2023-2024学年江苏省扬州市高一下学期6月期末数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省扬州市高一下学期6月期末数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设复数z满足z−i=1+i，则zi=( )
A. 2+iB. 2−iC. −iD. i
2.方程2x+lnx−5=0的解所在区间为( )
A. 4,5B. 3,4C. 2,3D. 1,2
3.数据63,65,70,73,76,78,80,84,88,90的45百分位数为( )
A. 73B. 76C. 77D. 78
4.已知平面向量a=1,0,b=−1,2，则a在b上的投影向量为( )
A. 15,−25B. −15,25C. − 55,2 55D. 55,−2 55
5.如图，为了测量河对岸A,B两点之间的距离，在河岸这边找到在同一直线上的三点C,D,E.从D点测得∠ADC=67.5∘，从C点测得∠ACD=45∘,∠BCE=75∘，从E点测得∠BEC=60∘.若测得DC= 3,CE=2 2(单位：百米)，则A,B两点的距离为( )百米．
A. 2 6B. 2 3C. 6D. 3
6.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E,F,G,H分别是棱AA1,AB,BC,C1D1的中点，下列结论正确的是( )．
A. EF//GD1B. D1E⊥FG
C. FG⊥平面BB1D1DD. 平面D1EF//平面GHC1
7.如图，在▵ABC中，D,E是BC上的两个三等分点，AB=12,AC=9,∠BAC=60∘，则AD⋅AE的值为( )
A. 50B. 80C. 86D. 110
8.已知csαcsα+π3=sinαcsα−π6，则tanπ4+2α的 值( )
A. 33B. 3C. 2− 3D. 2+ 3
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在▵ABC中，角A､B､C所对的边为a､b､c，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有( )
A. a=4,b=5,c=6B. A=30∘,B=45∘,c=5
C. a= 3,b=2,A=45∘D. a=3,b=2,C=60∘
10.连续抛掷两次骰子，“第一次抛掷，结果向上的点数小于3”记为事件A，“第二次抛掷，结果向上的点数是偶数”记为事件B，“两次拋掷，结果向上的点数之和为奇数”记为事件C，则下列叙述中正确的有( )
A. A与B互斥B. A与C相互独立C. B与C对立D. PA+B=23
11.如图，正方形ABCD的中心为O，边长为4，将其沿对角线AC折成直二面角D′−AC−B，设M为AD′的中点，N为BC的中点，则下列结论正确的有( )
A. 三棱锥D′−ABC的外接球表面积为32π
B. 直线MN与平面ABC所成角的正切值为12
C. 点C到平面OMN 的 距离为2 63
D. 三角形MON沿直线MN旋转一周得到的旋转体的体积为2 33π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知一个正四棱台的体积为152cm3，上､下底面边长分别为4cm､6cm，则棱台的高为 cm．
13.若复数z满足z−2i=1，则z的最小值是 ．
14.已知▵ABC的面积为S满足条件 3AB⋅AC=2S，则∠A= .；若∠B=2∠C，延长CB至点D，使得BD=AC，则tan∠ADC= ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知a=0,1,b=−1,2.设AB=a+2b,BC=λa+bλ∈R．
(1)若A,B,C三点共线，求λ 的 值；
(2)若AB⊥BC，求λ的值．
16.(本小题12分)
某保险公司为了给年龄在20∼70岁的民众提供某种医疗保障，设计了一款针对某疾病的保险.现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析，并按年龄段20,30,30,40,40,50,50,60,60,70分成了五组，其频率分布直方图如图所示，每人每年所交纳的保费与参保年龄如下表所示：
(1)若采用分层抽样的方法，从年龄段在30,40和40,50内的参保人员中共抽取6人进行问卷调查，再从中选取2人进行调查对该种保险的满意度，求这2人中恰好有1人年龄段在30,40内的概率．
(2)由于10000人参加保险，该公司每年为此项保险支出的各种费用为200万元.为使公司不亏本，则年龄段50,60的参保人员每人每年需要缴纳的保费至少为多少元？
17.(本小题12分)
已知函数fx=sin2x+π3+sin2x−π3+2cs2x−2．
(1)当x∈0,π2时，求函数fx的值域；
(2)求函数fx在区间0,2π上的所有零点之和．
18.(本小题12分)
如图，在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面ABB1A1为菱形，∠A1AB=60∘,AB=A1C=2BC=2，∠ACB=90∘,M为AB中点，AC1与A1C的交点为N．
(1)求证：MN//平面BCC1B1；
(2)求证：A1M⊥平面ABC；
(3)求二面角B−AA1−C的正弦值．
19.(本小题12分)
如图所示，已知▵ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，在▵ABD中，AD=6,BD=3，DE=2EB．
(1)若∠ADB=135∘，求▵ABC的面积；
(2)①求AB2−6AB⋅cs∠ABD的值；
②求CE2的最大值．
答案解析
1.【答案】B
【解析】【分析】根据复数的四则运算法则计算可得结果．
【详解】由z−i=1+i可得z=1+2i，
所以zi=1+2ii=1+2iii2=i+2i2−1=−i+2=2−i．
故选：B
2.【答案】C
【解析】【分析】利用零点存在性定理分析判断即可．
【详解】令f(x)=2x+lnx−5，f(x)在(0,+∞)上连续，且单调递增，
对于A，因为f(4)=8+ln4−5=3+ln4>0，f(5)=10+ln5−5=5+ln5>0，
所以f(x)的零点不在4,5内，所以 A错误，
对于B，因为f(4)>0，f(3)=6+ln3−5=1+ln3>0，
所以f(x)的零点不在3,4内，所以 B错误，
对于C，因为f(3)>0，f(2)=4+ln2−5=ln2−1 22，结合正弦函数的图象可知角B有两解，故 C错误；
对于D，三角形中，已知两边和夹角，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即D正确．
故选：ABD．
10.【答案】BD
【解析】【分析】AC选项，列举出事件A，B和事件C中的基本事件，得到A∩B≠⌀，B∩C≠⌀，判断出 AC错误；B选项，利用PAC=PAPC作出判断；D选项，列举出事件A+B中的基本事件，求出概率．
【详解】A选项，事件A中的基本事件有1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6，
2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6
事件B中的基本事件有1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6,2，
1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,6,4，1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6,6，
故A∩B≠⌀，事件A和事件B不互斥，A错误；
B选项，连续抛掷两次骰子，共有36种情况，
其中事件A中的基本事件数为12，故PA=1236=13，
事件C中的基本事件有1,2,1,4,1,6,2,1,2,3,2,5,3,2,3,4,3,6,4,1,4,3,4,5，
5,2,5,4,5,6,6,1,6,3,6,5，共18种情况，
故PC=1836=12，
事件AC中的基本事件有1,2,1,4,1,6,2,1,2,3,2,5，
共9种情况，故PAC=636=16，
由于PAC=PAPC，故A与C相互独立， B正确；
C选项，由AB选项知，B∩C≠⌀，事件B与事件C不互斥，故不对立，C错误；
D选项，事件A+B中的基本事件有1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6，
2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6，3,2,4,2,5,2,6,2，
3,4,4,4,5,4,6,4，3,6,4,6,5,6,6,6，共24种情况，
故PA+B=2436=23， D正确．
故选：BD
11.【答案】ACD
【解析】【分析】对于A，找到球心即可；对于B，可利用几何法快速解决；对于C，可利用等体积法；对于D，旋转体为两个底面重合的圆锥构成的组合体．
【详解】对于A，由于OA=OC=OB=OD′，所以O为三棱锥D′−ABC的球心，表面积为4π(2 2)2=32π， A正确；
对于B，过M作MH⊥AC于H，则MH⊥平面ABC，所以∠MNH即为直线MN与平面ABC所成的角；易知MH= 2，NH= 10，所以tan∠MNH= 2 10= 55， B错误；
对于C，由VM−ONC=VC−MON，所以13× 2×2=13ℎ⋅S▵OMN，又MN= MH2+HN2=2 3，所以cs∠MON=−12，sin∠MON= 32，所以S▵OMN=12×2×2× 32= 3，所以C到平面OMN的距离ℎ=2 2 3=2 63， C正确;
对于D，过O作OT⊥MN于T，则旋转体体积是以OT为底面半径，以TM为高的圆锥的体积的两倍，所以V=2×13π× 3=2 33π， D正确；
故选：ACD．
思路点睛：本题考查立体几何的综合问题，解决本题中的问题涉及的思路主要有：
(1)利用球的定义找球心，并求球的体积；
(2)运用几何法求线面角的大小；
(3)利用等体积法求三棱锥的高；
(4)掌握常见的几何体的体积公式．
12.【答案】6
【解析】【分析】根据棱台的体积公式计算即可．
【详解】设棱台高为ℎ，由棱台的体积公式知V=13ℎS+S′+ SS′⇒ℎ=3×15242+62+ 42×62=6，其中S、S′分别为上下底面面积．
故答案为：6
13.【答案】1
【解析】【分析】利用复数的模的几何意义，理解等式表示的动点轨迹图形为圆形，由图易得动点到原点的距离最小值即得．
【详解】
如图，设复数z对应的点为Z，则由z−2i=1可知点Z到点A(0,2)的距离为1，
即点Z的轨迹为以点A(0,2)为圆心，以1为半径的圆，
而z则表示动点Z到原点的距离，由图可知，圆上与原点距离最小的点为Z1(0,1)，故z的最小值是1．
故答案为：1．
14.【答案】π3； 33
【解析】【分析】化简2S= 3AB⋅AC即可求得∠A，结合∠A的度数以及∠B=2∠C即可求得∠B=4π9,∠C=2π9，通过设AB=x即可用x表示出各边长度，结合三角恒等变换化简即可求得tan∠ADC的值；
【详解】由题得2×12bcsinA= 3×bccsA，∴tanA= 3，
因为0