2024云南中考数学二轮专题复习 题型五 二次函数性质综合题（课件）

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解：(1)令y＝x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0，∵抛物线与x轴有两个交点，∴(2k－1)2－4(k2－1)＝－4k＋5＞0，解得k＜ ；
(2)若直线y＝1与抛物线只有一个交点，求k的值；
【思维引导】直线y＝1与抛物线只有一个交点，说明直线y＝1过抛物线的顶点，即抛物线的最小值是1，再根据抛物线的最值公式列方程求解．
(3)若抛物线过点P(－2，t)、Q(4，t)，求k的值；
【思维引导】由点P和点Q的纵坐标相同可知两点关于抛物线的对称轴对称，据此可求出抛物线的对称轴，再结合抛物线对称轴的公式列方程即可求解．
(4)若x＜3时，y随x的增大而减小，求k的取值范围；
【思维引导】抛物线开口向上，当x＜3时，y随x的增大而减小，说明抛物线的对称轴为直线x＝3或在直线x＝3的右侧，据此可列不等式求解．
(5)若点M(－3，m)，N(2，n)在抛物线上，当m＜n时，求k的取值范围；
【思维引导】因为抛物线开口向上，故离抛物线的对称轴越远的点的纵坐标越大，再利用两点的中点横坐标将上述远近关系转换求解．
(6)当－1≤x≤1时，y的最大值为2，求k的值．
【思维引导】抛物线开口向上，所以最大值肯定在区间端点处取得，且在离对称轴较远的端点处取得，因为抛物线的对称轴不定，需讨论在哪个端点处取得最大值．
当抛物线的对称轴在y轴右侧时， ＞0，解得k＜ .此时，当x＝－1时，y最大，即1－(2k－1)＋k2－1＝2.整理，得k2－2k－1＝0.解得k＝1＋ (舍去)或k＝1－ .当抛物线的对称轴为y轴时， ＝0，解得k＝ ，此时，当x＝±1时，y最大，最大值为1＋( )2－1＝ ，不合题意．综上所述，k的值是1或1－ .
1. (2023北京)在平面直角坐标系xOy中，点(1，m)和点(3，n)在抛物线y＝ax2＋bx(a>0)上．(1)若m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴；
(2)已知点(－1，y1)，(2，y2)，(4，y3)在该抛物线上．若mn<0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．
2. (2023云南逆袭卷)已知二次函数y＝ax2＋bx＋1(a≠0)．(1)若二次函数图象的对称轴为直线x＝1，且图象经过点(－1，4)，求二次函数的解析式；
(2)若a＋b＝－1，判断该二次函数图象与x轴的交点个数，并求出相应的交点坐标．
∴交点坐标为(1，0)；当二次函数图象与x轴有两个交点时，则a－1>0，则a>1，此时x1＝ ，x2＝1，∴交点坐标为( ，0)，(1，0)．综上所述，当二次函数图象与x轴有一个交点时，交点坐标为(1，0)；当二次函数图象与x轴有两个交点时，交点坐标为( ，0)，(1，0)．
例2 已知抛物线y＝ax2＋bx－3a(a≠0)；
(1)若a＋b＜0，点P(2，m)(m＞0)在抛物线上，证明：a＜0；
【思维引导】由点P在抛物线上可得m与a和b的关系式，再结合m＞0和a＋b＜0即可证明．
证明：(1)当x＝2时，m＝4a＋2b－3a＝a＋2b＞0.①∵a＋b＜0，∴－a－b＞0.②①＋②得b>0，∴a＜0；
(2)若该抛物线的顶点在第二象限，且过点(1，1)，当a＜b时，证明：－3＜2a＋b＜－1；
【思维引导】由一元二次方程根的判别式可知抛物线与x轴有两个交点，再结合抛物线的顶点在第二象限可判断出开口方向和对称轴的正负；由抛物线过点(1，1)可得出a与b的关系，从而将2a＋b化为只含有一个未知数的式子，利用a＜b和对称轴的正负即可求证．
(2)∵b2－4a(－3a)＝b2＋12a2＞0，且a≠0，∴该抛物线与x轴有两个交点．将(1，1)代入抛物线解析式，得1＝a＋b－3a，∴b＝2a＋1，∴抛物线的解析式为y＝ax2＋(2a＋1)x－3a，∵a＜b，∴a＜2a＋1，解得a＞－1，∵抛物线的顶点在第二象限，且与x轴有两个交点．∴抛物线开口向下，即a＜0，∴抛物线的对称轴为直线x＝－ ＝－ ＜0，解得a＜－ ，∴－1＜a＜－ .∴－3＜4a＋1＜－1.即2a＋b的取值范围－3＜2a＋b＜－1；
(3)当a＝1，b＝2时．
(3)①当a＝1，b＝2时，抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3.∵点P(x1，m)与点Q(x2，m)在抛物线y＝x2＋2x－3上，∴x1，x2即为方程x2＋2x－3－m＝0的两根，∴ ＝m＋3－2x1， ＝m＋3－2x2，对称轴为直线x＝ ＝－ ＝－1.∴x1＋x2＝－2，∵x1＜x2，PQ＝n，∴n＝x2－x1，∴ －2x2－ ＋3n－2＝m＋3－2x2－2x2－(m＋3－2x1)＋3(x2－x1)－2＝m＋3－4x2－m－3＋2x1＋3x2－3x1－2＝－x2－x1－2＝－(x1＋x2)－2＝2－2＝0.∴ －2x2＝ －3n＋2；
【思维引导】利用抛物线和直线的解析式可得关于n的一元二次方程，因为结论有n4，故将方程变形、平方，再对照结论变化即可．
1. (2023省卷23题12分)已知抛物线y＝－2x2＋bx＋c经过点(0，－2)，当x<－4时，y随x的增大而增大，当x>－4时，y随x的增大而减小．设r是抛物线y＝－2x2＋bx＋c与x轴的交点(交点也称公共点)的横坐标，m＝(1)求b、c的值；
【一题多解】根据题意可知，抛物线的对称轴为直线x＝－4，设抛物线解析式为y＝－2(x＋4)2＋k，将(0，－2)代入，得－2×(0＋4)2＋k＝－2，解得k＝30，∴抛物线的解析式为y＝－2(x＋4)2＋30＝－2x2－16x－2，∴b＝－16，c＝－2；
(2)求证：r4－2r2＋1＝60r2；
(2)证明：由(1)可知，抛物线解析式为y＝－2x2－16x－2，且r是抛物线与x轴交点的横坐标，令y＝0得，－2r2－16r－2＝0，即r2＋8r＋1＝0，∴r2＝－8r－1，∴r4－2r2＋1＝(－8r－1)2－2r2＋1＝64r2＋16r＋1－2r2＋1＝62r2＋16r＋2＝62r2＋2(8r＋1)＝62r2－2r2＝60r2；
(3)以下结论：m<1，m＝1，m>1，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．
∵r是抛物线y＝－2x2－16x－2与x轴交点横坐标，∴－2r2－16r－2＝0，解得r＝－4± <0，∴ >0，∴m>1.
【一题多解】m＞1正确．证明：由m＝ ，令p＝r9＋r7－2r5＋r3＋r－1，q＝r9＋60r5－1，则p－q＝(r9＋r7－2r5＋r3＋r－1)－(r9＋60r5－1)＝r7－62r5＋r3＋r＝r(r6－62r4＋r2＋1)．由(2)可知，r4－2r2＋1＝60r2，即r4－62r2＋1＝0，∴p－q＝r[r2(r4－62r2＋1)＋1]＝r[r2·0＋1]＝r，∵r是抛物线y＝－2x2－16x－2与x轴交点的横坐标，∴－2r2－16r－2＝0，∴r＝－4± <0，∴p－q＝r<0，∴p1.
2. 已知二次函数y＝ax2＋4ax＋1的顶点为M(－2，－3)，其图象与一次函数y＝－mx＋5的图象交于点A、B(点A在点B左侧)．(1)求二次函数的解析式；
(1)解：把点M(－2，－3)代入y＝ax2＋4ax＋1中，得4a－8a＋1＝－3，解得a＝1，∴二次函数的解析式为y＝x2＋4x＋1；
(3)若m＝－1，求点B到直线AM的距离．
(3)解：∵m＝－1，∴一次函数的解析式为y＝x＋5.令y＝x2＋4x＋1＝x＋5.得x2＋3x－4＝0.解得x1＝－4，x2＝1.∴点A(－4，1)，点B(1，6)．抛物线顶点M的坐标是(－2，－3)．AM的距离是3.