[数学][期末]江西省赣州市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

这是一份[数学][期末]江西省赣州市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题，共5页。
考试时间：分钟 满分：分
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。(共8题；共40分)
1. 已知向量 ， ， 若 ， 则( )
A . B . C . D .
2. 如图，是水平放置的直观图，其中 ， 轴，轴，则的周长为( )
A . B . C . D .
3. 已知 ， 是两个不同的平面， ， 是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是( )
A . 若 ， ， ， 则 B . 若 ， ， 则 C . 若 ， ， 则 D . 若 ， ， 且 ， 共面，则
4. 已知某圆锥的侧面积为 ， 其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为( )
A . B . C . D .
5. 勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为周髀算经作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”“赵爽弦图”是我国古代数学的图腾，还被用作第届国际数学家大会的会徽如图，大正方形是由个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若 ， ， 为的中点，则( )
A . B . C . D .
6. 设 ， ， ， 则有( )
A . B . C . D .
7. 如图，在三棱柱中，底面 ， ， ， ， ， 为上的动点，则的最小值为( )
A . B . C . D .
8. 已知定义在上的偶函数 ， 当时， ， 对任意总有当 ， 时，恒成立，则的最大值为( )
A . B . C . D .
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。(共3题；共15分)
9. 下列关于向量的说法正确的是( )
A . 若 ， ， 则 B . 若单位向量 ， 夹角为 ， 则向量在向量上的投影向量为 C . 若与不共线，且 ， 则 D . 若且 ， 则
10. 在中， ， ， ， 为内含边界任意一点，则( )
A . B . 若 ， 则 C . 若 ， 则 D . 若 ， 则最大值为
11. 如图，已知正方体的棱长为 ， 点是的中点，点是正方体内含表面的动点，且满足 ， 则( )
A . 动点在底面内轨迹的长度是 B . 点所在平面截正方体所得截面的面积为 C . 三角形在正方体内运动形成几何体的体积是 D . 存在某个位置 ， 使得直线与平面所成的角为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。(共3题；共15分)
12. ____________________．
13. 位于水东镇的和谐钟塔是赣州市标志性建筑，高度约为塔顶测得地面上某两点 ， 的俯角分别为和 ， 且 ， 则 ， 两点间的距离为____________________结果保留根号
14. 已知一个正四棱台的上下底面边长之比为 ， 体积为 ， 若此正四棱台的内切球存在，则这个内切球的表面积为____________________．
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。(共5题；共60分)
15. 已知函数的部分图象如图所示．
（1） 求函数的解析式及对称中心
（2） 将的图象向右平移个单位后得到的图象，求函数在上的值域．
16. 如图，在四棱锥中，四边形是边长为的正方形，平面 ， 与平面所成角为 ， 为线段上的点．
（1） 若为线段的中点，证明：平面
（2） 若为线段上靠近的三等分点，求三棱锥的体积．
17. 在中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，向量 ， ， 且 ．
（1） 求
（2） 若 ， ， 的平分线交于点 ， 求的长．
18. 如图，点在直径为的半圆上，垂直于半圆所在的平面，平面 ， 且 ．
（1） 证明：平面平面
（2） 若 ， ， 异面直线与所成的角是 ， 在线段上是否存在点 ， 使得二面角的余弦值为若存在，请求出的值若不存在，请说明理由．
19. 设为坐标原点，定义非零向量的“友函数”为 ， 向量称为函数的“友向量”．
（1） 记的“友函数”为 ， 求函数的单调递增区间
（2） 设 ， 其中 ， 求的“友向量”模长的最大值
（3） 已知点满足 ， 向量的“友函数”在处取得最大值当点运动时，求的取值范围．