第03讲+探索三角形全等的条件-2024年暑假新八年级数学自学预习精品讲义（苏科版）

这是一份第03讲+探索三角形全等的条件-2024年暑假新八年级数学自学预习精品讲义（苏科版），共50页。学案主要包含了全等三角形判定1——“边角边”，全等三角形判定2——“角边角”，全等三角形判定3——“角角边”，全等三角形判定4——“边边边”，判定方法的选择，全等三角形的判定与性质，全等三角形的应用等内容，欢迎下载使用。

1．理解和掌握全等三角形判定方法“边角边”、“角边角”、“角角边”、“边边边”“HL”定理.
2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．
一、全等三角形判定1——“边角边”
1．全等三角形判定1——“边角边”
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
要点诠释：如图，如果AB ＝，∠A＝∠，AC ＝，则△ABC≌△．注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.
2．有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
二、全等三角形判定2——“角边角”
全等三角形判定2——“角边角”
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.
三、全等三角形判定3——“角角边”
1．全等三角形判定3——“角角边”
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
2．三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
四、全等三角形判定4——“边边边”
全等三角形判定4——“边边边”
三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△．
五．直角三角形全等的判定——“HL”
1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
六、判定方法的选择
1．选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
2．如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，
可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
七、全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
八、全等三角形的应用
（1）全等三角形的性质与判定综合应用
用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．
（2）作辅助线构造全等三角形
常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．
（3）全等三角形在实际问题中的应用
一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
题型一、全等三角形的判定1——“边角边”
例1、已知：如图，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2．求证：BC＝DE．
【变式】如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．
例2、如图，AD是△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD．
例3、已知，如图：在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC，求证：AB＝CD－BD．
【变式】已知，如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，并且AE＝（AB＋AD），
求证：∠B＋∠D＝180°.
题型二、全等三角形的判定2——“角边角”
例4、已知：如图，E，F在AC上，AD∥CB且AD＝CB，∠D＝∠B．求证：AE＝CF．
【变式】已知：点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF．求证：△ABC≌△DEF．
例5、如图，G是线段AB上一点，AC和DG相交于点E.请先作出∠ABC的平分线BF，交AC于点F；然后证明：当AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝2∠ADG时，DE＝BF.
【变式】已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．求证：HN＝PM.
题型三、全等三角形的判定3——“角角边”
例6．如图，在四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，AD∥BC，∠ADC＝∠ACD，∠CED+∠B＝180°．求证：△ADE≌△CAB．
例7、已知：如图，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB．求证：AD＝AC．
【变式】已知：如图，，，是经过点的一条直线，过点、B 分别作、
，垂足为E、F，求证：.
题型四、全等三角形的判定4——“边边边”
例8、已知：如图，△RPQ中，RP＝RQ，M为PQ的中点．求证：RM平分∠PRQ．
【变式】已知：如图，AD＝BC，AC＝BD.试证明：∠CAD＝∠DBC.
例9、如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，求证：∠BAD＝∠CAE.
题型五．直角三角形全等的判定“HL”
例10、如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则能直接判断Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是（ ）
A．HLB．ASAC．SASD．SSS
【变式1】．如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，只需补充条件 ，就可以根据“HL”得到Rt△ABC≌Rt△DEF．
【变式2】如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，BC∥DF，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．
题型六．全等三角形的判定与性质
例11、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BD，AE⊥EC，垂足分别为D，E，BD，CE相交于点O，且∠BAE＝∠CAD．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠BOC＝140°，求∠OBC的度数．
【变式1】．如图，已知AB＝CB，AD＝CD．求证：∠A＝∠C．
【变式2】如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．求证：∠ABD＝∠ACE．
题型7．全等三角形的应用
例12．如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，在河岸BM上截取BC＝CD，作ED⊥BD交AC的延长线于点E，垂足为点D．（DE≠CD）
（1）线段 的长度就是A、B两点间的距离
（2）请说明（1）成立的理由．
【变式】为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离．甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案：
甲：如图①，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使CO＝AO，DO＝BO，连接DC，测出DC的长即可．
乙：如图②，先确定直线AB，过点B作直线BE，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA，作DC＝DA，交直线AB于点C，最后测量BC的长即可．
（1）甲、乙两同学的方案哪个可行？
（2）请说明方案可行的理由．
一、选择题（共8小题）
1．已知：如图，AC＝DF，BC＝EF，下列条件中，不能证明△ABC≌DEF的是（ ）
A．AC∥DFB．AD＝BEC．∠CBA＝∠FED＝90°D．∠C＝∠F
2．不能判定两个直角三角形全等的条件是（ ）
A．两个锐角对应相等
B．两条直角边对应相等
C．斜边和一锐角对应相等
D．斜边和一条直角边对应相等
3．如图，已知∠ABC＝∠BAD，再添加一个条件，仍不能判定△ABC≌△BAD的是（ ）
A．AC＝BDB．∠C＝∠DC．AD＝BCD．∠ABD＝∠BAC
4．如图，已知AB＝AD．下列条件中，不能作为判定△ABC≌△ADC条件的是（ ）
A．BC＝DCB．∠BAC＝∠DACC．∠B＝∠D＝90°D．∠ACB＝∠ACD
5．一块三角形玻璃样板不慎被小强同学碰破，成了四片完整四碎片（如图所示），聪明的小强经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（ ）
A．带其中的任意两块去都可以
B．带1、2或2、3去就可以了
C．带1、4或3、4去就可以了
D．带1、4或2、3或3、4去均可
6．如图，小明和小丽用下面的方法测量位于池塘两端的A、B两点的距离；先取一个可以直接到达点A的点C，量得AC的长度，再沿AC方向走到点D处，使得CD＝AC；然后从点D处沿着由点B到点A的方向，到达点E处，使得点E、B、C在一条直线上，量得的DE的长度就是A、B两点的距离．在解决这个问题中，关键是利用了△DCE≌△ACB，其数学依据是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．ASA或AAS
7．如图，已知∠1＝∠2，若用“AAS”证明△ACB≌△BDA，还需加上条件（ ）
A．AD＝BCB．BD＝ACC．∠D＝∠CD．∠DAB＝∠CBA
8．如图，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，补充一个条件后，仍不能判定△ABE≌△ACD的是（ ）
A．∠B＝∠CB．AD＝AEC．BE＝CDD．∠AEB＝∠ADC
二、填空题（共4小题）
9．如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，只需补充条件 ，就可以根据“HL”得到Rt△ABC≌Rt△DEF．
10．如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，若要用“斜边直角边（H．L．）”直接证明Rt△ABC≌Rt△DEF，则还需补充条件： ．
11．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是 ，理由是 （填简称）．
12．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，AD是边BC上的中线，AD＝2，则△ACB的面积是 ．
三、解答题（共5小题）
13．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合．
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）求两堵木墙之间的距离．
14．如图，点B、C、E、F在同一条直线上，AF、DE相交于点G，∠B＝∠C＝∠AGD＝90°，BF＝CD．
求证：AF＝DE．
15．如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF．
（1）求证：△BDE≌△CDF；
（2）若AE＝13，AF＝7，试求DE的长．
16．如图，在△ABD和△ACD中，AB＝AC，BD＝CD．
（1）求证：△ABD≌△ACD；
（2）过点D作DE∥AC交AB于点E，求证：AE＝DE．
17．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BD＝CD．试说明BE＝CF．
一、单选题
1．下列条件中，能判断两个直角三角形全等的是（ ）
A．有两条边分别相等
B．有一个锐角和一条边相等
C．有一条斜边相等
D．有一直角边和斜边上的高分别相等
2．在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝50°，AB＝8，下列条件能得到△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠D＝60°，∠E＝50°，DF＝8B．∠D＝60°，∠F＝50°，DE＝8
C．∠E＝50°，∠F＝70°，DE＝8D．∠D＝60°，∠F＝70°，EF＝8
3．如图，，，如果根据“”判定，那么需要补充的条件是（）
A．B．C．D．
4．如图，OC平分∠AOB，D、E、F分别是OC、OA、OB上的点，则添加下列哪个条件不能使△ODE与△ODF全等（）
A．DE=DFB．OE=OFC．∠ODE=∠ODFD．∠AED=∠BFD
5．如图，已知AC＝BD，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△BAD的是（）
A．∠ABC＝∠BADB．∠C＝∠D＝90°C．∠CAB＝∠DBAD．CB＝DA
6．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（）
A．B．C．D．
二、填空题
7．如图，△ABC≌△DEF，BE＝5，BF＝1，则CF＝_____．
8．如图所示，点O为AC的中点，也是BD的中点，那么AB与CD的关系是________．
9．如图，，点、、、在同一条直线上，、交于点，，则的度数是______°．
10．如图，△ACD是等边三角形，若AB＝DE，BC＝AE，∠E＝115°，则∠BAE＝_____°．
11．在△ABC和△DEF，给出下列四组条件：
①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有__________组
12．如图，已知，平分，且于点D，则________．
13．如图，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，点C的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，5），则A点的坐标是_____．
14．如图所示，AD是△ABC中BC边上的中线，若AB=2，AC=6，则AD的取值范围是__________
三、解答题
15．如图，已知AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠D．求证：AF＝DE．
16．已知和位置如图所示，，，．
（1）试说明：；
（2）试说明：．
17．如图，，、分别平分、，与交于点O．
（1）求的度数；
（2）说明的理由．
18．如图①，平分，可得．
（1）如图②，平分，参照图①，过点D作于点交的延长线于点F，求证：；
（2）如图③，在四边形中，，过点D作，垂足为点E，若，则的值是多少？（用含a的代数式表示）
19．如图（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．
（1）求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE．
（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，DE、AD、BE又怎样的关系？并加以证明．
20．在中，，点D是直线BC上一点（不与重合），以AD为一边在AD的右侧作，使，连接CE．
（1）如图1，当点在线段上，如果，则_______度；
（2）设，．
①如图2，当点在线段上移动，则之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点在直线上移动，则之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
已知条件
可选择的判定方法
一边一角对应相等
SAS AAS ASA
两角对应相等
ASA AAS
两边对应相等
SAS SSS
参考答案
题型一、全等三角形的判定1——“边角边”
例1、【思路点拨】由条件AB＝AD，AC＝AE，需要找夹角∠BAC与∠DAE，夹角可由等量代换证得相等。
【答案与解析】
证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠CAD＝∠2＋∠CAD，即∠BAC＝∠DAE
在△ABC和△ADE中
∴△ABC≌△ADE（SAS），∴BC＝DE（全等三角形对应边相等）
【总结升华】证明角等的方法之一：利用等式的性质，等量加等量，还是等量.
【变式】AE＝CD，并且AE⊥CD
证明：延长AE交CD于F，
∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形
∴AB＝BC，BD＝BE
在△ABE和△CBD中
∴△ABE≌△CBD（SAS）
∴AE＝CD，∠1＝∠2
又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等）
∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC＝90°
∴AE⊥CD
例2、【思路点拨】延长AD到点E，使AD＝DE，连接CE．通过证全等将AB转化到△CEA中，同时也构造出了2AD．利用三角形两边之和大于第三边解决问题.
【答案与解析】
证明：如图，延长AD到点E，使AD＝DE，连接CE．
在△ABD和△ECD中，
∴△ABD≌△ECD（SAS）．
∴AB＝CE．
∵AC＋CE＞AE，
∴AC＋AB＞AE＝2AD．即AC＋AB＞2AD．
【总结升华】证明边的大小关系主要有两个思路：（1）两点之间线段最短；（2）三角形的两边之和大于第三边．要证明AB＋AC＞2AD，如果归到一个三角形中，边的大小关系就是显然的，因此需要转移线段，构造全等三角形是转化线段的重要手段．可利用旋转变换，把△ABD绕点D逆时针旋转180°得到△CED，也就把AB转化到△CEA中，同时也构造出了2AD．若题目中有中线，倍长中线，利用旋转变换构造全等三角形是一种重要方法．
例3、
【思路点拨】在DC上取一点E，使BD＝DE，则△ABD≌△AED，所以AB＝AE，只要再证出EC＝AE即可．
【答案与解析】
证明：在DC上取一点E，使BD＝DE
∵ AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADE
在△ABD和△AED中，
A
E
D
C
B
∴△ABD≌△AED（SAS）．
∴AB＝AE，∠B＝∠AED．
又∵∠B＝2∠C＝∠AED＝∠C＋∠EAC．
∴∠C＝∠EAC．∴AE＝EC．
∴AB＝AE＝EC＝CD—DE＝CD—BD．
【总结升华】此题采用截长或补短方法.上升到解题思想，就是利用翻折变换，构造的全等三角形，把条件集中在基本图形里面，从而使问题加以解决．如图，要证明AB＝CD－BD，把CD－BD转化为一条线段，可利用翻折变换，把△ABD沿AD翻折，使线段BD运动到DC上，从而构造出CD－BD，并且也把∠B转化为∠AEB，从而拉近了与∠C的关系.
【变式】
【答案】证明：在线段AE上，截取EF＝EB，连接FC，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝∠CEF＝90°
在△CBE和△CFE中，
∴△CBE和△CFE（SAS）
∴∠B＝∠CFE
∵AE＝（AB＋AD），∴2AE＝ AB＋AD
∴AD＝2AE－AB
∵AE＝AF＋EF，
∴AD＝2（AF＋EF）－AB＝2AF＋2EF－AB＝AF＋AF＋EF＋EB－AB＝AF＋AB－AB，
即AD＝AF
在△AFC和△ADC中
∴△AFC≌△ADC（SAS）
∴∠AFC＝∠D
∵∠AFC＋∠CFE＝180°，∠B＝∠CFE.
∴∠AFC＋∠B＝180°，∠B＋∠D＝180°.
题型二、全等三角形的判定2——“角边角”
例4、
【答案与解析】
证明：∵AD∥CB
∴∠A＝∠C
在△ADF与△CBE中
∴△ADF≌△CBE （ASA）
∴AF ＝CE ，AF＋EF＝CE＋EF
故得：AE＝CF
【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：
(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；
(2)证明这两个三角形全等；
(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．
【变式】
【分析】先利用平行线的性质得到∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F，再证明BC＝EF，然后根据“ASA”可判断△ABC≌△DEF．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠F，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件．
例5、
【思路点拨】通过已知条件证明∠DAC＝∠C，∠CBF＝∠ADG，则可证△DAE≌△BCF
【答案与解析】
证明：∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠C
∵BF平分∠ABC
∴∠ABC＝2∠CBF
∵∠ABC＝2∠ADG
∴∠CBF＝∠ADG
在△DAE与△BCF中
∴△DAE≌△BCF（ASA）
∴DE＝BF
【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．
【变式】
【答案】
证明：∵MQ和NR是△MPN的高，
∴∠MQN＝∠MRN＝90°，
又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4
∴∠1＝∠2
在△MPQ和△NHQ中，
∴△MPQ≌△NHQ（ASA）
∴PM＝HN
题型三、全等三角形的判定3——“角角边”
例6、
【分析】由等角对等边可得AC＝AD，再由平行线的性质可得∠DAE＝∠ACB，由∠CED+∠B＝180°，∠CED+∠AED＝180°，得∠AED＝∠B，从而利用AAS可判定△ADE≌△CAB．
【解答】证明：∵∠ADC＝∠ACD，
∴AD＝AC，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠ACB，
∵∠CED+∠B＝180°，∠CED+∠AED＝180°，
∴∠AED＝∠B，
在△ADE与△CAB中，
，
∴△ADE≌△CAB（AAS）．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是由已知条件得出相应的角或边的关系．
例7、
【思路点拨】要证AC＝AD，就是证含有这两个线段的三角形△BAC≌△EAD.
【答案与解析】
证明：∵AB⊥AE，AD⊥AC，
∴∠CAD＝∠BAE＝90°
∴∠CAD＋∠DAB＝∠BAE＋∠DAB ，即∠BAC＝∠EAD
在△BAC和△EAD中
∴△BAC≌△EAD（AAS）
∴AC ＝AD
【总结升华】我们要善于把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．
【变式】
【答案与解析】
证明：∵，
∴
∴
∵
∴
∴
在和中
∴≌（）
∴
【总结升华】要证，只需证含有这两个线段的≌.同角的余角相等是找角等的好方法.
题型四、全等三角形的判定4——“边边边”
例8、
【思路点拨】由中点的定义得PM＝QM，RM为公共边，则可由SSS定理证明全等.
【答案与解析】
证明：∵M为PQ的中点（已知），
∴PM＝QM
在△RPM和△RQM中，
∴△RPM≌△RQM（SSS）．
∴∠PRM＝∠QRM（全等三角形对应角相等）．
即RM平分∠PRQ.
【总结升华】在寻找三角形全等的条件时有的可以从图中直接找到，如：公共边、公共角、对顶角等条件隐含在题目或图形之中. 把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的性质和判定.
【变式】
【答案】
证明：连接DC，
在△ACD与△BDC中
∴△ACD≌△BDC（SSS）
∴∠CAD＝∠DBC（全等三角形对应角相等）
例9、如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，求证：∠BAD＝∠CAE.
【答案与解析】
证明：在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SSS）
∴∠BAD＝∠CAE（全等三角形对应角相等）.
【总结升华】把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的判定和性质. 要证∠BAD＝∠CAE，先找出这两个角所在的三角形分别是△BDA和△CAE，然后证这两个三角形全等.
题型五．直角三角形全等的判定“HL”
例10、
【分析】由“HL”可证Rt△ABD和Rt△CDB．
【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD＝∠CDB＝90°，
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），
故选：A．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定，掌握直角三角形的判定方法是本题的关键．
【变式1】
【分析】根据直角三角形全等的判定方法解决此题．
【解答】解：补充条件：AB＝DE．
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．
故答案为：AB＝DE．
【点评】本题主要考查直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解决本题的关键．
【变式2】
【分析】根据全等三角形的判定解答即可．
【解答】解：∵Rt△ABC和Rt△EDF中，
∴∠BAC＝∠DEF＝90°，
∵BC∥DF，
∴∠DFE＝∠BCA，
∴添加AB＝ED，
在Rt△ABC和Rt△EDF中
，
∴Rt△ABC≌Rt△EDF（AAS），
故答案为：AB＝ED（答案不唯一）．
【点评】此题考查全等三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定方法解答．
题型六．全等三角形的判定与性质
例11．
【分析】（1）由“AAS”可证△ABD≌△ACE；
（2）由全等三角形的性质可得∠ABD＝∠ACE，由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AD⊥BD，AE⊥EC，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（AAS）；
（2）解：∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠BOC＝140°，
∴∠OBC＝∠OBC＝20°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
【变式1】
【分析】连接BD，利用边边边证明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性质即可求解．
【解答】证明：连接BD，
在△ABD与△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠A＝∠C．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，此题主要利用边边边判定三角形全等．
【变式2】
【分析】由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得结论．
【解答】证明：在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
题型7．全等三角形的应用
例12．
【分析】（1）根据题意确定DE＝AB；
（2）根据已知条件得到两个三角形全等，利用全等三角形的性质得到结论即可．
【解答】解：（1）线段DE的长度就是A、B两点间的距离；
故答案为：DE；
（2）∵AB⊥BC，DE⊥BD
∴∠ABC＝∠EDC＝90°
又∵∠ACB＝∠DCE，BC＝CD
∴△ABC≌△CDE（ASA）
∴AB＝DE．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，是基础题，熟练掌握全等三角形的判定方法并确定出全等三角形是解题的关键．
【变式】
【分析】（1）甲同学作出的是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行的；
（2）甲同学利用的是“边角边”，乙同学的方案只能知道两三角形的两边相等，不能判定△ABD与△CBD全等，故方案不可行．
【解答】解：（1）甲同学的方案可行；
（2）甲同学方案：
在△ABO和△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO（SAS），
∴AB＝CD；
乙同学方案：
在△ABD和△CBD中，
只能知道DC＝DA，DB＝DB，不能判定△ABD与△CBD全等，故方案不可行．
【点评】本题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形判定的“SAS”定理是解决问题的关键．
一．选择题（共8小题）
1．A
【分析】根据三角形的判定定理，结合题目所给条件进行判定即可．
【解答】解：A、由AC∥DF可得∠A＝∠FDB，再加上条件AC＝DF，BC＝EF，不能证明△ABC≌DEF，故此选项正确；
B、AD＝BE可得AB＝DE，再加上条件AC＝DF，BC＝EF，可利用SSS定理证明△ABC≌DEF，故此选项错误；
C、∠CBA＝∠FED＝90°可利用HL定理证明△ABC≌DEF，故此选项错误；
D、∠C＝∠F可利用SAS定理证明△ABC≌DEF，故此选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
2．A
【分析】直角三角形全等的判定方法：HL，SAS，ASA，SSS，AAS，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．
【解答】解：A、全等三角形的判定必须有边的参与，故本选项错误，符合题意；
B、符合判定SAS，故本选项正确，不符合题意；
C、符合判定AAS，故本选项正确，不符合题意；
D、符合判定HL，故本选项正确，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
3．A
【分析】根据已知可以得到∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，然后再分别判断各个选项中的条件能否使得△ABC≌△BAD即可．
【解答】解：∵∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，
∴若添加条件AC＝BD，无法判定△ABC≌△BAD，故选项A符合题意；
若添加∠C＝∠D，则△ABC≌△BAD（AAS），故选项B不符合题意；
若添加AD＝BC，则△ABC≌△BAD（SAS），故选项C不符合题意；
若添加∠ABD＝∠BAC，则△ABC≌△BAD（ASA），故选项D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS．
4．D
【分析】利用全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL进行分析即可．
【解答】解：A、AB＝AD，BC＝DC，再加上公共边AC＝AC能判定△ABC≌△ADC，故此选项不符合题意；
B、AB＝AD，∠BAC＝∠DAC再加上公共边AC＝AC可利用SAS判定△ABC≌△ADC，故此选项不合题意；
C、AB＝AD，∠B＝∠D＝90°再加上公共边AC＝AC能判定△ABC≌△ADC，故此选项不合题意；
D、AB＝AD，∠ACB＝∠ACD再加上公共边AC＝AC不能判定△ABC≌△ADC，故此选项合题意；
故选：D．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
5．C
【分析】带1、4可以用“角边角”确定三角形；带3、4也可以用“角边角”确定三角形．
【解答】解：带3、4可以用“角边角”确定三角形，
带1、4可以用“角边角”确定三角形，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形判定的应用；确定一个三角形的大小、形状，可以用全等三角形的几种判定方法．做题时要根据实际问题找条件．
6．D
【分析】直接利用全等三角形的判定方法，进而分析得出答案．
【解答】解：由题意可得：AC＝DC，∠ACB＝∠DCE，∠ABC＝∠DEC，∠BAC＝∠EDC，
故由AC＝DC，∠ACB＝∠DCE，∠ABC＝∠DEC或AC＝DC，∠ACB＝∠DCE，∠BAC＝∠EDC都可以得出△DCE≌△ACB，
故其数学依据是ASA或AAS．
故选：D．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
7．C
【分析】根据图形找出公共边AB＝BA，再根据全等三角形的判定定理AAS得出即可．
【解答】解：A．AD＝BC，BA＝AB，∠1＝∠2不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ACB≌△BDA，故本选项不符合题意；
B．AB＝BA，∠1＝∠2，AC＝BD，符合全等三角形的判定定理SAS，不符合AAS定理，故本选项不符合题意；
C．∠D＝∠C，∠1＝∠2，AB＝BA，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ACB≌△BDA，故本选项符合题意；
D．∠DAB＝∠CBA，AB＝BA，∠1＝∠2，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ACB≌△BDA，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理是SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
8．C
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：A．∠A＝∠A，AB＝AC，∠B＝∠C，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABE≌△ACD，故本选项不符合题意；
B．AD＝AE，∠A＝∠A，AB＝AC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABE≌△ACD，故本选项不符合题意；
C．AB＝AC，BE＝CD，∠A＝∠A，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABE≌△ACD，故本选项符合题意；
D．∠A＝∠A，∠AEB＝∠ADC，AB＝AC，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABE≌△ACD，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
二．填空题（共4小题）
9．AB＝DE
【分析】根据直角三角形全等的判定方法解决此题．
【解答】解：补充条件：AB＝DE．
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．
故答案为：AB＝DE．
【点评】本题主要考查直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解决本题的关键．
10．BC＝EF
【分析】此题是一道开放型题目，根据直角三角形的全等判定解答即可．
【解答】解：在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
故答案为：BC＝EF
【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，题目比较典型，难度适中．
11．AB＝DC或AC＝BD，HL
【分析】根据直角三角形全等的判定方法，即可解答．
【解答】解：∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，
∴再添加：AB＝DC，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，
∴再添加：AC＝BD，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
故答案为：AB＝DC或AC＝BD，HL．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．
12．6
【分析】延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，证△ADC≌△EDB（SAS），得BE＝AC＝5，∠CAD＝∠E，再由勾股定理的逆定理证∠EAB＝90°，即可解决问题．
【解答】解：如图，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，
∵D为BC的中点，
∴CD＝BD，
在△ADC与△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC＝5，∠CAD＝∠E，
又∵AE＝2AD＝4，AB＝3，
∴BE2＝AE2+AB2，
∴△ABE是直角三角形，∠EAB＝90°，
则S△ACB＝2S△ABD＝2××2×3＝6，
故答案为：6．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
13．
【分析】（1）根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可；
（2）利用全等三角形的性质进行解答．
【解答】（1）证明：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）解：由题意得：AD＝2×3＝6（cm），BE＝7×2＝14（cm），
∵△ADC≌△CEB，
∴EC＝AD＝6cm，DC＝BE＝14cm，
∴DE＝DC+CE＝20（cm），
答：两堵木墙之间的距离为20cm．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
14．
【分析】根据余角的性质得到∠A＝∠GEF，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】证明：∵∠B＝∠EGF＝90°，
∴∠A+∠AFB＝∠GEF+∠AFB＝90°，
∴∠A＝∠GEF，
在△ABF和△ECD中，
，
∴△ABF≌△ECD（AAS），
∴AF＝DE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
15．
【分析】（1）利用中点性质可得BD＝CD，由平行线性质可得∠DBE＝∠DCF，再由对顶角相等可得∠BDE＝∠CDF，即可证得结论；
（2）由题意可得EF＝AE﹣AF＝6，再由全等三角形性质可得DE＝DF，即可求得答案．
【解答】（1）证明：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∵BE∥CF，
∴∠DBE＝∠DCF，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（ASA）；
（2）解：∵AE＝13，AF＝7，
∴EF＝AE﹣AF＝13﹣7＝6，
∵△BDE≌△CDF，
∴DE＝DF，
∵DE+DF＝EF＝6，
∴DE＝3．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，难度较小，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
16．
【分析】（1）根据SSS证明三角形全等即可；
（2）欲证明AE＝DE，只要证明∠EAD＝∠ADE即可．
【解答】（1）证明：在Rt△ADB和△ADC中，
，
∴△ADB≌△ADC（SSS）；
（2）证明：∵△ADB≌△ADC，
∴∠DAB＝∠DAC，
∵DE∥AC，
∴∠ADE＝∠DAC，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴AE＝DE．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
17．
【分析】先证明△AED≌△AFD，得出AE＝AF，再证明△ABD≌△ACD得出AB＝AC，从而得出BE＝CF．
【解答】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD＝90°．
∵AD＝AD，
∴△AED≌△AFD．
∴AE＝AF，DE＝DF．
∵BD＝CD，
∴△BED≌△CFD（HL）．
∴BE＝CF．
解法二：利用角平分线的性质定理，可以直接证明DE＝DF，不需要全等三角形的性质证明．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．利用全等证明另外的三角形全等是常用方法，注意掌握应用．
一、单选题
1．D
【分析】根据全等三角形的判定定理：AAS、SAS、ASA、SSS及直角三角形的判定定理HL对4个选项逐个分析，然后即可得出答案．
【详解】A、两边分别相等，但是不一定是对应边，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；
B、一条边和一锐角对应相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；
C、有一条斜边相等，两直角边不一定对应相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；
D、有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键．
2．C
【分析】显然题中使用ASA证明三角形全等，，需要保证，可以根据三角形内角和定理确定∠F．
【详解】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠B＝∠E＝50°，∠A＝∠D＝60°，AB＝DE＝8，
∴∠F＝180°﹣∠E﹣∠D＝70°，
故选C．
【点睛】这道题考查的是全等三角形的对应边和对应角分别相等．清楚三角形全等判定的含义是解题的关键．
3．D
【分析】利用全等三角形的判定方法，“SAS”即边角边对应相等，只需找出一对对应边相等即可，进而得出答案．
【详解】解：需要补充的条件是BF=CE，
∴BF+FC=CE+CF，即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
故选：D．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关健．
4．A
【分析】根据三角形全等的判定方法对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：∵OP是∠AOB的平分线，
∴∠AOP=∠BOP，而OP是公共边，
A：添加DE=DF符合“边边角”，不能判定△ODE≌ODF；
B：添加OE=OF，可以利用“SAS”判定△ODE≌ODF；
C：添加∠ODE=∠ODF，可以利用“ASA”判定△ODE≌ODF；
D：∠AED=∠BFD，可知∠OED=∠OFD，可以利用“AAS”判定△ODE≌ODF；
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
5．A
【分析】根据全等三角形的判定方法即可一一判断；
【详解】在△ABC与△BAD中，AC＝BD，AB＝BA，
A、SSA无法判断三角形全等，故本选项符合题意；
B、根据HL即可判断三角形全等，故本选项不符合题意；
C、根据SAS即可判断三角形全等，故本选项不符合题意；
D、根据SSS即可判断三角形全等，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，关键在于熟练灵活的使用各个判定方法；
6．B
【分析】我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS，答案可得．
【详解】解：作图的步骤：
①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点D、C；
②任意作一点O′，作射线O′B′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′B′于点C′；
③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′；
④过点D′作射线O′A′．
所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角；
作图完毕．
在△OCD与△O′C′D′，
，
∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），
∴∠A′O′B′=∠AOB，
显然运用的判定方法是SSS．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键．
二、填空题
7．3
【分析】先利用线段和差求EF＝BE﹣BF＝4，根据全等三角形的性质BC=EF，再结合线段和差求出FC 可得答案．
【详解】解：∵BE＝5，BF＝1，
∴EF＝BE﹣BF＝4，
∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF＝4，
∴CF＝BC﹣BF＝4-1=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，线段和差,解题的关键是根据全等三角形的性质得出BC=EF．
8．平行且相等
【分析】只需要证明△AOB≌△COD，根据全等三角形的性质和平行线的判定定理即可得出结论．
【详解】解：∵点O为AC的中点，也是BD的中点，
∴AO=OC，BO=OD，
又∵∠AOB=∠DOC，
∴△AOB≌△COD（SAS）
∴AB=CD，∠A=∠C，
∴AB//CD,
即AB与CD的关系是平行且相等，
故答案为：平行且相等．
【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，平行线的判定定理．掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
9．60
【分析】根据全等三角形的性质得到∠DFE=∠ACB=30°，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【详解】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠DFE=∠ACB=30°，
∵∠AMF是△MFC的一个外角，
∴∠AMF=∠DFE+∠ACB=60°，
故答案为：60．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、三角形的外角性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
10．125
【分析】先证明，得到，再根据三角形内角和得到所求角中两角的和，最后与等边三角形内角相加就得到结果．
【详解】解：是等边三角形，
，
在与中，
故答案为125．
【点睛】这道题考察的是等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和的概念．解题的关键在于熟练掌握这些相关知识点．
11．3
【分析】根据全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL结合选项进行判定．
【详解】解：①AB=DE，BC=EF，AC=DF，可根据SSS判定△ABC≌△DEF；
②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，可根据SAS判定△ABC≌△DEF；
③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F，可根据ASA判定△ABC≌△DEF；
④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E，不能判定△ABC≌△DEF；
能使△ABC≌△DEF的条件共有3个，
故答案为：3．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
12．12
【分析】如图，延长BD交AC于点E，根据已知证得，则得，由三角形的面积公式得，，即可证明，从而可以解答本题．
【详解】解：如图，延长BD交AC于点E，
∵平分，，
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴，．
∴．
即．
∵，
∴．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，明确题意，利用三角形全等证明是解答此题的关键．
13．（-7，3）
【分析】先作辅助线、，通过导角证明，再证明，得到AD的长度(A的纵坐标长度)、DC长度(加上OC得到A横坐标长度)，根据A点所在象限的符号，确定A点坐标．
【详解】如图，过点A作于点D，过点B作于点E
点C的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(1，5)
OC=2，OE=1，BE=5
在和中，
A点的坐标是(-7，3) ．
【点睛】本题考查了全等三角形的证明(在两个三角形中，如果有两组对应角，和其中一组对应角的对边分别相等，那么这两个三角形全等) ．
14．2＜AD＜4
【分析】此题要倍长中线，再连接，构造全等三角形．根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
【详解】解：延长AD到E，使AD=DE，连接BE，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△ADC与△EDB中，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴EB=AC，
根据三角形的三边关系定理：6-2＜AE＜6+2，
∴2＜AD＜4，
故AD的取值范围为2＜AD＜4．
【点睛】本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，能推出6-2＜AE＜6+2是解此题的关键．
三、解答题
15．
【分析】根据平行的性质可得∠B＝∠C，再结合已知条件运用“ASA”证得△ABF≌△DCE，最后运用全等三角形的性质即可证明结论．
【详解】证明：∵AB//CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（ASA），
∴AF＝DE．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质等知识点，根据题意证得△ABF≌△DCE是解答本题的关键．
16．
【分析】（1）根据题意利用SAS可证明△ABD≌△ACE，即可证明结论；
（2）根据△ABD≌△ACE可知∠B=∠C，然后由等量代换得出∠BAN=∠CAM，从而利用ASA可证明△ABN≌△ACM，从而利用全等三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：（1）在△ADB和△AEC中，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴BD=CE；
（2）∵，
∴，
∵△ADB≌△AEC，
∴，
∴，
即．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
17．（1）120°；（2）见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠OAB+∠OBA=60°，从而得到∠AOB；
（2）在AB上截取AE=AC，证明△AOC≌△AOE，得到∠C=∠AEO，再证明∠C+∠D=180°，从而推出∠BEO=∠D，证明△OBE≌△OBD，可得BD=BE，即可证明AC+BD= AB．
【详解】解：（1）∵AD，BC分别平分∠CAB和∠ABD，∠CAB+∠ABD=120°，
∴∠OAB+∠OBA=60°，
∴∠AOB=180°-60°=120°；
（2）在AB上截取AE=AC，
∵∠CAO=∠EAO，AO=AO，
∴△AOC≌△AOE（SAS），
∴∠C=∠AEO，
∵∠C+∠D=（180°-∠CAB-∠ABC）+（180°-∠ABD-∠BAD）=180°，
∴∠AEO+∠D=180°，
∵∠AEO+∠BEO=180°，
∴∠BEO=∠D，
又∠EBO=∠DBO，BO=BO，
∴△OBE≌△OBD（AAS），
∴BD=BE，又AC=AE，
∴AC+BD=AE+BE=AB．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和，全等三角形的判定和性质，解题的关键是截取AE=AC，利用全等三角形的性质证明结论．
18．（1）见解析；（2）2a
【分析】（1）证明△DFC≌△DEB，可得DB=DC；
（2）连接AD，作DF⊥AC于F，证明△DFC≌△DEB，得到DF=DE，CF=BE，再证明Rt△ADF≌Rt△ADE，得到AF=AE，再根据线段的和差可得AB=AC．
【详解】解：（1）作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如图2所示，
∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵∠ABD+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，
∴∠ABD=∠FCD，
在△DFC和△DEB中，
，
∴△DFC≌△DEB（AAS），
∴DB=DC；
（2）连接AD，作DF⊥AC于F，如图3所示，
∵∠ACD=135°,
∴∠FCD=180°-∠ACD=45°，
∴∠B=45°，
∴∠FCD=∠B，
在△DFC和△DEB中，
，
∴△DFC≌△DEB（AAS），
∴DF=DE，CF=BE，
在Rt△ADF和Rt△ADE中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），
∴AF=AE，
∴AB=AE+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，
∴AB-AC=2BE=2a．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．
19．（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）DE=AD-BE，证明见解析．
【分析】（1）①由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到答案；②由①得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案；
（2）与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，代入已知即可得到答案．
【详解】解：（1）①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB（AAS）．
②证明：由（1）知：△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，CD=BE，
∵DC+CE=DE，
∴AD+BE=DE．
（2）成立．
证明：∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=EC-CD=AD-BE．
【点睛】本题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键．
20．（1）90；（2）①α+β=180°，证明见解析；②α+β=180°或α=β，证明见解析．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得∠ABC=∠ACE=45°，可求∠BCE的度数；
（2）①由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD=∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论；②分两种情况画出图形，由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD=∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论．
【详解】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴∠ABC=∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
故答案为：90；
（2）①α+β=180°，
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE．
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB．
∵∠ACE+∠ACB=β，
∴∠B+∠ACB=β，
∵α+∠B+∠ACB=180°，
∴α+β=180°；
②如图1：当点D在射线BC上时，α+β=180°，
连接CE，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=∠BAC+∠BCE=180°，
即：∠BCE+∠BAC=180°，
∴α+β=180°，
如图2：当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．
连接BE，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠ABD=∠ACE=∠ACB+∠BCE，
∴∠ABD+∠ABC=∠ACE+∠ABC=∠ACB+∠BCE+∠ABC=180°，
∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB，
∴∠BAC=∠BCE．
∴α=β；
综上所述：点D在直线BC上移动，α+β=180°或α=β．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，证明△ABD≌△ACE是解本题的关键．