安徽省智学大联考·皖中名校联盟2023-2024学年高一下学期期中检测数学试卷

这是一份安徽省智学大联考·皖中名校联盟2023-2024学年高一下学期期中检测数学试卷，共12页。试卷主要包含了已知非零向量满足，则与的夹角为，内角的对边分别为，已知，则，平行四边形中，，若点满足，则，设为复数，则下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。

数学试题卷
注意事项：
1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟.
2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效.
第I卷（选择题共58分）
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确答案涂在答题卡上）
1.在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.设为所在平面内一点，且，则（ ）
A. B.
C. D.
3.已知非零向量满足，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
4.内角的对边分别为，已知，则（ ）
A. B. C. D.
5.在中，内角所对的边分别是，若，则的面积是（ ）
A.4 B.2 C. D.
6.已知一个圆锥的高为6，底面半径为3，现在用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，得到一个高为2的圆台，则这个圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
7.平行四边形中，，若点满足，则（ ）
A.-8 B.8 C.12 D.16
8.在中，角所对应的边分别为，向量，且，点为边的中点，且，则（ ）
A. B. C. D.
二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，两个选项部分选对得3分；三个选项选对一个得2分，选对两个得4分，选错得0分.请把正确答案涂在答题卡上）
9.下列是四个关于多面体的命题，其中正确的是（ ）
A.棱台的所有侧棱所在直线必交于同一个点
B.四棱锥中，四边形的对角线交点为，若平面，则该四棱锥是正四棱锥
C.任意一个棱柱的侧面都是矩形
D.正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为4，且它的所有顶点在球的表面上，则球的表面积为
10.设为复数，则下列命题正确的是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
11.已知是夹角为的单位向量，，则（ ）
A. B.
C. D.在上的投影向量为
第II卷（非选择题共92分）
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分.把答案填在答题卡的相应位置.）
12.已知复数的实部为5，虚部为-1，则__________.
13.如图，已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为，切割这个正四棱柱，得到四棱锥，则这个四棱锥的表面积为__________.
14.在中，角所对应的边分别为，已知，则角__________.
四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
15.（本题满分13分）
（1）已知向量，点，若向量，且，求点的坐标；
（2）已知向量，若与夹角为钝角，求的取值范围.
16.（本题满分15分）“大湖名城，创新高地”的“湖”指的就是巢湖，为治理巢湖环境，拟在巢湖两岸建立四个水质检测站.已知两个检测站建在巢湖的南岸，距离为，检测站在湖的北岸，工作人员测得.
（1）求两个检测站之间的距离；
（2）求两个检测站之间的距离.
17.（本题满分15分）如图，在中，是的中点，现将Rt以直角边为轴旋转一周得到一个圆锥，点为圆锥底面圆周上的一点，且.
（1）求圆锥的表面积；
（2）若一个棱长为的正方体木块可以在这个圆锥内任意转动，求的最大值.
18.（本题满分17分）由扇形和组成的平面图形如图所示，已知，，点在（含端点）上运动.
（1）连接，求正弦值的取值范围；
（2）设，四边形面积为，求的最大值.
19.（本题满分17分）已知锐角分别为角的对边，若.
（1）求证：；
（2）求的取值范围.
智学大联考·皖中名校联盟
合肥八中2023-2024学年第二学期高一年级期中检测
数学参考答案
一､单项选择题（（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请把正确答案涂在答题卡上）
1.【答案】D
【解析】，所以复数对应的点的坐标为，该点在复平面内位于第四象限.
2.【答案】A
【解析】
3.【答案】C
【解析】，则，所以，所以与的夹角为.
4.【答案】A
【解析】由正弦定理，得，又，则，所以，从而.
5.【答案】D
【解析】，则，所以的面积是.
6.【答案】B
【解析】设截面圆的半径为，则，即，所以，
从而圆台的体积为.
（也可以用大圆锥的体积减去小圆锥的体积求解）.
7.【答案】B
【解析】，则
8.【答案】C
【解析】，则，即，所以，
在中，，即①，
在中，，即②，
由①②解得，
在中，，则.
二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.请把正确答案涂在答题卡上）
9.【答案】AD
【解析】用一个平行于底面的平面去截棱锥，截面与底面之间的几何体就是棱台，
所以棱台的所有侧棱所在直线必交于同一个点，故A正确；
由四边形的对角线交点为平面，无法确定四边形是正方形，所以四棱锥不一定是正四棱锥，故B错误；
任意一个棱柱的侧面都是平行四边形，直棱柱的侧面都是矩形，故C错误；
球的直径，所以半径，则球的表面积为，故D正确.
10.【答案】BD
【解析】设，则，而，故错误；
因为，又，则，故B正确；
设，则，而，故C错误；
设，
，则，
从而，即，从而，故D正确；
11.【答案】ABD
【解析】，故A正确；
，故B正确；
，
则，所以，故C错误；
在上的投影向量为，故正确.
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分.把答案填在答题卡的相应位置.
12.【答案】
【解析】，则，
所以
13.【答案】
【解析】矩形的面积为，
的面积为，
的面积为的面积为，
中，，
则边上的高为2，其面积为，
所以四棱锥的表面积为.
14.【答案】
【解析】，即，即
由正弦定理，
，即
因为，所以，
所以
因为，所以，从而.
三､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本题满分13分）
【解析】
（1）设，则
因为向量，所以
又，所以
解得或，所以坐标为或
（2）因为，
所以
所以，即，解得
又不反向共线，所以，
综上且.
16.（本题满分15分）
【解析】
（1）在中，，
由正弦定理，得，
则
所以两个检测站之间的距离为.
（2）在中，，所以，
所以，所以.
由余弦定理得.
所以
在中，由余弦定理得
所以，即两个检测站之间的距离为.
17（本题满分15分）
【解析】
（1）中，，
圆锥的底面圆面积为
圆锥的侧面面积为
圆锥的表面积为
（2）正方体的外接球在圆锥内，与圆锥相切时最大
球心在上，作于，
设球半径为，则中，，解得
，解得，即的最大值为.
18.（本题满分17分）
【解析】
（1）在中，，由余弦定理知，
由正弦定理知，，
所以.
又在上单调递增，故
所以正弦值的范围是
（2）记四边形的面积为，
则，因为，
所以，
所以
故当，即时取等号，
此时，四边形的面积取得最大值.
19.（本题满分17分）
【解析】
（1）
根据正弦定理，由
，
即.
是锐角三角形，
，因此有
（2）是锐角三角形，，而，
由正弦定理，
得，
则，
而
所以，
因此的取值范围为.