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    2024天津中考数学二轮重难题型专题训练 题型六 第23题实际应用题 (含答案)
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    2024天津中考数学二轮重难题型专题训练 题型六 第23题实际应用题 (含答案)

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    这是一份2024天津中考数学二轮重难题型专题训练 题型六 第23题实际应用题 (含答案),共23页。

    典例精讲
    例 1 已知小明的家、体育场、文化宫在同一直线上.下面的图象反映的过程是:小明早上从家跑步去体育场,在那里锻炼了一阵后又走到文化宫去看书画展览,然后散步回家.图中x表示时间(单位是min),y表示到小明离家的距离(单位是km).
    请根据相关信息,解答下列问题:
    (Ⅰ)填表:
    (Ⅱ)填空:
    ①小明在文化宫停留了________min;
    ②小明从家到体育场的速度为________km/min;
    ③小明从文化宫回家的平均速度为______km/min;
    ④当小明距家的距离为eq \f(3,5) km时,他离开家的时间为________min;
    (Ⅲ)当0≤x≤45时,请直接写出y关于x的函数解析式.
    例1题图
    【思维教练】(Ⅰ)观察图象可知,前45 min图象有三段,分别计算每一段的解析式,将对应时间代入解析式即可求解;(Ⅱ)①小明在文化宫停留的时间是45 min后小明到达文化宫后图象水平的部分;②和③根据:速度=路程÷时间,即可确定对应速度;④观察图象可知,小明距家的距离为eq \f(3,5) km有两次,分别在0~15 min之间和30~45 min之间,根据(Ⅰ)中求得的解析式,令y=eq \f(3,5)代入即可求解;(Ⅲ)在(Ⅰ)中计算的三段解析式即是0~45 min的y关于x的函数解析式.
    【自主解答】
    针对演练
    1. 甲、乙两车从A城出发前往B城,在整个行程中,甲车离开A城的距离y1 km与甲车离开A城的时间x h的对应关系如图所示,乙车比甲车晚出发eq \f(1,2)h,以60 km/h的速度匀速行驶.
    第1题图
    (Ⅰ)填空:
    ①A,B两城相距________km;
    ②当0≤x≤2时,甲车的速度为________km/h;
    ③乙车比甲车晚________h到达B城;
    ④甲车出发4 h时,距离A城________km;
    ⑤甲、乙两车在行程中相遇时,甲车离开A城的时间为________h;
    (Ⅱ)当0≤x≤eq \f(17,3)时,请直接写出y1关于x的函数解析式;
    (Ⅲ)当eq \f(7,2)≤x≤5时,两车所在位置的距离最多相差多少km?
    一艘游轮从甲地出发,途经乙地前往丙地,路线图如图①所示.当游轮到达乙地时,一艘货轮沿着同样的线路从甲地出发前往丙地.已知游轮的速度为20 km/h,离开甲地的时间记为t(单位:h),两艘轮船离甲地的路程s(单位:km)关于t的图象如图②所示(游轮在停靠前后的行驶速度不变).货轮比游轮早1.6 h到达丙地.
    第2题图
    根据相关信息,解答下列问题:
    (Ⅰ)填表:
    (Ⅱ)填空:
    ① 游轮在乙地停靠的时长为__________h;
    ② 货轮从甲地到丙地所用的时长为________h,行驶的速度为________km/h;
    ③ 游轮从乙地出发时,两艘轮船相距的路程为__________km.
    (Ⅲ)当0≤t≤24时,请直接写出游轮离甲地的路程s关于t的函数解析式.
    类型二 最优方案选取
    典例精讲
    例 2 新冠肺炎疫情席卷而来,为了员工的健康安全,某公司欲购进一批口罩,在甲药店不管一次购买多少包,每包价格为70元a,在乙药店购买同样的口罩,一次购买数量不超过30包时,每包售价为80元,一次购买数量超过30包时,超过部分价格打八折b.设在同一家药店一次购买这种口罩的包数为x(x为非负整数).
    (Ⅰ)根据题意填写表格:
    (Ⅱ)设在甲药店购买这种口罩的金额为y1元,在乙药店购买这种口罩的金额为y2元,分别写出y1、y2关于x的函数关系式;
    (Ⅲ)根据题意填空:
    ①若该公司在甲药店和乙药店一次购买口罩的数量相同,且花费相同c,则该公司在同一家药店一次购买口罩的数量为________包;
    ②若该公司在同一家药店一次购买口罩的数量为120包d,则该公司在甲、乙两家药店中的________药店购买花费少;
    ③若该公司在同一家药店一次购买口罩花费了4200元e,则该公司在甲、乙两家药店中的________药店购买数量多.
    【分层分析】(Ⅱ)由题干信息a和b可知,在甲药店购买时,y1关于x的函数关系式为________;在乙药店购买时,不超过30包时,y2关于x的函数关系式为________;超过30包时,y2关于x的函数关系式为________;
    (Ⅲ)①由题干信息c可得,当x>30,且y1=y2时,可得方程________;②由题干信息d可得,当x=120时,y1=________,y2=________;③由题干信息e可得,y1=________=4200,y2=________=4200.
    【自主解答】
    针对演练
    1. 同一种品牌的空调在甲、乙两个电器店的标价均为每台3000元.现甲、乙两个电器店优惠促销,甲电器店的优惠方案:如果一次购买台数不超过5台时,价格为每台3000元,如果一次购买台数超过5台时,超过部分按六折销售,乙电器的优惠方案:全部按八折销售.
    设某校在同一家电器店一次购买空调的数量为x (x为正整数).
    (Ⅰ)根据题意,填写下表:
    (Ⅱ)设在甲电器店购买收费y1元,在乙电器店购买收费y2元,分别写出y1,y2关于x的函数关系式;
    (Ⅲ)当x>6时,该校在哪家电器店购买更合算?并说明理由.
    2.梨木台自然风景区是国家4A级景区,地处天津最北端,被称为“天津北极”.小明一家计划在“十一”国庆假期租用共享汽车去梨木台自然风景区游玩,现有甲、乙两家共享汽车公司分别提供了两种租车方案,具体租车费用如下:
    甲公司:收取固定租金120元,此外还需收取租车费,按每小时10元收取;
    乙公司:无固定租金,直接以租车时间计费,每小时租金为30元;
    设小明一家出去游玩租车用时为x小时(x>0).
    (Ⅰ)根据题意填表:
    (Ⅱ)设在甲、乙公司租车租金分别为y1,y2元,分别写出y1,y2关于x的函数解析式;
    (Ⅲ)根据题意填空:
    ①若小明一家在甲、乙两公司的租车租金相同,则租车时间为________小时;
    ②若小明一家计划租车约7小时,则在甲、乙两公司中________公司租车租金少;
    ③若小明一家计划租车费用为270元,则在甲、乙两公司中________公司租车时间少.
    3. 4月23日是“世界读书日”.甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动.在甲书店,所有书籍按标价总额的8折出售,在乙书店,一次购书的标价总额不超过100元的按标价总额计费,超过100元后的部分打6折.
    设在同一家书店一次购书的标价总额为x(单位:元,x>0).
    (Ⅰ)根据题意,填写下表:
    (Ⅱ)设在甲书店应支付金额y1元,在乙书店应支付金额y2元,分别写出y1,y2关于x的函数关系式;
    (Ⅲ)根据题意填空:
    ①若在甲书店和在乙书店一次购书的标价总额相同,且应支付的金额相同,则在同一个书店一次购书的标价总额________元;
    ②若在同一个书店一次购书应支付金额为280元,则在甲、乙两个书店中的________书店购书的标价总额多;
    ③若在同一个书店一次购书的标价总额120元,则在甲、乙两个书店中的________书店购书应支付的金额少.
    4.某公园计划打造银杏园,向园林公司购买一批银杏树苗.甲、乙两个园林公司销售同等规格的银杏苗.在甲园林公司,不论一次购买数量是多少,价格均为8元/棵,在乙园林公司,当购买棵数不超过50棵时,按照10元/棵付款,当购买棵数超过50棵时,超过的部分树苗每棵按7折付款.设公园负责人小李在同一个园林公司一次购买的银杏苗的数量为x棵(x为正整数).
    (Ⅰ)根据题意填表:
    (Ⅱ)设在甲园林公司应付款y1元,在乙园林公司应付款y2元,分别求y1,y2关于x的函数解析式;
    (Ⅲ)根据题意填空:
    ①若小李在甲园林公司和在乙园林公司一次购买银杏苗的数量相同,且付款金额也相同,则小李在同一个园林公司一次购买的银杏苗的数量为________棵;
    ②若小李在同一个园林公司一次购买银杏苗的数量为140 棵时 ,则小李在甲、乙两个园林公司中的________园林公司付款的金额少;
    ③若小李在同一个园林公司一次购买银杏苗付款金额为2040元,则小李在甲、乙两个园林公司中的________园林公司购买的数量多.
    类型三 最优方案设计
    典例精讲
    例 3 某水果经销商计划租用A,B两种货车共16辆a,将680吨水果运往某批发市场b.已知每辆A种货车最多可装运50吨水果,租车费用为800元c,每辆B种货车最多可装运40吨水果,租车费用为720元d.设租用A种货车x辆(x为正整数).
    (Ⅰ)根据题意填表:
    (Ⅱ)当租车总费用为12240元时,求此时的租车方案;
    (Ⅲ)给出完成此项运送任务最节省费用的租车方案,并说明理由.
    【分层分析】(Ⅱ)由租车总费用=A种车辆总费用+B种车辆总费用,结合题干a,b,c,d可知,当租用A种货车x辆,B种货车数量为______辆,A种货车租车总费用=______,B种货车租车总费用=________,已知总费用为12240元,可列关于x的方程为12240=________,解得x即可确定此时的租车方案;
    (Ⅲ)由题干a可知,要完成此次运输任务,两车运输的水果不能少于680吨,结合题干b,c,d可列不等式为________,解得________,设租车的总费用为y元,结合题干a,b,c,d可列y关于x的函数解析式为________,根据函数解析式的增减性,可知当x=________时y最小.
    【自主解答】
    针对演练
    1. 某服装公司有A型童装80件,B型童装120件,分配给下属的“万达”和“万象城”两个专卖店销售,其中140件给万达店,60件给万象城店,且都能卖完,两专卖店销售这两种童装每件的利润(元)如表:
    (Ⅰ)设分配给万达店A型产品x件(20≤x≤80),请在下表中用含x的代数式填写:
    若记这家服装公司卖出这200件产品的总利润为y(元),求y关于x的函数关系;
    (Ⅱ)现要求总利润不低于18140元,请说明有多少种不同分配方案,并写出各种分配方案.
    2. A市和B市分别有库存某种机器12台和6台,现决定支援C市10台,D市8台,已知从A市调运一台机器到C市、D市的运费分别为130元和200元;从B市调运一台机器到C市、D市的运费分别为100元和150元.
    (Ⅰ)填空:
    若从A市运往C市机器5台,
    ①从A市运往D市机器________台;
    ②从B市运往C市机器________台;
    ③从B市运往D市机器________台.
    (Ⅱ)填空:
    设从A市运往C市机器x台,总运费为y元.
    ①从A市运往D市机器________台;
    ②从B市运往C市机器________台;
    ③从B市运往D市机器________台;
    ④总运费y关于x的函数关系式为y=______;
    ⑤若总运费不超过2650元,共有________种不同的调动方案.
    (Ⅲ)求使总运费最低的调运方案,最低总运费是多少?
    3. 某工厂打算新建造10条生产线用于生产某种新产品,经过考察后有甲、乙两种生产线可供选择,已知每条甲种生产线建造费用为100万元,每天可生产500件产品,每条乙种生产线建造费用为30万元,每天可生产100件产品,设工厂建造甲种生产线x条(x为正整数).
    (Ⅰ)根据题意填表:
    (Ⅱ)当x为何值时,该工厂新建造生产线的总费用为790万元;
    (Ⅲ)若该工厂计划使这些生产线每天至少生产3400个产品,则该工厂应该如何选择建造生产线的方式,使得建造总费用最低.
    4. 某校计划租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动,每辆汽车上至少要有1名教师,租车费用不超过2300元.
    现有甲、乙两种大客车,它们的载客量和租金如下:
    为给出最节省费用的租车方案,请先帮小明完成分析,再解决问题.
    小明的分析:
    (Ⅰ)可以先考虑共需租多少辆车,从乘车人数的角度出发,要注意到以下要求:
    ①要保证240名师生都有车坐;
    ②要使每辆汽车上至少有1名教师.
    根据①可知,汽车总数不能少于________,根据②可知,汽车总数不能大于________,综合起来可知汽车总数为________;
    (Ⅱ)设租用甲种客车x辆(x为非负整数),试填写下表:
    (Ⅲ)请给出租车费用最节省的方案.
    类型四 最值问题
    典例精讲
    例 4 小王计划批发“山东大樱桃”和“泰国榴莲”两种水果共120斤a,樱桃和榴莲的批发价分别为32元/斤和40元/斤b.设购买了樱桃x斤(x≥0).
    (Ⅰ)若小王批发这两种水果正好花费了4400元,那么小王分别购买了多少斤樱桃和榴莲?填写下表,并列方程求解;
    (Ⅱ)设小王购买两种水果的总花费为y元,试写出y与x之间的函数表达式;
    (Ⅲ)若要求所批发的榴莲的斤数不少于樱桃斤数的2倍c,那么购买樱桃的数量为多少斤时,可使小王的总花费最少?这个最少花费是多少?
    【分层分析】(Ⅰ)由题干信息a可知,当购买樱桃x斤时,则购买榴莲________斤,由应付钱数=批发量×批发价,结合题干信息b可知,小王此时购买樱桃应付的钱数为______,购买榴莲应付的钱数为______;
    (Ⅱ)由总花费=购买樱桃应付的钱+购买榴莲应付的钱,结合(Ⅰ)知,y关于x的函数表达式为________________________________________________________________________;
    (Ⅲ)由题干信息a,c可列不等式为____________,结合(Ⅱ)知,当x=________时,小王的总花费最少,最少花费为________元.
    【自主解答】
    针对演练
    1. 某超市3月份购进甲、乙两种商品共50件,甲商品进价为100元/件,售价为120元/件,乙商品进价为110元/件,售价为150元/件.
    设超市购进甲商品x件.
    (Ⅰ)根据题意填表:
    (Ⅱ)若销售完这批商品后超市共获利1700元,求甲、乙两种商品各购进了多少件?
    (Ⅲ)若该超市计划4月份再次购进甲、乙两种商品共50件,其中乙商品数不超过甲商品数的2倍,求销售完这50件商品超市可获得的最大利润是多少?
    2. 小明和小华住在甲地,两人计划周末一起出去到乙地游玩.甲,乙两地相距60 km,两人以不同的出行方式前往乙地,小明乘坐汽车以60 km/h的速度前往乙地,小华则骑电动车以30 km/h的速度从甲地出发前往乙地,小明到达乙地后在等小华半小时后,临时有事以40 km/h的速度返回甲地,小华则继续前往乙地独自游玩,设行驶时间为x h.
    (Ⅰ)根据题意填表:
    (Ⅱ)当小明和小华两人相遇时,求行驶时间;
    (Ⅲ)求小明和小华在相遇前的最大距离为多少km?
    参考答案
    类型一 行程问题
    典例精讲
    例 1 解:(Ⅰ)eq \f(2,3),1,0.5;
    【解法提示】设小明离家的距离y与小明离开家的时间x的关系式为y=kx(k≠0,0≤x≤15),将(15,1)代入y=kx得,15k=1,解得k=eq \f(1,15),∴y=eq \f(1,15)x(0≤x≤15).当x=10时,y=eq \f(1,15)×10=eq \f(2,3);当x=15时,y=eq \f(1,15)×15=1;从图中可知,当小明离开家的时间为45 min时,小明离家的距离为eq \f(1,2)km.
    (Ⅱ)①25;②eq \f(1,15);③eq \f(1,60);④9或42;
    【解法提示】①由图可知,小明离家时间为45 min时,到达文化馆,小明离家时间为70 min时,离开文化馆,故小明在文化馆停留70-45=25 min;②由图可知,小明离家时间为15 min时,到距家1 km的体育馆,则速度=eq \f(1,15)km/min;③由图可知,小明离家时间为70 min时,离开距家eq \f(1,2)km的文化馆,小明离家时间为100 min时,回到家中,则速度为:eq \f(0.5,100-70)=eq \f(1,60)km/min;④由图可知,小明距家的距离有两次为0.6 km,分别在0 min~15 min之间和30 min~45 min之间,满足y=eq \f(1,15)x(0≤x≤15),当y=eq \f(3,5)时,即eq \f(1,15)x=eq \f(3,5),∴x=9,则小明第一次距家的距离为eq \f(3,5)km时,他离开家的时间为9 min;设30 min~45 min时小明离家的距离y与时间x的函数关系式为:y=kx+b(k≠0),将(30,1),(45,eq \f(1,2))代入,得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(30k+b=1,45k+b=\f(1,2))),解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k=-\f(1,30),b=2)),∴y=-eq \f(1,30)x+2(30≤x≤45),则当y=eq \f(3,5)时,即-eq \f(1,30)x+2=eq \f(3,5),解得x=42.则小明第二次距家的距离为eq \f(3,5)km时,他离开家的时间为42 min.
    (Ⅲ)y=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,15)x(0≤x≤15),1(15【解法提示】由图可知,在15 min到30 min之间小明离家的距离不变为1 km,由(Ⅰ)(Ⅱ)知y=eq \f(1,15)x(0≤x≤15),y=-eq \f(1,30)x+2(30≤x≤45),∴当0≤x≤45时,
    y=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,15)x(0≤x≤15),1(15针对演练
    1. 解:(Ⅰ)①360;②60;③eq \f(5,6);④eq \f(680,3);⑤eq \f(5,2)或eq \f(19,6);
    【解法提示】①由图知,A,B两城相距360 km;②当0≤x≤2时,甲车速度=120÷2=60 km/h;③乙车行驶时间:360÷60=6 h,∵乙车比甲车晚出发eq \f(1,2)h,∴乙车比甲车晚到6-eq \f(17,3)+eq \f(1,2)=eq \f(5,6)h;④甲车出发4 h距A城:120+(4-eq \f(8,3))×(360-120)÷3=eq \f(680,3);⑤设甲、乙相遇时用时为th,当0≤x≤eq \f(8,3)时,∵0≤x≤2时甲、乙速度相同,∴甲、乙在2≤x≤eq \f(8,3)之间相遇,则120=(t-eq \f(1,2))60,解得t=eq \f(5,2);当eq \f(8,3)≤x≤eq \f(17,3)时,120+(t-eq \f(8,3))80=(t-eq \f(1,2))60,解得t=eq \f(19,6),综上所述,当eq \f(5,2)h或eq \f(19,6)h时,甲、乙相遇.
    (Ⅱ)y1=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(60x (0≤x≤2),120 (2【解法提示】当0≤x≤2时,设解析式为y1=ax,将(2,120)代入得120=2x,解得x=60,∴y1=60x;当2∴y1=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(60x (0≤x≤2),120 (2(Ⅲ)当eq \f(7,2)≤x≤5时,由题意可知,甲车在乙车前面,设两车所在位置的距离相差ykm,
    则y=(80x-eq \f(280,3))-(60x-30)=20x-eq \f(190,3),
    ∵20>0,
    ∴y随x的增大而增大,
    ∴当x=5时,y取得最大值eq \f(110,3),
    答:两车所在位置的距离最多相差eq \f(110,3)km.
    2. 解:(Ⅰ)280,360,420;
    【解法提示】由图②知,当t=14时,s=280,∵游轮停靠前后速度均为20 km/h,∴游轮一共行驶的时间t1=420÷20=21 h,∴游轮的停靠时间=24-21=3 h,∴当t=21时,游轮行驶时间为21-3=18 h,此时s=18×20=360 (km).由图知当t=24时,s=420 (km).
    (Ⅱ)①3;②8.4,50;③130;
    【解法提示】①由(Ⅰ)得停靠时间为3 h;②货轮从甲到丙地所用的时间=24-1.6-14=8.4 h,∴货轮的速度=420÷8.4=50 km/h;③游轮从乙地出发的时间t=17 h,货轮距离甲地=50×(17-14)=150 (km),∴两船相距=280-150=130 (km).
    (Ⅲ)s=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(20t(0≤t≤14),280(14【解法提示】当0≤t≤14时,设s1=k1t1(k1≠0),将点(14,280)代入解得k1=20,即s1=20t1;当14s=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(20t(0≤t≤14),280(14类型二 最优方案选取
    典例精讲
    例 2 【分层分析】(Ⅱ)y1=70x,y2=80x,y2=64x+480;
    (Ⅲ)70x=64x+480,8400,8160,70x,64x+480.
    解:(Ⅰ)1400;7000;1600;6880;
    【解法提示】在甲药店不管一次购买多少包,每包价格为70元,买20包时,在甲药店付款金额为70×20=1400(元),买100包,在甲药店付款金额为100×70=7000(元);在乙药店,一次购数量不超过30包时,每包售价为80元,买20包时,在乙药店付款金额为80×20=1600(元),买100包,在乙药店付款金额为80×30+(100-30)×80×0.8=6880(元).
    (Ⅱ)y1=70x(x>0);
    y2=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(80x(030)));
    【解法提示】设在同一家药店一次购买这种口罩的包数为x(x为非负整数),在甲药店购买这种口罩的金额为y1=70x,在乙药店购买这种口罩的金额为:当x≤30时,y2=80x(030时,y2=80×30+(x-30)×80×0.8=64x+480,综上所述,y2=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(80x(030))).
    (Ⅲ)①80;②乙;③甲.
    【解法提示】①依题意得,y1=y2,∴70x=80x,该方程无解;或70x=64x+480,解得x=80;②若该公司在同一家药店一次购买口罩的数量为120包,在甲药店购买这种口罩的金额为y1=70x=70×120=8400(元),∵120>30,∴在乙药店购买这种口罩的金额为y2=64x+480=64×120+480=8160(元).∵8400>8160,∴在乙药店购买花费少;③把y=4200代入y1=70x,得70x=4200,∴x=60;∵80×30=2400,2400<4200,∴x>30,把y=4200代入y2=64x+480=4200,∴x=58.125≈58,∵60>58,∴在甲药店购买数量多.
    针对演练
    1. 解:(Ⅰ)16800,33000,14400,
    36000;
    【解法提示】一次购买6台,甲店收费为:5×3000+(6-5)×3000×0.6=16800(元),乙店收费为:6×3000×0.8=14400(元),一次购买15台,甲店收费为:5×3000+(15-5)×3000×0.6=33000(元),乙店收费为:15×3000×0.8=36000(元).
    (Ⅱ)当0当x>5时,y1=3000×5+3000×0.6(x-5)=1800x+6000,
    ∴y1=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3000x(05且x为正,整数))),
    y2=3000×0.8x=2400x(x>0且x为正整数);
    (Ⅲ)设y1与y2的总费用的差为y元,
    则y=1800x+6000-2400x=-600x+6000.
    当y=0时,即-600x+6000=0,解得x=10.
    ∴当x=10时,选择甲乙两家电器店购买一样合算;
    ∵-600<0,
    ∴y随x的增大而减小.
    ∵x>6,
    ∴当6y2,在乙电器店购买更合算;
    当x>10时,y12. 解:(Ⅰ)160,200,120,240;
    【解法提示】根据题意得,甲公司租车4小时=120+4×10=160(元),甲公司租车8小时=120+8×10=200(元);乙公司租车4小时=4×30=120(元),乙公司租车8小时=8×30=240(元).
    (Ⅱ)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y1=120+10x(x>0),y2=30x(x>0)));
    【解法提示】甲公司租车租金y1与租车时间x的关系式为:y1=120+10x(x>0),乙公司租车租金y2与租车时间x的关系式为:y2=30x(x>0).
    (Ⅲ)①6;②甲;③乙.
    【解法提示】①当租金相同时,y1=y2,∴120+10x=30x,解得x=6,∴租车租金相同时,租车时间为6小时;②当租车时间为7小时时,甲公司租车租金y1=120+10×7=190(元),乙公司租车租金:y2=30×7=210(元),∵190<210,∴甲公司租车租金少;③当租车租金为270元时,甲公司租车时长:x=(270-120)÷10=15小时,乙公司租车时长:x=270÷30=9小时,∵15>9,∴乙公司租车时间少.
    3. 解:(Ⅰ)40,240,50,220;
    【解法提示】一次性购书的标价总额为50元时,在甲书店应支付:50×0.8=40(元),在乙书店应支付:50(元),一次性购书的标价总额为300元时,在甲书店应支付:300×0.8=240(元),在乙书店应支付:100+(300-100)×0.6=220(元).
    (Ⅱ)y1=0.8x(x>0),
    当0<x≤100时,y2=x,
    当x>100时,y2=0.6(x-100)+100=0.6x+40,
    ∴y2=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x(0<x≤100),0.6x+40(x>100)));
    (Ⅲ)①200;②乙;③甲.
    【解法提示】①依题意,y1=y2,即0.8x=0.6x+40,解得x=200,∴标价总额为200元时,应支付的金额相同;②甲书店标价总额为:280÷0.8=350(元),乙书店的标价总额为:280=0.6x+40,即x=400(元),∵350<400,∴在乙书店购书标价总额多;③在甲书店应支付:120×0.8=96(元),在乙书店应支付:120×0.6+40=112(元),∵112>96,∴在甲书店购书应支付金额少.
    4. 解:(Ⅰ)320,2400,400,2250;
    【解法提示】当一次购买40棵时,应付给甲园林公司的金额为40×8=320(元),应付给乙园林公司金额为40×10=400(元);当一次购买300棵时,应付给甲园林公司的金额为300×8=2400(元),应付给乙园林公司的金额为50×10+10×(300-50)×0.7=2250(元).
    (Ⅱ)y1=8x (x≥0),
    当0<x≤50时,y2=10x,
    当x>50时,y2=50×10+(x-50)×10×0.7=7x+150,
    ∴y2=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(10x(0≤x≤50),7x+150(x>50)));
    (Ⅲ)①150;②甲;③乙.
    【解法提示】①令8x=7x+150,解得x=150;②140×8=1120(元),7×140+150=1130(元),故在甲园林公司付款金额少;③2040÷8=255,令7x+150=2040,解得x=270,则在乙园林公司购买的数量多.
    类型三 最优方案设计
    典例精讲
    例 3 【分层分析】(Ⅱ)16-x,800x,720(16-x),800x+720(16-x);
    (Ⅲ)50x+40(16-x)≥680,x≥4,y=800x+720(16-x),4.
    解:(Ⅰ)3200,9600,5760,2880;
    (Ⅱ)由题意得800x+720(16-x)=12240,
    解得x=9,此时16-9=7,
    答:当租用A种货车9辆,B种货车7辆时,租车总费用为12240元;
    (Ⅲ)由题意得50x+40(16-x)≥680,解得x≥4.
    设租车的总费用为y元,
    由题意得y=800x+720(16-x)=80x+11520,
    ∵80>0,
    ∴y随x的增大而增大,
    ∴当x=4时,y取得最小值,
    此时16-4=12,
    答:完成此项运送任务最节省费用的租车方案为租用A种货车4辆,B种货车12辆.
    针对演练
    1. 解:(Ⅰ)140-x,80-x,x-20;
    ∵分配给万达店A型产品x件(20≤x≤80),
    ∴y=100x+80(140-x)+80(80-x)+90(x-20)=30x+15800,
    即y关于x的函数关系式是y=30x+15800(20≤x≤80);
    (Ⅱ)由题意,可得30x+15800≥18140,
    解得x≥78,
    ∵20≤x≤80,
    ∴78≤x≤80,
    ∵x是整数,
    ∴x=78,79,80.
    ∴分配方案有三种:
    方案一:给万达店A型产品78件,B型产品62件,给万象城店A型产品2件,B型产品58件;
    方案二:给万达店A型产品79件,B型产品61件,给万象城店A型产品1件,B型产品59件;
    方案三:给万达店A型产品80件,B型产品60件,给万象城店A型产品0件,B型产品60件.
    2. 解:(Ⅰ)①7;②5;③1;
    【解法提示】A市和B市分别有库存某种机器12台和6台,现支援C市10台,D市8台.若从A市运往C市机器5台,则:①从A市运往D市机器12-5=7台;②从B市运往C市机器10-5=5台;③从B市运往D市机器6-5=1台.
    (Ⅱ)①(12-x);②(10-x); ③(x-4); ④-20x+2800;⑤3;
    【解法提示】A市和B市分别有库存某种机器12台和6台,现支援C市10台,D市8台.设从A市运往C市机器x台,则:①从A市运往D市机器(12-x)台;②从B市运往C市机器(10-x)台;③从B市运往D市机器6-(10-x)=(x-4)台;④总运费y关于x的函数关系式为:y=130x+200(12-x)+100(10-x)+150(x-4).∴y=-20x+2800;⑤由题意可得:eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≥0,-20x+2800≤2650)),解得eq \f(15,2)≤x≤10.∵x须为正整数,∴x的值可取8,9,10,即共有3种方案.
    (Ⅲ)∵A市运往C市机器x台,运往D市(12-x)台,
    B市运往C市机器(10-x)台,运往D市(x-4)台,
    ∴4≤x≤10.
    从A市运往C市机器x台时,总运费为y=-20x+2800,
    ∵-20<0,
    ∴y随x的增大而减小,
    ∴当x=10时,y取得最小值,y的最小值是2600.
    答:使总运费最低的调运方案是A市运往C市10台,A市运往D市2台,B市运往C市0台,B市运往D市6台,最低总费用为2600元.
    3. 解:(Ⅰ)甲种生产线:600,100x;乙种生产线:120,300-30x;
    (Ⅱ)由题意得:100x+300-30x=790,解得x=7,
    ∴当x=7时,该工厂新建造生产线的总费用为790万元;
    (Ⅲ)设该工厂新建造生产线的总费用为y元,
    则y=100x+300-30x=70x+300,
    由题意得:500x+100×(10-x)≥3400,
    解得x≥6,
    ∵70>0,∴y随x的增大而增大,
    ∴当x=6时,y取得最小值.
    答:该工厂建造甲种生产线6条,乙种生产线4条时,建造总费用最低.
    4. 解:(Ⅰ)6,6,6;
    (Ⅱ)6-x,180-30x,-280x+1680;
    (Ⅲ)根据题意,得
    eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(45x+180-30x≥234+6,400x-280x+1680≤2300)),
    解得4≤x≤eq \f(31,6),
    设租车费用为y元,则y=400x-280x+1680=120x+1680(4≤x≤eq \f(31,6),且x为整数).
    ∵120>0,
    ∴y随x的增大而增大.
    ∴当x=4时,租车费用最少.
    答:租车费用最节省的方案是租甲种客车4辆,乙种客车2辆.
    类型四 最值问题
    典例精讲
    例 4 【分层分析】(Ⅰ)120-x,32x,4800-40x;(Ⅱ)y=-8x+4800;(Ⅲ)120-x≥2x,40,4480.
    解:(Ⅰ)32x,120-x,4800-40x;
    由题意得:32x+4800-40x=4400,
    解得x=50,
    ∴120-x=70.
    答:小王购买了50斤樱桃和70斤榴莲;
    (Ⅱ)由题意得:y=32x+4800-40x=-8x+4800,
    ∴y=-8x+4800 (0≤x≤120);
    (Ⅲ)∵120-x≥2x,
    解得x≤40,由题意知x≥0,
    ∴0≤x≤40,
    ∵-8<0,
    ∴y随x的增大而减小,
    ∴当x=40时,y取得最小值,y最小=-8×40+4800=4480元.
    答:购买樱桃的数量为40斤时,可使小王的总花费最少,最少花费是4480元.
    针对演练
    1. 解:(Ⅰ)甲商品获得的利润:400,20x;乙商品获得的利润:1200,40(50-x);
    (Ⅱ)由题意得,20x+40(50-x)=1700,
    解得x=15,
    ∴50-x=35,
    ∴甲、乙两种商品各购进了15件、35件;
    (Ⅲ)设销售完4月份购进的这50件商品超市共获得利润y元,
    根据题意得y=20x+40(50-x)=-20x+2000(0<x<50),
    ∵-20<0,∴y随x的增大而减小,
    ∵50-x≤2x,
    ∴x≥eq \f(50,3),
    ∴eq \f(50,3)≤x≤50,
    ∵x取整数,
    ∴当x=17时,y有最大值,最大值为y=-20×17+2000=1660,
    答:当甲种商品购进17件,乙种商品购进33件时,可使超市4月获得的利润最大,最大利润为1660元.
    2. 解:(Ⅰ)60,40,30,60;
    (Ⅱ)由题意知:小明从甲地前往乙地的过程中不会与小华相遇,
    小明返回途中与小华相遇,则30x=60-40(x-1.5),
    解得x=eq \f(12,7),
    答:当小明和小华两人相遇时,行驶时间为eq \f(12,7)h;
    (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当0≤x<eq \f(12,7)时,小明和小华未相遇,
    由题意得,当0≤x≤1时,小明和小华之间的距离为y=(60-30)x=30x,
    ∵30>0,
    ∴y随x的增大而增大,
    当1<x<eq \f(12,7)时,小明和小华之间的距离逐渐缩小,
    ∴当x=1时,相遇前小明和小华两人之间距离最大,最大距离为30 km,
    答:小明和小华相遇前,两人之间的最大距离为30 km.
    小明离开家的时间/min
    5
    10
    15
    30
    45
    小明离家的距离/km
    eq \f(1,3)
    1
    游轮离开甲地的时间/h
    5
    14
    16
    21
    24
    游轮离甲地的路程/km
    100
    280
    一次性购买数量/包
    20
    50
    100

    甲药店付款金额/元
    3500

    乙药店付款金额/元
    3680

    一次购买台数(台)
    2
    6
    15

    甲电器店收费(元)
    6000

    乙电器店收费(元)
    4800

    租车时间/小时
    4
    5
    8
    甲公司租车租金/元
    170
    乙公司租车租金/元
    150
    一次购书的标价总额/元
    50
    150
    300

    在甲书店应支付金额/元
    120

    在乙书店应支付金额/元
    130

    购买棵数/棵
    40
    160
    300

    甲园林应付金额/元
    1280

    乙园林应付金额/元
    1270

    租用A种货车的数量/辆
    4
    8
    12

    租用A种货车的费用/元
    6400

    租用B种货车的费用/元
    8640

    A型利润(元)
    B型利润(元)
    万达店
    100
    80
    万象城店
    80
    90
    A型分配量(件)
    B型分配量(件)
    万达店
    x
    万象城店
    甲种生产线数量/条
    3
    6

    x
    甲种生产线建造费用/万元
    300

    乙种生产线建造费用/万元
    210

    甲种客车
    乙种客车
    载客量/(人/辆)
    45
    30
    租金/(元/辆)
    400
    280
    车型


    数量/(辆)
    x
    载客人数/(人)
    45x
    费用/(元)
    400x
    品种
    批发价(元/斤)
    购买斤数(斤)
    小王应付的钱数(元)
    樱桃
    32
    x
    榴莲
    40
    购进甲商品的数量/件
    10
    20
    x
    甲商品获得的利润/元
    200
    乙商品获得的利润/元
    1600
    时间/h
    0.5
    1
    1.5
    2

    小明到甲地的距离/km
    30
    60

    小华到甲地的距离/km
    15
    45

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