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2024届广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟卷2
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这是一份2024届广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟卷2，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A=0,1,2，B=-2,-1,0,1，则A∩B=（ ）
A．1B．-2,-1,2
C．-2,-1,0,1,2D．0,1
2．已知x，y∈R，则“xy=0”是“x=0”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．不等式(x-1)(x+3)>0的解集为（ ）
A．{x|x>6或x<-3}B．{x|-3C．{x|x>1或x<-3}D．{x|-64．下列函数中，既是奇函数且在区间0,+∞上又是单调递增的为（ ）
A．fx=x2 B．fx=2x C．fx=lg2x D．fx=x3
5．在平面直角坐标系xOy中，已知角α的始边是x轴的非负半轴，终边经过点P-1,2，则csπ-α=（ ）
A．55B．255C．-55D．-255
6．函数fx=5-x的定义域为（ ）
A．-∞,5B．5,+∞C．-∞,5D．5,+∞
7．下列运算正确的是（ ）
A．x16÷x4＝x4B．a25＝a10
C．2a2+3a2＝5a4D．b3⋅b3＝2b3
8．若m>0，则m+16m+1的最小值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
9．如图，在平行四边形ABCD中，AB=a，AD=b，CM=4MD，则AM=（ ）
A．a+15b B．15a+b C．15a-b D．a-15b
10．为了得到函数y=csx-13的图象，可以将函数y=csx的图象（ ）
A．向左平移π3个单位长度B．向右平移π3个单位长度
C．向左平移13个单位长度D．向右平移13个单位长度
11．设函数fx=lg21-x,x<0,22x-1,x≥0,则f-3+f1等于（ ）
A．112B．132C．4D．10
12．某饮料生产企业推出了一种有一定几率中奖的新饮料．甲､乙两名同学都购买了这种饮料，设事件A为“甲､乙都中奖”，则与A互为对立事件的是（ ）
A．甲､乙恰有一人中奖B．甲､乙都没中奖
C．甲､乙至少有一人中奖D．甲､乙至多有一人中奖
二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.
13．复平面内复数z所对应的点为2,-1，则z+i= .
14．已知向量AB=3,2,CD=t,8，且AB ∥ CD，则t= .
15．函数fx=3sinωx+π6ω>0的最小正周期为π，则ω= .
16．每年的10月10日为“辛亥革命”纪念日，某高中欲从高一、高二、高三分别600人、500人、700人中采用分层抽样法组建一个36人的团队参加活动，则应抽取高三 人．
17．一个正方体的体对角线长为2，它的顶点都在同一球面上，则该球的体积为 .
18．已知fx是定义为R的奇函数，当x≥0，fx=2x2-x，则f-1= .
解答题：本大题共4小题，第19~21题各10分，第22题12分，共42分.解答需写出文字说明，证明过程和演算步骤.
19．在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=π4,a=2105c.
(1)求sinA的值；
(2)若c=5，求b的值.
20．某市为鼓励居民节约用电，采用阶梯电价的收费方式，当月用电量不超过100度的部分，按0.4元/度收费；超过100度的部分，按0.8元/度收费.
(1)设用电量为x度，对应电费为y元，写出y关于x的函数关系式；若某户居民用电量为120度，则该月电费为多少元？
(2)若某户居民某月电费为60元，则其用电量为多少度？
21．灵活就业的岗位主要集中在近些年兴起的主播､自媒体､配音，还有电竞､电商这些新兴产业上.只要有网络､有电脑，随时随地都可以办公.这些岗位出现的背后都离不开互联网的加速发展和短视频时代的大背景.甲､乙两人同时竞聘某公司的主播岗位，其10种表现得分如下表：
(1)若甲和乙所得平均分相等，求a的值；
(2)在（1）的条件下，从10种表现得分中，任取一种，求甲的评分大于乙的评分的概率；
(3)在（1）的条件下，判断甲､乙两人哪个的表现更稳定.
22．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2.
(1)求三棱锥A-C1BD的体积；
(2)证明：AC1⊥BD.
广东省普通高中学业水平合格性考试（数学）模拟卷2
参考答案：
1．D 【详解】由题意可得：A∩B= 0,1. 故选：D.
2．B 【详解】由xy=0可得x=0或y=0，所以由xy=0推不出x=0，即充分性不成立，
由x=0推得出xy=0，即必要性成立，所以“xy=0”是“x=0”的必要不充分条件.故选：B
3．C 【详解】解(x-1)(x+3)=0可得，x=-3或x=1，
所以，不等式(x-1)(x+3)>0的解集为{x|x>1或x<-3}. 故选：C.
4．D 【详解】对于A，因为f-x=x2=fx，所以函数fx为偶函数，故A不符题意；
对于B，函数fx=2x为非奇非偶函数，故B不符题意；
对于C，函数fx=lg2x为非奇非偶函数，故C不符题意；
对于D，f-x=-x3=-fx，所以函数为奇函数，
又函数fx=x3在区间0,+∞上又是增函数，故D符合题意. 故选：D.
5．A 【详解】因为终边经过点P-1,2，所以r=OP=(-1)2+22=5，
故csα=xr=-15=-55，所以csπ-α=-csα=55， 故选：A.
6．C 【详解】因为fx=5-x， 所以5-x≥0， 解得x≤5，
所以函数fx=5-x的定义域为-∞,5. 故选：C
7．B 【详解】对于A,x16÷x4＝x16-4=x12，故A错，
对于B,a25＝a10,故B对， 对于C,2a2+3a2＝5a2,故C错，
对于D,b3⋅b3＝b3+3=b6，故D错， 故选：B
8．A 【详解】m+16m+1=m+1+16m+1-1≥2m+1⋅16m+1-1=7，
当且仅当m+1=16m+1，即m=3时，等号成立， 所以m+16m+1的最小值为7. 故选：A.
9．B 【详解】因为CM=4MD，所以DM=15DC
则AM=AD+DM=AD+15DC=AD+15AB=15a+b． 故选：B.
10.D 【详解】函数y=csx中的x替换为x-13,可得到函数y=csx-13，因此对应的图象向右平移移13个单位长度, 可以将函数y=csx的图象变为函数y=csx-13的图象， 故选：D
11．C 【详解】由题意知，f(-3)+f(1)=lg2(1+3)+2=lg24+2=4. 12．D 【详解】“甲、乙恰有一人中奖”与A互斥但不对立，故A错误；
“甲、乙都没中奖”与A互斥但不对立，故B错误；
“甲、乙至少有一人中奖”与A不互斥，故C错误；
“甲、乙至多有一人中奖”与A互斥且对立，故D正确． 故选：D.
13．22 【详解】因为平面内复数z所对应的点为2,-1， 所以z=2-i⇒z=2+i，z+i=2+2i=4+4=22， 故答案为：22
14．12 【详解】由AB ∥ CD，可得3×8-2t=0，解得t=12. 故答案为：12
15．2 【详解】∵fx的最小正周期T=2πω=π，∴ω=2. 故答案为：2.
16．14【详解】设应抽取高三x人，则700600+500+700=x36，可得x=14.
23π【详解】根据长方体的结构特征可知长方体的体对角线为其外接球的一条直径2R，所以2R=2⇒R=22,故球的体积为43π×223=23π
18．-1 【详解】∵fx是定义为R的奇函数，∴f(-1)=-f(1)=-(2×12-1)=-1．故答案为：-1．
19．【详解】（1）在△ABC中，C=π4,a=2105c，
∴由正弦定理得sinA=2105sinC=2105×22=255.
（2）∵c=5,a=2105c,∴a=22，
由余弦定理c2=a2+b2-2abcsC，得5=8+b2-2⋅22⋅b⋅22，
整理得b2-4b+3=0，解得b=3或b=1.
20．【详解】（1）由题意得：当0≤x≤100时，y=0.4x；
当x>100时，y=100×0.4+x-100×0.8=0.8x-40，
即y=0.4x,0≤x≤1000.8x-40,x>100，
当x=120时，y=0.8×120-40=56，
所以该月电费为56元；
（2）因为x≤100时，y=0.4x≤0.4×100=40<60，
所以该户用电量超过了100度，
令0.8x-40=60，解得：x=125，
故其用电量为125度.
【详解】（1）根据题中所给数据，
甲的得分平均数为x甲=110×(8+9+7+9+7+6+10+10+8+6)=8，
乙的得分平均数为x乙=110×(10+9+8+6+8+7+9+7+8+a)=8，
解得a=8；
（2）∵10种表现评分中，甲的得分高于乙的有3种，
∴“从10种表现得分中，任取一种，甲的评分大于乙的评分的概率为310；
（3）s甲2=110×(0+1+1+1+1+4+4+4+0+4)=2，
s乙2=110×(4+1+0+4+0+1+1+1+0+0)=65，
由2>65，得乙的表现更稳定.
22．【详解】（1）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，易知C1C⊥平面ABD，
∴VA-C1BD=VC1-ABD=13×12×2×2×2=43.
（2）证明：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，易知BD⊥AC，
∵C1C⊥平面ABD，BD⊂平面ABD，∴C1C⊥BD.
又∵C1C∩AC=C，C1C、AC⊂平面ACC1，∴BD⊥平面ACC1.
又AC1⊂平面ACC1，∴AC1⊥BD.甲
8
9
7
9
7
6
10
10
8
6
乙
10
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8
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8
7
9
7
8
a
一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A=0,1,2，B=-2,-1,0,1，则A∩B=（ ）
A．1B．-2,-1,2
C．-2,-1,0,1,2D．0,1
2．已知x，y∈R，则“xy=0”是“x=0”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．不等式(x-1)(x+3)>0的解集为（ ）
A．{x|x>6或x<-3}B．{x|-3
A．fx=x2 B．fx=2x C．fx=lg2x D．fx=x3
5．在平面直角坐标系xOy中，已知角α的始边是x轴的非负半轴，终边经过点P-1,2，则csπ-α=（ ）
A．55B．255C．-55D．-255
6．函数fx=5-x的定义域为（ ）
A．-∞,5B．5,+∞C．-∞,5D．5,+∞
7．下列运算正确的是（ ）
A．x16÷x4＝x4B．a25＝a10
C．2a2+3a2＝5a4D．b3⋅b3＝2b3
8．若m>0，则m+16m+1的最小值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
9．如图，在平行四边形ABCD中，AB=a，AD=b，CM=4MD，则AM=（ ）
A．a+15b B．15a+b C．15a-b D．a-15b
10．为了得到函数y=csx-13的图象，可以将函数y=csx的图象（ ）
A．向左平移π3个单位长度B．向右平移π3个单位长度
C．向左平移13个单位长度D．向右平移13个单位长度
11．设函数fx=lg21-x,x<0,22x-1,x≥0,则f-3+f1等于（ ）
A．112B．132C．4D．10
12．某饮料生产企业推出了一种有一定几率中奖的新饮料．甲､乙两名同学都购买了这种饮料，设事件A为“甲､乙都中奖”，则与A互为对立事件的是（ ）
A．甲､乙恰有一人中奖B．甲､乙都没中奖
C．甲､乙至少有一人中奖D．甲､乙至多有一人中奖
二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.
13．复平面内复数z所对应的点为2,-1，则z+i= .
14．已知向量AB=3,2,CD=t,8，且AB ∥ CD，则t= .
15．函数fx=3sinωx+π6ω>0的最小正周期为π，则ω= .
16．每年的10月10日为“辛亥革命”纪念日，某高中欲从高一、高二、高三分别600人、500人、700人中采用分层抽样法组建一个36人的团队参加活动，则应抽取高三 人．
17．一个正方体的体对角线长为2，它的顶点都在同一球面上，则该球的体积为 .
18．已知fx是定义为R的奇函数，当x≥0，fx=2x2-x，则f-1= .
解答题：本大题共4小题，第19~21题各10分，第22题12分，共42分.解答需写出文字说明，证明过程和演算步骤.
19．在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=π4,a=2105c.
(1)求sinA的值；
(2)若c=5，求b的值.
20．某市为鼓励居民节约用电，采用阶梯电价的收费方式，当月用电量不超过100度的部分，按0.4元/度收费；超过100度的部分，按0.8元/度收费.
(1)设用电量为x度，对应电费为y元，写出y关于x的函数关系式；若某户居民用电量为120度，则该月电费为多少元？
(2)若某户居民某月电费为60元，则其用电量为多少度？
21．灵活就业的岗位主要集中在近些年兴起的主播､自媒体､配音，还有电竞､电商这些新兴产业上.只要有网络､有电脑，随时随地都可以办公.这些岗位出现的背后都离不开互联网的加速发展和短视频时代的大背景.甲､乙两人同时竞聘某公司的主播岗位，其10种表现得分如下表：
(1)若甲和乙所得平均分相等，求a的值；
(2)在（1）的条件下，从10种表现得分中，任取一种，求甲的评分大于乙的评分的概率；
(3)在（1）的条件下，判断甲､乙两人哪个的表现更稳定.
22．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2.
(1)求三棱锥A-C1BD的体积；
(2)证明：AC1⊥BD.
广东省普通高中学业水平合格性考试（数学）模拟卷2
参考答案：
1．D 【详解】由题意可得：A∩B= 0,1. 故选：D.
2．B 【详解】由xy=0可得x=0或y=0，所以由xy=0推不出x=0，即充分性不成立，
由x=0推得出xy=0，即必要性成立，所以“xy=0”是“x=0”的必要不充分条件.故选：B
3．C 【详解】解(x-1)(x+3)=0可得，x=-3或x=1，
所以，不等式(x-1)(x+3)>0的解集为{x|x>1或x<-3}. 故选：C.
4．D 【详解】对于A，因为f-x=x2=fx，所以函数fx为偶函数，故A不符题意；
对于B，函数fx=2x为非奇非偶函数，故B不符题意；
对于C，函数fx=lg2x为非奇非偶函数，故C不符题意；
对于D，f-x=-x3=-fx，所以函数为奇函数，
又函数fx=x3在区间0,+∞上又是增函数，故D符合题意. 故选：D.
5．A 【详解】因为终边经过点P-1,2，所以r=OP=(-1)2+22=5，
故csα=xr=-15=-55，所以csπ-α=-csα=55， 故选：A.
6．C 【详解】因为fx=5-x， 所以5-x≥0， 解得x≤5，
所以函数fx=5-x的定义域为-∞,5. 故选：C
7．B 【详解】对于A,x16÷x4＝x16-4=x12，故A错，
对于B,a25＝a10,故B对， 对于C,2a2+3a2＝5a2,故C错，
对于D,b3⋅b3＝b3+3=b6，故D错， 故选：B
8．A 【详解】m+16m+1=m+1+16m+1-1≥2m+1⋅16m+1-1=7，
当且仅当m+1=16m+1，即m=3时，等号成立， 所以m+16m+1的最小值为7. 故选：A.
9．B 【详解】因为CM=4MD，所以DM=15DC
则AM=AD+DM=AD+15DC=AD+15AB=15a+b． 故选：B.
10.D 【详解】函数y=csx中的x替换为x-13,可得到函数y=csx-13，因此对应的图象向右平移移13个单位长度, 可以将函数y=csx的图象变为函数y=csx-13的图象， 故选：D
11．C 【详解】由题意知，f(-3)+f(1)=lg2(1+3)+2=lg24+2=4. 12．D 【详解】“甲、乙恰有一人中奖”与A互斥但不对立，故A错误；
“甲、乙都没中奖”与A互斥但不对立，故B错误；
“甲、乙至少有一人中奖”与A不互斥，故C错误；
“甲、乙至多有一人中奖”与A互斥且对立，故D正确． 故选：D.
13．22 【详解】因为平面内复数z所对应的点为2,-1， 所以z=2-i⇒z=2+i，z+i=2+2i=4+4=22， 故答案为：22
14．12 【详解】由AB ∥ CD，可得3×8-2t=0，解得t=12. 故答案为：12
15．2 【详解】∵fx的最小正周期T=2πω=π，∴ω=2. 故答案为：2.
16．14【详解】设应抽取高三x人，则700600+500+700=x36，可得x=14.
23π【详解】根据长方体的结构特征可知长方体的体对角线为其外接球的一条直径2R，所以2R=2⇒R=22,故球的体积为43π×223=23π
18．-1 【详解】∵fx是定义为R的奇函数，∴f(-1)=-f(1)=-(2×12-1)=-1．故答案为：-1．
19．【详解】（1）在△ABC中，C=π4,a=2105c，
∴由正弦定理得sinA=2105sinC=2105×22=255.
（2）∵c=5,a=2105c,∴a=22，
由余弦定理c2=a2+b2-2abcsC，得5=8+b2-2⋅22⋅b⋅22，
整理得b2-4b+3=0，解得b=3或b=1.
20．【详解】（1）由题意得：当0≤x≤100时，y=0.4x；
当x>100时，y=100×0.4+x-100×0.8=0.8x-40，
即y=0.4x,0≤x≤1000.8x-40,x>100，
当x=120时，y=0.8×120-40=56，
所以该月电费为56元；
（2）因为x≤100时，y=0.4x≤0.4×100=40<60，
所以该户用电量超过了100度，
令0.8x-40=60，解得：x=125，
故其用电量为125度.
【详解】（1）根据题中所给数据，
甲的得分平均数为x甲=110×(8+9+7+9+7+6+10+10+8+6)=8，
乙的得分平均数为x乙=110×(10+9+8+6+8+7+9+7+8+a)=8，
解得a=8；
（2）∵10种表现评分中，甲的得分高于乙的有3种，
∴“从10种表现得分中，任取一种，甲的评分大于乙的评分的概率为310；
（3）s甲2=110×(0+1+1+1+1+4+4+4+0+4)=2，
s乙2=110×(4+1+0+4+0+1+1+1+0+0)=65，
由2>65，得乙的表现更稳定.
22．【详解】（1）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，易知C1C⊥平面ABD，
∴VA-C1BD=VC1-ABD=13×12×2×2×2=43.
（2）证明：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，易知BD⊥AC，
∵C1C⊥平面ABD，BD⊂平面ABD，∴C1C⊥BD.
又∵C1C∩AC=C，C1C、AC⊂平面ACC1，∴BD⊥平面ACC1.
又AC1⊂平面ACC1，∴AC1⊥BD.甲
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