2024云南中考数学二轮专题训练 题型二 规律探索题 (含答案)

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(2)若一列数：1，3，5，7，9，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；这n(n≥1)个数的和为________．
(3)若一列数：2，4，6，8，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；这n(n≥1)个数的和为________．
(4)若一列数：－1，1，－1，1，－1，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________．
(5)若一列数：1，－1，1，－1，1，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________．
(6)若一列数：1，4，9，16，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________．
(7)若一列数：2，5，10，17，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________．
(8)若一列数：0，3，8，15，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________．
(9)若一列数：4，7，10，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________．
(10)若一列数：eq \f(1,2)，1，eq \f(5,4)，eq \f(7,5)，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________．
类型一 数式规律
典例精讲
例1 (2023云南黑白卷)按一定规律排列的单项式：－4a2，9a4，－16a6，25a8，－36a10，49a12，…，第n个单项式是( )
A. (－1)nn2a2n
B. (－1)n(n＋1)2a2n
C. (－1)n－1(n＋1)2a2n
D. (－1)n－1n2a2n
满分技法
解答数式递推规律的方法，一般通过题中前几项的数字或数式找出每项数字或数式间的关系求解，步骤为：
第一步：标序数；
第二步：对比序数(1，2，3，…，n)和所给数字或数式的关系，把每一部分与序数之间的关系用含序数的式子表示出来；
第三步：根据找出的规律求出第n个式子，并检验；
第四步：若所求的数字或式子前面的符号是正(＋)、负(－)交替出现时，根据正负号的变化规律，则第n个数字(或式子)的符号用(－1)n或(－1)n＋1表示．
例2 观察以下等式：
第1个等式：eq \f(2,1)×(eq \f(1,2)－1)＝－1，
第2个等式：eq \f(5,2)×(eq \f(2,5)－2)＝－4，
第3个等式：eq \f(10,3)×(eq \f(3,10)－3)＝－9，
第4个等式：eq \f(17,4)×(eq \f(4,17)－4)＝－16，
第5个等式：eq \f(26,5)×(eq \f(5,26)－5)＝－25，…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：____________________；
(2)写出你猜想的第n个等式：__________________(用含n的等式表示)，并证明．
满分技法
解答等式规律，步骤为：
第一步：标序数；
第二步：将等式左边的每项用含序数的式子表示出来，得到关系式；
第三步：将等式右边的每项用含序数的式子表示出来；
第四步：用题中所给的数据验证等式的正确性．
针对训练
1. 按一定规律排列的一列数依次为－eq \f(a2,2)，eq \f(a5,3)，－eq \f(a8,4)，eq \f(a11,5)，…(a≠0)，按此规律排列下去，这列数中的第9个数是________．
2. 观察下列各组勾股数，并寻找规律：①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26；…请根据你发现的规律写出第⑦组勾股数：________．
3. 观察下列等式：
第一个等式：a1＝eq \f(1,1×4)＝eq \f(1,3)×(1－eq \f(1,4))；
第二个等式：a2＝eq \f(1,4×7)＝eq \f(1,3)×(eq \f(1,4)－eq \f(1,7))；
第三个等式：a3＝eq \f(1,7×10)＝eq \f(1,3)×(eq \f(1,7)－eq \f(1,10))；
第四个等式：a4＝eq \f(1,10×13)＝eq \f(1,3)×(eq \f(1,10)－eq \f(1,13))；
…
按照上述规律，则a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2020＝________．
类型二 图形累加规律
典例精讲
例1 (2023官渡区二模)用形状大小完全相同的等边三角形和正方形按如图所示的规律拼图案，即从第2个图案开始每个图案比前一个图案多4个等边三角形和1个正方形，则第2023个图案中等边三角形的个数为________个．
例1题图
满分技法
基础图形固定累加的解答步骤为：
1. 找关系：找后一个图与前一个图中所求图形或元素个数之间的关系，一般是通过作差的形式观察是否有固定的数量关系；
2. 找规律：若第一个图形所求元素个数为a，第二个图形所求元素个数比第一个图形多b，且此后每一个图形所求元素个数比前一个图形都多b，则第n个图形中所求图形或元素的个数为a＋b(n－1)．
例2 (2023云大附中模拟)下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中菱形的个数为________．
例2题图
满分技法
基础图形递变累加的解答步骤为：
1. 标序号：记每组图形的序数为“1，2，3，…，n”；
2. 数图形个数：数出每组图形的个数或用序号的乘积表示出个数；
3. 寻找第n项数量与序数n的关系：将后一个图形的个数与前一个图形的个数进行对比，通过作商来观察图形个数；或将图形个数与n进行对比，寻找是否是与n有关的平方、平方加1、平方减1等关系；
4. 验证：代入序号验证所归纳的式子是否正确．
针对训练
1. 如图是一组有规律的图案，它们是由相同的矩形拼接而成，已知矩形的长为a，宽为b，则第⑪个图案的周长为________．
第1题图
2. 如图的三角形图案为谢宾斯基(Sierpinski)三角形，在下列四个三角形图案中，涂有阴影的三角形个数依次为：第1个图案中有1个，第2个图案中有3个，第3个图案中有9个，第4个图案中有27个，…，按此规律，第n个图案中有________个涂有阴影的三角形．
第2题图
类型三 图形成倍递变规律
典例精讲
例 如图，正方形ABCD的边长为1，其面积标记为S1，以AB为斜边向外作等腰直角三角形，再以该等
例题图
腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S7的值为___________________________________________________________．
满分技法
图形线段(面积)成倍递变的解题步骤为：
1. 求出第一次变化前图形的边长或面积；
2. 计算第一次、第二次、第三次、…变化后的边长或面积，找出相邻图形边长或面积之间的倍数关系，归纳出第n次变化后的边长或面积与变化次数n的关系式；
3. 代入所给图形中的某一变化，并验证所归纳的关系式；
4. 求解设问中要求的量．
针对训练
1. (2015省卷14题3分)如图，在△ABC中，BC＝1，点
P1、M1分别是AB、AC边的中点，点P2、M2分别是AP1、AM1的中点，点P3、M3分别是AP2、AM2的中点，按这样的规律下去，PnMn的长为______(n为正整数)．
第1题图
2. 如图，边长为2的等边△ABC的边BC垂直于直线l，过点A作AB1⊥l于B1，以AB1为边作等边△AB1A1；再过A1作A1B2⊥l于B2，以A1B2为边作等边△A1B2A2；…；所有图形都在直线l同侧，按照此规律继续作下去，则S△A2020B2023A2023＝________．
第2题图
类型四 图形周期变化规律
典例精讲
例 如图，在平面直角坐标系中有一直角边长为1的等腰直角三角形OAB，边OA在x轴上，如果以OB为直角边作第二个等腰直角三角形OBB1，再以OB1为直角边作第三个等腰直角三角形OB1B2，…，照此规律作下去，点B2022的坐标为( )
A．(21011，－21011) B．(－21010，－21010)
C．(0，－21011) D．(－21011，0)
例题图
满分技法
图形周期变化规律题的一般解题思路为：
1. 先观察点坐标(图形)变化的规律找出循环一周的变换次数，记为n；
2. 用M÷n＝W……q(0≤q＜n)，则第M次变换后的点坐标(图形)就是第一个循环变换中第q次变化对应的点坐标(图形)，或存在一定的倍分关系；
3. 根据题意找出第一个循环变换中，第q次变换后对应
的点坐标(图形)，即可推断出第M次变换后对应的点坐标(图形)．
针对训练
1. 根据如图所示的流程图计算，若x＝3，则a2023＝________．
第1题图
2. 如图，在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD的边长为8，与y轴交于点M(0，5)，顶点C(6，－3)，将一条长为2022个单位长度且没有弹性的细绳一端固定在点M处，从点M出发将细绳紧绕在正方形ABCD的边上，则细绳的另一端到达的位置的点N的坐标为________．
第2题图
参考答案
热身小练
(1)n，eq \f(n（n＋1）,2)；(2)2n－1，n2；(3)2n，n2＋n；(4)(－1)n；(5)(－1)n＋1或(－1)n－1；(6)n2；(7)n2＋1；(8)n2－1；(9)3n＋1；(10)eq \f(2n－1,n＋1).
类型一 数式规律
典例精讲
例1 B 【解析】∵－4a2＝(－1)1×(1＋1)2a2×1，9a4＝(－1)2×(2＋1)2a2×2，－16a6＝(－1)3×(3＋1)2a2×3，25a8＝(－1)4×(4＋1)2a2×4，－36a10＝(－1)5×(5＋1)2a2×5，49a12＝(－1)6×(6＋1)2a2×6，…，∴第n个单项式是(－1)n(n＋1)2a2n.
例2 解：(1)eq \f(37,6)×(eq \f(6,37)－6)＝－36；
(2)eq \f(n2＋1,n)×(eq \f(n,n2＋1)－n)＝－n2.
证明：∵左边＝eq \f(n2＋1,n)×(eq \f(n,n2＋1)－n)＝eq \f(n2＋1,n)×(eq \f(n,n2＋1)－eq \f(n3＋n,n2＋1))＝eq \f(n2＋1,n)×eq \f(－n3,n2＋1)＝－n2＝右边，
∴等式成立．
针对训练
1. －eq \f(a26,10) 【解析】第1个数为－eq \f(a2,2)＝(－1)1eq \f(a1×3－1,1＋1)，第2个数为eq \f(a5,3)＝(－1)2eq \f(a2×3－1,1＋2)，第3个数为－eq \f(a8,4)＝(－1)3eq \f(a3×3－1,1＋3)，第4个数为eq \f(a11,5)＝(－1)4eq \f(a4×3－1,1＋4)，…，由此规律可知第9个数是(－1)9eq \f(a9×3－1,1＋9)＝－eq \f(a26,10).
2. 16，63，65 【解析】观察前4组数据的规律可知：第一个数是2(n＋1)；第二个数是n(n＋2)；第三个数是(n＋1)2＋1.∴第⑦组勾股数为16，63，65.
3. eq \f(2020,6061) 【解析】由题意可得，an＝eq \f(1,3)×(eq \f(1,3n－2)－eq \f(1,3n＋1))，当n＝2020时，a2020＝eq \f(1,3)×(eq \f(1,6058)－eq \f(1,6061))，∴a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2020＝eq \f(1,3)×(1－eq \f(1,4))＋eq \f(1,3)×(eq \f(1,4)－eq \f(1,7))＋…＋eq \f(1,3)×(eq \f(1,6058)－eq \f(1,6061))＝eq \f(1,3)×(1－eq \f(1,4)＋eq \f(1,4)－eq \f(1,7)＋…＋eq \f(1,6058)－eq \f(1,6061))＝eq \f(1,3)×(1－eq \f(1,6061))＝eq \f(2020,6061).
类型二 图形累加规律
典例精讲
例1 8082 【解析】当n＝1时，等边三角形的个数为2，当n＝2时，等边三角形的个数为2＋4×1＝6，当n＝3时，等边三角形的个数为2＋4×2＝10，当n＝4时，等边三角形的个数为2＋4×3＝14，∴第n个图案中等边三角形的个数为2＋4(n－1)＝4n－2，∴第2023个图案中等边三角形的个数为4×2023－2＝8082.
例2 57 【解析】第①个图形中一共有3个菱形，3＝12＋2；第②个图形中共有7个菱形，7＝22＋3；第③个图形中共有13个菱形，13＝32＋4；…，∴第个图形中菱形的个数为n2＋n＋1；∴第⑦个图形中菱形的个数为72＋7＋1＝57.
针对训练
1. 22a＋2b 【解析】观察图案的变化可知第①个图案的周长为2(a＋b)，第②个图案的周长为2×2(a＋b)－2×(2－1)b，第③个图案的周长为3×2(a＋b)－2×(3－1)b，…，则第个图案的周长为n×2(a＋b)－2(n－1)b，∴第⑪个图案的周长为11×2(a＋b)－2×(11－1)b＝22a＋2b.
2. 3n－1 【解析】∵第1个图案中有1＝30个涂有阴影的三角形，第2个图案中有3＝31个涂有阴影的三角形，第3个图案中有9＝32个涂有阴影的三角形，第4个图案中有27＝33个涂有阴影的三角形，依次类推，∴第n个图案中有 3n－1个涂有阴影的三角形．
类型三 图形成倍递变规律
典例精讲
例 (eq \f(1,2))6 【解析】由题意得S1＝12＝1，S2＝(1×eq \f(\r(2),2))2＝(eq \f(1,2))1，S3＝(eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(2),2))2＝eq \f(1,4)＝(eq \f(1,2))2，S4＝(eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(2),2))2＝eq \f(1,8)＝(eq \f(1,2))3，…，则Sn＝(eq \f(1,2))n－1，∴S7＝(eq \f(1,2))6.
针对训练
1. eq \f(1,2n) 【解析】在△ABC中，BC＝1，点P1、M1分别是AB、AC边的中点，点P2、M2分别是AP1、AM1的中点，点P3、M3分别是AP2、AM2的中点，可得，P1M1＝eq \f(1,2)，P2M2＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4)，故PnMn＝eq \f(1,2n).
2. eq \f(\r(3),24042) 【解析】∵BC⊥l，△ABC为等边三角形，∴∠ABB1＝30°，∵AB＝2，∴AB1＝eq \f(1,2)AB＝1.∵AB1⊥l，△AB1A1为等边三角形，∴∠A1B1B2＝30°，∴B1B2＝eq \f(\r(3),2)，A1B2＝eq \f(1,2)A1B1＝eq \f(1,2)AB1＝eq \f(1,2)，∴S△AB1A1＝eq \f(1,2)×1×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),22)，同理可得，S△A1B2A2＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),4)＝eq \f(\r(3),24)，S△A2B3A3＝eq \f(1,2)×eq \f(1,4)×eq \f(\r(3),8)＝eq \f(\r(3),26)，…，∴S△AnBn＋1An＋1＝eq \f(\r(3),22（n＋1）)，∴S△A2020B2023A2023＝eq \f(\r(3),24042).
类型四 图形周期变化规律
典例精讲
例 A 【解析】∵等腰直角三角形OAB中OA＝AB＝1，∴OB＝eq \r(2)，∵以OB为直角边作第二个等腰直角三角形OBB1，∴OB1＝2，∴B1点坐标为(0，2)，同理可知OB2＝2eq \r(2)，∴B2点坐标为(－2，2)，同理可知OB3＝4，B3点坐标为(－4，0)，B4点坐标为(－4，－4)，B5点坐标为(0，－8)，B6(8，－8)，B7(16，0)，B8(16，16)，B9(0，32)，由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次等腰直角三角形的斜边的边长变为原来的eq \r(2)倍，∵2022÷8＝252……6，∴B2022的横纵坐标符号与点B6相同，∴B2022的横坐标为21011，纵坐标为－21011.
针对训练
1. －eq \f(1,2) 【解析】将x＝3代入，得a1＝1－eq \f(1,3)＝eq \f(2,3)，a2＝1－eq \f(3,2)＝－eq \f(1,2)，a3＝1－(－2)＝3，a4＝1－eq \f(1,3)＝eq \f(2,3)，…，依次类推，∴循环周期为3，∵2023÷3＝673……2，∴a2023＝a2＝－eq \f(1,2).
2. (－2，1)或(6，5) 【解析】∵正方形ABCD的边长为8，∴CD＝DA＝BC＝AB＝8，∵M(0，5)，C(6，－3)，∴A(－2，5)，B(6，5)，D(－2，－3)，∴AM＝2，BM＝6，∴绕正方形ABCD一周的细线长度为8×4＝32，∵2022÷32＝63……6，∴细线另一端在绕正方形第63圈的第6个单位长度的位置，即在AB边或在AD边上，∴点N的坐标为(－2，1)或(6，5)．