2024届广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟卷6

这是一份2024届广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟卷6，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

全卷满分150分，时间90分钟．
一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A=-1,0,1,B=0,1,2，则A∩B=（ ）
A．-1,0,1,2B．0,1
C．-1,0,1D．-1,1,2
2．下列函数中，在(0,+∞)上单调递减的是（ ）
A．f(x)=lnx B．f(x)=1x
C．f(x)=2x D．f(x)=x+1
3．已知m>0，n>0，mn=81，则m+n的最小值是（ ）
A．9B．18C．93D．27
4．不等式x-12x-1>0的解集是（ ）
A．x|12
C．x|121
5．函数y=3x的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
6．为了得到函数y=sinx+π6，x∈R的图像，只需将正弦曲线上所有的点（ ）
A．向左平行移动π6个单位长度B．向右平行移动π6个单位长度
C．向左平行移动16个单位长度D．向右平行移动16个单位长度
7．如果向量a=1,2，b=3,4，那么a-b=（ ）
A．-2,-1B．-2,-2C．1,2D．2,2
8．从编号为 1、2、3、4 的 4 球中，任取 2 个球，则这 2 个球的编号之和为偶数的概率是（ ）
A．13B．14C．12D．23
9．已知空间中两条不重合的直线a,b，则“a与b没有公共点”是“a//b”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
10．甲、乙两人射击，甲的命中率为0.6．乙的命中率为0.5，如果甲、乙两人各射击一次，恰有一人命中的概率为（ ）
A．0.3B．0.4C．0.5D．0.6
11．已知函数f(x)=2x,x≤0lg2x,x>0，则f[f(-1)]的值为（ ）.
A．2B．1C．12D．-1
12．已知tanα=2，则csα+3sinα3csα-sinα=（ ）
A．7B．75C．1D．57
二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.
13．已知复数z=1-3i，则z的虚部为 ．
14．函数y=cs3x+π4的最小正周期为 .
15．某单位有职工160人，其中业务人员96人，管理人员40人，后勤服务人员24人，为了了解职工基本情况，要从中抽取一个容量为20的样本，如果采取比例分层抽样方式，那么抽到管理人员的人数为 ．
16．已知长方体的长、宽、高分别为2，1，2，则该长方体外接球的表面积为 ．
17．已知△ABC是边长为6的正三角形，求AB⋅BC= ．
18．函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-x(1+x),则当 x<0时,f(x)= .
三、解答题：本大题共4小题，第19~21题各10分，第22题12分，共42分.解答需写出文字说明，证明过程和演算步骤.
19．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表：
(1)设每户每月用水量为xm3时，应交纳水费y元，写出y关于x的函数关系式；
(2)若乙同学家本月交纳的水费为60元，则其本月用水量是多少m3？
20．已知△ABC中，a=3，b=2，A=60°．
(1)求sinB；
(2)求c；
(3)求△ABC的面积．
21．仓廪实，天下安．习近平总书记强调：“解决好十几亿人口的吃饭问题，始终是我们党治国理政的头等大事”“中国人的饭碗任何时候要牢牢端在自己手上”．粮食安全是国家安全的重要基础．从某实验农场种植的甲、乙两种玉米苗中各随机抽取5株，分别测量它们的株高如下（单位：cm）：
甲：29，31，30，32，28；
乙：27，44，40，31，43．
请根据平均数和方差的相关知识，解答下列问题：
(1)哪种玉米苗长得高？
(2)哪种玉米苗长得齐？
22．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若点F是棱AB的中点，求证：CF ∥平面PAE．
每户每月用水量
水价
不超过10m3
3元/m3
超过10m3但不超过18m3的部分
5元/m3
超过18m3的部分
8元/m3
广东省普通高中学业水平合格性考试（数学）模拟卷6
参考答案：
1．B
【分析】由交集的定义计算即可求解.
【详解】因为集合A=-1,0,1,B=0,1,2，
所以A∩B= 0,1.
故选：B
2．B
【分析】根据基本初等函数的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由对数函数的性质，可得函数f(x)=lnx在(0,+∞)为单调递增函数，不符合题意；
由幂函数的性质，可得函数f(x)=1x在(0,+∞)为单调递减函数，符合题意；
由指数函数的性质，可得函数f(x)=2x在(0,+∞)为单调递增函数，不符合题意；
由一次函数的性质，可得函数f(x)=x+1在(0,+∞)为单调递增函数，不符合题意。
故选：B.
【点睛】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判定及应用，其中解答中熟记基本初等函数的性质是解答的关键，着重考查推理与论证能力.
3．B
【分析】利用基本不等式m+n≥2mn即可求解.
【详解】因为m>0，n>0，由基本不等式m+n≥2mn得，
m+n≥18,当且仅当m=n=9时等号成立，
所以m+n的最小值是18，
故选:B.
4．D
【分析】根据一元二次不等式的解法求得正确答案.
【详解】依题意x-12x-1>0，
解得x<12或x>1，
所以不等式x-12x-1>0的解集是x|x<12或x>1
故选：D
5．A
【分析】由单调性和所过定点作出判断.
【详解】因为3>1，所以y=3x单调递增，且恒过点0,1，
故A为正确答案.
故选：A
6．A
【分析】利用三角函数的变换公式即可求解.
【详解】y=sinx到y=sinx+π6，x变为x+π6，可得图像向左平移了π6个单位；
故选：A.
7．B
【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示计算可得.
【详解】因为a=1,2，b=3,4，
所以a-b=1,2-3,4=-2,-2.
故选：B
8．A
【分析】列举法求解古典概型的概率.
【详解】从编号为 1、2、3、4 的 4 球中，任取 2 个球，一共有以下情况：
1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4，共6种情况，
其中这 2 个球的编号之和为偶数的情况有1,3,2,4，共2种情况
故这 2 个球的编号之和为偶数的概率为26=13.
故选：A
9．B
【分析】由直线a与b没有公共点表示两条直线a//b或者a与b是异面直线，再根据充分必要性判断.
【详解】“直线a与b没有公共点”表示两条直线a//b或者a与b是异面直线，所以“a与b没有公共点”是“a//b”的必要不充分条件.
故选：B
10．C
【分析】甲乙相互独立，而甲、乙两人中恰好有一人击中目标即为事件：AB+AB，由相互独立事件的概率乘法公式可求．
【详解】设“甲命中目标”为事件A，“乙命中目标”为事件B
由题意可得， PA=0.6,PB=0.5且甲乙相互独立
∴甲、乙两人中恰好有一人击中目标即为事件：AB+AB，
∴P(AB+AB)=0.4×0.5+0.6×0.5=0.5
故选：C
11．D
【分析】根据x取值的大小，代入相应的表达式，计算，可得结果.
【详解】由f(x)=2x,x≤0lg2x,x>0
所以f(-1)=2-1=12
f(12)=lg212=-1
所以f[f(-1)]=-1
故选：D
【点睛】本题考查分段函数的求值计算，按照由内而外的原则，细心计算，属基础题.
12．A
【分析】利用商数关系，由弦化切求值即可.
【详解】由题设csα+3sinα3csα-sinα=1+3tanα3-tanα=1+3×23-2=7.
故选：A
13．-3
【分析】根据复数虚部的定义进行求解即可.
【详解】因为复数z=1-3i，
所以z的虚部为-3，
故答案为：-3
14．2π3
【分析】利用余弦型函数求解周期的公式进行求解.
【详解】因为y=cs3x+π4，所以周期为T=2π3;
故答案为：T=2π3.
15．5
【分析】根据分层抽样原则直接求解即可.
【详解】抽到管理人员的人数为20×40160=5.
故答案为：5.
16．9π
【分析】由题意，长方体的长宽高分别为2,1,2，所以其对角线长为l=3，求得球的半径为R=32，利用球的表面积公式，即可求解.
【详解】由题意，长方体的长宽高分别为2,1,2，所以其对角线长为l=22+12+22=3，
设长方体的外接球的半径为R，则2R=3，即R=32，
所以球的表面积为S=4πR2=4π×(32)2=9π.
【点睛】本题主要考查了球的表面积和球的组合体问题，其中解答中根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得球的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
17．-18
【分析】由题意可知AB=BC=6，两向量的夹角是120∘， 利用数量积的定义即可求解.
【详解】
如图△ABC是边长为6的正三角形，所以AB=BC=6，∠ABC=60∘，
所以AB⋅BC=AB×BC×cs180∘-60∘=6×6×-12=-18，
故答案为：-18
18．x(x-1)
【解析】设x<0时，-x>0，则f(-x)=x(1-x)，再化简即得解.
【详解】设x<0时，-x>0，则f(-x)=x(1-x)，
所以-f(x)=x(1-x),∴f(x)=x(x-1).
故答案为：x(x-1)
【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
19．【详解】（1）当0≤x≤10时，y=3x；
当10当x>18时，y=3×10+5×8+8×(x-18)=8x-74，
∴y=3x,0≤x≤105x-20,1018
（2）当0当10当x>18时，8x-74=60，解得x=674，不满足题意，
综上所述，此户居民本月用水量为16m3．
20．(1)sinB=33
(2)c=1+6
(3)32+32
【分析】（1）利用正弦定理求sinB即可；
（2）应用余弦定理列方程求c；
（3）由（2）及三角形面积公式求面积即可.
【详解】（1）在△ABC中，由正弦定理asinA=bsinB，可得2sinB=332，解得sinB=33；
（2）由余弦定理csA=b2+c2-a22⋅b⋅c，可得12=22+c2-322×2×c，
整理得c2-2c-5=0，解得c=1±6（舍负），即c=1+6；
（3）由（2）及已知，△ABC的面积S=12b⋅c⋅sinA =12×2×1+6×32=32+32．
21．(1)乙种玉米苗长得高
(2)甲种玉米苗长得齐
【分析】（1）根据已知数据分别求甲乙的平均值，比较大小即得结论；
（2）根据已知数据分别求甲乙的方差，比较大小即得结论.
【详解】（1）甲的平均值x1=15×(29+31+30+32+28)=15×150=30(cm)，
乙的平均值x2=15×(27+44+40+31+43)=15×185=37(cm)，
∴x1（2）甲的方差s12=15(29-30)2+(31-30)2+(30-30)2+(32-30)2+(28-30)2=2cm2，
乙的方差s22=15(27-37)2+(44-37)2+(40-37)2+(31-37)2+(43-37)2=46cm2，
∴s1222．(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】由PA⊥平面ABCD，且底面ABCD为菱形，即可得到BD⊥平面PAC内的两条相交直线，则可证得BD⊥平面PAC.
(2)由E,F分别为中点，可得到CF//AE，则问题即可得以证明.
【详解】（1）因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD，又因为底面ABCD是菱形，则BD⊥AC，PA∩AC=A，PA,AC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC.
（2）连接CF，AE如图所示：
因为E,F分别为CD,AB的中点，则AF//CE且AF=CE，所以四边形AFCE为平行四边形，所以AE//CF，AE⊂平面PAE，CF⊄平面PAE，所以CF//平面PAE.