中考数学一轮复习考点（全国通用）考向12 一元二次方程专题特训（含答案）

这是一份中考数学一轮复习考点（全国通用）考向12 一元二次方程专题特训（含答案），共37页。
1、一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
2、 一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）
3、运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．
4、配方法解一元二次方程就是将方程变形为的形式，如果q≥0，方程的根是；如果q＜0,方程无实根．
5、一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac≥0时，x=叫做一元二次方程的求根公式．利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
6、一元二次方程为，其根的判别式为：，则有下列性质：
①方程有两个不相等的实数根：．
②方程有两个相等的实数根：．
③方程没有实数根．
7、一元二次方程根与系数的关系（又叫韦达定理）：如果一元二次方程（）的两根为那么，就有，（注意：运用根与系数的关系的前提是b2-4ac≥0）
【题型探究】
题型一：一元二次方程的基础概念
1．（2022秋·江苏盐城·九年级校联考期中）下列方程中，不是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣1=0B．x2 ++3=0C．x2 + 2x +1=0D．3x2 +x +1=0
2．（2022·河南洛阳·统考二模）若m，n分别是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．（2022·四川宜宾·统考中考真题）已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．0B．－10C．3D．10
题型二：一元二次方程的解（开平方和配方法）
4．（2022秋·广东佛山·九年级校考期中）方程（9x﹣1）2＝1的解是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022·山东聊城·统考中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ）
A．B．C．2D．
6．（2022·四川雅安·统考中考真题）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（ ）
A．﹣3B．0C．3D．9
题型三：一元二次方程的解（公式法）
7．（2022秋·全国·九年级专题练习）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，且有，那么实数的取值范围是
A．B．C．D．
8．（2021·上海·九年级专题练习）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．若关于的方程是常数，是“邻根方程”，令，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
9．（2022秋·北京·九年级北京师大附中校考期末）定义新运算：对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：．因此，；按照这个规定，若，则的值是（ ）
A．－1B．－1或C．D．1或
题型四：一元二次方程的解（因式分解）
10．（2022·内蒙古包头·中考真题）若是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．3或B．或9C．3或D．或6
11．（2023·全国·九年级专题练习）已知方程，且关于x的不等式只有4个整数解，那么b的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．（2022秋·九年级课时练习）已知实数a，b同时满足，则b的值是（ ）
A．2或B．2C．或6D．
题型五：一元二次方程的判别式问题
13．（2022·山东威海·模拟预测）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的值不能是（ ）
A．B．C．D．
14．（2022·四川泸州·四川省泸县第四中学校考一模）关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
15．（2022·湖南长沙·长沙市南雅中学校联考一模）若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．且D．且
题型六：一元二次方程根与系数的问题
16．（2022·山东济宁·三模）若是方程的两个根，则的值为（ ）
A．9B．8C．7D．5
17．（2022·贵州黔东南·统考中考真题）已知关于的一元二次方程的两根分别记为，，若，则的值为（ ）
A．7B．C．6D．
18．（2022秋·广东广州·九年级铁一中学校考阶段练习）若和是关于x的方程的两根，且，则b的值是（ ）
A．－3B．3C．－5D．5
题型七：一元二次方程的实际问题
19．（2022·辽宁盘锦·校考一模）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如表：
(1)求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围）
(2)该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利6000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
(3)物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，设销售这种衬衫每月的总利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，x为多少时，w有最大值，最大利润是多少？
20．（2022·重庆大渡口·重庆市第三十七中学校校考二模）草莓是大家非常喜欢的水果，3月份是草莓上市的旺季．某水果超市销售草莓，第一周每千克草莓的销售单价比第二周销售单价高10元，该水果超市这两周共销售草莓180千克，且第一周草莓的销量与第二周的销量之比为，该水果超市这两周草莓销售总额为11600元．
(1)第二周草莓销售单价是每千克多少元？
(2)随着草莓的大量上市，3月份第三周，草莓定价与第二周保持一致，且该水果超市推出会员优惠活动，所有的会员均可享受每千克直降a元的优惠，而非会员需要按照原价购买，第三周草莓的销量比第二周增加了20%，其中通过会员优惠活动购买的销量占第三周草莓总销量的，而第三周草莓的销售总额为元，求a的值．
21．（2022秋·九年级单元测试）某新建公园需要绿化的面积为，施工队在绿化了后将每天的工作量增加为原来的1.2倍，结果提前5天完成了该项目的绿化工程
(1)求该公园绿化工程原计划每天完成多少平方米？
(2)如图所示，该公园内有一块长30米，宽20米的矩形空地，准备将其修建成一个矩形花坛，要求在花坛中修建三条等宽的矩形小道（图中阴影部分），剩余地方种植花草，要使得种植花草的面积为，那么小道的宽应为多少米？
题型八：一元二次方程的综合问题
22．（2022·湖北十堰·统考中考真题）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值．
23．（2022·四川南充·中考真题）已知关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求实数k的取值范围．
(2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值．
24．（2022·四川凉山·统考中考真题）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．
【必刷基础】
一、单选题
25．（2022·甘肃武威·统考中考真题）用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（ ）
A．B．C．D．
26．（2022·湖北武汉·统考中考真题）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（ ）
A．2或6B．2或8C．2D．6
27．（2022·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（ ）
A．4045B．4044C．2022D．1
28．（2021·山东泰安·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程标有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．且D．且
29．（2022·山东泰安·统考中考真题）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．B．
C．D．
30．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：此方程总有两个实数根；
(2)若此方程恰有一个根小于0，求的取值范围．
31．（2022·江苏泰州·模拟预测）用总长为的篱笆围成矩形场地．
(1)根据题意，填写下表：
(2)设矩形一边长为，矩形面积为，当x是多少时，矩形场地的面积最大？并求出矩形场地的最大面积；
(3)当矩形的长为______，宽为______时，矩形场地的面积为．
【必刷培优】
一、单选题
32．（2022秋·湖北武汉·九年级华中科技大学附属中学校联考阶段练习）若a≠b，且则的值为（ ）
A．B．1C．.4D．3
33．（2021·广西河池·统考中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数由m的值确定
34．（2018·河北秦皇岛·统考中考模拟）某农机厂一月份生产零件50万个，第一季度共生产零件182万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．50（1+x）²=182B．50+50（1+x）+50（1+x）²=182
C．50（1+2x）=182D．50+50（1+x）+50（1+2x）²=182
35．（2022·四川达州·模拟预测）如图的六边形是有甲、乙两个等腰直角三角形和丙、丁两个矩形组成，其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和，若甲的直角边长为4，且甲的面积大于乙的面积，则乙的直角边长为（ ）
A．B．C．D．
36．（2022·云南楚雄·云南省楚雄第一中学校考模拟预测）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，下列说法：
①方程是倍根方程；
②若是倍根方程，则或；
③若方程是倍根方程，且相异两点，都在抛物线上，则方程的一个根为2．
其中，正确说法的个数是（ ）
A．B．C．D．
37．（2022·重庆大渡口·重庆市第三十七中学校校考二模）如图，正方形的对角线与相交于点O，的角平分线分别交、于M、N两点．若，则线段的长为( )
A．B．C．D．
38．（2022·四川绵阳·校考二模）已知实数满足．若，且，则的最小值是（ ）
A．6B．C．3D．0
二、填空题
39．（2022·山东菏泽·菏泽一中校考模拟预测）若关于x的二次方程有两个相等的实数根，则 ___________．
40．（2023秋·天津南开·九年级南开中学校考期末）已知一元二次方程的两个实数根为、，且，则的值是______．
41．（2022·四川泸州·四川省泸县第四中学校考一模）关于x的一元二次方程有两个实数根，，若，则_____．
42．（2022·四川眉山·模拟预测）若实数，满足的值为______．
43．（2022·吉林长春·校考模拟预测）某水果批发商经销一种高档水果，如果每千克盈利元，平均每天可售出千克，经市场调查发现，若每千克每涨价一元，平均日销量将减少千克，要使商场每天获利最多，那么每千克应涨价______ 元．
44．（2022·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐市第六十八中学校考模拟预测）如图，将边长为的正方形纸片，沿两边各剪去一个一边长为的长方形，剩余的部分面积为，则根据题意可列出形式为一般式的方程为______，的值是______．
45．（2022·四川成都·统考二模）关于的一元二次方程的两个实数根分别是、，且满足，则的值为______．
46．（2022·山东济南·济南育英中学校考模拟预测）从这五个数中任意取出一个数记作b，则既能使函数的图象经过第二、第四象限，又能使关于x的一元二次方程的根的判别式小于零的概率为 _____．
三、解答题
47．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模）随着我国经济、科技的进一步发展，我国的农业生产的机械化程度越来越高，过去的包产到户就不太适合机械化的种植，现在很多地区就出现了一种新的生产模式，很多农民把自己的承包地转租给种粮大户或者新型农村合作社，出现了大农田，这些农民则成为合作社里的工人，这样更有利于机械化种植．某地某种粮大户，去年种植优质水稻200亩，平均每亩收益480元．计划今年多承包一些土地，已知每增加一亩，每亩平均收益比去年每亩平均收益减少2元．
(1)该大户今年应承租多少亩土地，才能使今年总收益达到元？
(2)该大户今年应承租多少亩土地，可以使今年总收益最大，最大收益是多少？
48．（2022·四川南充·南充市实验中学校考模拟预测）关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程两根与且，求的值．
49．（2022·江苏盐城·校考三模）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和雪容融在一开售时，就深受大家的喜欢．某供应商今年2月第一周购进一批冰墩墩和雪容融，已知一个冰墩墩的进价比一个雪容融的进价多40元，用480元购买冰墩墩和用320元购买雪容融的数量相同．
(1)今年2月第一周每个冰墩墩和雪容融的进价分别是多少元？
(2)今年2月第一周，供应商将雪容融按每个100元的价格售出140个，将冰墩墩按每个150元的价格售出120个．第二周供应商决定调整价格，每个雪容融的售价在第一周的基础上下降了m元，每个冰墩墩的价格不变，由于冬奥赛事的火热进行，第二周雪容融的销量比第一周增加了m个，而冰墩墩的销量比第一周增加了个，最终商家获利5160元，求m．
50．（2022·山东济南·模拟预测）已知、为双曲线上两点，且其横坐标分别为，，分别过、作轴、轴的垂线，垂足分别为、，交点为．
(1)若矩形的面积为，求的值；
(2)随着a的取值的不同，两点不断运动，判断能否为边的中点，同时为中点？请说明理由；
(3)矩形能否成为正方形？若能，求出此时的值及正方形的边长，若不能，说明理由．
51．（2022·宁夏银川·校考三模）已知：如图，在中，，，，点P从点B出发，沿向点C匀速运动，速度为1cm/s，过点P作，交于点D．同时，点Q从点A出发，沿向点B匀速运动，速度为2cm/s．当一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接．设运动时间为t（s）（），解答下列问题：
(1)当t为何值时，四边形为平行四边形？
(2)设四边形ADPQ的面积为y（），试确定y与t的函数关系式．
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若不存在，请说明理由；若存在，求出t值，并求出此时PQ的距离．
售价x（元/件）
55
60
65
销售量y（件）
700
600
500
矩形一边长
矩形面积
参考答案：
1．B
【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、C、D选项含有一个未知数，未知数的次数是2，是一元二次方程，故选项A、C、D不符合题意；
B选项分母中含有未知数，是分式方程，故本选项符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题关键是掌握：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，运用定义判断．
2．A
【分析】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，m＋n＝4，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵m，n分别是一元二次方程的两个根，
∴，m＋n＝4，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，若，是一元二次方程（a≠0）的两根时，，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
3．A
【分析】根据一元二次方程根与系数关系得出mn=－5，把x=m代入方程得m2+2m-5=0，即m2+2m=5，代入即可求解．
【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个根，
∴mn=－5，m2+2m-5=0，
∴m2+2m=5，
∴=5－5=0，
故选：A．
【点睛】本题考查代数式求值，一元二次方程根与系数关系，方程解的意义，根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义得出mn=-5，m2+2m=5是解题的关键．
4．C
【分析】利用直接开平方法求解即可．
【详解】解：，
或，
解得，，
故选：C．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
5．B
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．
【详解】解：∵，
∴，，
则，即，
∴，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
6．C
【分析】先移项把方程化为再配方可得结合已知条件构建关于c的一元一次方程，从而可得答案．
【详解】解：x2+6x+c＝0，
移项得：
配方得： 而（x+3）2＝2c，

解得：
故选C
【点睛】本题考查的是配方法，掌握“配方法解一元二次方程的步骤”是解本题的关键．
7．C
【分析】根据求根公式求得，结合条件，可知，，进而可得的范围，即可求解．
【详解】解：，
，
，
，，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握公式法解一元二次方程是解题的关键．
8．C
【分析】根据“邻根方程”的定义求出，代入进行配方求出最大值即可．
【详解】解：设、是方程是常数，的两根，
解得，，
∵原方程是“邻根方程”
∴或
∴当a=2时，t有最大值，最大值为4．
故选C.
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，本题属于中等题型．
9．B
【分析】分x>0和0x0时，有，解得， (舍去)，
x0”，解这两个不等式即可得到k的取值范围．
【详解】解：由题可得：,
解得：且；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求．
29．A
【分析】设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3（x−1）文，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，
∴一株椽的价钱为3（x−1）文，依题意得：3（x−1）x＝6210，
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
30．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据一元二次方程判别式与方程根的情况，只要判定即可证得；
（2）利用十字相乘法解一元二次方程，得到或，根据此方程恰有一个根小于0，列不等式求解即可得到的取值范围．
【详解】（1）证明：关于的一元二次方程，
，
，
此方程总有两个实数根；
（2）解：，
，
解得或，
此方程恰有一个根小于0，
，解得．
【点睛】本题考查一元二次方程综合，涉及一元二次方程根的情况与判别式的关系、十字相乘法解一元二次方程、方程根的情况求参数范围等，熟练掌握一元二次方程的解法及判别式与方程根的情况是解决问题的关键．
31．(1)见解析
(2)当x是时，矩形场地的面积S最大，最大面积为
(3)18，12
【分析】（1）根据一边长及周长求出另一边长，再根据矩形面积公式计算可得；
（2）先表示出矩形的另一边长，再根据：矩形面积公式，可得面积S关于x的函数解析式，配方成顶点式可得其最值情况；
（3）在以上函数解析式中令，解方程可得x的值．
【详解】（1）解：若矩形一边长为，则另一边长为，
此时矩形面积为：，
若矩形一边长为，则另一边长为，
此时矩形面积为：，
若矩形一边长为，则另一边长为，
此时矩形面积为：，
完成表格如下：
（2）解：设矩形一边长为，则另一边长为，
∴矩形场地的面积，
当时，S取得最大值，最大值为，
答：当x是时，矩形场地的面积S最大，最大面积为；
（3）解：根据题意，得：，
解得：或，
∴当矩形的长为，宽为时，矩形场地的面积为，
故答案为：18，12．
【点睛】此题考查了一元二次方程和二次函数的实际应用，根据题意表示出另一边长，将长乘以宽得出面积并配方找最大值是解题的关键．
32．B
【详解】解：由得：
∴
又由可以将a，b看做是方程 的两个根
∴a+b=4，ab=1
∴
故答案为B.
【点睛】本题看似考查代数式求值，但解题的关键是构造一元二次方程并运用根于系数的关系求解．
33．A
【分析】先确定a、b、c的值，计算的值进行判断即可求解．
【详解】解：由题意可知：a=1，b=m，c=-m-2，
∴，
∴方程有两个不相等实数根．
故选A.
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，是常见考点，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ