河南省周口市（太康一高、郸城一高、淮阳中学）等校2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试卷(含答案)

这是一份河南省周口市（太康一高、郸城一高、淮阳中学）等校2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知i为虚数单位,复数满足,则z的共轭复数( )
A.B.C.D.
2．已知向量,,若,则实数( )
A.-2B.2C.-1D.1
3．从22,33,44,55这4个数中一次性地任取两个数,则这两个数的和大于87的概率为( )
A.B.C.D.
4．已知m,n表示两条不同的直线,表示平面,则下列命题错误的是( )
A.若,,则m,n可能平行、异面或者相交
B.若,,则n与可能平行、相交或者
C.若,,则
D.若,,则
5．已知向量,,则在上的投影向量为( )
A.B.C.D.
6．在正方体中,三棱锥的体积为72,则正方体的棱长为( )
A.3B.4C.6D.8
7．经调查得到两类群体一段时间里每天使用电脑的时间（单位：小时）统计如下：甲群体总人数为40,该群体每天使用电脑时间的平均数为8小时,方差为2;乙群体总人数为20,该群体每天使用电脑时间的平均数为7小时,方差为1,若将这两个群体混合后得到丙样本,则丙样本在这段时间里每天使用电脑时间的方差为( )
A.B.C.D.3
8．在中,角A,B,C所对的边竹别是a,b,c,若,,则B的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．如图所示为四边形的平面图,其中,,,,用斜二测画法画出它的直观图四边形,其中,则下列说法正确的是( )
A.B.
C.四边形为等腰梯形D.四边形的周长为
10．设A,B,C是一个随机试验中的三个事件,且,,A与C互斥,则下列说法正确的是( )
A.若,则
B.若事件A,B相互独立,则
C.
D.
11．在三棱锥中,底面,,,,以点B为球心,作一个表面积为的球,设三棱锥外接球的半径为R,则下列说法正确的是( )
A.R的最小值为1
B.R的最小值为
C.当R取得最小值时,球B与侧面的交线长为
D.当R取得最小值时,球B与侧面的交线长为
三、填空题
12．已知为复数z的共轭复数,且满足,则复数z的实部为________________.
13．在某次考弍中,某陪考老师记录了12名同学提前到考场的时间（单位：分钟）分别为11,12,12,13,13,14,14,15,15,16,17,18,则该组数据的上四分位数为______________.
14．已知等边三角形的边长为2,点M,N分别为边,上不与端点重合的动点,且,则的最大值为_____________________.
四、解答题
15．为了全面提高学生素质,促进学生德､智､体､美､劳全面发展,某校鼓励学生在课余时间参加社会实践活动,现随机抽取该校一些学生,并对他们某天参加活动的时长进行了统计,得到如下的样本数据的频率分布直方图.
(1)求a的值;
(2)估计该校学生这天参加社会实践活动的平均时长;
(3)若该校共有2000名学生,以频率作为概率,估计该校学生中这天参加社会实践活动的时长不低于30分钟的人数.
16．已知复数,,i为虚数单位,.
(1)若在复平面内对应的点位于第一象限,求a的取值范围;
(2)若是方程的根,求.
17．2024年5月底,各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作,若某市经过初次选拔后有小明､小王､小红三名同学成功进入决赛,在决赛环节中三名同学同时解答一道试题.已知小明正确解出这道题的概率是,小明､小红两名同学都解答错误的概率是,小王､小红两名同学都正确解出的概率是.设小明､小王､小红正确解出该道题分别为事件A,B,C,A,B,C三个事件两两独立,且.
(1)求三名同学都正确解出这道题的概率;
(2)求小王正确解出这道题的概率.
18．如图,为三棱锥的高,且点O在的内部.点D为的中点,且,直线平面.
(1)求直线与平面所成角的大小.
(2)若直线分别与直线,所成的角相等,且.
①求二面角的大小;
②求三棱锥的体积.
19．三边长度均为整数的三角形称为“整边三角形”.若整边三角形的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.
(1)证明：;
(2)若,当a取最小值时,求整边三角形的面积.
参考答案
1．答案：B
解析：因为,所以,故.
故选：B.
2．答案：A
解析：因为,则,解得.
故选：A.
3．答案：B
解析：从22,33,44,55这4个数中一次性地任取两个数的所有可能的结果有,,,,,共6种,
其中满足两个数的和大于87的结果有,共2种,所以任取两个数的和大于87的概率.
故选：B.
4．答案：C
解析：若,,则m,n可能平行､异面或者相交,故A正确;
若,,则n与可能平行､相交或者,故B正确;
若,,则n与可能平行,也可能,故C错误;
若,,由线面垂直的性质定理可知,故D正确.
故选：C.
5．答案：D
解析：因为,所以,又因为,,
所以,所以在上的投影向量为.
故选：D.
6．答案：C
解析：设正方体的棱长为a,
易得,
所以,解得,
故正方体的棱长为6.
故选：C.
7．答案：B
解析：丙样本每天使用电脑时间的平均数为（小时）,
故丙样本每天使用电脑时间的方差为
故选：B.
8．答案：C
解析：,,当且仅当时取等号,
,即3,即,
,,,.
故选：C.
9．答案：BC
解析：由题意可画出其直观图如下,
其中,,,故A错误,B正确;
过点,分别作,,垂足分别为点M,N,
故,
,故,
则四边形为等腰梯形,故C正确;
故四边形的周长为,即D错误.
故选：BC.
10．答案：BD
解析：对于A选项,因为,
,,,
则有,所以A选项错误;
对于B选项,因为事件A,B相互独立,所以,所以B选项正确;
对于C选项,因为事件A与C互斥,故,所以C选项错误;
对于D选项,,所以D选项正确.
故选：BD.
11．答案：AC
解析：因为底面,故,,,
设,则,
由,且,得,.
在中,由余弦定理得.
设的外接圆半径为r,
在中,由正弦定理得,,
则,当时,R取得最小值1,
故A正确,B错误.
此时,,又,所以.
又因为,所以平面,
过点B作交于点E,则,所以侧面.
而,设球B的半径为d,则,所以.由,
设,则点F在侧面上的轨迹长即为球B与侧面的交线长.取研究,
当在上时,,,所以;
当在上时,在中,由正弦定理得,
即,解得.
因为,所以,故,.
因为,所以,
所以点F在侧面上的运动轨迹是半径为1,圆心角为的圆弧,弧长为,
所以当取得最小值时,球B与侧面的交线长为,故C正确,D错误.
故选：AC.
12．答案：1
解析：设,,i为虚数单位,则,
由题意可得,解得,故z的实部为1.
故答案为：1.
13．答案：15.5
解析：因为,所以这组数据的上四分位数是.
故答案为：15.5.
14．答案：
解析：设,其中,
则
,
所以当时,取得最大值.
故答案为：.
15．答案：(1)
(2)23.4（分钟）.
(3)600（人）
解析：(1)由题意知,,解得.
(2)由题意知,该校学生这天参加社会实践活动的平均时长为23.4（分钟）.
(3)由题意知,该校学生中这天参加社会实践活动的时长不低于30分钟的频率为,
则该校学生中这天参加社会实践活动的时长不低于30分钟的人数为（人）.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为在复平面内对应的点位于第一象限,
所以解得.
(2)由题意可得,
故,
即,
所以解得,
故.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意得,,
所以三名同学都正确解出这道题的概率为.
(2)因为,则,
又因为,可得,则,
又因为,所以.
所以小王正确解出这道题的概率为.
18．答案：(1)
(2)①;②
解析：(1)因为为三棱锥的高,故底面.
又平面,故.
因为点D为的中点,故,
则为等边三角形,故.
又底面,则即为直线与平面所成的角,
故与平面所成角的大小为.
(2)①如图,延长交于点E,连接.
直线为过直线的平面与平面的交线,
又平面,故.
又D为的中点,故O为的中点.
则,,
又平面,,平面,
故,,易知.
因为直线与直线,所成的角相等,
所以.
在与中,
故,故.
在与中,
故,故,
即为的平分线,
又,则,且E为的中点,
又,则,
则即为二面角的平面角,
则,
则二面角的大小为.
②由,,可知,则,
故.
19．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明：因为,
所以,
因为,
所以,
所以,
由正弦定理,
得.
(2)因为,由正弦定理
及余弦定理可得,
,
解得（舍）或,
故,
则,
所以.
因为,所以的最小值为4,
此时,,,
所以整边三角形的面积为.