安徽省大联考2023-2024学年高一下学期7月期末质量检测数学试题

这是一份安徽省大联考2023-2024学年高一下学期7月期末质量检测数学试题，共11页。试卷主要包含了已知在梯形中，，，，若，则，5D等内容，欢迎下载使用。

数学
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案 后，用铅笔把答题卡对应题目的答案 标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 标号.回答非选择题时，将答案 写在答题卡上.与在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.已知向量，，，若与共线，则实数（ ）
A.B.C.D.0
3.2024年全国夏季游泳锦标赛将在合肥举办，某高中共有男学生1300人，女学生1100人，男教师150人，女教师100人申请做志愿者，现按人数比例用分层随机抽样的方法从中抽取部分人，若抽取的人中男性有290人，则抽取的总人数为（ ）
A.480B.500C.520D.530
4.已知在梯形中，，，，若，则（ ）
A.，B.，C.，D.，
5.从，，1，3这4个数中随机取出2个不同的数，则这2个数的乘积不超过1的概率为（ ）
A.B.C.D.
6.在如图所示的电路中，三个开关，，闭合与否相互独立，且在某一时刻，，闭合的概率分别为，，，则此时灯亮的概率为（ ）
A.B.C.D.
7.已知正四棱锥的底面边长为2，体积为，为棱的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A.B.C.D.
8.在水平桌面上放置一个上、下底面直径分别为2，4，高为2的敞口圆台形容器，现往其内部注水至水面高度为1，然后将上底面加盖，使容器完全密封，再把此容器倒扣在水平桌面上，记此时的水面高度为，则（ ）
A.B.
C.D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.某学校举办了一次数学竞赛，共有200名参赛者，对所有参赛者的成绩进行统计，所有成绩都在内，得到如图所示的频率分布直方图（每组均为左闭右开区间），则（ ）
A.B.所有参赛者成绩的极差小于50
C.估计所有参赛者成绩的中位数为70.5D.成绩在区间内的人数为64
10.设，，则下列结论中正确的是（ ）
A.若，则B.若，则
C.若，则D.若，则
11.在三棱锥中，若，，分别为棱，，的中点，平面、平面、平面相交于点，则（ ）
A.B.
C.D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若向量，，则在上的投影向量的坐标为______.
13.已知一个高为3的圆锥的底面圆周和顶点都在一个半径为2的球的球面上，设圆锥和球的体积分别为，，则______.
14.已知在中，，，，为线段的延长线上一点，的平分线所在的直线与直线交于点，则______.
参考数据：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
在中，设向量，，且，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求.
16.（15分）
某校高一（1）班、（2）班的学生人数分别为40，42，在某次测验中，记（1）班所有学生的成绩分别为，，…，，平均成绩为，方差为，已知，.
（Ⅰ）求，；
（Ⅱ）记（2）班所有学生的成绩分别为，，…，，其平均成绩为82，，试求两个班的所有学生的平均成绩（结果保留整数），并说明哪一个班的成绩比较稳定.
17.（15分）
某公司拟通过摸球抽奖的方式对员工发放生日红包.先在一个不透明的袋子中装入7个标有一定金额的球（除标注的金额不同外，其余均相同），其中标注的金额为100元、200元、300元的球分别有2个、2个、3个.参与的员工每次从袋中随机摸出1个球，记录球上标注的金额后放回袋中，连续摸次.规定：某员工摸出的球上所标注的金额之和为其所获得的生日红包的总金额.
（Ⅰ）当时，求甲员工所获得的生日红包总金额不低于200元的概率；
（Ⅱ）当时，设事件“甲员工获得的生日红包总金额不超过400元”，事件“甲员工获得的生日红包总金额不低于300元”，试判断事件，是否相互独立，并说明理由.
18.（17分）
在中，角，，的对边分别为，，，已知.
（Ⅰ）求.
（Ⅱ）如图，为的外接圆的上一动点（含端点），.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）当且点不重合时，求.
19.（17分）
如图，在直四棱柱中，底面为菱形，点在线段上，且为的重心，点在棱上，且，点在棱上，且.
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）若，，求点到平面的距离.
2023-2024学年（下）安徽高一期末质量检测
数学・答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1.答案 C
命题意图 本题考查复数的运算.
解析 ，故在复平面内对应的点为，该点位于第三象限.
2.答案 B
命题意图 本题考查共线向量的定义.
解析 由题可知，因为与共线，
所以，解得.
3.答案 D
命题意图 本题考查分层随机抽样.
解析 因为，
所以抽取的总人数为.
4.答案 A
命题意图 本题考查平面向量的应用.
解析 由题可得，所以 .
5.答案 B
命题意图 本题考查古典概型.
解析 从，，1，3这4个数中随机取出2个不同的数，共有6种不同的情况，满足乘积不超过1的为，，，，共有4种不同的情况，故所求的概率为.
6.答案 D
命题意图 本题考查对立事件的概率计算.
解析 此时灯亮的概率为.
7.答案 A
命题意图 本题考查异面直线所成的角.
解析 设正四棱锥的高为，则，，所以.
设正四棱锥的底面中心为，连接，，则，
所以直线与所成的角为a.
由题可得，，，所以，
所以.
8.答案 C
解析 将圆台补成一个圆锥，则圆锥的高为4.容器正放时水面所在圆面的半径为，注入水的体积为.当把此容器倒扣在水平桌面上时，设水面所在圆面的半径为，则，所以，此时水的体积为，
所以，所以
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.答案 BCD
命题意图 本题考查频率分布直方图及样本的数字特征.
解析对于A，由题可得，故A错误；
对于B，由题图可知，所有参赛者成绩的极差小于，故B正确；
对于C，设中位数为，则，解得，故C正确；
对于D，成绩在区间内的人数为，故D正确.
10.答案 BC
命题意图 本题考查复数的运算.
解析 对于A，若，，则，，故A错误；
对于B，设，，，
因为，所以，所以，，，故，故B正确；
对于C，若，则，则或，
所以或，所以，故C正确；
对于D，若，，则满足，
但，，所以，故D错误.
11.答案 ACD
命题意图 本题考查三棱锥的侧面积与体积.
解析 对于A，由已知可得，且相似比为，
所以，故A正确；
对于B，因为为的面积的，为的面积的，
而与的面积关系未知，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，如图，设，交于点，，交于点，连接，，
则，的交点为，延长交于点，连接交于点，
易知，分别为，的重心，
所以，所以，
所以，，
设，则，，所以，所以，
设三棱锥的高为，点到平面的距离为，则，
所以，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.答案
命题意图 本题考查投影向量.
解析 设，的夹角为，则在上的投影向量的坐标为
.
13.答案
命题意图 本题考查圆锥及其外接球的体积.
解析 由题可知，球心在圆锥的高上，所以圆锥的底面半径为，
所以.
14.答案
命题意图 本题考查正弦定理.
解析 因为，，所以点在线段的延长线上，，
在中，由正弦定理可得.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.命题意图 本题考查向量的数量积及向量的模.
解析 （Ⅰ）由已知得，，
所以，
所以.
（Ⅱ）因为，所以，
所以.
16.命题意图 本题考查用样本估计总体.
解析 （Ⅰ），
.
（Ⅱ）记（2）班的平均成绩为，方差为，
则，所以，
所以两个班所有学生的平均成绩为.
，
因为，所以（1）班的成绩比较稳定.
17.命题意图 本题考查事件的相互独立性.
解析 （Ⅰ）即只摸1次球，
生日红包总金额不低于200元，即为200元或300元，
从袋中随机摸出1个球，对应的生日红包金额为200元的概率为，为300元的概率为，
故甲员工所获得的生日红包总金额不低于200元的概率为.
（Ⅱ）当时，“甲员工获得的生日红包总金额为300元或400元”，
因为，，
所以.
事件“甲员工获得的生日红包总金额为200元、300元或400元”，
因为，所以，
事件的对立事件为“甲员工获得的生日红包总金额为200元”，
所以，
所以，
所以事件，不相互独立.
18.命题意图 本题考查解三角形.
解析 （Ⅰ）因为，
所以，
所以，
因为，所以，
因为，所以.
（Ⅱ）（ⅰ）在中，由余弦定理可得，
所以圆的直径为，
所以的取值范围是.
（ⅱ）在中，由正弦定理可得，
所以.
因为为外接圆上的一点，所以，
因为，所以，
又，
所以.
19.命题意图 本题考查两平面平行的证明及点到平面的距离的计算.
解析 （Ⅰ）如图，设交于点，连接.
因为底面为菱形，为的重心，
所以.
又，所以，
所以.
因为平面，平面，
所以平面.
在直四棱柱中，，且，
又，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，所以.
因为平面，平面，
所以平面.
因为，所以平面平面.
（Ⅱ）如图，过点作于点，交于点.
由题可知，，
又，所以平面，
又平面，所以，
因为，所以. 平面.
因为平面平面，所以平面，
所以平面.
由已知可得，，所以.
故点到平面的距离为.