2023-2024学年浙江省宁波市九校高一下学期期末联考数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年浙江省宁波市九校高一下学期期末联考数学试题（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.四棱锥至多有几个面是直角三角形?
A. 2B. 3C. 4D. 5
2.已知点A2,3，B3,−1，若直线l过点P0,1且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是
A. k≤−23或k≥1B. k≤−23或0≤k≤1
C. −23≤k≤0或k≥1D. −23≤k≤1
3.若平面向量a,b,c两两的夹角相等，且a=1，b=1，c=2，则a+b+c=
A. 1B. 4C. 1或4D. 1或2
4.已知m,n为两条不同的直线，α,β为两个不同的平面，若m⊥α,n⊂β，则“m⊥n”是“α//β”的
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
5.逢山开路，遇水架桥，我国摘取了一系列高速公路“世界之最”，锻造出中国路、中国桥等一张张闪亮的“中国名片”.如图，一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶，在A，B，C三处测得道路一侧山顶P的仰角依次为30∘，45∘，60∘，其中AB=a，BC=b(00，则事件A,B相互独立与A,B互斥一定不能同时成立
D. 必然事件和不可能事件与任意事件相互独立
10.已知复数z=−12+ 32i，则下列说法正确的是
A. z的虚部为 32iB. zz=−12− 32i
C. 复平面内z+1z对应的点位于第二象限D. z2024=z
11.如图，已知四面体ABCD的各条棱长均等于2,E,F分别是棱AD,BC的中点．G为平面ABD上的一动点，则下列说法中正确的有
A. 三棱锥E−AFC体积为 22
B. 线段CG+GF的最小值为 573
C. 当G落在直线BD上时，异面直线EF与AG所成角的余弦值最大为 63
D. 垂直于EF的一个面α，截该四面体截得的截面面积最大为1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线l1:ax+y−4=0与l2:x+a+32y+2=0平行，则实数a=_____．
13.已知圆O的直径AB把圆分成上下两个半圆，点C,D分别在上、下半圆上(都不与A,B点重合).若AC=2，AD=1，则AB⋅DC=____．
14.已知三棱锥P−ABC的四个面是全等的等腰三角形，且PA=4 2,PB=AB=2 5，点D为三棱锥P−ABC的外接球球面上一动点，PD=3 3时，动点D的轨迹长度为____．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
如图，在等腰梯形ABCD中，2AD=2DC=2CB=AB=2a，E,F分别为AB,AD的中点，BF与DE交于点M．
(1)用AD,AE表示BF；
(2)求线段AM的长．
16.(本小题12分)
已知直线l:a−1y=2a−3x+1．
(1)求证：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围；
(3)若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程
17.(本小题12分)
“数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送给少年数学爱好者们的一句话.某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，激发学生钻研数学的兴趣和热情，特举办数学节活动.在活动中，共有20道数学问题，满分100分.在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：40,50,50,60,⋯,90,100，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值，并估计该校全体学生这次数学成绩的中位数：
(2)活动中，甲、乙、丙三位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，丙同学答对了n道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同．
(i)任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率；
(ii)任选一道数学问题，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为2225，求n的值．
18.(本小题12分)
如图1，有一个边长为4的正六边形ABCDEF，将四边形ADEF沿着AD翻折到四边形ADGH的位置，连接BH,CG，形成的多面体ABCDGH如图2所示．

(1)求证：AD⊥CG；
(2)若AH⊥CD，试求直线CH与平面ABCD所成角的正弦值；
(3)若二面角H−AD−B的大小为π3，M是线段CG上的一个动点(M与C,G不重合)，试问四棱锥M−ABCD与四棱锥M−ADGH的体积之和是否为定值?若是，求出这个定值，若不是，请说明理由
19.(本小题12分)
矩形ABCD中，P,Q为边AB的两个三等分点，满足AP=PQ=QB=BC，R点从点A出发.沿着折线段AD−DC−CB向点B运动(不包含A,B两点)，记∠ARP=α，∠BRQ=β．
(1)当ΔAPR是等腰三角形时，求sinα；
(2)当R在线段AD(不包含A,D两点)上运动时，证明：∠BRP1，
令y=0，得x=13−2a>0，得a