浙江省宁波市九校2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题

这是一份浙江省宁波市九校2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题，共9页。试卷主要包含了已知平面，给出四组成对数据，在中，已知，则，已知，则等内容，欢迎下载使用。
高二数学试题
第I卷
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知平面.则“两两垂直”是“两两垂直”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.给出四组成对数据：（1）；（2）；（3）；（4），其中样本相关系数最小的是（ ）
（提示：样本相关系数）
A.（1） B.（2） C.（3） D.（4）
3.已知函数，且的图象过点是的反函数，则函数（ ）
A.既是奇函数又是减函数 B.既是奇函数又是增函数
C.既是偶函数又是减函数 D.既是偶函数又是增函数
4.已知函数，先将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A. B.
C. D.
5.在中，已知，则（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
6.已知，则（ ）

7.在正三棱锥中，侧棱，点在棱上，且.若球是正三棱锥的外接球，过点作球的截面，则所得的截面中，面积最小的截面的面积为（ ）
A. B. C. D.
8.已知实数，将这7个数适当排列成一列数，满足，则满足要求的排列的个数为（ ）
A.58 B.71 C.85 D.96
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知关于的方程在复数范围内的根为.若，则实数的值可能为（ ）
A. B.1 C.0 D.
10.高考数学试题第二部分为多选题，共3个小题，每小题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案是2个选项，只选对1个得3分，有选错的得0分；若正确答案是3个选项，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是，记为小明随机选择1个选项的得分，记为小明随机选择2个选项的得分，则（ ）
A. B.
C. D.
11.已知，则（ ）
A.展开式的各二项式系数的和为0
B.
C.
D.
第II卷
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知集合.若的真子集个数是3，则实数的取值范围是__________.
13.已知平面向量满足与的夹角为，对任意的实数，的最小值为__________.
14.已知定义在上的函数满足下列两个条件：
①；②.
请你写出一个符合要求的函数解析式__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知函数.
（1）设，若是奇函数，求的值，并证明；
（2）已知函数，若关于的方程在内恰有两个不同解，求实数的取值范围.
16.（15分）如图，在三棱锥中，平面是以为直径的圆周上的一点，分别是上的动点，且平面，二面角的大小为.
（1）求证：；
（2）求证：平面；
（3）当直线与平面所成的角最大时，求的值.
17.（15分）4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
（1）估计该地区高一学生阅读时间的上四分位数；
（2）为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，二组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了20个学生，得到均值为8，方差为3.75，现在已知这一组学生的均值为5，方差为2；求这一组学生的均值和方差；
（3）以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有名学生日平均阅读时间在内的概率，其中.当最大时，写出的值，并说明理由.
18.（17分）在中，角所对的边分别为，已知.
（1）若，求的面积；
（2）若为锐角，外接圆半径是，求的内切圆半径的最大值.
19.（17分）
（1）我们学过组合恒等式，实际上可以理解为，请你利用这个观点快速求解：.（计算结果用组合数表示）
（2）（i）求证：；
（ii）求值：.
宁波市2023学年第二学期期末九校联考高二数学试题
参考答案
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 13.
14.分析，
设，所以
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
解：（1）法一：，所以，
因为是奇函数，所以，
所以
整理得：
所以，所以
法二：，
因为奇函数的定义域关于原点对称，所以，则，
取得，
再验证是奇函数，所以.
（2）和两个函数图象有两个交点
，
（或，得到，由，解得）
又也经过定点，
由图可知的取值范围是
16.（15分）
解：（1）因为平面平面，平面平面，
所以
（2）因为平面平面，
所以平面平面，
因为是以为直径的圆周上一点，所以，
又平面平面平面，
所以平面，
由（1）可得
所以平面.
（3）由（2）可知平面平面，所以平面平面
取中点，因为是等腰直角三角形，则，则，
由面面垂直性质定理可得平面，
所以在平面上的射影为，
则直线和平面所成的角为.
.所以当最小时，最大.
此时.
17.（15分）
解：（1）由频率分布直方图得：
，解得
，解得
（2）按分层抽样二组内的学生抽取的学生分别为5人，15人
设这一组的平均值，方差
所以总体方差是，解得
（3）以样本的频率估计概率，该问题是二项分布问题，
由频率分布直方图可知内的概率是0.6
由
得
解得
所以当最大时，
18.（17分）
解：（1）由得，所以.
因为，所以，或
（i）当时，
因为，所以
化简得，所以，或
①当时，（舍去）；
②当时，作于，易得，此时
（ii）当时，
类似可得：
化简得：，所以，或者.
①当无意义，舍去；
②当为钝角，舍去
综上得.
（2）由（1）可知
记内切圆半径为得，
因为，所以
因为，所以，
即，
所以
由，得.
所以
当且仅当时取等.
19.（17分）
解：（1）
（2）（i）
（ii）
由（1）得，
则有
原式
构造数列，令
则
所以
所以，即，
即，所以，即数列是周期为6的数列.
又因为
所以：.题目
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
B
A
A
C
B
B
题目
9
10
11
答案
ACD
BC
BCD