2024天津中考数学二轮重难题型专题训练 题型七 第24题平面直角坐标系下的图形变化 (含答案)

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典例精讲
例 1 在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O(0，0)，点A(5，0)，点B(0，3)．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F.
(Ⅰ)如图①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；
例1题图①
【思维教练】利用勾股定理可以求得CD，进而得到BD，则可求得点D的横坐标，而点D落在BC边上，可求得点D的纵坐标，进而得到点D的坐标
(Ⅱ)如图②，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H.
①求证：△ADB≌△AOB;
【思维教练】当点D落在线段BE上时，可得△AOB和△ADB均为直角三角形，进而可得AD＝AO，AB＝AB，利用HL即可证得Rt△ADB≌Rt△AOB
例1题图②
②求点H的坐标；
【思维教练】由①得∠BAO＝∠BAD，而由矩形性质得∠CBA＝∠OAB，进而可得∠BAD＝∠CBA，则AH＝BH，在Rt△AHC中，利用勾股定理列方程即可求出AH的长度，则可得到BH的长度，进而得到点H的坐标
(Ⅲ)记K为矩形AOBC对角线的交点，S为△KDE的面积，求S的取值范围(直接写出结果即可)．
【思维教练】本问属于旋转过程中的点圆最值问题，如图，点D在以A为圆心，OA长为半径的圆上，当点D在线段AB上时，△KDE的面积最小；当点D在线段BA的延长线上时，△KDE的面积最大
针对演练
1.在平面直角坐标系中，O为原点，点A(4，0)，点B(0，3)，把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点为A′，O′.记旋转角为α.
(Ⅰ)如图①，若α＝90°，求AA′的长；
(Ⅱ)如图②，若α＝120°，求点O′的坐标；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，边OA上的一点P旋转后的对应点为P′，当O′P＋BP′取得最小值时，求点P′的坐标(直接写出结果即可)．
第1题图

2. 在平面直角坐标系中，有正方形OBCD和正方形OEFG, E(2eq \r(2)，0)，B(0，2)．
(Ⅰ)如图①，求BE的长；
(Ⅱ)将正方形OBCD绕点O逆时针旋转，得正方形 OB′C′D′.
①如图②，当点B′恰好落在线段D′G上时，求B′E的长；
②将正方形OB′C′D′绕点O继续逆时针旋转，线段D′G与线段B′E的交点为H，求△GHE与△B′HD′面积之和的最大值，并求出此时点H的坐标(直接写出结果)．

图① 图②
第2题图
3. 如图①，△ABC是边长为2eq \r(3)的等边三角形，点E为BC中点，连接AE并延长与x轴交于点D，已知点B(0，2eq \r(3)) .
(Ⅰ)求点D的坐标；
(Ⅱ)如图②，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，点 B，C的对应点分别为点B′，C′，D′为D关于y轴的对称点．
①连接D′B′，C′D，证明：D′B′＝C′D.
②连接B′D，点F为B′D的中点，连接D′F，在△ABC绕点A逆时针旋转过程中，当线段D′F最大时，请直接写出△D′OF的面积．
第3题图
4. 在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A, C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为(2 , 2eq \r(3)) ，将矩形OABC绕点A顺时针旋转α，得到矩形O1AB1C1，点O，B，C的对应点分别为O1，B1，C1.
(Ⅰ)如图①，当α＝45°时，O1C1与AB相交于点E，求点E的坐标；
(Ⅱ)如图②，当点O1落在对角线OB上时，连接BC1，四边形OAC1B是何特殊的四边形？并说明理由；
(Ⅲ)连接BC1，当BC1取得最小值和最大值时，分别求出点B1的坐标(直接写出结果即可)．
第4题图
类型二 折叠问题
满 分 技 法
具体内容详见本书 微专题 图形折叠问题．
典例精讲
例 2 将一个直角三角形纸片OAB放置在平面直角坐标系中，点O(0，0)，点A(2，0)，点B在第一象限，∠OAB＝90°，∠B＝30°，点P在边OB上(点P不与点O，B重合)．
(Ⅰ)如图①，当OP＝1时，求点P的坐标；
【思维教练】已知OP，要求点P的坐标，需过点P作PH⊥x轴于点H，构造Rt△OPH，再解直角三角形即可求解
例2题图①
(Ⅱ)折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且OQ＝OP，点O的对应点为O′，设OP＝t.
① 如图②，若折叠后△O′PQ与△OAB重叠部分为四边形，O′P，O′Q分别与边AB相交于点C，D，试用含有t的式子表示O′D的长，并直接写出t的取值范围；
【思维教练】要求O′D关于t的函数关系式，观察图形可用O′Q－QD求解，已知OQ＝OP，可得四边形OQO′P为菱形，进而可得QO′，QA关于t的函数关系式，再在Rt△QAD中利用直角三角形的边角关系即可求解
例2题图②
② 若折叠后△O′PQ与△OAB重叠部分的面积为S，当1≤t≤3时，求S的取值范围(直接写出结果即可)．
【思维教练】要求当1≤t≤3时S的取值范围，需先分段确定S关于t的函数关系式，再利用函数性质求解

针对演练
1. 将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中，点A(eq \r(3)，0)，点B(0，1)，点O(0，0)．P是边AB上的一点(点P不与点A，B重合)，沿着OP折叠该纸片，得点A的对应点A′.
(Ⅰ)如图①，当点A′在第一象限，且满足A′B⊥OB时，求点A′的坐标；
(Ⅱ)如图②，当P为AB中点时，求A′B的长；
(Ⅲ)当∠BPA′＝30°时，求点P的坐标(直接写出结果即可)．

图① 图②
第1题图
2. 将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A(eq \r(3)，0)，点B(0，1)，点O(0，0)．过边OA上的动点M(点M不与点O，A重合)作MN⊥AB于点N，沿着MN折叠该纸片，得顶点A的对应点A′，设OM＝m，折叠后的△A′MN与四边形OMNB重叠部分的面积为S.
(Ⅰ)如图①，当点A′与顶点B重合时，求点M的坐标；
(Ⅱ)如图②，当点A′落在第二象限时，A′M与OB相交于点C，试用含m的式子表示S；
(Ⅲ)当S＝eq \f(\r(3),24)时，求点M的坐标(直接写出结果即可)．
第2题图
3. 将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，点B坐标为(4，10)．
(Ⅰ)如图①，将矩形纸片OABC折叠，使点B落在y轴上的点D处，折痕为线段AE，求点D坐标；
(Ⅱ)如图②，点E，F分别在OC，AB边上，将矩形纸片OABC沿线段EF折叠，使得点B与D(0，2)重合．求点C的对应点G的坐标；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，若点P是坐标系内任意一点，点Q在y轴上，使以点D、F、P、Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出满足条件的点P的坐标．
第3题图
4. 将一张矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O(0，0)，点A(0，6)，点C(8，0)．点P是边OC上的一个动点，将△OAP沿AP折叠，得点O的对应点为点Q.
(Ⅰ)如图①，当点Q恰好落在AC上时，求点P的坐标；
(Ⅱ)如图②，直线AQ交BC于点M.
①当QM＝CM时，求点P的坐标；
②当BQ的长最小时，求四边形PCMQ的面积(直接写出结果即可)．
第4题图
类型三 平移问题
典例精讲
例 3 在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA＝90°，BO＝BA，顶点A(4，0)，点B在第一象限，矩形OCDE的顶点E(－eq \f(7,2)，0)，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线DC经过点B.
【思维教练】要求点B的坐标，由△OAB是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质和底边OA的长度，求出斜边上的高即可求解 (Ⅰ)如图①，求点B的坐标；
例3题图①
(Ⅱ)将矩形OCDE沿x轴向右平移，得到矩形O′C′D′E′，点O，C，D，E的对应点分别为O′，C′，D′，E′.设OO′＝t，矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分的面积为S.
①如图②，当点E′在x轴正半轴上，且矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分为四边形时，D′E′与OB相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
【思维教练】要求重叠部分面积S与t的函数关系式，观察图形可知用S△OAB－S△FOE′即可求解
例3题图②
②当eq \f(5,2)≤t≤eq \f(9,2)时，求S的取值范围(直接写出结果即可)．
【思维教练】要求当eq \f(5,2)≤t≤eq \f(9,2)时S的取值范围，先分段确定S关于t的函数关系式，再利用函数的性质求解
针对演练
1. 在平面直角坐标系中，O为原点，点A(6，0)，点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝30°.矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2.
(Ⅰ)如图①，求点E的坐标；
(Ⅱ)将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C′O′D′E′，点C，O，D，E的对应点分别为C′，O′，D′，E′.设OO′＝t，矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分的面积为S.
①如图②，当矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分为五边形时，C′E′，E′D′分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当eq \r(3)≤S≤5eq \r(3)时，求t的取值范围(直接写出结果即可)．
第1题图
2. 在平面直角坐标系中，已知点A(－2，0)，点B(0，4)，点E在OB上，且∠OAE＝∠OBA.
(Ⅰ)如图①，求点E的坐标；
(Ⅱ)如图②，将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连接A′B，BE′.
①设AA′＝m，其中0