2024年上海市田家炳中学特色课程班中考第二次模拟数学试题（原卷版+解析版）

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一.选择题（共24分）
1. 下列数是有理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的分类，有理数的概念，根据有理数包括整数和分数求解即可．
【详解】解：A．是无理数，故本选项不符合题意；
B．是无理数，故本选项不符合题意；
C．是无理数，故本选项不符合题意；
D．是分数，属于有理数，故本选项符合题意；
故选：D．
2. 下列关于的方程中有实数根的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式，分式方程有意义的条件，二次根式的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
根据一元二次方程根的判别式判断A，根据乘方的意义判断B，根据分式方程有意义的条件判断C，根据二次根式的性质判断D．
【详解】解：A：，故原方程有实数根,符合题意；
B：由题意可，由乘方的意义可得，故原方程无实数根,不符合题意；
C：解分式方程得，且当时，，故原方程无实数根,不符合题意；
D：由题意可，由二次根式的性质可得，故原方程无实数根,不符合题意；
故选：A．
3. 我国古代的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两……”意思是：“今有生丝30斤，干燥后损耗3斤12两（我国古代1斤等于16两）……”据此，若得到14斤干丝，需使用生丝x斤，则正确的是（ ）
A. 依题意，得 B. 依题意，得
C. 需使用生丝 斤D. 得到14斤干丝，需损耗生丝 斤
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的应用，考查学生的应用意识、运算能力、模型观念．若得到14斤干丝，需使用生丝x斤，再利用数量之间的比例关系列方程，解方程即可．
【详解】解：依题意，
得，
解得，
∴（斤），
∴若得到14斤干丝，则需使用生丝16斤，损耗生丝2斤．
故选:B．
4. 为了解某公司的收入水平，随机挑选五人的月工资进行抽样调查，月工资（单位：元）分别是3000，4000，5000，6000，50000，那么能够较好的反映他们收入平均水平的是（ ）
A. 中位数B. 标准差C. 平均数D. 众数
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了平均数、众数、中位数和标准差，众数是指一组数据中出现次数最多的数据；将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数．
利用平均数，中位数、众数和给出的数据分别进行分析，即可得出答案．
【详解】解：标准差是反映数据的波动程度，因此不能很好的反映，而五人的月工资有的工资很高，有的很低，故平均数不具有代表性，众数是数据出现次数最多的数，也不能很好的反映，
而中位数将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间位置的数，具有代表性，
所以能够较好的反映他们收入平均水平．
故选：A．
5. 以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图所示摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，若点P的读数为35°，则∠CBD的度数是（ ）
A. 55°B. 45°C. 35°D. 25
【答案】C
【解析】
【分析】根据切线的性质得到∠OPB＝90°，证出OP∥BC，根据平行线的性质得到∠POB＝∠CBD，于是得到结果．
【详解】∵AB是⊙O的切线，∴∠OPB＝90°，∵∠ABC＝90°，∴OP∥BC，∴∠CBD＝∠POB＝35°，故选C．
本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．
6. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（）的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于120kPa时，气球将会爆炸，为了安全起见，气球的体积应（ ）
A. 不大于B. 大于C. 不小于D. 小于
【答案】C
【解析】
【分析】由题意设设，把（1.6，60）代入得到k=96，推出，当P=120时，，由此即可判断．
【详解】因为气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（）的反比例函数，所以可设，由题图可知，当时，，所以，所以.为了安全起见，气球内的气压应不大于120kPa，即，所以.
故选C.
此题考查反比例函数的应用，解题关键在于把已知点代入解析式.
二.填空题（共48分）
7. ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了用构图法求，解决本题的关键是熟练掌握解直角三角形，通过构造适当的图形求解即可．
【详解】在等腰直角三角形中，，，其中，过作于，如图所示，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
8. 随着某产品制造技术不断发展，某地区用于这个技术开发的资金约为元，这个数字用科学记数法表示为____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键是正确表示和的值．由科学记数法的表示方法，表示出和的值，得到答案．
详解】
9. 将直线向左平移3个单位后的解析式为_______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据平移规则，左加右减，上加下减，进行求解即可．
【详解】解：将直线向左平移3个单位后的解析式为；
故答案为：．
10. 函数y的定义域是___________．
【答案】
【解析】
【分析】由于函数解析式是分式，则要求分母不为零，则可求得自变量的取值范围即函数的定义域．
【详解】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
本题考查了求函数自变量的取值范围，初中求自变量取值范围的常常是三类函数：解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；解析式是分式时，分母不为零；解析式是二次根式时，被开方数非负．
11. 从一副扑克牌中随机抽取一张牌，是梅花的概率是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查求概率，根据概率公式进行计算即可．
【详解】解：一副扑克牌有54张牌，其中梅花有13张，
∴从一副扑克牌中随机抽取一张牌，是梅花的概率是；
故答案为：．
12. 如果关于x的方程有实数根，那么实数c的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查根的判别式，分和两种情况，进行讨论求解即可．
【详解】解：当时，方程化为，解得，满足题意；
当时，方程为一元二次方程，
∴，解得：，且；
综上：；
故答案为：．
13. 若两个半径为2的等圆外离，则圆心距d的取值范围为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆与圆的位置关系，重点考察由数量关系及两圆位置关系求圆心距的取值范围的方法．本题直接告诉了两圆的半径及两圆位置关系，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．外离，则；外切，则；相交，则；内切，则；内含，则．表示圆心距，，分别表示两圆的半径）．
【详解】解：根据题意，得
，
两圆外离，
圆心距，
故答案为
14. 和线段AB两个端点距离相等的轨迹是__________________．
【答案】线段AB的垂直平分线
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线的性质解题即可．
【详解】到线段AB两个端点的距离相等的点的轨迹是线段AB的垂直平分线，
故答案为：线段AB的垂直平分线．
本题考查线段垂直平分线的性质，是重要考点，难度容易，掌握相关知识是解题关键．
15. 如图，在中，中线相交于点F，设，那么向量用向量表示为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，三角形法则等知识．根据三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质可得，利用三角形法则求出即可．
【详解】解：连接，
∵中线相交于点F，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵点D是的中点，
∴，
故答案为：．
16. 如图在圆O中，是直径，弦与交于点，如果，，，点是的中点，连接，并延长与圆交于点，那么____．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理，熟记垂径定理、勾股定理是解题的关键．
连接，，根据点是的中点，证，得为直角三角形，根据已知条件求出半径，进而求得，根据，利用勾股定理求出，即可得到。
【详解】
点是的中点，
，
在和中，
，
，
，
，，是直径，
，
，
在中，，
，
，
，
，
故答案为：．
17. 如图，是等腰直角三角形，，，点分别在边上，且，已知是等边三角形，且点在形内，点是的重心，那么线段的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，三角形重心的性质，解直角三角形，勾股定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，连接并延长交于，连接，连接并延长交于，由点是的重心，可得分别为的中点，进而由是等边三角形可得，，，设，则，解得，又证明得是等腰直角三角形，得到，点四点共线，即得平分，平分，延长交于，则垂直平分，由勾股定理可得，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，得到，根据点在形内，，可得，得到，又根据可得，由，，即可求出线段的取值范围，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，连接并延长交于，连接，连接并延长交于，
∵点是的重心，
∴分别为的中点，
∵是等边三角形，
∴，，，
设，则，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴点四点共线，
∴平分，平分，
延长交于，则垂直平分，
∵，，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
在中，，
∴，
∵点在形内，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
18. 定义：如果三角形有两个内角差为，那么这样的三角形叫做准直角三角形．已知在直角中，，，，如图，如果点在边上，且是准直角三角形，那么____．
【答案】或．
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．分两种情况讨论，由相似三角形的性质和锐角三角函数可求解
【详解】当时，如图，过点D作于H，
在中，，，，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述：或；
三.解答题（共78分）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据分数指数幂，负整数指数幂，二次根式的混合运算进行计算即可求解．
【详解】解：原式

20. 解方程组：
【答案】，，，
【解析】
【分析】解①，用含的代数式表示，然后代入②求出，再求出方程组的解．
【详解】解：，
由①，得，
所以或．
把代入②，得，
解得．
把代入②，得，
整理，得，
所以．
所以或1．
故原方程组的解为：，，，．
本题考查了高次方程组的解法．变形①用代入法把二元二次方程组转化为一元二次方程，是解决本题的关键．
21 如图，和⊙相交于点、，连接、、，已知，，．
（1）求的半径长；
（2）试判断以为直径的是否经过点，并说明理由．
【答案】（1）
（2）以为直径的经过点，见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了圆的相关性质，相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．
（1）连接，设与的交点为，根据题意可得，，在中，根据勾股定理求出，进而求出，在中，根据勾股定理求出，即可求解；
（2）根据题意并结合（1）可得，可证明，得到，取的中点，连接、，推出，结合垂直平分，即可求解．
【小问1详解】
解：连接，设与的交点为．
和⊙相交于点、，，
，，
在中，，
；
，
在中，，
；
即的半径长为；
【小问2详解】
以为直径的经过点．
，，
，又，
，
，
取的中点，连接、，
，
又垂直平分，，
以为直径的经过点．
22. 某校九年级共有学生150人，为了解该校九年级学生体育测试成绩的变化情况，从中随机抽取30名学生的本学期体育测试成绩，并调取该30名学生上学期的体育测试成绩进行对比，小元对两次数据(成绩)进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．小元在统计本学期体育测试成绩各分数段人数时，不小心污染了统计表：
b．体育测试成绩的频数分布折线图如下(数据分组：x≤25，25＜x≤26，26＜x≤27，27＜x≤28，28＜x≤29，29＜x≤30)：
c．两个学期测试成绩的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)请补全折线统计图，并标明数据；
(2)请完善c中的统计表，m的值是 ；
(3)若成绩为26.5分及以上为优秀，根据以上信息估计，本学期九年级约有 名学生成绩达到优秀；
(4)小元统计了本班上学期体育测试成绩各分数段人数，如下：
通过观察、分析，得出这样的结论“在上学期的体育测试成绩中，众数一定出现在25＜x≤26这一组”．请你判断小元的说法是 (填写序号：A．正确 B．错误)，你的理由是 ．
【答案】(1)见解析；(2)见解析，30；(3)120；(4)B；虽然25＜x≤26这一组人数最多，但也可能出现在x≤25或29＜x≤30这两组中 ．
【解析】
【分析】(1)计算出成绩为26分的学生人数，补全折线统计图即可；
(2)根据中位数的定义即可得到结论；
(3)求出成绩为26.5分及以上的人数占调取的30名学生的百分数×九年级的总人数即可得到结论；
(4)根据众数的定义即可得到结论．
【详解】(1)成绩为26分的学生人数为：30﹣18﹣2﹣1﹣3﹣2＝4，
补全折线统计图如图所示；
(2)∵中位数为第15个和第16个数据的平均数，
∴m＝30；
故答案为30；
(3)150×＝120名，
即本学期九年级约有120名学生成绩达到优秀，
故答案为120；
(4)B，理由：虽然25＜x≤26这一组人数最多，但也可能出现在x≤25或29＜x≤30这两组中，
故答案为B；虽然25＜x≤26这一组人数最多，但也可能出现在x≤25或29＜x≤30这两组中．
本题考查了频数(率)分布折线图，平均数，中位数，众数，正确的理解题意是解题的关键．
23. 如图，在梯形中，，，点在四边形内部，，连接、．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）已知点在上，连接，如果，，求证：四边形是平行四边形．
【答案】（1）证明见详解
（2）证明见详解
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）先证明梯形是等腰梯形，再，即可证明；
（2）先证明，再证明，即可证明．
【小问1详解】
证明 ∵，
∴梯形是等腰梯形
∴
∵
∴
∴
∴
∴
即是等腰三角形；
【小问2详解】
证明：由（1）得
∴
∵
∴
∵四边形是等腰梯形
∴
∴
∴
∵，
∴
∴四边形是平行四边形．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）求该抛物线的表达式及点的坐标；
（2）已知点，联结，过点作，垂足为，点是轴上的动点，分别联结、，以、为边作平行四边形．
① 当时，且的顶点正好落在轴上，求点的坐标；
② 当时，且点在运动过程中存在唯一的位置，使得是矩形，求的值．
【答案】（1）；点
（2）①；②的值为或
【解析】
【分析】（1）把点A的坐标代入表达式求出a的值即可得到函数表达式，进而根据对称性求出点B的坐标；
（2）①在中，，则；得到；过点作，垂足为．在中，，；证明四边形是矩形，则；即可得到答案；②根据m的取值分三种情况分别进行解答即可．
【小问1详解】
解：把代入，
得，
解得；
∴抛物线的表达式为；
∵抛物线的对称轴是直线，抛物线与轴交于点和点，
∴点．
【小问2详解】
①由题意，得，，
∴；
∵四边形是平行四边形，
∴；
又点在轴上，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，；
在中，，
∴；
∴；
过点作，垂足为．
在中，，；
∵，
∴四边形是矩形，
∴；
∴．
②当时，根据不同取值分三种情况讨论：
当时，即点与点重合时，符合题意；
当时，如图情况符合题意，取的中点P，以为直径作圆P，则在圆上，
此时圆P和x轴有唯一切点D，符合题设条件，
则，
∵，
由①知， ，则，
则，
∵，,
∴，解得；
当时，可得，所以符合题意的不存在；
综合、、，符合题意的的值为或．
此题考查了二次函数的综合题，考查了解直角三角形，切线的性质、勾股定理、矩形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，分类讨论是解题的关键．
25. 已知在中，，点O为边上一点，以点O为圆心，为半径作，交边于点D（点D不与点A、C重合）．
（1）当时，判断点B与的位置关系，并说明理由；
（2）过点C作，交延长线于点E．以点E为圆心，为半径作，延长，交于点．
①如图1，如果与的公共弦恰好经过线段的中点，求的长；
②连接、，如果与的一条边平行，求的半径长．
【答案】（1）点B在内，见详解
（2）①；②或
【解析】
【分析】（1）借助垂径定理，利用表示出和，通过比较和的大小确定点与圆的位置关系；
（2）需要紧扣，第①问中结合连心线和公共弦的性质可以发现圆E和圆O是等圆，借助相似三角形的性质或锐角三角函数，用含k的代数式表示出、，从而求解；
第②问当时，过点作，证明出，在中，，得到解得则；
当，延长交延长线于点F，由，得到，解得或5（舍去），则．
【小问1详解】
解：过点O作，垂足为点H，
∵过圆心，，
∴ ，
∵，
，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点B在内．
【小问2详解】
解：过点C作，垂足为M，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，
，
又∵
，
∵，
∴在中，，，
设，则，
∴，
①两圆的交点记为P、Q，连接，
∵与相交，是公共弦，
∴垂直平分，即，
∵经过中点，
∴垂直平分，
∴，即，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，解得，
∴；
②由于点A在直线上，
∴不可能与平行，
则当时，过点作，
，
∵，
，
，
∵
，
∵
，
∵
，
在中，，
∴
；
当，延长交延长线于点F，
∵
，
∴
，
∵
，
解得或5（舍去），
∴，
综上：或．
本题考查了圆和三角形相结合的问题，锐角三角函数，点与圆的位置关系，相交两圆的性质，相似三角形的判定与性质，本题的解题方法都是落在“解三角形”上，发现等角，并灵活解三角形是本题的突破点和难点．成绩(分)
x≤25
25.5
26
26.5
27
27.5
28
28.5
29
29.5
30
人数(人)
2
1
0
2
1
1
1
4
14
学期
平均数
中位数
众数
上学期
26.75
26.75
26
本学期
28.50
m
30
成绩(分)
x≤25
25＜x≤26
26＜x≤27
27＜x≤28
28＜x≤29
29＜x≤30
人数(人)
6
8
3
3
4
6