2024天津中考数学二轮重难题型专题训练 题型四 第21题与圆有关的证明与计算 (含答案)

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典例精讲
例 1 已知AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，OP交⊙O于点C，连接BC.
(Ⅰ)如图①，若∠P＝20°，求∠B的度数；
(Ⅱ)如图②，过点A作弦AD⊥OP于点E，连接DC，若OE＝eq \f(1,2)CD，求∠P的度数．
例1题图
【思维教练】(Ⅰ)要求∠B的度数，可根据圆周角与圆心角的关系求∠AOP的度数，要求∠AOP的度数，由切线的性质结合∠P已知即可求解；(Ⅱ)要求∠P的度数，可根据切线的性质求∠POA的度数，要求∠POA的度数，需连接DB，OD，由垂径定理和三角形中位线的性质即可得到CD＝DB，进而得到eq \(AC,\s\up8(︵))＝eq \(CD,\s\up8(︵))＝eq \(DB,\s\up8(︵))，即可求解．
【自主解答】
针对演练
1. 已知AB是⊙O直径，CD是⊙O的弦，∠ADC＝26°.
(Ⅰ)如图①，求∠CAB的度数；
(Ⅱ)如图②，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E，求∠E的大小．
第1题图
2. 已知AD是Rt△ABC斜边BC上的中线，以AD为直径作⊙O，分别交AB于点M，交BC于另一点E.
(Ⅰ)如图①，连接AE，若AE＝AM，求∠EAD的度数；
第2题图①
(Ⅱ)如图②，过点M作⊙O的切线交BC于点N，过点D作⊙O的切线交MN于点G，若∠C＝50°，求∠DGN的度数．
第2题图②
3. 已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，过点C作⊙O的切线与BA的延长线交于点P，∠P＝38°.
(Ⅰ)如图①，若点D为eq \(AB,\s\up8(︵))的中点，求∠EDO的大小；
(Ⅱ)如图②，若DO∥AC，求∠EDO的大小．
第3题图
4. 已知在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，∠ABC＝58°.
(Ⅰ)如图①，若∠AEC ＝85°，求∠BAD和∠CDB的大小；
(Ⅱ) 如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线DF，与AB的延长线相交于点F.求∠F的大小．
第4题图
5. 已知AB为⊙O的直径，DA为⊙O的切线，切点为A，过⊙O上的点C作CD∥AB交AD于点D，连接BC，AC.
(Ⅰ)如图①，若DC为⊙O的切线，切点为C，求∠ACD和∠DAC的大小；
第5题图①
(Ⅱ)如图②，当CD为⊙O的割线且与⊙O交于点E时，连接AE.若∠EAD＝30°，求∠ACD和∠DAC的大小．
第5题图②
6. 在⊙O中，AB是直径，点C、D是AB上方的圆弧上的点，∠ADC＝20°.
(Ⅰ)如图①，若CD∥AB，求∠CAB和∠ACD的大小；
(Ⅱ)如图②，若AD平分∠CAB，过点C作⊙O的切线，与BD的延长线交于点E，求∠E的大小．
第6题图
类型二 线段问题
典例精讲
例 2 已知AB为⊙O的直径，点C，D为⊙O上的两点，AD的延长线与BC的延长线交于点P，连接CD，∠CAB＝30°.
(Ⅰ)如图①，若eq \(CB,\s\up8(︵))＝2eq \(CD,\s\up8(︵))，AB＝4，求AD的长；
(Ⅱ)如图②，过点C作⊙O的切线交AP于点M，若CD＝AD＝6，求CM的长．
例2题图
【思维教练】(Ⅰ)要求AD的长，需先构造直角三角形，连接DB，由eq \(CB,\s\up8(︵))＝2eq \(CD,\s\up8(︵))知∠CAD与∠CAB之间的关系，进而求得∠DAB的大小，再在Rt△ADB中解直角三角形即可求解；(Ⅱ)要求CM的长，需先构造直角三角形，连接OC，由直径所对的圆周角为90°可知△ACB是直角三角形，由四点共圆可知∠ADC，已知AD＝CD，可解得∠DAC和∠DCA，进而解得∠OCD，AD∥OC，由切线的性质和AD∥OC得出∠DMC＝90°，再在Rt△CDM中解直角三角形即可求解．
【自主解答】
针对演练
1. 如图①，AB是⊙O的弦，OE⊥AB，垂足为P，交eq \(AB,\s\up8(︵))于点E，且OP＝3PE，AB＝4eq \r(7).
(Ⅰ)求⊙O的半径；
(Ⅱ)如图②，过点E作⊙O的切线CD，连接OB并延长与该切线交于点D，延长OA交CD于C，求OC的长．
第1题图
2. 已知点A、C在半径为2的⊙O上，直线AB与⊙O相切，∠OAC＝30°，连接AC与OB相交于点D.
(Ⅰ)如图①，若AB＝BD，求CD的长；
(Ⅱ)如图②，OB与⊙O交于点E，连接CE，若CE∥OA，求BE的长．
第2题图
参考答案
类型一 角度问题
典例精讲
例 1 解：(Ⅰ)∵PA与⊙O相切于点A，
∴∠PAB＝90°，
∴∠P＋∠AOP＝90°.
∵∠P＝20°，
∴∠AOP＝90°－∠P＝70°，
∴∠B＝eq \f(1,2)∠AOP＝35°；
(Ⅱ)如解图，连接DB，OD，
∵AD⊥OP于点E，
∴AE＝ED，eq \(AC,\s\up8(︵))＝eq \(CD,\s\up8(︵)).
∵OA＝OB，
∴OE＝eq \f(1,2)DB.
∵OE＝eq \f(1,2)CD，
∴CD＝DB，
∴eq \(CD,\s\up8(︵))＝eq \(BD,\s\up8(︵))，
∴eq \(AC,\s\up8(︵))＝eq \(CD,\s\up8(︵))＝eq \(DB,\s\up8(︵))，
∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°.
∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAO＝90°，
∴∠P＝90°－∠AOC＝30°.
例1题解图
针对演练
1. 解：(Ⅰ)如解图①，连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵∠ABC＝∠ADC＝26°，
∴∠CAB＝90°－∠ABC＝64°；
第1题解图①
(Ⅱ)如解图②，连接OC，
∵EC与⊙O相切于点C，OC为⊙O的半径，
∴OC⊥EC，
∴∠OCE＝90°.
∵∠AOC＝2∠ADC＝52°，
∴∠E＝90°－∠AOC＝38°.
第1题解图②
2. 解：(Ⅰ)如解图①，连接MD.
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED＝∠AMD＝90°.
∵AE＝AM，AD＝AD，
∴Rt△AED≌Rt△AMD，
∴∠EAD＝∠MAD.
∵AD是Rt△ABC斜边上的中线，
∴DA＝DB，
∴∠B＝∠DAB＝∠EAD.
∵∠AED＝90°，
∴∠B＋∠DAB＋∠EAD＝90°，
∴∠EAD＝30°；
第2题解图①
(Ⅱ)如解图②，连接OM，
∵在Rt△ABC中，∠C＝50°，
∴∠B＝40°.
∵AD是Rt△ABC斜边BC上的中线，
∴AD＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝40°.
∵OA＝OM，
∴∠OMA＝∠DAB＝40°，
∴∠MOD＝∠OMA＋∠DAB＝80°.
∵MN，DG分别是⊙O的切线，
∴∠ODG＝∠OMG＝90°，
由四边形的内角和知∠MOD＋∠ODG＋∠DGM＋∠OMG＝360°，
∴∠MOD＋∠DGM＝180°.
∵∠DGM＋∠DGN＝180°，
∴∠DGN＝∠MOD＝80°.
第2题解图②
3. 解：(Ⅰ)如解图①，连接OC，
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，即∠PCO＝90°.
∵∠P＝38°，
∴∠POC＝90°－∠P＝52°.
∵点D为eq \(AB,\s\up8(︵))的中点，AB为⊙O的直径，
∴∠AOD＝90°，
∴∠COD＝∠AOD＋∠POC＝142°.
∵OC＝OD，∴∠EDO＝∠ECO，
∴∠EDO＝eq \f(1,2)(180°－∠COD)＝19°；
第3题解图①
(Ⅱ)如解图②，连接OC，
由(Ⅰ)知∠POC＝52°，∠EDO＝∠ECO，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠ACO＝eq \f(1,2)(180°－∠AOC)＝64°.
∵DO∥AC，
∴∠ACD＝∠EDO，
∴∠ACD＝∠ECO＝∠EDO，
∴∠EDO＝eq \f(1,2)∠ACO＝32°.
第3题解图②
4. 解：(Ⅰ)∵∠AEC是△BEC的一个外角，∠ABC＝58°，∠AEC＝85°，
∴∠C＝∠AEC－∠ABC＝27°.
∵在⊙O中，∠BAD＝∠C，
∴∠BAD＝27°.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°.
∵在⊙O中，∠ADC＝∠ABC＝58°，
∴∠CDB＝∠ADB－∠ADC＝32°；
(Ⅱ)如解图，连接OD，
∵CD⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠ECB＝90°－∠EBC＝32°，
∴∠DOB＝2∠DCB＝64°.
∵DF是⊙O的切线，
∴∠ODF＝90°，
∴∠F＝90°－∠DOB＝90°－64°＝26°.
第4题解图
5. 解：(Ⅰ)∵DA，DC均为⊙O的切线，
∴DA＝DC，DA⊥AB，即∠DAB＝90°，
∴∠ACD＝∠DAC，
∵CD∥AB，
∴∠DAB＋∠ADC＝180°.
∴∠ADC＝90°.
∴∠ACD＝∠DAC＝45°；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，∠DAB＝90°.
∵CD∥AB，
∴∠DAB＋∠ADC＝180°，∠DEA＝∠EAB.
∴∠ADC＝90°.
∵∠EAD＝30°，
∴∠DEA＝∠EAB＝60°.
∴∠BCE＝120°.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA＝90°.
∴∠ACD＝∠BCE－∠BCA＝30°.
∴∠DAC＝90°－∠ACD＝60°.
6. 解：(Ⅰ)如解图①，连接OC，
由圆周角定理得∠AOC＝2∠ADC＝40°，
∵OA＝OC，
∴∠CAB＝eq \f(1,2)(180°－∠AOC)＝70°.
∵CD∥AB，
∴∠ACD＝180°－∠CAB＝110°；
第6题解图①
(Ⅱ) 如解图②，连接OC，
由(Ⅰ)可知∠AOC＝40°，∠CAB＝70°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAB＝eq \f(1,2)∠CAB＝35°.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B＝90°－∠DAB＝55°.
∵CE为⊙O的切线，OC为⊙O的半径，
∴∠OCE＝90°.
∵∠BOC＝180°－∠AOC＝140°，
∴在四边形OCEB中，∠E＝360°－∠OCE－∠BOC－∠B＝75°.
第6题解图②
类型二 线段问题
典例精讲
例 2 解：(Ⅰ)如解图①，连接DB，
∵eq \(CB,\s\up8(︵))＝2eq \(CD,\s\up8(︵))，
∴∠CAD＝eq \f(1,2)∠CAB＝15°，
∴∠DAB＝∠CAD＋∠CAB＝45°.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°.
∵AB＝4，
∴AD＝BD＝2eq \r(2)；
例2题解图①
(Ⅱ)如解图②，连接OC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵∠CAB＝30°，
∴∠B＝60°.
∵∠ADC＋∠B＝180°，
∴∠ADC＝120°.
∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA＝30°.
∵OC＝OA，∠CAB＝30°，
∴∠OCA＝∠CAB＝30°，
∴∠OCD＝∠OCA＋∠DCA＝60°，AD∥OC.
∵CM是⊙O的切线，
∴ OC⊥CM，
∴∠OCM＝90°，CM⊥AD，
∴∠DCM＝∠OCM－∠OCD＝30°，∠DMC＝90°，
∴在Rt△CDM中，cs30°＝eq \f(CM,CD)＝eq \f(CM,6)，
∴CM＝6×eq \f(\r(3),2)＝3eq \r(3).
例2题解图②
针对演练
1. 解：(Ⅰ)∵OE⊥AB，
∴AP＝eq \f(1,2)AB＝2eq \r(7)，
设PE＝x，则OP＝3x，OA＝OE＝4x，
在Rt△OAP中，OA2＝OP2＋AP2，
即16x2＝9x2＋28，
解得x＝2(负值已舍)，
∴4x＝8，
∴⊙O的半径为8；
(Ⅱ)∵CD为⊙O的切线，
∴OE⊥CD.
又∵OE⊥AB，
∴AB∥CD，
∴△OAP∽△OCE，
∴eq \f(OA,OC)＝eq \f(OP,OE)＝eq \f(3,4)，
∴OC＝eq \f(32,3).
2. 解：(Ⅰ)∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝30°.
∵AB与⊙O相切，
∴∠OAB＝90°，
∴∠BAD＝90°－30°＝60°.
∵AB＝BD，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠CDO＝∠ADB＝60°，
∴∠COD＝180°－30°－60°＝90°，
在Rt△COD中，csC＝eq \f(OC,CD)，
∴cs30°＝eq \f(2,CD)＝eq \f(\r(3),2)，
即CD＝eq \f(4\r(3),3)；
(Ⅱ)由(1)可得∠OCA＝∠OAC＝30°.
∵CE∥OA，
∴∠ACE＝∠OAC＝30°，
∴∠OCE＝∠OCA＋∠ACE＝60°.
∵OC＝OE，
∴△OCE是等边三角形，
∴∠CEO＝60°.
∵CE∥OA，
∴∠AOB＝∠CEO＝60°.
∵AB与⊙O相切，
∴∠OAB＝90°，
在Rt△OAB中，cs∠AOB＝eq \f(OA,OB)，
∴cs60°＝eq \f(2,OB)＝eq \f(1,2)，
∴OB＝4，
∴BE＝OB－OE＝4－2＝2.