2025年高考一轮复习系列（新高考新题型）2.5对数运算及对数函数含解析答案

这是一份2025年高考一轮复习系列（新高考新题型）2.5对数运算及对数函数含解析答案，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．函数的定义域为（ ）
A．且B．C．D．
2．若函数的值域为.则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．下列各函数中，值域为的是（ ）
A．B．C．D．
5．函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
6．若函数在区间内单调递增，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知是减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．已知函数，则满足不等式的的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
10．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
11．设，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
12．已知是定义在上的偶函数，，且在上单调递减，若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
13．已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（ ）
A．①②③B．③④⑤
C．③④D．②④⑥
14．已知函数若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
15．已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
16．已知函数，设，，，则（ ）
A．B．C．D．
17．函数f(x)＝的定义域为（ ）
A．(－∞，3]B．(1，＋∞)
C．(1，3]D．[3，＋∞)
二、填空题
18．函数的定义域是 .
19．若函数的定义域为，则函数的定义域为
20．函数的定义域为 ．
21．若函数的定义域为，则的范围为 .
22．已知函数的定义域为A，函数的值域为B，则=
23．函数的值域是 ．
24．已知实数x满足不等式，则函数最大值是 ．
25．已知函数，则的值域是 .
26．函数的值域为 .
27．函数的值域为 ．
28．函数的值域是 .
29．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是 .
30．若函数在上的最大值为2，则实数 ．
31．已知函数．若的值域是，则实数的取值范围是 ．
32．函数的单调递增区间是 ．
33．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ．
34．已知是上的单调函数，则的取值范围是 .
35．函数的单调递减区间为 ．
36．已知函数，则的解集是 ．
37．函数是对数函数，则实数a＝ .
38．已知对数函数过点，则的解析式为 .
39．已知函数是对数函数，则 ．
40．点，都在同一个对数函数上，则t= .
三、解答题
41．求下列各式的值．
(1)．
(2)
(3)．
(4)
(5)
(6)；
42．计算化简：
(1)
(2)
(3)；
(4)．
(5)．
(6)；
(7)；
(8)；
43．已知，试用表示.
参考答案：
1．C
【分析】可直接求出函数的定义域进行判断.
【详解】由题得，解得，即函数的定义域为.
故选：
2．C
【分析】由对数函数图象性质可得需满足，可得，再利用对数函数单调性以及运算法则可得结果.
【详解】依题意可得要取遍所有正数，
则需要求，因为，解得；
故.
故选：C
3．B
【分析】利用函数单调性可求得当时，，再由时可得即可求得实数的取值范围是.
【详解】当时，，
当时，，
因为函数的值域为，所以，
即实数的取值范围是.
故选：B．
4．C
【分析】根据各个选项的函数特征，求出其值域即可判断得解.
【详解】对于A，，显然取尽正实数，因此的值域是，A不是；
对于B，，则，即，函数的值域为，B不是；
对于C，的值域为R，因此的值域为，C是；
对于D，由于，则且，即函数的值域为，D不是.
故选：C
5．A
【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性判断即可.
【详解】对于函数，令，即，解得，
所以函数的定义域为，
又，所以在上单调递减，在上单调递增，
函数在定义域上单调递增，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
故选：A
6．D
【分析】利用对数函数及复合函数的单调性计算即可.
【详解】由已知得，解之得，即的定义域为，
又在区间内单调递增，根据复合函数的单调性，
可得：，解得．
故选：D
7．B
【分析】根据复合函数单调性的规则以及函数在上有意义列不等式求解即可.
【详解】因为函数在上单调递增，
所以，解得.
故选：B.
8．D
【分析】利用分段函数在上单调递减的特征直接列出不等式组求解即得.
【详解】因函数是定义在上的减函数，
则有，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
9．D
【分析】先利用函数奇偶性的定义，结合复合函数的单调性与导数，分析得的奇偶性与单调性，从而转化所求不等式得到关于的不等式组，解之即可得解.
【详解】由，得的定义域为，
又，故为偶函数，
而当时，易知单调递增，
而对于，在上恒成立，
所以在上也单调递增，
故在上单调递增，
则由，得，解得或.
故选：D.
10．A
【分析】由指数函数与对数函数的性质确定的范围，进而确定大小关系.
【详解】由指数函数与对数函数的性质可得，，，，
所以，
故选：A.
11．D
【分析】根据题意，由对数的运算化简，再由对数函数的单调性即可得到结果.
【详解】，
，
，
.
故选：D．
12．B
【分析】首先得在上单调递减，进一步通过偶函数性质以及将自变量都转换到区间内，然后比较分数指数幂以及对数的大小，结合函数单调性即可得解.
【详解】因为是偶函数，，在上单调递减，
所以在上单调递减．，，
因为，，所以，，
所以，
所以，故．
故选：B.
13．C
【分析】依据对数函数的定义即可判断.
【详解】根据对数函数的定义，只有符合（且）形式的函数才是对数函数，
其中x是自变量，a是常数，
易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；
③中，是对数函数；④中，是对数函数；
⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数.
故选：C.
14．D
【分析】画出函数图象，根据单调性得到不等式解出即可.
【详解】画出的图象如图所示，由图可知在上单调递增，
又，所以，解得.
故选：D.

15．A
【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.
【详解】 ，即.
故选：A
16．A
【分析】根据给定条件，利用函数的奇偶性、单调性比较大小即得.
【详解】函数的定义域为，，
函数是偶函数，当时，是增函数，而，
所以，即.
故选：A
17．C
【详解】
解析：依题意lg (x－1)＋1≥0，即lg (x－1)≥－1，∴解得118．
【分析】利用对数函数的定义，列出不等式求解即得.
【详解】函数有意义，则，解得或，
所以函数的定义域是.
故答案为：
19．
【分析】由的取值范围求出的取值范围，再令，求出的范围即可.
【详解】当时，所以，
所以，即，则，
即，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：
20．．
【分析】根据对数函数的性质得不等式，然后解指数不等式可得．
【详解】由题意，即，
∴，，∴定义域为．
故答案为：．
21．
【分析】将条件转化为不等式的任意性问题，然后取特殊值得到的取值范围，再验证该范围下的都符合条件.
【详解】由于函数的定义域是，
故条件即为，这等价于对任意实数成立.
若对任意实数成立，取知，即；
若，则对任意实数都有，
故对任意实数成立.
综上，的取值范围是.
故答案为：.
22．/
【分析】先求得集合，进而求得.
【详解】，则，则，
解之得，则，
又的值域，
则
故答案为：
23．
【分析】先确定的定义域，再由复合函数的单调性确定出的单调性，则的值域可求.
【详解】由题意得，即，所以的定义域为，
因为对称轴为，且开口向下，且在定义域内单调递增，
由复合函数的单调性可知：在上单调递增，在上单调递减，
当（或）时，，当时，，
所以，
故答案为：．
24．/
【分析】先根据一元二次不等式的解法求出的范围，再根据二次函数的性质即可得解.
【详解】由，解得，
，
当时，取得最大值.
故答案为：.
25．
【分析】令，先求出的范围，再根据对数函数的性质即可得解.
【详解】令，则，
则，可得，
已知单调递减，所以，
则的值域为.
故答案为：.
26．
【分析】由题意利用对数的的运算法则、对数函数的定义域、值域并通过换元法即可得解.
【详解】由题意函数的定义域为，而，
不妨设，所以，
所以函数的值域为.
故答案为：.
27．
【分析】分别计算出分段函数每段函数取值范围后取并集即可得.
【详解】当时，，
当时，，
所以的值域为．
故答案为：.
28．
【分析】换元，令，可得，结合二次函数性质求值域.
【详解】令，则，
因为，则，
且的对称轴为，
可知，
所以的值域是.
故答案为：.
29．
【分析】值域为R，则可以取遍中任意一个数，即可得出结果.
【详解】值域为R，
设，所以可以取遍中任意一个数，所以
所以的取值为
故答案为：
【点睛】方法点睛：值域为R，则可以取遍中任意一个数.本题考查了运算求解能力和逻辑推理能力.
30．
【分析】由题意易知，分类讨论，时，根据复合函数的单调性建立方程，解之即可求解.
【详解】令，因为时，，所以；
若，则在上为减函数，所以，此时a无解；
若．则在上为增函数，所以，此时
故．
故答案为：
31．
【分析】复合函数求值域，先求真数范围大于零，再求二次函数大于零，求出即可.
【详解】因为函数的值域是，则为二次函数值域的子集．
当时，内层函数为，不合题意；
当时，则有，解得．
综上所述，实数的取值范围是．
故答案为：
32．
【分析】结合函数定义域，利用复合函数的单调性求函数的单调递增区间.
【详解】函数，由，解得，
所以函数的定义域为，
设函数，则函数的图象是开口向下且以为对称轴的抛物线，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
函数在定义域内单调递减，
由复合函数的单调性可知的单调递增区间为（写成也正确）．
故答案为：
33．
【分析】由复合函数的单调性计算即可得.
【详解】令，对称轴为，
∵函数在区间上单调递增，在上单调递增，
∴在上单调递增，且，
∴且，即且，解得，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
34．
【分析】函数分单调递增和单调递减两种情况结合分段函数单调性列不等式求解.
【详解】若在上单调递增，则解得.
若在上单调递减，则解得.
故的取值范围是.
故答案为：
35．
【分析】求出函数的定义域，确定由复合而成，判断这两个函数的单调性，根据复合函数的单调性，即可求得答案.
【详解】由题意知函数，
令，则，
则即由复合而成，
由于在上单调递减，
故要求函数的单调递减区间，
即求的单调递增区间，
而的对称轴为，
则的单调递增区间为，
则函数的单调递减区间为，
故答案为：
36．
【分析】代入，再根据对数函数的定义域与单调性计算即可.
【详解】则，由可得，
解得.
又，即，故，
化简可得，解得.
综上可得.
故答案为：
37．1
【分析】利用对数函数的定义知，，解出的值，验证底数即可.
【详解】由题意得，
解得或1，
又且，
所以
故答案为：1
38．
【分析】利用待定系数法，设出函数方程，把点代入求解即可.
【详解】设，结合已知有，
∴，又且，
∴，则，
故答案为：.
39．1
【分析】根据对数函数的定义即可得到答案.
【详解】因为函数是对数函数，
则，解得．
故答案为：1.
40．9
【分析】设出函数解析式，利用得出解析式，代入可得答案.
【详解】设对数函数为，因为在函数上，所以，解得；
因为也在函数上，所以，解得.
故答案为：9
41．(1)
(2)
(3)1
(4)1
(5)
(6)2
【分析】利用对数运算性质和对数换底公式即可求得所给各对数式的值.
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
42．(1)
(2)8
(3)0
(4)2
(5)
(6)
(7)0
(8)1
【分析】利用对数的运算性质和换底公式即可求得所给对数式的值.
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
43．
【分析】根据换底公式，并结合对数的运算性质计算求解即可.
【详解】解：方法一：∵，∴.
∴.
方法二: ∵，
∴，.
∴