61-2024年山东省泰安市中考数学试卷

这是一份61-2024年山东省泰安市中考数学试卷，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）的相反数是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．2x2y﹣3xy2＝﹣x2yB．4x8y2÷2x2y2＝2x4
C．（x﹣y）（﹣x﹣y）＝x2﹣y2D．（x2y3）2＝x4y6
3．（4分）下面图形中，中心对称图形的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（4分）据泰山景区2024年1月4日消息，2023年泰山景区累计接待进山游客超860万人次，同比增长301.36%，刷新了历年游客量最高纪录．数据860万用科学记数法表示为（ ）
A．8.60×107B．86.0×105C．0.860×107D．8.60×106
5．（4分）如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是（ ）
A．45°B．39°C．29°D．21°
6．（4分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，BA平分∠CBD，若∠AOD＝50°，则∠A的度数为（ ）
A．65°B．55°C．50°D．75°
7．（4分）关于x的一元二次方程2x2﹣3x+k＝0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（4分）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜果苦果各几个？
若设买甜果x个，买苦果y个，可列出符合题意的二元一次方程组，根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为（ ）
A．甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱
B．甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱
C．甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱
D．甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱
9．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，分别以顶点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线MN分别与BC，AC交于点E和点F；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点H和点G，再分别以点H，点G为圆心，大于HG的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，若射线AP恰好经过点E，则下列四个结论：
①∠C＝30°；
②AP垂直平分线段BF；
③CE＝2BE；
④．
其中，正确结论的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．（4分）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O′的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
11．（4分）如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，该函数图象的对称轴是直线x＝1，图象与y轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①2a+b＝0；②方程ax2+bx+c＝0一定有一个根在﹣2和﹣1之间；③方程ax2+bx+c﹣＝0一定有两个不相等的实数根；④b﹣a＜2．其中，正确结论的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．（4分）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点E是AB边上的点，AE＝4，BE＝8，点F是BC上的一点，△EGF是以点G为直角顶点，∠EFG为30°角的直角三角形，连结AG．当点F在直线BC上运动时，线段AG的最小值是（ ）
A．2B．C．D．4
二、填空题（本大题共6小题，满分24分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分）
13．（4分）单项式﹣3ab2的次数是 ．
14．（4分）某学校在4月23日世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动．小明和小颖去学校图书室借阅书籍，小明准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》中随机选择一本，小颖准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《朝花夕拾》中随机选择一本，小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率是 ．
15．（4分）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度．他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机．如图，无人机在河上方距水面高60米的点P处测得瞭望台正对岸A处的俯角为50°，测得瞭望台顶端C处的俯角为63.6°，已知瞭望台BC高12米（图中点A，B，C，P在同一平面内）．那么大汶河此河段的宽AB为 米．（参考数据：sin40°≈，sin63.6°≈，tan50°≈，tan63.6°≈2）
16．（4分）如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 平方米．
17．（4分）如图，AB是⊙O的直径，AH是⊙O的切线，点C为⊙O上任意一点，点D为的中点，连结BD交AC于点E，延长BD与AH相交于点F．若DF＝1，，则AE的长为 ．
18．（4分）如图所示，是用图形“〇”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．
按照此规律继续摆下去，第 个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍．
三、解答题（本大题共7小题，满分78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
19．（10分）（1）计算：；
（2）化简：．
20．（11分）某超市打算购进一批苹果．现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取10个，测得它们的直径（单位：mm），并制作统计图如下：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）
则m＝ ，a＝ ，b＝ ．
（2）苹果直径的方差越小，苹果的大小越整齐，据此判断， 供应商供应的苹果大小更为整齐．（填“甲”或“乙”）
（3）超市规定直径82mm（含82mm）以上的苹果为大果．超市打算购进甲供应商的苹果2000个，其中，大果约有多少个？
21．（9分）直线y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数的图象相交于点A（﹣2，m），B（n，﹣1），与y轴交于点C．
（1）求直线y1的表达式；
（2）若y1＞y2，请直接写出满足条件的x的取值范围；
（3）过C点作x轴的平行线交反比例函数的图象于点D，求△ACD的面积．
22．（10分）随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人．甲组每天加工3000件农产品，乙组每天加工2700件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍，求甲、乙两组各有多少名工人？
23．（12分）综合与实践
为了研究折纸过程蕴含的数学知识，某校九年级数学兴趣小组的同学进行了数学折纸探究活动．
【探究发现】
（1）同学们对一张矩形纸片进行折叠，如图1，把矩形纸片ABCD翻折，使矩形顶点B的对应点G恰好落在矩形的一边CD上，折痕为EF，将纸片展平，连结BG．EF与BG相交于点H．同学们发现图形中四条线段成比例，即，请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由．
【拓展延伸】
（2）同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究，如图2，BD是平行四边形纸片ABCD的一条对角线，同学们将该平行四边形纸片翻折，使点A的对应点G，点C的对应点H都落在对角线BD上，折痕分别是BE和DF．将纸片展平，连结EG，FH，FG．同学们探究后发现，若FG∥CD，那么点G恰好是对角线BD的一个“黄金分割点”，即BG2＝BD•GD．请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由．
24．（13分）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，点D，E分别在AB，CB上，DB＝EB，连结AE，CD，取AE中点F，连结BF．
（1）求证：CD＝2BF，CD⊥BF；
（2）将△DBE绕点B顺时针旋转到图2的位置．
①请直接写出BF与CD的位置关系： ；
②求证：CD＝2BF．
25．（13分）如图，抛物线的图象经过点D（1，﹣1），与x轴交于点A，点B．
（1）求抛物线C1的表达式；
（2）将抛物线C1向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C2，求抛物线C2的表达式，并判断点D是否在抛物线C2上；
（3）在x轴上方的抛物线C2上，是否存在点P，使△PBD是等腰直角三角形．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2024年山东省泰安市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）
1．（4分）的相反数是（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，即可得出答案．
【解答】解：﹣的相反数是：．
故选：C．
【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．2x2y﹣3xy2＝﹣x2yB．4x8y2÷2x2y2＝2x4
C．（x﹣y）（﹣x﹣y）＝x2﹣y2D．（x2y3）2＝x4y6
【分析】利用合并同类项的法则，整式的除法的法则，平方差公式，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、2x2y与﹣3xy2不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、4x8y2÷2x2y2＝2x6，故B不符合题意；
C、（x﹣y）（﹣x﹣y）＝y2﹣x2，故C不符合题意；
D、（x2y3）2＝x4y6，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3．（4分）下面图形中，中心对称图形的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：左起第四个图形不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形；
第一、第二和第三个图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形．
所以中心对称图形有3个．
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4．（4分）据泰山景区2024年1月4日消息，2023年泰山景区累计接待进山游客超860万人次，同比增长301.36%，刷新了历年游客量最高纪录．数据860万用科学记数法表示为（ ）
A．8.60×107B．86.0×105C．0.860×107D．8.60×106
【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【解答】解：860万＝8600000＝8.60×106，
故选：D．
【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
5．（4分）如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是（ ）
A．45°B．39°C．29°D．21°
【分析】过点A作AF∥l，由平行公理的推论得出AF∥m，根据平行线的性质得出∠BAF＝∠ABE，∠ACD＝∠CAF，根据等边三角形的性质得出∠BAC＝60°，即可求出∠ACD的度数．
【解答】解：如图，过点A作AF∥l，
∵直线l∥m，
∴AF∥m，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AF∥l，
∴∠BAF＝∠ABE，
∵∠ABE＝21°，
∴∠BAF＝21°，
∴∠CAF＝∠BAC﹣∠BAF＝60°﹣21°＝39°，
∵AF∥m，
∴∠ACD＝∠CAF＝39°，
故选：B．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
6．（4分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，BA平分∠CBD，若∠AOD＝50°，则∠A的度数为（ ）
A．65°B．55°C．50°D．75°
【分析】先利用圆周角定理可得：∠ABD＝25°，然后利用平角定义得∠ABC＝25°，根据圆周角定理得∠C＝90°，再根据三角形内角和定理进行计算即可解答．
【解答】解：∵∠AOD＝50°，
∴∠ABD＝∠AOD＝25°，
∵BA平分∠CBD，
∴∠ABC＝∠ABD＝25°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∴∠A＝180°﹣90°﹣25°＝65°．
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
7．（4分）关于x的一元二次方程2x2﹣3x+k＝0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据一元二次方程根的判别式即可解决问题．
【解答】解：因为关于x的一元二次方程2x2﹣3x+k＝0有实数根，
所以Δ＝（﹣3）2﹣4×2×k≥0，
解得k≤．
故选：B．
【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
8．（4分）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜果苦果各几个？
若设买甜果x个，买苦果y个，可列出符合题意的二元一次方程组，根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为（ ）
A．甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱
B．甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱
C．甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱
D．甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱
【分析】根据列出的二元一次方程组可得甜果苦果买一千，甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱，
【解答】解：根据列出的二元一次方程组，可得缺失的条件应为：甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱，
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，根据方程组找出等量关系．
9．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，分别以顶点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线MN分别与BC，AC交于点E和点F；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点H和点G，再分别以点H，点G为圆心，大于HG的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，若射线AP恰好经过点E，则下列四个结论：
①∠C＝30°；
②AP垂直平分线段BF；
③CE＝2BE；
④．
其中，正确结论的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】首先证明∠C＝∠EAC＝∠BAE＝30°，推出AC＝2AB，AE＝2BE，可得①②③④正确．
【解答】解：由作图可知MN垂直平分线段AC，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
由作图可知AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵∠ABC＝90°，
∴∠C＝∠CAE＝∠BAE＝30°，故①正确，
∴AC＝2AB，
∵AF＝FC，
∴AB＝AF，
∴AP垂直平分线段BF，故②正确，
∵AE＝2BE，EA＝EC，
∴EC＝2BE，故③正确，
∴S△BEF＝S△BCF，
∵AF＝FC，
∴S△BFC＝S△ABC，
∴S△BEF＝S△ABC，故④正确．
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
10．（4分）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O′的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接OA，AO′，作AB⊥OO′于点B，得三角形AOO′是等边三角形，求出AB＝，S弓形AO′＝S扇形AOO′﹣S△AOO′＝﹣，再根据S阴影＝S弓形AO′+S扇形AO′O，即可得出答案．
【解答】解：如图，连接OA，AO′，作AB⊥OO′于点B，
∵OA＝OO′＝AO′＝2，
∴三角形AOO′是等边三角形，
∴∠AOO′＝60°，OB＝OO′＝1，
∴AB＝＝，
∴S弓形AO′＝S扇形AOO′﹣S△AOO′
＝﹣2××
＝﹣，
∴S阴影＝S弓形AO′+S扇形AO′O
＝﹣+
＝﹣．
故选：A．
【点评】本题考查了扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用，熟练掌握扇形的面积公式是关键．
11．（4分）如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，该函数图象的对称轴是直线x＝1，图象与y轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①2a+b＝0；②方程ax2+bx+c＝0一定有一个根在﹣2和﹣1之间；③方程ax2+bx+c﹣＝0一定有两个不相等的实数根；④b﹣a＜2．其中，正确结论的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质判断即可．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故①正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点在2，3之间，
∴与x轴的另一个交点在﹣1，0之间，
∴方程ax2+bx+c＝0一定有一个根在﹣1和0之间，故②错误；
∵抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝有两个交点，
∴方程ax2+bx+c﹣＝0一定有两个不相等的实数根，故③正确；
∵抛物线与x轴的另一个交点在﹣1，0之间，
∴a﹣b+c＜0，
∵图象与y轴交点的纵坐标是2，
∴c＝2，
∴a﹣b+2＜0，
∴b﹣a＞2．故④错误．
故选：B．
【点评】本题考查的是图象法求一元二次方程的近似值，抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键．
12．（4分）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点E是AB边上的点，AE＝4，BE＝8，点F是BC上的一点，△EGF是以点G为直角顶点，∠EFG为30°角的直角三角形，连结AG．当点F在直线BC上运动时，线段AG的最小值是（ ）
A．2B．C．D．4
【分析】E作EM⊥BC，则点E、M、F、G四点共圆，从而得到AF＝MH，因为AG≥GF，所以求出MH的值即可得解．
【解答】解：如图，过E作EM⊥BC于点M，作MH⊥AB于点H，作AF⊥GM于点F，
∵∠EMF+∠EGF＝180°，
∴点E、M、F、G四点共圆，
∴∠EMG＝∠EFG＝30°，
∵∠B＝60°，
∴∠BEM＝30°＝∠EMG，
∴MG∥AB，
∴四边形MHAF是矩形，
∴MH＝AF，
∵BE＝8，
∴EM＝BE•cs30°＝4，
∴MH＝EM＝2＝AF，
∴AG≥AF＝2，
∴AG最小值是2．
故选：C．
【点评】本题主要考查了菱形的性质、解直角三角形、垂线段最短、圆内接四边形对角互补等知识，熟练掌握相关知识点和添加合适的辅助线是解题关键．
二、填空题（本大题共6小题，满分24分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分）
13．（4分）单项式﹣3ab2的次数是 3 ．
【分析】根据单项式次数的定义进行解答即可．
【解答】解：∵单项式﹣3ab2中，a的指数是1，b的指数是2，
∴此单项式的次数为：1+2＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查的是单项式次数的定义，即一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
14．（4分）某学校在4月23日世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动．小明和小颖去学校图书室借阅书籍，小明准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》中随机选择一本，小颖准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《朝花夕拾》中随机选择一本，小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率是 ．
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及小明和小颖恰好选中书名相同的书的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：将《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》、《朝花夕拾》分别记为A，B，C，D，
列表如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小颖恰好选中书名相同的书的结果有2种，
∴小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
15．（4分）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度．他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机．如图，无人机在河上方距水面高60米的点P处测得瞭望台正对岸A处的俯角为50°，测得瞭望台顶端C处的俯角为63.6°，已知瞭望台BC高12米（图中点A，B，C，P在同一平面内）．那么大汶河此河段的宽AB为 74 米．（参考数据：sin40°≈，sin63.6°≈，tan50°≈，tan63.6°≈2）
【分析】根据题干条件，要求AB，求出AE和BE即可，分别在两个直角三角形中去求即可．
【解答】解：由题知∠NPC＝∠PCF＝63.6°，∠MPA＝∠BAP＝50°，BC＝EF＝12m，PE＝60m，
∴PF＝PE﹣EF＝48m，
在Rt△PFC，tan63.6°＝＝2，
∴CF＝24m，
∴BE＝24m，
在Rt△APF中，tan50°＝＝，
∴AE＝50m，
∴AB＝AE+BE＝74m．
故答案为：74．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用—仰角、俯角问题，熟练掌握解直角三角形是解题关键．
16．（4分）如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 450 平方米．
【分析】依据题意，设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（60﹣2x）米，又墙长为40米，从而可得0＜60﹣2x≤40，故10≤x＜30，又菜园的面积＝x（60﹣2x）＝﹣2x2+60＝﹣2（x﹣15）2+450，进而结合二次函数的性质即可判断得解．
【解答】解：由题意，设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（60﹣2x）米，
又墙长为40米，
∴0＜60﹣2x≤40．
∴10≤x＜30．
又菜园的面积＝x（60﹣2x）＝﹣2x2+60＝﹣2（x﹣15）2+450，
∴当x＝15时，可围成的菜园的最大面积是450，
即垂直于墙的边长为15米时，可围成的菜园的最大面积是450平方米．
故答案为：450．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
17．（4分）如图，AB是⊙O的直径，AH是⊙O的切线，点C为⊙O上任意一点，点D为的中点，连结BD交AC于点E，延长BD与AH相交于点F．若DF＝1，，则AE的长为 ．
【分析】先证∠DAF＝∠ABD，从而求出AF＝，再证△ADE≌△ADF（ASA）即可得解．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AH是⊙O的切线，
∴∠BAF＝90°，
∴∠DAF＝∠ABD＝90°﹣∠DAB，
∴△DAF∽△DBA，
∴＝＝tanB＝，
∵DF＝1，
∴AD＝2，
∴AF＝＝，
∵点D为的中点，
∴，
∴∠ABD＝∠DAC＝∠DAF，
∵∠ADE＝∠ADF＝90°，
∴90°﹣∠DAE＝90°﹣∠DAF，
即∠AED＝∠AFD，
∴AE＝AF＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
18．（4分）如图所示，是用图形“〇”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．
按照此规律继续摆下去，第 12 个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍．
【分析】根据所给图形，依次求出“〇”和“●”的个数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：1＝1，“●”的个数为：4＝1×2+2；
第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：3＝1+2，“●”的个数为：6＝2×2+2；
第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：6＝1+2+3，“●”的个数为：8＝3×2+2；
第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：10＝1+2+3+4，“●”的个数为：10＝4×2+2；
…，
所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为：1+2+3+…+n＝，“●”的个数为：2n+2；
由题知，
，
解得n1＝﹣1，n2＝12，
又因为n为正整数，
所以n＝12，
即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍．
故答案为：12．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现“〇”和“●”的个数变化规律是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，满分78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
19．（10分）（1）计算：；
（2）化简：．
【分析】（1）先算特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式的化简，再算加减即可；
（2）先算括号里的运算，把能分解的因式进行分解，除法转为乘法，最后约分即可．
【解答】解：（1）；
＝
＝7；
（2）
＝
＝
＝．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，实数的运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
20．（11分）某超市打算购进一批苹果．现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取10个，测得它们的直径（单位：mm），并制作统计图如下：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）
则m＝ 80 ，a＝ 79.5 ，b＝ 83 ．
（2）苹果直径的方差越小，苹果的大小越整齐，据此判断， 甲 供应商供应的苹果大小更为整齐．（填“甲”或“乙”）
（3）超市规定直径82mm（含82mm）以上的苹果为大果．超市打算购进甲供应商的苹果2000个，其中，大果约有多少个？
【分析】（1）分别根据算术平均数，中位数和众数的定义解答即可；
（2）根据方差的意义解答即可；
（3）利用样本估计总体，即用2000乘样本中直径82mm（含82mm）以上所占比例即可．
【解答】解：（1）由题意得：m＝（75+76×3+79+80+81+83+86+88）÷10＝80；
把乙的10个苹果的直径从小到大排列，排在中间的两个数分别是79，80，故中位数a＝＝79.5；
甲10个苹果的直径中，83出现的次数最多，故众数b＝83，
故答案为：80，79.5，83；
（2）甲的方差为：[（76﹣80）2+（77﹣80）2+（78﹣80）2+（79﹣80）2+2×（80﹣80）2+（81﹣80）2+3×（83﹣80）2]＝5.8；
乙的方差为[（75﹣80）2+3×（76﹣80）2+（79﹣80）2+（80﹣80）2+（81﹣80）2+（83﹣80）2+（86﹣80）2+（88﹣80）2]＝18.4，
因为5.8＜18.4，
所以甲供应商供应的苹果大小更为整齐．
故答案为：甲；
（3）
答：大果约有600个．
【点评】本题考查了平均数、中位数、众数、方差以及用样本估计总体，掌握相关统计量的计算方法是解答本题的关键．
21．（9分）直线y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数的图象相交于点A（﹣2，m），B（n，﹣1），与y轴交于点C．
（1）求直线y1的表达式；
（2）若y1＞y2，请直接写出满足条件的x的取值范围；
（3）过C点作x轴的平行线交反比例函数的图象于点D，求△ACD的面积．
【分析】（1）分别将点A（﹣2，m）、点B（n，﹣1）代入 中，求出m、n的值，再分别代入 y1＝kx+b中，即可得出答案；
（2）数形结合即可得出答案；
（3）把y＝3代入中，求出点D的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出答案．
【解答】解：（1）分别将点A（﹣2，m）、点B（n，﹣1）代入 中，
即﹣2m＝﹣8，﹣n＝﹣8，
解得：m＝4，n＝8，
∴A点坐标为（﹣2，4），B点坐标为（8，﹣1），
把A点坐标（﹣2，4），B点坐标（8，﹣1）分别代入 y1＝kx+b，
即
∴一次函数表达式为 ．
（2）由图象可知，
当y1＞y2时，x＜﹣2或0＜x＜8．
（3）把y＝3时代入中，
得 ，
∴D点坐标为 ，
，
∴．
【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点，待定系数法求解析式及数形结合思想是解题的关键．
22．（10分）随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人．甲组每天加工3000件农产品，乙组每天加工2700件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍，求甲、乙两组各有多少名工人？
【分析】设甲组有x名工人，则乙组有（35﹣x）名工人，根据乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即甲组的人数），再将其代入（35﹣x）中，即可求出乙组的人数．
【解答】解：设甲组有x名工人，则乙组有（35﹣x）名工人，
根据题意得：＝×1.2，
解答：x＝20，
经检验，x＝20是所列方程的解，且符合题意，
∴35﹣x＝35﹣20＝15．
答：甲组有20名工人，乙组有15名工人．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23．（12分）综合与实践
为了研究折纸过程蕴含的数学知识，某校九年级数学兴趣小组的同学进行了数学折纸探究活动．
【探究发现】
（1）同学们对一张矩形纸片进行折叠，如图1，把矩形纸片ABCD翻折，使矩形顶点B的对应点G恰好落在矩形的一边CD上，折痕为EF，将纸片展平，连结BG．EF与BG相交于点H．同学们发现图形中四条线段成比例，即，请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由．
【拓展延伸】
（2）同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究，如图2，BD是平行四边形纸片ABCD的一条对角线，同学们将该平行四边形纸片翻折，使点A的对应点G，点C的对应点H都落在对角线BD上，折痕分别是BE和DF．将纸片展平，连结EG，FH，FG．同学们探究后发现，若FG∥CD，那么点G恰好是对角线BD的一个“黄金分割点”，即BG2＝BD•GD．请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由．
【分析】（1）作EM⊥BC于点M，证△EMF∽△BCG即可得证；
（2）利用平行线分线段比例，然后进行等线段转化即可得证．
【解答】解：（1）正确，理由如下，
作EM⊥BC于点M，
∵EF⊥BG，
∴∠BHF＝90°，
∴∠FBH+∠BFH＝90°．
∵∠EMF＝90°，
∴∠MEF+∠BFH＝90°
∴∠FBH＝∠MEF，
又∵∠EMF＝∠C＝90°，
∴△EMF∽△BCG．
．
∵ABCD是矩形，EM⊥BC，
∴四边形ABME是矩形．
∴AB＝EM．
∴．
（2）同学们的发现说法正确，理由如下，
∵CD∥FG，
∴，∠CDF＝∠DFG，
由折叠知∠CDF＝∠BDF，
∴∠DFG＝∠BDF．
∴GD＝GF．
∴，
由平行四边形及折叠知AB＝BG，AB＝CD，
∴，
∴BG2＝BD•GD
即点G为BD的一个黄金分割点．
【点评】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、折叠的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．
24．（13分）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，点D，E分别在AB，CB上，DB＝EB，连结AE，CD，取AE中点F，连结BF．
（1）求证：CD＝2BF，CD⊥BF；
（2）将△DBE绕点B顺时针旋转到图2的位置．
①请直接写出BF与CD的位置关系： BF⊥CD ；
②求证：CD＝2BF．
【分析】（1）证明△ABE≌△CBD（SAS）得出∠FAB＝∠BCD，再根据直角三角形斜边上得中线等于斜边的一半得出，再利用等角转化即可求证；
（2）①这一问主要是猜想，还需要利用第二问的思路去证明，先证△AGB≌△BDC得到∠ABG＝∠BCD＝∠BAN，再利用8字型得到∠ABC＝∠ANC＝90°，即可得证；②利用倍长中线证△AGF≌△EBF（SAS），再证△AGB≌△BDC（SAS），即可得证．
【解答】（1）证明：在△ABE和△CBD中，
∵AB＝BC，∠ABE＝∠CBD，BE＝BD，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD，∠FAB＝∠BCD．
∵F是Rt△ABE斜边AE的中点，
∴AE＝2BF，
∴CD＝2BF，
∵，
∴∠FAB＝∠FBA．
∴∠FBA＝∠BCD，
∵∠FBA+∠FBC＝90°，
∴∠FBC+∠BCD＝90°．
∴BF⊥CD；
（2）①BF⊥CD；
理由如下：延长BF到点G，使FG＝BF，连结AG．延长BE到M，使BE＝BM，连接AM并延长交CD于点N．
证△AGB≌△BDC（具体证法过程跟②一样）．
∴∠ABG＝∠BCD，
∵F是AE中点，B是EM中点，
∴BF是△ABM中位线，
∴BF∥AN，
∴∠ABG＝∠BAN＝∠BCD，
∴∠ABC＝∠ANC＝90°，
∴AN⊥CD，
∵BF∥AN，
∴BF⊥CD．
故答案为：BF⊥CD；
②证明：延长BF到点G，使FG＝BF，连结AG．
∵AF＝EF，FG＝BF，∠AFG＝∠EFB，
∴△AGF≌△EBF（SAS），
∴∠FAG＝∠FEB，AG＝BE．
∴AG∥BE．
∴∠GAB+∠ABE＝180°，
∵∠ABC＝∠EBD＝90°，
∴∠ABE+∠DBC＝180°，
∴∠GAB＝∠DBC．
∵BE＝BD，
∴AG＝BD．
在△AGB和△BDC中，
∵AG＝BD，∠GAB＝∠DBC，AB＝CB，
∴△AGB≌△BDC（SAS），
∴CD＝BG．
∵BG＝2BF，
∴CD＝2BF，
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、平行线的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识和添加合适的辅助线是解题关键．
25．（13分）如图，抛物线的图象经过点D（1，﹣1），与x轴交于点A，点B．
（1）求抛物线C1的表达式；
（2）将抛物线C1向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C2，求抛物线C2的表达式，并判断点D是否在抛物线C2上；
（3）在x轴上方的抛物线C2上，是否存在点P，使△PBD是等腰直角三角形．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点D的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）由题意得：C2：y＝（x﹣1）2+（x﹣1）﹣4+3＝（x﹣）2﹣，当x＝1时，y＝（x﹣）2﹣＝（1﹣）2﹣＝﹣1，即可求解；
（3）当∠BAP为直角时，证明△DGB≌△EHD（AAS），求出点E（2，2），当x＝2时，y＝（x﹣）2﹣＝（2﹣）2﹣＝2，即点E在抛物线C2上，即点P即为点E（2，2）；当∠DBP为直角时，同理可解；当∠HPD为直角时，如图3，同理可得点E（0，1），即可求解．
【解答】解：（1）将点D的坐标代入抛物线表达式得：﹣1＝a+﹣4，
解得：a＝，
则抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣4；
（2）由题意得：C2：y＝（x﹣1）2+（x﹣1）﹣4+3＝（x﹣）2﹣，
当x＝1时，y＝（x﹣）2﹣＝（1﹣）2﹣＝﹣1，
故点D在抛物线C2上；
（3）存在，理由：
当∠BAP为直角时，
如图1，过点D作DE⊥BD且DE＝BE，则△BDE为等腰直角三角形，
∵∠BDG+∠EDH＝90°，∠EDH+∠DEH＝90°，
∴∠BDG＝∠DEH，
∵∠DGB＝∠EHD＝90°，
∴△DGB≌△EHD（AAS），
则DH＝BG＝1，EH＝GD＝1+2＝3，
则点E（2，2），
当x＝2时，y＝（x﹣）2﹣＝（2﹣）2﹣＝2，
即点E在抛物线C2上，
即点P即为点E（2，2）；
当∠DBP为直角时，如图2，
同理可得：△BGE≌△DHB（AAS），
则DH＝3＝BG，BH＝1＝GE，
则点E（﹣1，3），
当x＝﹣1时，y＝（x﹣）2﹣＝（﹣1﹣）2﹣＝3，
即点E在抛物线C2上，
即点P即为点E（﹣1，3）；
当∠HPD为直角时，如图3，
设点E（x，y），
同理可得：△EHB≌△DGE（AAS），
则EH＝x+2＝GD＝y+1且BH＝y＝GE＝1﹣x，
解得：x＝0且y＝1，即点E（0，1），
当x＝0时，y＝（x﹣）2﹣＝（0﹣）2﹣≠1，
即点E不在抛物线C2上；
综上，点P的坐标为：（2，2）或（﹣1，3）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/6 20:40:03；用户：陈莉；邮箱：badywgy52@xyh.cm；学号：39221433统计量
供应商
平均数
中位数
众数
甲
80
80
b
乙
m
a
76
A
B
D
A
（A，A）
（A，B）
（A，D）
B
（B，A）
（B，B）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，D）
统计量
供应商
平均数
中位数
众数
甲
80
80
b
乙
m
a
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