2024年山东省泰安市中考数学试卷（含答案）

这是一份2024年山东省泰安市中考数学试卷（含答案），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.−56的相反数是( )
A. 56B. −56C. 65D. −65
2.下列运算正确的是( )
A. 2x2y−3xy2=−x2yB. 4x8y2÷2x2y2=2x4
C. (x−y)(−x−y)=x2−y2D. (x2y3)2=x4y6
3.下面图形中，中心对称图形的个数有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
4.据泰山景区2024年1月4日消息，2023年泰山景区累计接待进山游客超860万人次，同比增长301.36%，刷新了历年游客量最高纪录.数据860万用科学记数法表示为( )
A. 8.60×107B. 86.0×105C. 0.860×107D. 8.60×106
5.如图，直线l/​/m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE=21°，则∠ACD的度数是( )
A. 45°
B. 39°
C. 29°
D. 21°
6.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，BA平分∠CBD，若∠AOD=50°，则∠A的度数为( )
A. 65°
B. 55°
C. 50°
D. 75°
7.关于x的一元二次方程2x2−3x+k=0有实数根，则实数k的取值范围是( )
A. k<98B. k≤98C. k≥98D. k<−98
8.我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜果苦果各几个？
若设买甜果x个，买苦果y个，可列出符合题意的二元一次方程组x+y=1000119x+47y=999，根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为( )
A. 甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱B. 甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱
C. 甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱D. 甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱
9.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，分别以顶点A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线MN分别与BC，AC交于点E和点F；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点H和点G，再分别以点H，点G为圆心，大于12HG的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，若射线AP恰好经过点E，则下列四个结论：
①∠C=30°；
②AP垂直平分线段BF；
③CE=2BE；
④S△BEF=16S△ABC．
其中，正确结论的个数有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
10.两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O′的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是( )
A. 43π− 3B. 43πC. 23π− 3D. 43π− 34
11.如图所示是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象，该函数图象的对称轴是直线x=1，图象与y轴交点的纵坐标是2.则下列结论：①2a+b=0；②方程ax2+bx+c=0一定有一个根在−2和−1之间；③方程ax2+bx+c−32=0一定有两个不相等的实数根；④b−a<2.其中，正确结论的个数有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
12.如图，菱形ABCD中，∠B=60°，点E是AB边上的点，AE=4，BE=8，点F是BC上的一点，△EGF是以点G为直角顶点，∠EFG为30°角的直角三角形，连结AG.当点F在直线BC上运动时，线段AG的最小值是( )
A. 2
B. 4 3−2
C. 2 3
D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.单项式−3ab2的次数是______．
14.某学校在4月23日世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动.小明和小颖去学校图书室借阅书籍，小明准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》中随机选择一本，小颖准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《朝花夕拾》中随机选择一本，小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率是______．
15.在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度.他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机.如图，无人机在河上方距水面高60米的点P处测得瞭望台正对岸A处的俯角为50°，测得瞭望台顶端C处的俯角为63.6°，已知瞭望台BC高12米(图中点A，B，C，P在同一平面内).那么大汶河此河段的宽AB为______米.(参考数据：sin40°≈35，sin63.6°≈910，tan50°≈65，tan63.6°≈2)
16.如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园.已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是______平方米．
17.如图，AB是⊙O的直径，AH是⊙O的切线，点C为⊙O上任意一点，点D为AC的中点，连结BD交AC于点E，延长BD与AH相交于点F.若DF=1，tanB=12，则AE的长为______．
18.如图所示，是用图形“〇”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．
按照此规律继续摆下去，第______个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍．
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
(1)计算：2tan60°+(12)−2−|− 12|+ (−3)2；
(2)化简：(x+2x−1x)÷x2−1x．
20.(本小题11分)
某超市打算购进一批苹果.现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取10个，测得它们的直径(单位：mm)，并制作统计图如下：

根据以上信息，解答下列问题：
(1)
则m= ______，a= ______，b= ______．
(2)苹果直径的方差越小，苹果的大小越整齐，据此判断，______供应商供应的苹果大小更为整齐.(填“甲”或“乙”)
(3)超市规定直径82mm(含82mm)以上的苹果为大果.超市打算购进甲供应商的苹果2000个，其中，大果约有多少个？
21.(本小题9分)
直线y1=kx+b(k≠0)与反比例函数y2=−8x的图象相交于点A(−2,m)，B(n,−1)，与y轴交于点C．
(1)求直线y1的表达式；
(2)若y1>y2，请直接写出满足条件的x的取值范围；
(3)过C点作x轴的平行线交反比例函数的图象于点D，求△ACD的面积．
22.(本小题10分)
随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人.甲组每天加工3000件农产品，乙组每天加工2700件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍，求甲、乙两组各有多少名工人？
23.(本小题12分)
综合与实践
为了研究折纸过程蕴含的数学知识，某校九年级数学兴趣小组的同学进行了数学折纸探究活动．
【探究发现】
(1)同学们对一张矩形纸片进行折叠，如图1，把矩形纸片ABCD翻折，使矩形顶点B的对应点G恰好落在矩形的一边CD上，折痕为EF，将纸片展平，连结BG.EF与BG相交于点H.同学们发现图形中四条线段成比例，即EFBG=ABBC，请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由．
【拓展延伸】
(2)同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究，如图2，BD是平行四边形纸片ABCD的一条对角线，同学们将该平行四边形纸片翻折，使点A的对应点G，点C的对应点H都落在对角线BD上，折痕分别是BE和DF.将纸片展平，连结EG，FH，FG.同学们探究后发现，若FG//CD，那么点G恰好是对角线BD的一个“黄金分割点”，即BG2=BD⋅GD.请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由．
24.(本小题13分)
如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，点D，E分别在AB，CB上，DB=EB，连结AE，CD，取AE中点F，连结BF．
(1)求证：CD=2BF，CD⊥BF；
(2)将△DBE绕点B顺时针旋转到图2的位置．
①请直接写出BF与CD的位置关系：______；
②求证：CD=2BF．
25.(本小题13分)
如图，抛物线C1：y=ax2+43x−4的图象经过点D(1,−1)，与x轴交于点A，点B．
(1)求抛物线C1的表达式；
(2)将抛物线C1向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C2，求抛物线C2的表达式，并判断点D是否在抛物线C2上；
(3)在x轴上方的抛物线C2上，是否存在点P，使△PBD是等腰直角三角形.若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】D
10.【答案】A
11.【答案】B
12.【答案】C
13.【答案】3
14.【答案】29
15.【答案】74
16.【答案】450
17.【答案】 5
18.【答案】12
19.【答案】解：(1)2tan60°+(12)−2−|− 12|+ (−3)2；
=2 3+4−2 3+3
=7；
(2)(x+2x−1x)÷x2−1x
=x2−2x+1x⋅xx2−1
=(x−1)2x⋅x(x+1)(x−1)
=x−1x+1．
20.【答案】80 79.5 83 甲
21.【答案】解：(1)分别将点A(−2,m)、点B(n,−1)代入y2=−8x中，
即−2m=−8，−n=−8，
解得：m=4，n=8，
∴A点坐标为(−2,4)，B点坐标为(8,−1)，
把A点坐标(−2,4)，B点坐标(8,−1)分别代入y1=kx+b，
即−2k+b=4,8k+b=−1.
k=−12b=3.
∴一次函数表达式为y1=−12x+3．
(2)由图象可知，
当y1>y2时，x<−2或0(3)把y=3时代入y2=−8x中，
得x=−83，
∴D点坐标为(−83,3)，
CD=83，
∴S△ACD=12×83×(4−3)=43．
22.【答案】解：设甲组有x名工人，则乙组有(35−x)名工人，
根据题意得：270035−x=3000x×1.2，
解答：x=20，
经检验，x=20是所列方程的解，且符合题意，
∴35−x=35−20=15．
答：甲组有20名工人，乙组有15名工人．
23.【答案】解：(1)EFBG=ABBC正确，理由如下，
作EM⊥BC于点M，

∵EF⊥BG，
∴∠BHF=90°，
∴∠FBH+∠BFH=90°．
∵∠EMF=90°，
∴∠MEF+∠BFH=90°
∴∠FBH=∠MEF，
又∵∠EMF=∠C=90°，
∴△EMF∽△BCG．
EFBG=EMBC．
∵ABCD是矩形，EM⊥BC，
∴四边形ABME是矩形．
∴AB=EM．
∴EFBG=ABBC．
(2)同学们的发现说法正确，理由如下，
∵CD//FG，
∴CDFG=BDBG，∠CDF=∠DFG，
由折叠知∠CDF=∠BDF，
∴∠DFG=∠BDF．
∴GD=GF．
∴CDGD=BDBG，
由平行四边形及折叠知AB=BG，AB=CD，
∴BGGD=BDBG，
∴BG2=BD⋅GD
即点G为BD的一个黄金分割点．
24.【答案】BF⊥CD
25.【答案】解：(1)将点D的坐标代入抛物线表达式得：−1=a+43−4，
解得：a=53，
则抛物线的表达式为：y=53x2+43x−4；
(2)由题意得：C2：y=53(x−1)2+43(x−1)−4+3=53(x−35)2−1915，
当x=1时，y=53(x−35)2−1915=53(1−35)2−1915=−1，
故点D在抛物线C2上；
(3)存在，理由：
当∠BAP为直角时，
如图1，过点D作DE⊥BD且DE=BE，则△BDE为等腰直角三角形，

∵∠BDG+∠EDH=90°，∠EDH+∠DEH=90°，
∴∠BDG=∠DEH，
∵∠DGB=∠EHD=90°，
∴△DGB≌△EHD(AAS)，
则DH=BG=1，EH=GD=1+2=3，
则点E(2,2)，
当x=2时，y=53(x−35)2−1915=53(2−35)2−1915=2，
即点E在抛物线C2上，
即点P即为点E(2,2)；
当∠DBP为直角时，如图2，
同理可得：△BGE≌△DHB(AAS)，
则DH=3=BG，BH=1=GE，
则点E(−1,3)，
当x=−1时，y=53(x−35)2−1915=53(−1−35)2−1915=3，
即点E在抛物线C2上，
即点P即为点E(−1,3)；
当∠HPD为直角时，如图3，

设点E(x,y)，
同理可得：△EHB≌△DGE(AAS)，
则EH=x+2=GD=y+1且BH=y=GE=1−x，
解得：x=0且y=1，即点E(0,1)，
当x=0时，y=53(x−35)2−1915=53(0−35)2−1915≠1，
即点E不在抛物线C2上；
综上，点P的坐标为：(2,2)或(−1,3)． 统计量
供应商
平均数
中位数
众数
甲
80
80
b
乙
m
a
76