关键．
9．阅读理解下列材料：
“数形结合”是一种非常重要的数学思想．在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．所谓“等积法”就是用不同的方法表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．如图1，从整体看是一边长为的正方形，其面积为．从局部看由四部分组成，即：一个边长为的正方形，一个边长为的正方形，两个长、宽分别为，的长方形．这四部分的面积和为．因为它们表示的是同一个图形的面积，所以这两个代数式应该相等，即．
同理，图2可以得到一个等式：．
根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
(1)由图3可得等式：___________；
(2)由图4可得等式：____________；
(3)若，，，且，，求的值．
①为了解决这个问题，请你利用数形结合思想，仿照前面的方法在下方空白处画出相应的几何图形，通过这个几何图形得到一个含有，，的等式．
②根据你画的图形可得等式：______________；
③利用①的结论，求的值．
【答案】(1)（a+2b）2=a2+4ab+4b2；
(2)（2a+b）（a+2b）=2a2++5ab+2b2；
(3)①见解析；②（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca；③29．
【分析】（1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积=各长方形的面积之和求解即可；
（2）直接求得长方形的面积，然后再根据长方形的面积=各长方形的面积之和求解即可；
（3）①根据题意画出图形即可；
②直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积=各矩形的面积之和求解即可；
③将a+b+c=9，ab+bc+ac=26代入②中得到的关系式，然后进行计算即可．
（1）
大正方形的面积可表示为=（a+2b）2，
大正方形的面积=各个长方形的面积之和=a2+4ab+4b2，
所以（a+2b）2=a2+4ab+4b2，
故答案为：（a+2b）2=a2+4ab+4b2；
（2）
大长方形的面积可表示为=（2a+b）（a+2b），
大长方形的面积=各个长方形的面积之和=2a2++5ab+2b2，
所以（2a+b）（a+2b）=2a2++5ab+2b2，
故答案为：（2a+b）（a+2b）=2a2++5ab+2b2；
（3）
①所画图形如下：
②正方形的面积可表示为=（a+b+c）2；
正方形的面积=各个矩形的面积之和=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，
所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．
故答案为：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca；
③∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，
∴a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+bc+ca）=92-26×2=81-52=29．
【点睛】本题考查的是多项式乘多项式应用，利用面积法列出等式是解题的关键．
10．阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法：
设①
则②
②①得，．
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）______；
（2）求______；
（3）求的和；（请写出计算过程）
（4）求的和（其中且）．（请写出计算过程）
【答案】（1）221−2；（2）2-；（3）；（4）+
【分析】（1）根据阅读材料可得：设s＝①，则2s＝22＋23＋…＋220＋221②，②−①即可得结果；
（2）设s＝①，s＝②，②−①即可得结果；
（3）设s＝①，-2s＝②，②−①即可得结果；
（4）设s＝①，as＝②，②−①得as-s=-a-，同理：求得-，进而即可求解．
【解析】解：根据阅读材料可知：
（1）设s＝①，
2s＝22＋23＋…＋220＋221②，
②−①得，2s−s＝s＝221−2；
故答案为：221−2；
（2）设s＝①，
s＝②，
②−①得，s−s＝-s＝-1，
∴s＝2-，
故答案为：2-；
（3）设s＝①
-2s＝②
②−①得，-2s−s＝-3s＝+2
∴s＝；
（4）设s＝①，
as＝②，
②-①得：as-s=-a-，
设m=-a-③，
am=-④，
④-③得：am-m=a-，
∴m=，
∴as-s=+，
∴s=+．
【点睛】本题考查了规律型−实数的运算，解决本题的关键是理解阅读材料进行计算．
11．【阅读理解】
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决此类问题时一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则．
例：已知，，其中．求证：．证明：．
∵，
∴．
∴．
【新知应用】
（1）比较大小：______．
（2）甲、乙两个长方形的长和宽如图所示（m为正整数），其面积分别为、．试比较、的大小关系．
【实际应用】
（3）请用“作差法”解决下列问题：
某游泳馆在暑假期间对学生优惠开放，有A、B两种方案可供选择，A方案：每次按原价打八五折；B方案：第一次按照原价，从第二次起每次打八折．请问游泳的同学选择哪种方案更合算？
【拓展提升】
（4）已知x、y、z满足，，比较代数式与的大小．
【答案】（1）；（2）（3）当时， A方案合算；当时，此时两个方案的总价相同；当时， B方案合算；（4）
【分析】（1）做x-1与2+x的差，再根据差的正负性即可判断；
（2）分别用m表示，然后计算的差的正负性，即可得到答案；
（3）根据题意分别写出表示两种方案的总价的代数式，然后作差，再分情况讨论即可；
（4）先将z看作常数，解关于x、y的二元一次方程组，然后带入并作差，根据差的正负性即可得到答案；
【解析】解：（1）根据材料得，
∴
故填；
（2）由图知：
∴
∵m是正整数
∴
∴
∴
（3）设原价为a（），去的次数为x（x为正整数），总价分别为
根据题意可知：，
∵，x为正整数，
∴当时，，故，此时A方案合算；
当时，，故，此时两个方案的总价相同；
当时，，故，此时B方案合算；
（4）由、得、，
联立方程组并解得
∴==
∴
【点睛】本题是材料题，考查了对所给信息的获取能力，涉及了二元一次方程组，不等式的性质等相关知识，掌握所需知识，理解题意并根据题目所给方法做出结论是本题的解题关键．
12． 数学中的许多规律不仅可以通过数的运算发现，也可以通过图形的面积发现．
(1)填表：【数的角度】
(2)【形的角度】如图①，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，怎样计算图中阴影部分的面积？小明和小红分别用不同的方法计算图中阴影部分的面积．小明的方法：若阴影部分看成大正方形与小正方形的面积差，则阴影部分的面积用代数式表示为 ；小红的方法：若沿图①中的虚线将阴影部分剪开拼成新的长方形（图②），则阴影部分的面积用代数式表示为 ．
(3)【发现规律】猜想：a＋b、 a－b 、a2－b2这三个代数式之间的等量关系是 ．
(4)【运用规律】运用上述规律计算：502－492＋482－472＋462－452…＋22－1．
【答案】(1)5，
(2)
(3)
(4)1275
【分析】(1)a=3，b=-2时，;
时，a-b=．
(2)小空1 大正方形面积为a2，小正方形的面积为b2，作差即可．
小空2 把长方形的长和宽分别用含有a、b的代数式表示出来，再按照长方形面积公式计算即可．
(3)根据第(2)小题发现的规律写出等量关系即可．
(4)每两个数为一组按照根据第（3）小题写出的规律进行变形，问题即可解决．
（1）
（2）
小明的方法:大正方形面积为a2，小正方形的面积为b2，，
∴阴影部分的面积为a2-b2；
小红的方法：长方形的长为a+b，宽为a-b，
∴阴影部分的面积为(a+b)(a-b)．
故答案为：
（3）
a＋b、 a－b 、a2－b2这三个代数式之间的等量关系是．
（4）
502－492＋482－472＋462－452…＋22－1
=(502－492)＋(482－472)＋(462－452 )…＋(22－1)
=(50+49) ×(50-49)+(48+47) ×（48-47）+(46+45) ×(46-45) …+(2+1) ×(2-1)
=50+49+48+47+46+45+…+2+1
=
=1275
【点睛】本题是一道综合性题目，通过代数计算填表和面积法两种方式发现规律：平方差公式．然后再运用规律进行计算，提高了学生应用数学的能力，解题的关键是发现规律．
13．观察：已知．
…
（1）猜想： ；
（2）应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值：
① ；
② ；
（3）拓广：① ；
②判断的值的个位数是几？并说明你的理由．
【答案】（1）；（2）① ；② ；（3）① ；② 个位上数字是7，理由见解析．
【分析】（1）根据一系列等式总结出规律即可；
（2）① 令，代入上面规律计算即可；
（2）② 将式子变形为：，计算即可；
（3）① 提取，将原式变形为：，按照规律计算即可；
（3）② 由，…结果是以2、4、8、6，，的个位数字为8，进一步得到结果．
【解析】解：（1）
（2）①
=
=
②
=
=
（3）①
=
=
=
②
=
=
∵…结果是以2、4、8、6循环
∴
∴的个位数字为8，
∴的个位数字为7
【点睛】本题考查整式混合运算的应用，找出本题的规律是解题关键．
14．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1：A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形．
(1)选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个长为的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式____________；
(2)请用这3种卡片拼出一个面积为的长方形（数量不限），在图3的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽；
(3)选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形DEFG框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分．已知GF的长度固定不变，DG的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，．若，则当a与b满足____时，S为定值，且定值为______．（用含b的代数式表示）
【答案】(1)＝
(2)见解析
(3)时，
【分析】（1）用两种方法表示图2的面积，即可得出公式；
（2）由a2+4ab+3b2可得A型卡片1张，B型卡片3张，C型卡片4张，根据题意画出图形即可；
（3）设DG的长为x，求出S1，S2即可解决问题．
(1)
解：方法1：大正方形的面积为（a+b）2，
方法2：图中四部分的面积和为a2+2ab+b2，
∴（a+b）2=a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2；
(2)
解：如图3，
(3)
解：设DG的长为x，
∵S1=a[x-（a+2b）]=ax-a2-2ab，S2=2b（x-a）=2bx-2ab，
∴S=S2-S1
=2bx-2ab-（ax-a2-2ab）
=（2b-a）x+a2，
若S为定值，则2b-a=0，
∴a=2b，
∴当a与b满足a=2b时，S为定值，且定值为，
故答案为：a=2b，．
【点睛】本题考查了完全平方公式，完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的特点，数形结合的数学思想是解决问题的关键．
15．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
(1)图2中的阴影部分的面积为：____________（用a、b的代数式表示）；
(2)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是____________；
(3)利用（2）中的结论，若，，求的值____________；
(4)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，请你写出这个等式____________．
(5)如图4，点是线段上的一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG，连接EG、BG、BE，当时，的面积记为，当时，的面积记为，…，以此类推，当时，的面积记为，计算的值．
【答案】(1)
(2)
(3)16
(4)
(5)
【分析】（1）图2中阴影部分的面积可以用两种方法得到，先表示阴影部分的边长，再表示面积，二是图2大正方形面积减去图1的面积，即可得出答案
（2）由（1）可以得出三个代数式之间的关系；
（3）利用（2）中关系，整体代入求值即可；
（4）从整体求面积与各个部分的面积和两个方面即可得出等式；
（5）△BEG的面积总等于以BC为边长的正方形面积的一半，即，再利用平方差公式化简求值即可．
（1）
（2）
（3）
，时，，
故答案为：16
（4）
（5）
如图，连接，在正方形和正方形中
∴
∴
当时，；
当时，；
……
当时，；
∴
．
【点睛】考查正方形的性质，完全平方公式的意义和应用，利用图形中的面积得出相应的等式是得出正确答案的前提．
16．数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们常利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，如：探索整式乘法的一些法则和公式．
(1)探究一：
将图1的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图2的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的分解因式____________________．
(2)探究二：类似地，我们可以借助一个棱长为的大正方体进行以下探索：
在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图3所示，则得到的几何体的体积为____________；
(3)将图3中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图4、图5所示，∵，，，∴长方体①的体积为．类似地，长方体②的体积为________，长方体③的体积为________；（结果不需要化简）
(4)用不同的方法表示图3中几何体的体积，可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为______________．
(5)问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知a-b=6，ab=2，求的值．
(6)类比以上探究，尝试因式分解：= ．
【答案】(1)
(2)
(3)，
(4)
(5)252
(6)
【分析】（1）图1中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，图2中阴影部分的面积等于长为、宽为的长方形的面积，由此即可得；
（2）直接利用大正方体的体积减去小正方体的体积即可得出答案；
（3）根据长方体的体积公式即可得；
（4）根据（2）和（3）的结论可得，再将等号右边利用提取公因式分解因式即可得出答案；
（5）先利用完全平方公式求出，再根据（4）的结论即可得；
（6）将改写成，再根据（4）的结论进行因式分解即可得．
（1）
解：图1中阴影部分的面积为，
图2中阴影部分的面积为，
拼图前后图形的面积不变，
，
可得一个多项式的分解因式为，
故答案为：．
（2）
解：由题意，得到的几何体的体积为，
故答案为：．
（3）
解：，
长方体②的体积为，
，
长方体③的体积为，
故答案为：，．
（4）
解：由（2）和（3）得：，
则可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为，
故答案为：．
（5）
解：，
，
．
（6）
解：由（4）可知，，
则
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方差公式与图形面积、利用完全平方公式变形求值、利用提公因式法分解因式等知识点，熟练掌握利用不同的方法表示同一个几何体的体积得到代数恒等式是解题关键．
17．阅读材料：把形如的二次三项式或其一部分配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆写，即．
例如：、、是的三种不同形式的配方即“余项”分别是常数项、一次项、二次项．
请根据阅读材料解决下列问题：
(1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方；
(2)已知，，求的值；
(3)当，何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？
【答案】(1)第一种：；第二种：；第三种：
(2)
(3)16
【分析】（1）根据材料中的三种不同形式的配方，“余项”分别是常数项、一次项、二次项，可解答；
（2）将配方，根据平方的非负性可得和的值，可解答；
（3）首先把已知等式变为，然后利用完全平方公式分解因式，变为两个非负数和一个正数的和的形式，然后利用非负数的性质即可解决问题．
（1）
解：第一种：；
第二种：；
第三种：；
（2）
，，
，
，
，
，，
；
（3）
，
，
，
，
，
解得．
当，时，代数式的最小值是．
【点睛】本题考查的是配方法的应用，首先利用完全平方公式使等式变为两个非负数和一个正数的和的形式，然后利用非负数的性质解决问题．
18．【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．
例1 用配方法因式分解：a2＋6a＋8．
原式＝ a2＋6a＋9－1＝（a＋3）2－1＝（a＋3－1）（a＋3＋1）＝（a＋2）（a＋4）．
例2若M＝a2－2ab＋2b2－2b＋2，利用配方法求M的最小值；
a2－2ab＋2b2－2b＋2＝a2－2ab＋b2＋b2－2b＋1＋1＝（a－b）2＋（b－1）2＋1；
∵（a－b）2≥0，（b－1）2≥0，
∴当a＝b＝1时，M有最小值1．
请根据上述自主学习材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2＋10a＋________；
(2)用配方法因式分解：a2－12a＋35．
(3)若M＝a2－3a+1，则M的最小值为________；
(4)已知a2＋2b2＋c2－2ab＋4b－6c＋13＝0，则a＋b＋c的值为________；
【答案】(1)25；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】（1）利用完全平方公式的结构特征判断即可；
（2）原式常数项35分为，利用完全平方公式化简，再利用平方差公式分求解即可；
（3）配方后，利用非负数的性质确定出最小值即可；
（4）将已知等式利用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质求出，，的值，代入原式计算即可．
（1）
解：；
故答案为：25；
（2）
解：
；
（3）
解：
，
当，即时，取最小值，最小值为；
故答案为：；
（4）
解：，
，
即，
，，，
，，，
解得：，，
则．
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，非负数的性质：偶次方，完全平方式，以及因式分解分组分解法，解题的关键是熟练掌握各自的运算法则及公式．
19．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．
例如：由图1可得到
（1）写出由图2所表示的数学等式：_________________；
（2）写出由图3所表示的数学等式（利用阴影部分）：________________；
（3）已知实数满足．求：
①的值；
②的值．
【答案】（1）（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）（a-b-c）2=a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc；（3）①0；②1
【分析】（1）大正方形的面积等于6个长方形和3个小正方形的面积和；
（2）图中阴影部分面积为正方形等于阴影部分面积等于大正方形面积减去5个长方形和3个小正方形的面积；
（3）①将（1）式子变形ab+bc+ca=×[（a+b+c）2-（a2+b2+c2）]，代入已知即可求解；②先求出（a+b+c）3=a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2a+3b2c+3c2a+3bc2+6abc，再结合已知条件，将式子逐步代入，得到1=3（a+b+c）-2（a3+b3+c3）+6abc，即可求解．
【解析】解：（1）大正方形的面积为（a+b+c）2，
9个长方形和小正方形的面积和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
∴（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）图中阴影部分面积为正方形，则有（a-c-b）（a-b-c）=（a-b-c）2，
阴影部分面积等于大正方形面积减去5个长方形和3个小正方形的面积，即a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc，
∴（a-b-c）2=a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc；
（3）①由（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
可得ab+bc+ca=×[（a+b+c）2-（a2+b2+c2）]，
∵a+b+c=1，a2+b2+c2=1，
∴ab+bc+ca=0；
②∵（a+b+c）3=a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2a+3b2c+3c2a+3bc2+6abc，
∵a+b+c=1，a2+b2+c2=1，
∴1=a3+b3+c3+3[b（a2+c2）+a（b2+c2）+c（a2+b2）]+6abc=a3+b3+c3+3[b（1-b2）+a（1-a2）+c（1-c2）]+6abc，
1=3（a+b+c）-2（a3+b3+c3）+6abc，
∴1=3-2（a3+b3+c3）+6abc，
∴a3+b3+c3-3abc=1．
【点睛】本题考查了因式分解的应用；根据一个图形面积的不同求法，利用面积相等，得到相应的表达式，再将表达式进行适当的变形，用代入法求值是解题关键．
20．“阅读素养的培养是构建核心素养的重要基础，华师中山附中以实施百书计划为突破口，着力提升学生的核心素养．”全校师生积极响应和配合，开展各种活动丰富其课余生活．在数学兴趣小组中，同学们从书上认识了很多有趣的数，其中有一个“和平数”引起了同学们的兴趣．描述如下：一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“和平数”．例如：1423，x=1+4，y=2+3，因为x=y，所以1423是“和平数”．
(1)直接写出：最大的“和平数”是___．
(2)将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后这两个“和平数”为“相关和平数”，例如：1423与4132为“相关和平数”．
设任意一个“和平数”千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，则该“和平数”和它的“相关和平数”的数值分别为：“和平数”值 ，“相关和平数”值是 ．
求证：任意的两个“和平数”与“相关和平数”之和是1111的倍数．
(3)求同时满足下列条件的所有“和平数”：
①个位上的数字是千位上的数字的两倍；
②百位上的数字与十位上的数字之和是12．
【答案】(1)9999；(2)1000a+100b+10c+d，1000b+100a+10d+c，证明见解析；(3) 2754和4848
【分析】(1)根据题意即可得到结论；
(2)根据题目意思表示出“和平数”和“相关和平值”即可，设任意两个“相关和平数”为，（a、b、c、d分别取0，1，2，…，9且a≠0，b≠0），于是得到+=1100（a+b）+11（c+d）=1111（a+b），即可得到结论；
(3)设这个“和平数”为，于是得到d=2a，a+b=c+d，b+c=12k，求得2c+a=12k，即a=2、4、6、8，d=4、8、12(舍去) 、16(舍去)，再分情况讨论即可得出结果．
【解析】解：(1)由题知：最大的“和平数”9999；
(2)“和平数”：1000a+100b+10c+d，“相关和平数”：1000b+100a+10d+c，
设任意两个“相关和平数”为，（a、b、c、d分别取0，1，2，…，9且a≠0，b≠0），
∴+=1100（a+b）+11（c+d），
∵a+b=c+d，
∴+=1100（a+b）+11（a+b）=1111（a+b），
∴两个“相关和平数”之和是1111的倍数；
(3)设这个“和平数”为，
则d=2a，a+b=c+d，b+c=12k，
∴2c+a=12k，
则a=2、4、6、8，d=4、8、12(舍去) 、16(舍去)，
当a=2，d=4时，2（c+1）=12k，
可知c+1=6k且a+b=c+d，
∴c=5，b=7，
当a=4，d=8时，
2（c+2）=12k，
可知c+2=6k且a+b=c+d，
∴c=4，b=8，
综上所述：这个数为2754和4848．
【点睛】本题主要考查的是定义新运算以及因式分解，掌握以上两个知识点是解题的关键．
21．阅读下列材料，然后解答问题：
问题：分解因式：.
解答：把代入多项式，发现此多项式的值为0，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出，的值.再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”.
（1）求上述式子中，的值；
（2）请你用“试根法”分解因式：.
【答案】（1），；（2）
【分析】（1）先找出一个x的值，进而找出一个因式，再将多项式设成分解因式的形式，即可得出结论；
（2）先找出x=-1时，得出多项式的值，进而找出一个因式，再将多项式设成分解因式的形式，即可得出结论．
【解析】解：（1）把带入多项式，发现此多项式的值为0，
∴多项式中有因式，
于是可设，
得出：，
∴，，
∴，，
（2）把代入，多项式的值为0，
∴多项式中有因式，
于是可设，
∴，，
∴，，
∴
【点睛】此题是分解因式，主要考查了试根法分解因式的理解和掌握，解本题的关键是理解试根法分解因式．
22．若一个正整数能表示成(是正整数，且)的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，与是的一个平方差分解. 例如：因为，所以5是“明礼崇德数”，3与2是5的平方差分解；再如：(是正整数)，所以也是“明礼崇德数”，与是的一个平方差分解.
(1)判断：9_______“明礼崇德数”(填“是”或“不是”)；
(2)已知(是正整数，是常数，且)，要使是“明礼崇德数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由；
(3)对于一个三位数，如果满足十位数字是7，且个位数字比百位数字大7，称这个三位数为“七喜数”.若既是“七喜数”，又是“明礼崇德数”，请求出的所有平方差分解.
【答案】（1）是；（2）k=-5；（3）m=279，，.
【分析】(1)根据9=52-42，确定9是“明礼崇德数”；
(2)根据题意分析N应是两个完全平方式的差，得到k=-5，将k=-5代入计算即可将N平方差分解，得到答案；
(3)确定“七喜数”m的值，分别将其平方差分解即可.
【解析】(1)∵9=52-42，
∴9是“明礼崇德数”，
故答案为：是；
(2)当k=-5时，是“明礼崇德数”，
∵当k=-5时，
，
=，
=，
=，
=
=.
∵是正整数，且，
∴N是正整数，符合题意，
∴当k=-5时，是“明礼崇德数”；
(3)由题意得：“七喜数”m=178或279，
设m==（a+b）（a-b），
当m=178时，
∵178=289，
∴，得（不合题意，舍去）；
当m=279时，
∵279=393=931，
∴①，得，∴，
②，得，∴，
∴既是“七喜数”又是“明礼崇德数”的m是279，，.
【点睛】此题考查因式分解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解此题的前提，(3)是此题的难点，解题时需根据百位与个位数字的关系确定具体的数据，再根据“明礼崇德数”的要求进行平方差分解.
23．阅读理解题
阅读材料：
两个两位数相乘，如果这两个因数的十位数字相同，个位数字的和是10，该类乘法的速算方法是：将一个因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足两位，用0补齐）．
比如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以；
再如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以；
又如，，不足两位，就将6写在百位：，不足两位，就将9写在个位，十位上写0，所以
该速算方法可以用我们所学的整式乘法与分解因式的知识说明其合理性；
设其中一个因数的十位数字为，个位数字是，（、表示1~9的整数），则该数可表示为，另一因数可表示为．
两数相乘可得：
.
（注：其中表示计算结果的前两位，表示计算结果的后两位．）
问题：
两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个位数字之和是10．
如、、等．
（1）探索该类乘法的速算方法，请以为例写出你的计算步骤；
（2）设十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是，则该数可以表示为___________．
设另一个因数的十位数字是，则该数可以表示为___________．（、表示1~9的正整数）
（3）请针对问题（1）（2）中的计算，模仿阅读材料中所用的方法写出如：的运算式：____________________
【答案】（1）4×（7+1）=32，4×3=12，44×73=3212；（2）11a，9b+10；（3）（ 10a+a） （ 10b+c）= （ b+1 ） a×100+ac．
【分析】（1）设一个因数的两个数字为b和c且b+c=10，另一个因数个位数为a，则另一个因数为10a+a，则 可得出（ 10a+a） （ 10b+c）= （ b+1 ） a×100+ac．
规律：先将和为10的数的十位数字加1 ，再与后一个乘数的十位数字相乘后乘以100，然后加上两个个位数之积，由此可得出结论；
（2）根据两位数的表示方法即可得出结论．
（3）根据（1）即可得出结论．
【解析】（1）设一个因数的两个数字为b和c且b+c=10，另一个因数个位数为a，则另一个因数为10a+a，则（ 10a+a） （ 10b+c）=100ab+10ac+10ab+ac=100ab+10（b+c）a+ac=100ab+10×10a+ac=（ b+1 ） a×100+ac．
规律：先将和为10的数的十位数字加1 ，再与后一个乘数的十位数字相乘后乘以100，然后加上两个个位数之积，∴4×（7+1）=32，4×3=12，44×73=3212；
（2）设十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是a，则该数可以表示为10a+a=11a．
设另一个因数的十位数字是b，则该数可以表示为10b+（10-b）=9b+10．
故答案为11a，9b+10．
（3）设一个因数的两个数字为b和c且b+c=10，另一个因数个位数为a，则另一个因数为10a+a，则（ 10a+a） （ 10b+c）=100ab+10ac+10ab+ac=100ab+10（b+c）a+ac=100ab+10×10a+ac=（ b+1 ） a×100+ac．
故答案为（ 10a+a） （ 10b+c）= （ b+1 ） a×100+ac．
【点睛】本题考查了整式的混合运算和数字的计算规律，寻找计算规律是前提，并加以运用和推广是关键，考查了数学的类比思想，整式的运算是解题的基础．
24．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
.
（1）上述分解因式的方法是______________法.
（2）分解的结果应为___________.
（3）分解因式：.
【答案】（1）提公因式 ; （2） ；（3）
【分析】（1）用的是提公因式法；
（2）按照（1）中的方法再分解几个，找了其中的规律，即可推测出结果；.
（3）由（2）中得到的规律即可推广到一般情况.
【解析】解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法．
（2）=
=
……
由此可知=
（3）原式=（1+x）[1+x+x（x+1）]+x（x+1）3+…+x（x+1）n，
=（1+x）2（1+x）+x（x+1）3+…+x（x+1）n，
=（1+x）3+x（1+x）3+…+x（1+x）n，
=（1+x）n+x（x+1）n，
=（1+x）n+1．
【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，找出整式的结构规律是关键，体现了由特殊到一般的数学思想．
25．找规律：观察算式
13＝1
13+23＝9
13+23+33＝36
13+23+33+43＝100
…
（1）按规律填空）
13+23+33+43+…+103＝ ；
13+23+33+43+…+n3＝ ．
（2）由上面的规律计算：113+123+133+143+…+503（要求：写出计算过程）
（3）思维拓展：计算：23+43+63+…+983+1003（要求：写出计算过程）
【答案】（1）；；（2）1622600；（3）
【分析】（1）观察等式右边都是平方数，且底数正好是等式左边各底数的和，依此规律类推可分别解决以上两个问题；
（2）由于上面的等式都是从底数是1开始的，所以可以把该式子前面的部分从1开始补上，再把补上的部分减掉即可；
（3）该式中的底数并不是题干中所给出的从1开始的连续整数，因此不能直接用上述规律解题，但该式中的底数却都是从1开始的连续整数的2倍，因此提出2后，各项都含有，逆用乘法分配律即可解决问题．
【解析】解：（1）13+23+33+43+…+103＝（1+2+3+4+…+10）2＝；
13+23+33+43+…+n3＝（1+2+3+4+…+n）2＝；
（2）113+123+133+143+…+503＝（13+23+33+43+…+503）-（13+23+33+43+…+103）
＝
＝1622600；
（3）23+43+63+…+983+1003＝（2×1）3+（2×2）3+（2×3）2+（2×4）3+…+（2×50）3＝23×（13+23+33+43+…+503）
＝23×＝．
【点睛】本题属于数式规律题，考查了学生对数的观察和分析的能力，首先学生应对平方数有一定的认识和感知力，这样才能迈出解决问题的第一步，其次学生要学会对不同的数进行关联，通过它们的和差积商中的一种或多种组合找到它们的联系，才能得出这道题的规律，建议在学习过程中多积累相关经验，发散思维，提高解决该类问题的效率．
26．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3
(1)根据上述规定，填空：（5，25）＝ ，（2，1）＝ ，（3，）＝ ．
(2)小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4），并作出了如下的证明：
设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n．
所以3x＝4，即（3，4）＝x，
所以（3n，4n）＝（3，4）．
试解决下列问题：
①计算（8，1000）﹣（32，100000）；
②请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，2）＋（3，5）＝（3，10）．
【答案】(1)2，0，-2
(2)①0；②见解析
【分析】（1）根据题中规定及幂的乘方运算进行计算即可；
（2）根据题中规定及幂的乘方运算进行计算即可．
（1）解：∵ 52=25，∴（5，25）=2；∵20=1，∴（2，1）=0；∵∴故答案为：2，0，-2；
（2）①（8，1000）-（32，100000）=（23，103）-（25，105）=（2，10）-（2，10）=0；②设3x=2，3y=5，则3x·3y=3x+y=2×5=10，所以（3，2）=x，（3，5）=y，（3，10）=x+y，所以（3，2）+（3，5）=（3，10）．
【点睛】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方是解题的关键．
27．数形结合是一种非常重要的数学思想，它包含两个方面，第一种是“以数解形”，第二种是“以形助数”，我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微”．请你使用数形结合这种思想解决下面问题：
图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分为四块完成相同的小长方形，然后按照图2的形状拼成一个正方形．
(1)观察图2，用两种方法计算阴影部分的面积，可以得到一个等式，请使用代数式，，ab写出这个等式_____________．
(2)运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且，，试求的值．
(3)如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)4
(3)
【分析】（1）根据图2中，各个部分面积与大正方形面积之间的关系可得答案；
（2）由（1）的结论，进行计算即可；
（3）设两个正方形的边长为，，得出，，根据完全平方公式计算出的值即可．
（1）
解：如图2，大正方形的边长为，因此面积为，
小正方形的边长为，因此面积为，
每个长方形的长为，宽为，因此面积为，
由面积之间的关系可得：
，
故答案为：（答案不唯一）；
（2）
解：由（1）得，
，，
；
即的值是4；
（3）
解：设正方形的边长为，正方形的边长为，则，，
，两正方形的面积和，
，，
，
，
，
阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征以及图形中面积之间的关系．
28．阅读理解，解答下列问题：利用平面图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．
（1）例如，根据下图①，我们可以得到两数和的平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2根据图②能得到的数学公式是__________．
（2）如图③，请写出（a＋b）、（a﹣b）、ab之间的等量关系是__________
（3）利用（2）的结论，解决问题：已知x＋y＝8，xy＝2，求（x﹣y）2的值．
（4）根据图④，写出一个等式：__________．
（5）小明同学用图⑤中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片，用这些纸片恰好拼出一个面积为（3a＋b）（a＋3b）长方形，请画出图形，并指出x＋y＋z的值．
类似地，利用立体图形中体积的等量关系也可以得到某些数学公式．
（6）根据图⑥，写出一个等式：___________．
【答案】（1）（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2；（2）（a＋b）2＝（a﹣b）2＋4ab；（3）56；（4）（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；（5）画图见解析，16；（6）（a＋b）3＝a2＋b2＋3a2b＋3ab2
【分析】(1)由图②中各个部分面积之间的关系可得答案；
(2)根据图③中，大正方形的面积为（a＋b）2，小正方形的面积为（a﹣b）2，每个长方形的面积为ab，由各个部分的面积之间的关系可得出答案；
(3)由公式变形，再整体代入计算即可；
(4)大正方形的面积可表示为（a＋b＋c）2，在分别表示出大正方形中9块的面积，可得答案；
(5)根据拼出一个面积为（3a＋b）（a＋3b），即为3a2＋3b2＋10ab，因此x＝3，y＝3，z＝10，进而拼图即可；
(6)根据大正方体的体积为（a＋b）3，以及8个“小块”的体积之间的关系得出结果即可．
【解析】（1）根据图②各个部分面积之间的关系可得：
（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2，
故答案为：（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2；
（2）图③中，大正方形的面积为（a＋b）2，
小正方形的面积为（a﹣b）2，
每个长方形的面积为ab，
，
故答案为：；
（3）利用（2）的结论，
可知，
x＋y＝8，xy＝2，
（x﹣y）2＝（x＋y）2﹣4xy＝64﹣8＝56；
（4）根据图④，
大正方形的面积可表示为（a＋b＋c）2，
内部9块的面积分别为：
，
（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc
故答案为：（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；
（5）（3a＋b）（a＋3b）＝3a2＋3b2＋10ab，
，
即需要3张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，10张宽、长分别为a、b的长方形纸片，
画图如下：
∴x＋y＋z＝16；
（6）根据图⑥，
大正方体的体积为（a＋b）3，
分割成8个“小块”的体积分别为：
，
（a＋b）3＝a2＋b2＋3a2b＋3ab2
故答案为：（a＋b）3＝a2＋b2＋3a2b＋3ab2．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景、立方公式，表示各个部分的面积和体积，利用各个部分的面积或体积与整体的关系得出答案．
a
b
a＋b
a－b
a2－b2
2
1
3
1
3
3
－2
1
5
a
b
a＋b
a－b
a2－b2
2
1
3
1
3
3
－2
1
5
5
1．利用多项式乘法法则计算：
（1） = ；
= ．
在多项式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，如果把上面计算结果作为结论逆运用，则成为因式分解中的立方和与立方差公式．
已知，利用自己所学的数学知识，以及立方和与立方差公式，解决下列问题：
（2） ；（直接写出答案）
（3） ；（直接写出答案）
（4） ；（写出解题过程）
2．阅读理解
（1）已知下列结果，填空：
（2）以（1）中最后的结果为参考，求下列代数式的值（结果可以含幂的形式）
3．（1）把左右两边计算结果相等的式子用线连接起来：
（2）观察上面计算结果相等的各式之间的关系，可归纳得出：
____________________________________________________
（3）利用上述规律计算下式的值：
4．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图可以得到．请解答下列问题：
（1）写出图中所表示的数学等式；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值；
（3）小明同学打算用张边长为的正方形，张边长为的正方形，张相邻两边长为分别为、的长方形纸片拼出了一个面积为 长方形，那么他总共需要多少张纸片？
5．探索、研究：仪器箱按如图方式堆放（自下而上依次为第1层、第2层、…），受堆放条件限制，堆放时应符合下列条件：每层堆放仪器箱的个数an与层数n之间满足关系式an＝n2−32n＋247，1⩽n＜16，n为整数．
(1)例如，当n＝2时，a2＝22−32×2＋247＝187，则a5＝ ，a6＝ ；
(2)第n层比第（n＋1）层多堆放多少个仪器箱；（用含n的代数式表示）
(3)假设堆放时上层仪器箱的总重量会对下一层仪器箱产生同样大小的压力，压力单位是牛顿，设每个仪器箱重54 牛顿，每个仪器箱能承受的最大压力为160牛顿，并且堆放时每个仪器箱承受的压力是均匀的．
①若仪器箱仅堆放第1、2两层，求第1层中每个仪器箱承受的平均压力；
②再确保仪器箱不被损坏的情况下，仪器箱最多可以堆放几层，为什么？
6．如图是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
(1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积
方法1： ；
方法2： ．
(2)请你写出下列三个代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系． ；
(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知：a﹣b＝5，ab＝﹣6，则（a+b）2＝ ．
(4)请你在下方画出一个几何图形来解释（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2左右相等．
7．在长方形中，，现将长方形向上平移，再向左平移后到长方形的位置(的对应点为，其它类似)．
当时，请画出平移后的长方形，并求出长方形与长方形的重叠部分的面积．
当满足什么条件时，长方形与长方形有重叠部分(边与边叠合不算在内)，请用的代数式表示重叠部分的面积．
在平移的过程中，总会形成一个六边形，试用来表示六边形的面积．
8．［知识回顾]
有这样一类题：
代数式的值与x的取值无关，求a的值；
通常的解题方法；
把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即．
［理解应用]
(1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值；
(2)已知的值与x无关，求y的值；
(3)（能力提升）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当AB的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
9．阅读理解下列材料：
“数形结合”是一种非常重要的数学思想．在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．所谓“等积法”就是用不同的方法表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．如图1，从整体看是一边长为的正方形，其面积为．从局部看由四部分组成，即：一个边长为的正方形，一个边长为的正方形，两个长、宽分别为，的长方形．这四部分的面积和为．因为它们表示的是同一个图形的面积，所以这两个代数式应该相等，即．
同理，图2可以得到一个等式：．
根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
(1)由图3可得等式：___________；
(2)由图4可得等式：____________；
(3)若，，，且，，求的值．
①为了解决这个问题，请你利用数形结合思想，仿照前面的方法在下方空白处画出相应的几何图形，通过这个几何图形得到一个含有，，的等式．
②根据你画的图形可得等式：______________；
③利用①的结论，求的值．
10．阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法：
设①
则②
②①得，．
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）______；
（2）求______；
（3）求的和；（请写出计算过程）
（4）求的和（其中且）．（请写出计算过程）
11．【阅读理解】
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决此类问题时一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则．
例：已知，，其中．求证：．证明：．
∵，
∴．
∴．
【新知应用】
（1）比较大小：______．
（2）甲、乙两个长方形的长和宽如图所示（m为正整数），其面积分别为、．试比较、的大小关系．
【实际应用】
（3）请用“作差法”解决下列问题：
某游泳馆在暑假期间对学生优惠开放，有A、B两种方案可供选择，A方案：每次按原价打八五折；B方案：第一次按照原价，从第二次起每次打八折．请问游泳的同学选择哪种方案更合算？
【拓展提升】
（4）已知x、y、z满足，，比较代数式与的大小．
12． 数学中的许多规律不仅可以通过数的运算发现，也可以通过图形的面积发现．
(1)填表：【数的角度】
(2)【形的角度】如图①，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，怎样计算图中阴影部分的面积？小明和小红分别用不同的方法计算图中阴影部分的面积．小明的方法：若阴影部分看成大正方形与小正方形的面积差，则阴影部分的面积用代数式表示为 ；小红的方法：若沿图①中的虚线将阴影部分剪开拼成新的长方形（图②），则阴影部分的面积用代数式表示为 ．
(3)【发现规律】猜想：a＋b、 a－b 、a2－b2这三个代数式之间的等量关系是 ．
(4)【运用规律】运用上述规律计算：502－492＋482－472＋462－452…＋22－1．
13．观察：已知．
…
（1）猜想： ；
（2）应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值：
① ；
② ；
（3）拓广：① ；
②判断的值的个位数是几？并说明你的理由．
14．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1：A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形．
(1)选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个长为的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式____________；
(2)请用这3种卡片拼出一个面积为的长方形（数量不限），在图3的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽；
(3)选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形DEFG框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分．已知GF的长度固定不变，DG的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，．若，则当a与b满足____时，S为定值，且定值为______．（用含b的代数式表示）
15．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
(1)图2中的阴影部分的面积为：____________（用a、b的代数式表示）；
(2)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是____________；
(3)利用（2）中的结论，若，，求的值____________；
(4)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，请你写出这个等式____________．
(5)如图4，点是线段上的一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG，连接EG、BG、BE，当时，的面积记为，当时，的面积记为，…，以此类推，当时，的面积记为，计算的值．
16．数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们常利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，如：探索整式乘法的一些法则和公式．
(1)探究一：
将图1的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图2的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的分解因式____________________．
(2)探究二：类似地，我们可以借助一个棱长为的大正方体进行以下探索：
在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图3所示，则得到的几何体的体积为____________；
(3)将图3中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图4、图5所示，∵，，，∴长方体①的体积为．类似地，长方体②的体积为________，长方体③的体积为________；（结果不需要化简）
(4)用不同的方法表示图3中几何体的体积，可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为______________．
(5)问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知a-b=6，ab=2，求的值．
(6)类比以上探究，尝试因式分解：= ．
17．阅读材料：把形如的二次三项式或其一部分配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆写，即．
例如：、、是的三种不同形式的配方即“余项”分别是常数项、一次项、二次项．
请根据阅读材料解决下列问题：
(1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方；
(2)已知，，求的值；
(3)当，何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？
18．【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．
例1 用配方法因式分解：a2＋6a＋8．
原式＝ a2＋6a＋9－1＝（a＋3）2－1＝（a＋3－1）（a＋3＋1）＝（a＋2）（a＋4）．
例2若M＝a2－2ab＋2b2－2b＋2，利用配方法求M的最小值；
a2－2ab＋2b2－2b＋2＝a2－2ab＋b2＋b2－2b＋1＋1＝（a－b）2＋（b－1）2＋1；
∵（a－b）2≥0，（b－1）2≥0，
∴当a＝b＝1时，M有最小值1．
请根据上述自主学习材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2＋10a＋________；
(2)用配方法因式分解：a2－12a＋35．
(3)若M＝a2－3a+1，则M的最小值为________；
(4)已知a2＋2b2＋c2－2ab＋4b－6c＋13＝0，则a＋b＋c的值为________；
19．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．
例如：由图1可得到
（1）写出由图2所表示的数学等式：_________________；
（2）写出由图3所表示的数学等式（利用阴影部分）：________________；
（3）已知实数满足．求：
①的值；
②的值．
20．“阅读素养的培养是构建核心素养的重要基础，华师中山附中以实施百书计划为突破口，着力提升学生的核心素养．”全校师生积极响应和配合，开展各种活动丰富其课余生活．在数学兴趣小组中，同学们从书上认识了很多有趣的数，其中有一个“和平数”引起了同学们的兴趣．描述如下：一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“和平数”．例如：1423，x=1+4，y=2+3，因为x=y，所以1423是“和平数”．
(1)直接写出：最大的“和平数”是___．
(2)将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后这两个“和平数”为“相关和平数”，例如：1423与4132为“相关和平数”．
设任意一个“和平数”千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，则该“和平数”和它的“相关和平数”的数值分别为：“和平数”值 ，“相关和平数”值是 ．
求证：任意的两个“和平数”与“相关和平数”之和是1111的倍数．
(3)求同时满足下列条件的所有“和平数”：
①个位上的数字是千位上的数字的两倍；
②百位上的数字与十位上的数字之和是12．
21．阅读下列材料，然后解答问题：
问题：分解因式：.
解答：把代入多项式，发现此多项式的值为0，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出，的值.再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”.
（1）求上述式子中，的值；
（2）请你用“试根法”分解因式：.
22．若一个正整数能表示成(是正整数，且)的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，与是的一个平方差分解. 例如：因为，所以5是“明礼崇德数”，3与2是5的平方差分解；再如：(是正整数)，所以也是“明礼崇德数”，与是的一个平方差分解.
(1)判断：9_______“明礼崇德数”(填“是”或“不是”)；
(2)已知(是正整数，是常数，且)，要使是“明礼崇德数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由；
(3)对于一个三位数，如果满足十位数字是7，且个位数字比百位数字大7，称这个三位数为“七喜数”.若既是“七喜数”，又是“明礼崇德数”，请求出的所有平方差分解.
23．阅读理解题
阅读材料：
两个两位数相乘，如果这两个因数的十位数字相同，个位数字的和是10，该类乘法的速算方法是：将一个因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足两位，用0补齐）．
比如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以；
再如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以；
又如，，不足两位，就将6写在百位：，不足两位，就将9写在个位，十位上写0，所以
该速算方法可以用我们所学的整式乘法与分解因式的知识说明其合理性；
设其中一个因数的十位数字为，个位数字是，（、表示1~9的整数），则该数可表示为，另一因数可表示为．
两数相乘可得：
.
（注：其中表示计算结果的前两位，表示计算结果的后两位．）
问题：
两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个位数字之和是10．
如、、等．
（1）探索该类乘法的速算方法，请以为例写出你的计算步骤；
（2）设十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是，则该数可以表示为___________．
设另一个因数的十位数字是，则该数可以表示为___________．（、表示1~9的正整数）
（3）请针对问题（1）（2）中的计算，模仿阅读材料中所用的方法写出如：的运算式：____________________
24．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
.
（1）上述分解因式的方法是______________法.
（2）分解的结果应为___________.
（3）分解因式：.
25．找规律：观察算式
13＝1
13+23＝9
13+23+33＝36
13+23+33+43＝100
…
（1）按规律填空）
13+23+33+43+…+103＝ ；
13+23+33+43+…+n3＝ ．
（2）由上面的规律计算：113+123+133+143+…+503（要求：写出计算过程）
（3）思维拓展：计算：23+43+63+…+983+1003（要求：写出计算过程）
26．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3
(1)根据上述规定，填空：（5，25）＝ ，（2，1）＝ ，（3，）＝ ．
(2)小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4），并作出了如下的证明：
设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n．
所以3x＝4，即（3，4）＝x，
所以（3n，4n）＝（3，4）．
试解决下列问题：
①计算（8，1000）﹣（32，100000）；
②请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，2）＋（3，5）＝（3，10）．
27．数形结合是一种非常重要的数学思想，它包含两个方面，第一种是“以数解形”，第二种是“以形助数”，我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微”．请你使用数形结合这种思想解决下面问题：
图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分为四块完成相同的小长方形，然后按照图2的形状拼成一个正方形．
(1)观察图2，用两种方法计算阴影部分的面积，可以得到一个等式，请使用代数式，，ab写出这个等式_____________．
(2)运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且，，试求的值．
(3)如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积．
28．阅读理解，解答下列问题：利用平面图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．
（1）例如，根据下图①，我们可以得到两数和的平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2根据图②能得到的数学公式是__________．
（2）如图③，请写出（a＋b）、（a﹣b）、ab之间的等量关系是__________
（3）利用（2）的结论，解决问题：已知x＋y＝8，xy＝2，求（x﹣y）2的值．
（4）根据图④，写出一个等式：__________．
（5）小明同学用图⑤中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片，用这些纸片恰好拼出一个面积为（3a＋b）（a＋3b）长方形，请画出图形，并指出x＋y＋z的值．
类似地，利用立体图形中体积的等量关系也可以得到某些数学公式．
（6）根据图⑥，写出一个等式：___________．
a
b
a＋b
a－b
a2－b2
2
1
3
1
3
3
－2
1
5
特训02 期中解答压轴题（第9章）
一、解答题
1．利用多项式乘法法则计算：
（1） = ；
= ．
在多项式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，如果把上面计算结果作为结论逆运用，则成为因式分解中的立方和与立方差公式．
已知，利用自己所学的数学知识，以及立方和与立方差公式，解决下列问题：
（2） ；（直接写出答案）
（3） ；（直接写出答案）
（4） ；（写出解题过程）
【答案】（1），；（2）6；（3）14；（4）198
【分析】（1）根据整式的混合运算法则展开计算即可；
（2）利用完全平方公式变形，再代入求值；
（3）利用立方差公式和完全平方公式变形，再代入求值；
（4）利用立方差公式和完全平方公式变形，再代入求值；
【解析】解：（1）
=
=
=
=，
故答案为：，；
（2）
=
=
=6；
（3）
=
=
=
=14；
（4）
=
=
=
=198
【点睛】本题考查了因式分解-运用公式法，正确的理解已知条件中的公式是解题的关键．
2．阅读理解
（1）已知下列结果，填空：
（2）以（1）中最后的结果为参考，求下列代数式的值（结果可以含幂的形式）
【答案】（1）；（2）342
【分析】（1）根据题中给出的等式，写出的值即可；（2）根据已知条件知，推导出 ，然后进行化简即可.
【解析】（1）依据题意
∴
(2)由已知得
∴
=
=
=
=342
故答案为（1）；（2）342
【点睛】本题考查了根据已知等式探索规律，通过已知的等式找出等式的规律是解题的关键.
3．（1）把左右两边计算结果相等的式子用线连接起来：
（2）观察上面计算结果相等的各式之间的关系，可归纳得出：
____________________________________________________
（3）利用上述规律计算下式的值：
【答案】
【解析】分析：按照题目中所给的数据可以知道， =(a+b)(a-b)，所以可以反复使用本公式计算.
详解：
（1）
（2）
（3）原式=
=
= .
点睛：观察已知数据，可以得到平方差公式的 =(a+b)(a-b)，的一种特殊形式，
.
4．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图可以得到．请解答下列问题：
（1）写出图中所表示的数学等式；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值；
（3）小明同学打算用张边长为的正方形，张边长为的正方形，张相邻两边长为分别为、的长方形纸片拼出了一个面积为 长方形，那么他总共需要多少张纸片？
【答案】（1）；（2）50；（3）143.
【分析】（1）直接求得正方形的面积，再根据正方形的面积=各矩形的面积之和求解即可.
（2）将，代入（1）中得到的式子，然后计算即可；
（3）长方形的面积，然后运算多项式乘多项式，从而求得x、y、z的值，代入即可求解.
【解析】解：（1）
（2）由（1）可知：
（3）根据题意得，
所以，，
所以
答：小明总共需要张纸．
【点睛】本题主要考查整式的运算，难度较大，熟练掌握整式的运算以及代数式求值是解题关键.
5．探索、研究：仪器箱按如图方式堆放（自下而上依次为第1层、第2层、…），受堆放条件限制，堆放时应符合下列条件：每层堆放仪器箱的个数an与层数n之间满足关系式an＝n2−32n＋247，1⩽n＜16，n为整数．
(1)例如，当n＝2时，a2＝22−32×2＋247＝187，则a5＝ ，a6＝ ；
(2)第n层比第（n＋1）层多堆放多少个仪器箱；（用含n的代数式表示）
(3)假设堆放时上层仪器箱的总重量会对下一层仪器箱产生同样大小的压力，压力单位是牛顿，设每个仪器箱重54 牛顿，每个仪器箱能承受的最大压力为160牛顿，并且堆放时每个仪器箱承受的压力是均匀的．
①若仪器箱仅堆放第1、2两层，求第1层中每个仪器箱承受的平均压力；
②再确保仪器箱不被损坏的情况下，仪器箱最多可以堆放几层，为什么？
【答案】(1)112，91；
(2)（31－2n）个
(3)①46.75N；②5层，理由见解析
【分析】（1）把n＝5，n＝6分别代入n2−32n＋247中进行计算；
（2）分别表示出n＋1和n时的代数式，然后进行减法计算；
（3）①根据公式分别求得第二层和第一层的个数，再根据第二层的总重量除以第一层的个数进行计算；②根据①中的方法进行估算，求得最多可以堆放的层数．
（1）
解：当n＝5时，a5＝52−32×5＋247＝112，
当n＝6时，a6＝62−32×6＋247＝91；
（2）
解：由题意可得，
答：第n层比第（n＋1）层多堆放（31－2n）个仪器箱．
（3）
解：①由题意得，
＝＝46.75（牛）
答：第1层中每个仪器箱承受的平均压力是46.75牛．
②该仪器箱最多可以堆放5层，理由如下．
当n＝1时，a1＝216，
当n＝2时，a2＝187，
当n＝3时，a3＝160，
当n＝4时，a4＝135，
当n＝5时，a5＝112，
当n＝6时，a6＝91，
当n＝5时，第1层中每个仪器箱承受的平均压力为：
＝148.5＜160（牛）
当n＝6时，第1层中每个仪器箱承受的平均压力为：
＝171.25＞160（牛）
所以，该仪器箱最多可以堆放5层．
【点睛】本题考查了图形变化规律探究问题，要能够根据所给的公式进行分析计算，同时体现了“估算”思想，体现了“优选”思想，对这类问题能从“中点”处、“黄金分割点”处思考是解答此题的重要思想．
6．如图是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
(1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积
方法1： ；
方法2： ．
(2)请你写出下列三个代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系． ；
(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知：a﹣b＝5，ab＝﹣6，则（a+b）2＝ ．
(4)请你在下方画出一个几何图形来解释（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2左右相等．
【答案】(1)（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn
(2)（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn
(3)1
(4)画图解释见解析
【分析】（1）主要通过观察和理解图形，用含m，n的式子来表示图中阴影部分的面积；
（2）将完全平方展开，合并同类项即可看出三个式子的等量关系；
（3）将题干所给已知条件带入（2）所得到的等量关系中，即可求出答案；
（4）根据所给等量关系，画出几何图形．
【解析】（1）图中阴影部分的面积为（m﹣n）2或（m+n）2﹣4mn，
故答案为：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn；
（2）（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn，
故答案为：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；
（3）∵a﹣b＝5，ab＝﹣6，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝25﹣24＝1，
故答案为1；
（4）如图③，
∵四边形ABCD的面积＝（a﹣b）（a+2b）或a（a+2b）﹣ab﹣2b2，
∴（a﹣b）（a+2b）＝a（a+2b）﹣ab﹣2b2，
∴（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2．
【点睛】本题考查了完全平方公式；值得注意的是，该题不仅仅考查了完全平方的运算求解能力，还与图形相结合，考查难度提升，要求学生对完全平方公式的掌握非常熟练并结合图形方可准确得出答案．
7．在长方形中，，现将长方形向上平移，再向左平移后到长方形的位置(的对应点为，其它类似)．
当时，请画出平移后的长方形，并求出长方形与长方形的重叠部分的面积．
当满足什么条件时，长方形与长方形有重叠部分(边与边叠合不算在内)，请用的代数式表示重叠部分的面积．
在平移的过程中，总会形成一个六边形，试用来表示六边形的面积．
【答案】（1）长方形见详解，重叠部分的面积=；（2）重叠部分的面积=，；（3）．
【分析】（1）根据题意，画出长方形，进而可得重叠部分的面积；
（2）根据题意得长方形与长方形的重叠部分的长为，宽为，从而得重叠部分的面积，由重叠部分的长与宽的实际意义，列出关于x的不等式组，进而即可求解；
（3）延长A1D1，CD交于点M，延长A1B1，CB交于点N，根据割补法，求出六边形的面积，即可．
【解析】（1）长方形，如图所示：
∵在长方形中，，将长方形向上平移，再向左平移后到长方形的位置，
∴长方形与长方形的重叠部分的面积=；
（2）∵，将长方形向上平移，再向左平移后到长方形的位置，
∴长方形与长方形的重叠部分的长为，宽为，
∴重叠部分的面积=，
∵且且，
∴；
（3）延长A1D1，CD交于点M，延长A1B1，CB交于点N，
六边形的面积=
=
=．
【点睛】本题主要考查图形的平移变换以及用代数式表示几何图形的数量关系，掌握平移变换的性质，是解题的关键．
8．［知识回顾]
有这样一类题：
代数式的值与x的取值无关，求a的值；
通常的解题方法；
把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即．
［理解应用]
(1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值；
(2)已知的值与x无关，求y的值；
(3)（能力提升）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当AB的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【分析】（1）根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得；
（2）先根据整式的加减求出的值，再根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得；
（3）设，先求出，从而可得，再根据“当的长变化时，的值始终保持不变”可知的值与的值无关，由此即可得．
(1)
解：
，
关于的多项式的值与的取值无关，
，
解得；
(2)
令
，
原式=
，
的值与无关，
，
解得；
(3)
解：设，
由图可知，，，
则
，
当的长变化时，的值始终保持不变，
的值与的值无关，
，
．
【点睛】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加减乘法的运算法则是解题关键．
9．阅读理解下列材料：
“数形结合”是一种非常重要的数学思想．在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．所谓“等积法”就是用不同的方法表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．如图1，从整体看是一边长为的正方形，其面积为．从局部看由四部分组成，即：一个边长为的正方形，一个边长为的正方形，两个长、宽分别为，的长方形．这四部分的面积和为．因为它们表示的是同一个图形的面积，所以这两个代数式应该相等，即．
同理，图2可以得到一个等式：．
根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
(1)由图3可得等式：___________；
(2)由图4可得等式：____________；
(3)若，，，且，，求的值．
①为了解决这个问题，请你利用数形结合思想，仿照前面的方法在下方空白处画出相应的几何图形，通过这个几何图形得到一个含有，，的等式．
②根据你画的图形可得等式：______________；
③利用①的结论，求的值．
【答案】(1)（a+2b）2=a2+4ab+4b2；
(2)（2a+b）（a+2b）=2a2++5ab+2b2；
(3)①见解析；②（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca；③29．
【分析】（1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积=各长方形的面积之和求解即可；
（2）直接求得长方形的面积，然后再根据长方形的面积=各长方形的面积之和求解即可；
（3）①根据题意画出图形即可；
②直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积=各矩形的面积之和求解即可；
③将a+b+c=9，ab+bc+ac=26代入②中得到的关系式，然后进行计算即可．
（1）
大正方形的面积可表示为=（a+2b）2，
大正方形的面积=各个长方形的面积之和=a2+4ab+4b2，
所以（a+2b）2=a2+4ab+4b2，
故答案为：（a+2b）2=a2+4ab+4b2；
（2）
大长方形的面积可表示为=（2a+b）（a+2b），
大长方形的面积=各个长方形的面积之和=2a2++5ab+2b2，
所以（2a+b）（a+2b）=2a2++5ab+2b2，
故答案为：（2a+b）（a+2b）=2a2++5ab+2b2；
（3）
①所画图形如下：
②正方形的面积可表示为=（a+b+c）2；
正方形的面积=各个矩形的面积之和=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，
所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．
故答案为：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca；
③∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，
∴a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+bc+ca）=92-26×2=81-52=29．
【点睛】本题考查的是多项式乘多项式应用，利用面积法列出等式是解题的关键．
10．阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法：
设①
则②
②①得，．
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）______；
（2）求______；
（3）求的和；（请写出计算过程）
（4）求的和（其中且）．（请写出计算过程）
【答案】（1）221−2；（2）2-；（3）；（4）+
【分析】（1）根据阅读材料可得：设s＝①，则2s＝22＋23＋…＋220＋221②，②−①即可得结果；
（2）设s＝①，s＝②，②−①即可得结果；
（3）设s＝①，-2s＝②，②−①即可得结果；
（4）设s＝①，as＝②，②−①得as-s=-a-，同理：求得-，进而即可求解．
【解析】解：根据阅读材料可知：
（1）设s＝①，
2s＝22＋23＋…＋220＋221②，
②−①得，2s−s＝s＝221−2；
故答案为：221−2；
（2）设s＝①，
s＝②，
②−①得，s−s＝-s＝-1，
∴s＝2-，
故答案为：2-；
（3）设s＝①
-2s＝②
②−①得，-2s−s＝-3s＝+2
∴s＝；
（4）设s＝①，
as＝②，
②-①得：as-s=-a-，
设m=-a-③，
am=-④，
④-③得：am-m=a-，
∴m=，
∴as-s=+，
∴s=+．
【点睛】本题考查了规律型−实数的运算，解决本题的关键是理解阅读材料进行计算．
11．【阅读理解】
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决此类问题时一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则．
例：已知，，其中．求证：．证明：．
∵，
∴．
∴．
【新知应用】
（1）比较大小：______．
（2）甲、乙两个长方形的长和宽如图所示（m为正整数），其面积分别为、．试比较、的大小关系．
【实际应用】
（3）请用“作差法”解决下列问题：
某游泳馆在暑假期间对学生优惠开放，有A、B两种方案可供选择，A方案：每次按原价打八五折；B方案：第一次按照原价，从第二次起每次打八折．请问游泳的同学选择哪种方案更合算？
【拓展提升】
（4）已知x、y、z满足，，比较代数式与的大小．
【答案】（1）；（2）（3）当时， A方案合算；当时，此时两个方案的总价相同；当时， B方案合算；（4）
【分析】（1）做x-1与2+x的差，再根据差的正负性即可判断；
（2）分别用m表示，然后计算的差的正负性，即可得到答案；
（3）根据题意分别写出表示两种方案的总价的代数式，然后作差，再分情况讨论即可；
（4）先将z看作常数，解关于x、y的二元一次方程组，然后带入并作差，根据差的正负性即可得到答案；
【解析】解：（1）根据材料得，
∴
故填；
（2）由图知：
∴
∵m是正整数
∴
∴
∴
（3）设原价为a（），去的次数为x（x为正整数），总价分别为
根据题意可知：，
∵，x为正整数，
∴当时，，故，此时A方案合算；
当时，，故，此时两个方案的总价相同；
当时，，故，此时B方案合算；
（4）由、得、，
联立方程组并解得
∴==
∴
【点睛】本题是材料题，考查了对所给信息的获取能力，涉及了二元一次方程组，不等式的性质等相关知识，掌握所需知识，理解题意并根据题目所给方法做出结论是本题的解题关键．
12． 数学中的许多规律不仅可以通过数的运算发现，也可以通过图形的面积发现．
(1)填表：【数的角度】
(2)【形的角度】如图①，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，怎样计算图中阴影部分的面积？小明和小红分别用不同的方法计算图中阴影部分的面积．小明的方法：若阴影部分看成大正方形与小正方形的面积差，则阴影部分的面积用代数式表示为 ；小红的方法：若沿图①中的虚线将阴影部分剪开拼成新的长方形（图②），则阴影部分的面积用代数式表示为 ．
(3)【发现规律】猜想：a＋b、 a－b 、a2－b2这三个代数式之间的等量关系是 ．
(4)【运用规律】运用上述规律计算：502－492＋482－472＋462－452…＋22－1．
【答案】(1)5，
(2)
(3)
(4)1275
【分析】(1)a=3，b=-2时，;
时，a-b=．
(2)小空1 大正方形面积为a2，小正方形的面积为b2，作差即可．
小空2 把长方形的长和宽分别用含有a、b的代数式表示出来，再按照长方形面积公式计算即可．
(3)根据第(2)小题发现的规律写出等量关系即可．
(4)每两个数为一组按照根据第（3）小题写出的规律进行变形，问题即可解决．
（1）
（2）
小明的方法:大正方形面积为a2，小正方形的面积为b2，，
∴阴影部分的面积为a2-b2；
小红的方法：长方形的长为a+b，宽为a-b，
∴阴影部分的面积为(a+b)(a-b)．
故答案为：
（3）
a＋b、 a－b 、a2－b2这三个代数式之间的等量关系是．
（4）
502－492＋482－472＋462－452…＋22－1
=(502－492)＋(482－472)＋(462－452 )…＋(22－1)
=(50+49) ×(50-49)+(48+47) ×（48-47）+(46+45) ×(46-45) …+(2+1) ×(2-1)
=50+49+48+47+46+45+…+2+1
=
=1275
【点睛】本题是一道综合性题目，通过代数计算填表和面积法两种方式发现规律：平方差公式．然后再运用规律进行计算，提高了学生应用数学的能力，解题的关键是发现规律．
13．观察：已知．
…
（1）猜想： ；
（2）应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值：
① ；
② ；
（3）拓广：① ；
②判断的值的个位数是几？并说明你的理由．
【答案】（1）；（2）① ；② ；（3）① ；② 个位上数字是7，理由见解析．
【分析】（1）根据一系列等式总结出规律即可；
（2）① 令，代入上面规律计算即可；
（2）② 将式子变形为：，计算即可；
（3）① 提取，将原式变形为：，按照规律计算即可；
（3）② 由，…结果是以2、4、8、6，，的个位数字为8，进一步得到结果．
【解析】解：（1）
（2）①
=
=
②
=
=
（3）①
=
=
=
②
=
=
∵…结果是以2、4、8、6循环
∴
∴的个位数字为8，
∴的个位数字为7
【点睛】本题考查整式混合运算的应用，找出本题的规律是解题关键．
14．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1：A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形．
(1)选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个长为的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式____________；
(2)请用这3种卡片拼出一个面积为的长方形（数量不限），在图3的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽；
(3)选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形DEFG框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分．已知GF的长度固定不变，DG的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，．若，则当a与b满足____时，S为定值，且定值为______．（用含b的代数式表示）
【答案】(1)＝
(2)见解析
(3)时，
【分析】（1）用两种方法表示图2的面积，即可得出公式；
（2）由a2+4ab+3b2可得A型卡片1张，B型卡片3张，C型卡片4张，根据题意画出图形即可；
（3）设DG的长为x，求出S1，S2即可解决问题．
(1)
解：方法1：大正方形的面积为（a+b）2，
方法2：图中四部分的面积和为a2+2ab+b2，
∴（a+b）2=a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2；
(2)
解：如图3，
(3)
解：设DG的长为x，
∵S1=a[x-（a+2b）]=ax-a2-2ab，S2=2b（x-a）=2bx-2ab，
∴S=S2-S1
=2bx-2ab-（ax-a2-2ab）
=（2b-a）x+a2，
若S为定值，则2b-a=0，
∴a=2b，
∴当a与b满足a=2b时，S为定值，且定值为，
故答案为：a=2b，．
【点睛】本题考查了完全平方公式，完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的特点，数形结合的数学思想是解决问题的关键．
15．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
(1)图2中的阴影部分的面积为：____________（用a、b的代数式表示）；
(2)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是____________；
(3)利用（2）中的结论，若，，求的值____________；
(4)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，请你写出这个等式____________．
(5)如图4，点是线段上的一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG，连接EG、BG、BE，当时，的面积记为，当时，的面积记为，…，以此类推，当时，的面积记为，计算的值．
【答案】(1)
(2)
(3)16
(4)
(5)
【分析】（1）图2中阴影部分的面积可以用两种方法得到，先表示阴影部分的边长，再表示面积，二是图2大正方形面积减去图1的面积，即可得出答案
（2）由（1）可以得出三个代数式之间的关系；
（3）利用（2）中关系，整体代入求值即可；
（4）从整体求面积与各个部分的面积和两个方面即可得出等式；
（5）△BEG的面积总等于以BC为边长的正方形面积的一半，即，再利用平方差公式化简求值即可．
（1）
（2）
（3）
，时，，
故答案为：16
（4）
（5）
如图，连接，在正方形和正方形中
∴
∴
当时，；
当时，；
……
当时，；
∴
．
【点睛】考查正方形的性质，完全平方公式的意义和应用，利用图形中的面积得出相应的等式是得出正确答案的前提．
16．数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们常利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，如：探索整式乘法的一些法则和公式．
(1)探究一：
将图1的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图2的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的分解因式____________________．
(2)探究二：类似地，我们可以借助一个棱长为的大正方体进行以下探索：
在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图3所示，则得到的几何体的体积为____________；
(3)将图3中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图4、图5所示，∵，，，∴长方体①的体积为．类似地，长方体②的体积为________，长方体③的体积为________；（结果不需要化简）
(4)用不同的方法表示图3中几何体的体积，可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为______________．
(5)问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知a-b=6，ab=2，求的值．
(6)类比以上探究，尝试因式分解：= ．
【答案】(1)
(2)
(3)，
(4)
(5)252
(6)
【分析】（1）图1中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，图2中阴影部分的面积等于长为、宽为的长方形的面积，由此即可得；
（2）直接利用大正方体的体积减去小正方体的体积即可得出答案；
（3）根据长方体的体积公式即可得；
（4）根据（2）和（3）的结论可得，再将等号右边利用提取公因式分解因式即可得出答案；
（5）先利用完全平方公式求出，再根据（4）的结论即可得；
（6）将改写成，再根据（4）的结论进行因式分解即可得．
（1）
解：图1中阴影部分的面积为，
图2中阴影部分的面积为，
拼图前后图形的面积不变，
，
可得一个多项式的分解因式为，
故答案为：．
（2）
解：由题意，得到的几何体的体积为，
故答案为：．
（3）
解：，
长方体②的体积为，
，
长方体③的体积为，
故答案为：，．
（4）
解：由（2）和（3）得：，
则可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为，
故答案为：．
（5）
解：，
，
．
（6）
解：由（4）可知，，
则
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方差公式与图形面积、利用完全平方公式变形求值、利用提公因式法分解因式等知识点，熟练掌握利用不同的方法表示同一个几何体的体积得到代数恒等式是解题关键．
17．阅读材料：把形如的二次三项式或其一部分配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆写，即．
例如：、、是的三种不同形式的配方即“余项”分别是常数项、一次项、二次项．
请根据阅读材料解决下列问题：
(1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方；
(2)已知，，求的值；
(3)当，何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？
【答案】(1)第一种：；第二种：；第三种：
(2)
(3)16
【分析】（1）根据材料中的三种不同形式的配方，“余项”分别是常数项、一次项、二次项，可解答；
（2）将配方，根据平方的非负性可得和的值，可解答；
（3）首先把已知等式变为，然后利用完全平方公式分解因式，变为两个非负数和一个正数的和的形式，然后利用非负数的性质即可解决问题．
（1）
解：第一种：；
第二种：；
第三种：；
（2）
，，
，
，
，
，，
；
（3）
，
，
，
，
，
解得．
当，时，代数式的最小值是．
【点睛】本题考查的是配方法的应用，首先利用完全平方公式使等式变为两个非负数和一个正数的和的形式，然后利用非负数的性质解决问题．
18．【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．
例1 用配方法因式分解：a2＋6a＋8．
原式＝ a2＋6a＋9－1＝（a＋3）2－1＝（a＋3－1）（a＋3＋1）＝（a＋2）（a＋4）．
例2若M＝a2－2ab＋2b2－2b＋2，利用配方法求M的最小值；
a2－2ab＋2b2－2b＋2＝a2－2ab＋b2＋b2－2b＋1＋1＝（a－b）2＋（b－1）2＋1；
∵（a－b）2≥0，（b－1）2≥0，
∴当a＝b＝1时，M有最小值1．
请根据上述自主学习材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2＋10a＋________；
(2)用配方法因式分解：a2－12a＋35．
(3)若M＝a2－3a+1，则M的最小值为________；
(4)已知a2＋2b2＋c2－2ab＋4b－6c＋13＝0，则a＋b＋c的值为________；
【答案】(1)25；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】（1）利用完全平方公式的结构特征判断即可；
（2）原式常数项35分为，利用完全平方公式化简，再利用平方差公式分求解即可；
（3）配方后，利用非负数的性质确定出最小值即可；
（4）将已知等式利用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质求出，，的值，代入原式计算即可．
（1）
解：；
故答案为：25；
（2）
解：
；
（3）
解：
，
当，即时，取最小值，最小值为；
故答案为：；
（4）
解：，
，
即，
，，，
，，，
解得：，，
则．
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，非负数的性质：偶次方，完全平方式，以及因式分解分组分解法，解题的关键是熟练掌握各自的运算法则及公式．
19．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．
例如：由图1可得到
（1）写出由图2所表示的数学等式：_________________；
（2）写出由图3所表示的数学等式（利用阴影部分）：________________；
（3）已知实数满足．求：
①的值；
②的值．
【答案】（1）（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）（a-b-c）2=a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc；（3）①0；②1
【分析】（1）大正方形的面积等于6个长方形和3个小正方形的面积和；
（2）图中阴影部分面积为正方形等于阴影部分面积等于大正方形面积减去5个长方形和3个小正方形的面积；
（3）①将（1）式子变形ab+bc+ca=×[（a+b+c）2-（a2+b2+c2）]，代入已知即可求解；②先求出（a+b+c）3=a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2a+3b2c+3c2a+3bc2+6abc，再结合已知条件，将式子逐步代入，得到1=3（a+b+c）-2（a3+b3+c3）+6abc，即可求解．
【解析】解：（1）大正方形的面积为（a+b+c）2，
9个长方形和小正方形的面积和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
∴（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）图中阴影部分面积为正方形，则有（a-c-b）（a-b-c）=（a-b-c）2，
阴影部分面积等于大正方形面积减去5个长方形和3个小正方形的面积，即a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc，
∴（a-b-c）2=a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc；
（3）①由（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
可得ab+bc+ca=×[（a+b+c）2-（a2+b2+c2）]，
∵a+b+c=1，a2+b2+c2=1，
∴ab+bc+ca=0；
②∵（a+b+c）3=a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2a+3b2c+3c2a+3bc2+6abc，
∵a+b+c=1，a2+b2+c2=1，
∴1=a3+b3+c3+3[b（a2+c2）+a（b2+c2）+c（a2+b2）]+6abc=a3+b3+c3+3[b（1-b2）+a（1-a2）+c（1-c2）]+6abc，
1=3（a+b+c）-2（a3+b3+c3）+6abc，
∴1=3-2（a3+b3+c3）+6abc，
∴a3+b3+c3-3abc=1．
【点睛】本题考查了因式分解的应用；根据一个图形面积的不同求法，利用面积相等，得到相应的表达式，再将表达式进行适当的变形，用代入法求值是解题关键．
20．“阅读素养的培养是构建核心素养的重要基础，华师中山附中以实施百书计划为突破口，着力提升学生的核心素养．”全校师生积极响应和配合，开展各种活动丰富其课余生活．在数学兴趣小组中，同学们从书上认识了很多有趣的数，其中有一个“和平数”引起了同学们的兴趣．描述如下：一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“和平数”．例如：1423，x=1+4，y=2+3，因为x=y，所以1423是“和平数”．
(1)直接写出：最大的“和平数”是___．
(2)将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后这两个“和平数”为“相关和平数”，例如：1423与4132为“相关和平数”．
设任意一个“和平数”千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，则该“和平数”和它的“相关和平数”的数值分别为：“和平数”值 ，“相关和平数”值是 ．
求证：任意的两个“和平数”与“相关和平数”之和是1111的倍数．
(3)求同时满足下列条件的所有“和平数”：
①个位上的数字是千位上的数字的两倍；
②百位上的数字与十位上的数字之和是12．
【答案】(1)9999；(2)1000a+100b+10c+d，1000b+100a+10d+c，证明见解析；(3) 2754和4848
【分析】(1)根据题意即可得到结论；
(2)根据题目意思表示出“和平数”和“相关和平值”即可，设任意两个“相关和平数”为，（a、b、c、d分别取0，1，2，…，9且a≠0，b≠0），于是得到+=1100（a+b）+11（c+d）=1111（a+b），即可得到结论；
(3)设这个“和平数”为，于是得到d=2a，a+b=c+d，b+c=12k，求得2c+a=12k，即a=2、4、6、8，d=4、8、12(舍去) 、16(舍去)，再分情况讨论即可得出结果．
【解析】解：(1)由题知：最大的“和平数”9999；
(2)“和平数”：1000a+100b+10c+d，“相关和平数”：1000b+100a+10d+c，
设任意两个“相关和平数”为，（a、b、c、d分别取0，1，2，…，9且a≠0，b≠0），
∴+=1100（a+b）+11（c+d），
∵a+b=c+d，
∴+=1100（a+b）+11（a+b）=1111（a+b），
∴两个“相关和平数”之和是1111的倍数；
(3)设这个“和平数”为，
则d=2a，a+b=c+d，b+c=12k，
∴2c+a=12k，
则a=2、4、6、8，d=4、8、12(舍去) 、16(舍去)，
当a=2，d=4时，2（c+1）=12k，
可知c+1=6k且a+b=c+d，
∴c=5，b=7，
当a=4，d=8时，
2（c+2）=12k，
可知c+2=6k且a+b=c+d，
∴c=4，b=8，
综上所述：这个数为2754和4848．
【点睛】本题主要考查的是定义新运算以及因式分解，掌握以上两个知识点是解题的关键．
21．阅读下列材料，然后解答问题：
问题：分解因式：.
解答：把代入多项式，发现此多项式的值为0，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出，的值.再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”.
（1）求上述式子中，的值；
（2）请你用“试根法”分解因式：.
【答案】（1），；（2）
【分析】（1）先找出一个x的值，进而找出一个因式，再将多项式设成分解因式的形式，即可得出结论；
（2）先找出x=-1时，得出多项式的值，进而找出一个因式，再将多项式设成分解因式的形式，即可得出结论．
【解析】解：（1）把带入多项式，发现此多项式的值为0，
∴多项式中有因式，
于是可设，
得出：，
∴，，
∴，，
（2）把代入，多项式的值为0，
∴多项式中有因式，
于是可设，
∴，，
∴，，
∴
【点睛】此题是分解因式，主要考查了试根法分解因式的理解和掌握，解本题的关键是理解试根法分解因式．
22．若一个正整数能表示成(是正整数，且)的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，与是的一个平方差分解. 例如：因为，所以5是“明礼崇德数”，3与2是5的平方差分解；再如：(是正整数)，所以也是“明礼崇德数”，与是的一个平方差分解.
(1)判断：9_______“明礼崇德数”(填“是”或“不是”)；
(2)已知(是正整数，是常数，且)，要使是“明礼崇德数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由；
(3)对于一个三位数，如果满足十位数字是7，且个位数字比百位数字大7，称这个三位数为“七喜数”.若既是“七喜数”，又是“明礼崇德数”，请求出的所有平方差分解.
【答案】（1）是；（2）k=-5；（3）m=279，，.
【分析】(1)根据9=52-42，确定9是“明礼崇德数”；
(2)根据题意分析N应是两个完全平方式的差，得到k=-5，将k=-5代入计算即可将N平方差分解，得到答案；
(3)确定“七喜数”m的值，分别将其平方差分解即可.
【解析】(1)∵9=52-42，
∴9是“明礼崇德数”，
故答案为：是；
(2)当k=-5时，是“明礼崇德数”，
∵当k=-5时，
，
=，
=，
=，
=
=.
∵是正整数，且，
∴N是正整数，符合题意，
∴当k=-5时，是“明礼崇德数”；
(3)由题意得：“七喜数”m=178或279，
设m==（a+b）（a-b），
当m=178时，
∵178=289，
∴，得（不合题意，舍去）；
当m=279时，
∵279=393=931，
∴①，得，∴，
②，得，∴，
∴既是“七喜数”又是“明礼崇德数”的m是279，，.
【点睛】此题考查因式分解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解此题的前提，(3)是此题的难点，解题时需根据百位与个位数字的关系确定具体的数据，再根据“明礼崇德数”的要求进行平方差分解.
23．阅读理解题
阅读材料：
两个两位数相乘，如果这两个因数的十位数字相同，个位数字的和是10，该类乘法的速算方法是：将一个因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足两位，用0补齐）．
比如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以；
再如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以；
又如，，不足两位，就将6写在百位：，不足两位，就将9写在个位，十位上写0，所以
该速算方法可以用我们所学的整式乘法与分解因式的知识说明其合理性；
设其中一个因数的十位数字为，个位数字是，（、表示1~9的整数），则该数可表示为，另一因数可表示为．
两数相乘可得：
.
（注：其中表示计算结果的前两位，表示计算结果的后两位．）
问题：
两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个位数字之和是10．
如、、等．
（1）探索该类乘法的速算方法，请以为例写出你的计算步骤；
（2）设十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是，则该数可以表示为___________．
设另一个因数的十位数字是，则该数可以表示为___________．（、表示1~9的正整数）
（3）请针对问题（1）（2）中的计算，模仿阅读材料中所用的方法写出如：的运算式：____________________
【答案】（1）4×（7+1）=32，4×3=12，44×73=3212；（2）11a，9b+10；（3）（ 10a+a） （ 10b+c）= （ b+1 ） a×100+ac．
【分析】（1）设一个因数的两个数字为b和c且b+c=10，另一个因数个位数为a，则另一个因数为10a+a，则 可得出（ 10a+a） （ 10b+c）= （ b+1 ） a×100+ac．
规律：先将和为10的数的十位数字加1 ，再与后一个乘数的十位数字相乘后乘以100，然后加上两个个位数之积，由此可得出结论；
（2）根据两位数的表示方法即可得出结论．
（3）根据（1）即可得出结论．
【解析】（1）设一个因数的两个数字为b和c且b+c=10，另一个因数个位数为a，则另一个因数为10a+a，则（ 10a+a） （ 10b+c）=100ab+10ac+10ab+ac=100ab+10（b+c）a+ac=100ab+10×10a+ac=（ b+1 ） a×100+ac．
规律：先将和为10的数的十位数字加1 ，再与后一个乘数的十位数字相乘后乘以100，然后加上两个个位数之积，∴4×（7+1）=32，4×3=12，44×73=3212；
（2）设十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是a，则该数可以表示为10a+a=11a．
设另一个因数的十位数字是b，则该数可以表示为10b+（10-b）=9b+10．
故答案为11a，9b+10．
（3）设一个因数的两个数字为b和c且b+c=10，另一个因数个位数为a，则另一个因数为10a+a，则（ 10a+a） （ 10b+c）=100ab+10ac+10ab+ac=100ab+10（b+c）a+ac=100ab+10×10a+ac=（ b+1 ） a×100+ac．
故答案为（ 10a+a） （ 10b+c）= （ b+1 ） a×100+ac．
【点睛】本题考查了整式的混合运算和数字的计算规律，寻找计算规律是前提，并加以运用和推广是关键，考查了数学的类比思想，整式的运算是解题的基础．
24．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
.
（1）上述分解因式的方法是______________法.
（2）分解的结果应为___________.
（3）分解因式：.
【答案】（1）提公因式 ; （2） ；（3）
【分析】（1）用的是提公因式法；
（2）按照（1）中的方法再分解几个，找了其中的规律，即可推测出结果；.
（3）由（2）中得到的规律即可推广到一般情况.
【解析】解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法．
（2）=
=
……
由此可知=
（3）原式=（1+x）[1+x+x（x+1）]+x（x+1）3+…+x（x+1）n，
=（1+x）2（1+x）+x（x+1）3+…+x（x+1）n，
=（1+x）3+x（1+x）3+…+x（1+x）n，
=（1+x）n+x（x+1）n，
=（1+x）n+1．
【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，找出整式的结构规律是关键，体现了由特殊到一般的数学思想．
25．找规律：观察算式
13＝1
13+23＝9
13+23+33＝36
13+23+33+43＝100
…
（1）按规律填空）
13+23+33+43+…+103＝ ；
13+23+33+43+…+n3＝ ．
（2）由上面的规律计算：113+123+133+143+…+503（要求：写出计算过程）
（3）思维拓展：计算：23+43+63+…+983+1003（要求：写出计算过程）
【答案】（1）；；（2）1622600；（3）
【分析】（1）观察等式右边都是平方数，且底数正好是等式左边各底数的和，依此规律类推可分别解决以上两个问题；
（2）由于上面的等式都是从底数是1开始的，所以可以把该式子前面的部分从1开始补上，再把补上的部分减掉即可；
（3）该式中的底数并不是题干中所给出的从1开始的连续整数，因此不能直接用上述规律解题，但该式中的底数却都是从1开始的连续整数的2倍，因此提出2后，各项都含有，逆用乘法分配律即可解决问题．
【解析】解：（1）13+23+33+43+…+103＝（1+2+3+4+…+10）2＝；
13+23+33+43+…+n3＝（1+2+3+4+…+n）2＝；
（2）113+123+133+143+…+503＝（13+23+33+43+…+503）-（13+23+33+43+…+103）
＝
＝1622600；
（3）23+43+63+…+983+1003＝（2×1）3+（2×2）3+（2×3）2+（2×4）3+…+（2×50）3＝23×（13+23+33+43+…+503）
＝23×＝．
【点睛】本题属于数式规律题，考查了学生对数的观察和分析的能力，首先学生应对平方数有一定的认识和感知力，这样才能迈出解决问题的第一步，其次学生要学会对不同的数进行关联，通过它们的和差积商中的一种或多种组合找到它们的联系，才能得出这道题的规律，建议在学习过程中多积累相关经验，发散思维，提高解决该类问题的效率．
26．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3
(1)根据上述规定，填空：（5，25）＝ ，（2，1）＝ ，（3，）＝ ．
(2)小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4），并作出了如下的证明：
设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n．
所以3x＝4，即（3，4）＝x，
所以（3n，4n）＝（3，4）．
试解决下列问题：
①计算（8，1000）﹣（32，100000）；
②请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，2）＋（3，5）＝（3，10）．
【答案】(1)2，0，-2
(2)①0；②见解析
【分析】（1）根据题中规定及幂的乘方运算进行计算即可；
（2）根据题中规定及幂的乘方运算进行计算即可．
（1）解：∵ 52=25，∴（5，25）=2；∵20=1，∴（2，1）=0；∵∴故答案为：2，0，-2；
（2）①（8，1000）-（32，100000）=（23，103）-（25，105）=（2，10）-（2，10）=0；②设3x=2，3y=5，则3x·3y=3x+y=2×5=10，所以（3，2）=x，（3，5）=y，（3，10）=x+y，所以（3，2）+（3，5）=（3，10）．
【点睛】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方是解题的关键．
27．数形结合是一种非常重要的数学思想，它包含两个方面，第一种是“以数解形”，第二种是“以形助数”，我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微”．请你使用数形结合这种思想解决下面问题：
图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分为四块完成相同的小长方形，然后按照图2的形状拼成一个正方形．
(1)观察图2，用两种方法计算阴影部分的面积，可以得到一个等式，请使用代数式，，ab写出这个等式_____________．
(2)运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且，，试求的值．
(3)如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)4
(3)
【分析】（1）根据图2中，各个部分面积与大正方形面积之间的关系可得答案；
（2）由（1）的结论，进行计算即可；
（3）设两个正方形的边长为，，得出，，根据完全平方公式计算出的值即可．
（1）
解：如图2，大正方形的边长为，因此面积为，
小正方形的边长为，因此面积为，
每个长方形的长为，宽为，因此面积为，
由面积之间的关系可得：
，
故答案为：（答案不唯一）；
（2）
解：由（1）得，
，，
；
即的值是4；
（3）
解：设正方形的边长为，正方形的边长为，则，，
，两正方形的面积和，
，，
，
，
，
阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征以及图形中面积之间的关系．
28．阅读理解，解答下列问题：利用平面图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．
（1）例如，根据下图①，我们可以得到两数和的平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2根据图②能得到的数学公式是__________．
（2）如图③，请写出（a＋b）、（a﹣b）、ab之间的等量关系是__________
（3）利用（2）的结论，解决问题：已知x＋y＝8，xy＝2，求（x﹣y）2的值．
（4）根据图④，写出一个等式：__________．
（5）小明同学用图⑤中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片，用这些纸片恰好拼出一个面积为（3a＋b）（a＋3b）长方形，请画出图形，并指出x＋y＋z的值．
类似地，利用立体图形中体积的等量关系也可以得到某些数学公式．
（6）根据图⑥，写出一个等式：___________．
【答案】（1）（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2；（2）（a＋b）2＝（a﹣b）2＋4ab；（3）56；（4）（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；（5）画图见解析，16；（6）（a＋b）3＝a2＋b2＋3a2b＋3ab2
【分析】(1)由图②中各个部分面积之间的关系可得答案；
(2)根据图③中，大正方形的面积为（a＋b）2，小正方形的面积为（a﹣b）2，每个长方形的面积为ab，由各个部分的面积之间的关系可得出答案；
(3)由公式变形，再整体代入计算即可；
(4)大正方形的面积可表示为（a＋b＋c）2，在分别表示出大正方形中9块的面积，可得答案；
(5)根据拼出一个面积为（3a＋b）（a＋3b），即为3a2＋3b2＋10ab，因此x＝3，y＝3，z＝10，进而拼图即可；
(6)根据大正方体的体积为（a＋b）3，以及8个“小块”的体积之间的关系得出结果即可．
【解析】（1）根据图②各个部分面积之间的关系可得：
（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2，
故答案为：（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2；
（2）图③中，大正方形的面积为（a＋b）2，
小正方形的面积为（a﹣b）2，
每个长方形的面积为ab，
，
故答案为：；
（3）利用（2）的结论，
可知，
x＋y＝8，xy＝2，
（x﹣y）2＝（x＋y）2﹣4xy＝64﹣8＝56；
（4）根据图④，
大正方形的面积可表示为（a＋b＋c）2，
内部9块的面积分别为：
，
（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc
故答案为：（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；
（5）（3a＋b）（a＋3b）＝3a2＋3b2＋10ab，
，
即需要3张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，10张宽、长分别为a、b的长方形纸片，
画图如下：
∴x＋y＋z＝16；
（6）根据图⑥，
大正方体的体积为（a＋b）3，
分割成8个“小块”的体积分别为：
，
（a＋b）3＝a2＋b2＋3a2b＋3ab2
故答案为：（a＋b）3＝a2＋b2＋3a2b＋3ab2．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景、立方公式，表示各个部分的面积和体积，利用各个部分的面积或体积与整体的关系得出答案．
a
b
a＋b
a－b
a2－b2
2
1
3
1
3
3
－2
1
5
a
b
a＋b
a－b
a2－b2
2
1
3
1
3
3
－2
1
5
5
相关试卷
沪教版七年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷期末试卷02(原卷版+解析)： 这是一份沪教版七年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷期末试卷02(原卷版+解析)，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
沪教版七年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷期中测试卷02(原卷版+解析)： 这是一份沪教版七年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷期中测试卷02(原卷版+解析)，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
特训04 期末解答压轴题（2022最新压轴）-2022-2023学年七年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷（人教版）： 这是一份特训04 期末解答压轴题（2022最新压轴）-2022-2023学年七年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷（人教版），文件包含七年级数学上册特训04期末解答压轴题2022最新压轴原卷版docx、七年级数学上册特训04期末解答压轴题2022最新压轴解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共75页， 欢迎下载使用。
