广东省部分学校2024年高一下学期期末联考数学试题+答案

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注意事项：
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.
2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知复数满足，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，
所以，故的虚部为.
故选：A.
2．某高中为增强学生的海洋国防意识，组织本校1000名学生参加了“逐梦深蓝，山河荣耀”的国防知识竞赛，从中随机抽取200名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
①频率分布直方图中a的值为0.005
②估计这200名学生竞赛成绩的第60百分位数为80
③估计这200名学生竞赛成绩的众数为78
④估计总体中成绩落在内的学生人数为150
A．①②③B．①②④C．①③④D．②④
【答案】B
【详解】由频率分布直方图可得：
，解得，故①正确；
前三个矩形的面积为，
即第60百分位数为80，故②正确；
估计这200名学生竞赛成绩的众数为，故③错误；
总体中成绩落在内的学生人数为，故④正确；
故选：B
3．若向量，，则在上的投影向量的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，，则，
所以在上的投影向量.
故选：B.
4．的内角，，所对的边分别为，，，，，，则的面积为（ ）
A．B．C．或D．
【答案】C
【详解】由正弦定理得，即，解得，
是三角形内角，或
当时，，；
当时，．
故选：C．
5．如图正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【详解】

如图，过作下底面的投影，垂足为，
上底面对角线长，下底面对角线长，
则，
可得正四棱台的高，
所以正四棱台的体积.
故选：D
6．苏州双塔又称罗汉院双塔，位于江苏省苏州市凤凰街定慧寺巷的双塔院内，二塔“外貌”几乎完全一样（高度相等，二塔根据位置称为东塔和西塔）.某测绘小组为了测量苏州双塔的实际高度，选取了与塔底，（为东塔塔底，为西塔塔底）在同一水平面内的测量基点，并测得米.在点测得东塔顶的仰角为，在点测得西塔顶的仰角为，且，则苏州双塔的高度为（ ）
A．30米B．33米C．36米D．44米
【答案】B
【详解】设苏州双塔的高度为h米，依题意可得米，米.
因为，所以由余弦定理得，
解得.
故选：B
7．某人忘记了电话号码的最后一个数字，随意拨号（拨过的号码后面不再重复拨），则拨号不超过三次而接通电话的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设{第i次拨号接通电话}，．
拨号不超过3次而接通电话可表示为，
所以拨号不超过3次而接通电话的概率为
.
故选：B.
8．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，且，则，
由余弦定理可得，所以，
即，由正弦定理可得，
其中，则，所以，
又，
化简可得，
且为锐角三角形，则，
所以，
即，
解得或（舍），
所以，当且仅当时，等号成立，
则的最大值为.
故选：B
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知复数，，则（ ）
A．B．在复平面内对应的点位于第一象限
C．D．为纯虚数
【答案】ABC
【详解】,故A正确，
，对应的点为，故B正确，
，故，C正确，
，不为纯虚数，故D错误，
故选：ABC
10．已知事件，且，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若与互斥，则
C．若与相互独立，则D．若与相互独立，则
【答案】BC
【详解】对于A，若，则，故A错误；
对B，若与互斥，则，故B正确；
对于C，若与相互独立，则与相互独立，
所以，故C正确；
对于D，若与相互独立，
则，故D错误.
故选：BC.
11．如图，在棱长为4的正方体中，，分别为棱，的中点，点是棱上的一点，则下列说法正确的是（ ）
A．存在点，使得平面
B．二面角的余弦值为
C．三棱锥的内切球的体积为
D．的周长的最小值为
【答案】ACD
【详解】对于A，当点是棱的中点时，平面，因为在正方形中，
点是棱的中点，点是棱的中点，所以．
在正方体中，平面，又平面，
所以，又，平面，所以平面，
又平面，所以，
同理可得，又，平面，
所以平面，故A正确；
对于B，取的中点，连接，，，
在中，，，
所以，．
在中，，，
所以，，
所以是二面角的平面角．
在中，，，，
由余弦定理得，
即二面角的余弦值为，故B错误；
对于C，设三棱锥的内切球半径为，
，
又，又
，
解得，所以三棱锥的内切球的体积为，故C正确；
对于D，将平面沿展开到与平面共面，
此时当，，三点共线时，取得最小值，
所以，又，
所以的周长的最小值为，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为 ．
【答案】
【详解】由余弦定理，，
代入，，，
得，即，
解得或（舍去），
则的面积为.
故答案为：.
13．一只不透明的袋子中装有形状、大小都相同的5个小球，其中2个黄球、2个白球、1个红球．先后从中无放回地取两次小球，每次随机取出2个小球，记下颜色计算得分，得分规则如下：“2个小球颜色相同”加1分，“2个小球颜色一黄一白”得0分，“2个小球中有红球”减1分，则“两次得分和为0分”的概率为 ．
【答案】/
【详解】“两次得分和为0分”可能的情况有第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”，
或第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”，或两次均为“2个小球颜色一黄一白”，
第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”，
记黄球为，2个白球为、1个红球为，
利用枚举法可知从中一次取2个小球为，
共有10种取法，而颜色相同的取法有两种，
故第一次取2个小球颜色相同的概率为，第二次取2个小球中有红球的概率为，
所以第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”的概率为．
第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”，
第一次取2个小球中有红球的概率为，第二次2个小球颜色相同的概率为，
所以第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”的概率为．
两次均为“2个小球颜色一黄一白”，
第一次取2个小球，“2个小球颜色一黄一白”的概率为，
第二次取2个小球，“2个小球颜色一黄一白”的概率为，
所以两次均为“2个小球颜色一黄一白”的概率为．
所以两次先后取2个小球，得分为零分的概率为.
故答案为：.
14．如图，所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平行平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高，现有一拟柱体，上下底面均为正六边形，下底面边长为且上底面各顶点在下底面的射影点为下底面各边的中点，高为，则该拟柱体的表面积为 .

【答案】
【详解】如图，上底面正六边形的顶点在下底面上的射影分别为点，则，
显然，四边形为矩形，点是下底面正六边形边的中点，
则，，，
底边上的高为，则，
因此，该拟柱体上底面面积为，
下底面面积为，侧面积为，
所以该拟柱体的表面积为.
故答案为：

四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题13分）
在五一假期中，某校组织全校学生开展了社会实践活动，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图.另外，根据参加社会实践活动的时间从长到短按的比例分别被评为优秀、良好、合格.

(1)求的值并估计该学校学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；
(2)试估计至少参加多少小时的社会实践活动，方可被评为优秀.（结果保留两位小数）.
(3)根据社会实践活动的成绩，按分层抽样的方式抽取5名学生.从这5名学生中，任选3人，求这3名学生成绩各不相同的概率.
【答案】(1)，20.32小时
(2)21.73小时
(3)
【详解】（1）由，解得，
因为小时，
所以该学校学生假期中参加社会实践活动的时间的平均数约为20.32小时.
（2）时间从长到短按的比例分别被评为优秀、良好、合格，
由题意知，即求60百分位数，又，，
所以60百分位数位于18~22之间，
设60百分位数为，则，解得小时.
故至少参加21.73小时的社会实践活动，方可被评为优秀.
（3）易知，5名学生中，
优秀有人，设为，
良好有人，设为，
合格有人，设为.
任选3人，总共有，10种情况，
其中符合的有，共4种，
故概率为.
16.（本小题15分）
记的内角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若，的面积为，求的周长
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由
又得
其中
化简得
又得.
即
因为是三角形的内角，所以.
（2）由，得，
由余弦定理，得，
得，得，
所以的周长为．
17.（本小题15分）
如图，在直角梯形中，，，，，，边上一点满足，现将沿折起到的位置，使得.
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）平面图形中，连接，因为，，
所以，故，又，
所以四边形为平行四边形，
Rt中，由勾股定理得，且，
因为，，
所以为等边三角形，四边形为菱形，为等边三角形，
取中点，连接，则，
连接，，又，
故，即，
又，平面，
平面，平面，
平面平面；
（2）由（1）知，平面，平面，所以，
作于，连接，
因为，且，平面，所以平面，
又平面，所以，
所以为二面角的平面角.
在直角中，，，可得，
，故二面角的余弦值为.
18.（本小题17分）
平面四边形中，，，，．
(1)求；
(2)求四边形周长的取值范围；
(3)若为边上一点，且满足，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，，所以，
在中由余弦定理
；
（2）在中，
即，
所以，所以，当且仅当时取等号，
又，
则，即，所以，
所以，
即四边形周长的取值范围为；
（3）因为，所以，又，
所以，，又，所以，
在中由余弦定理，
即
在中由余弦定理，
即，
又，所以，
所以，
又，所以，
即，所以，
所以，所以，
所以.
.
19.（本小题17分）
为了增添学习生活的乐趣，甲、乙两人决定进行一场投篮比赛，每次投1个球．先由其中一人投篮，若投篮不中，则换另一人投篮；若投篮命中，则由他继续投篮，当且仅当出现某人连续两次投篮命中的情况，则比赛结束，且此人获胜．经过抽签决定，甲先开始投篮．已知甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且两人每次投篮的结果均互不干扰．
(1)求甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率；
(2)求比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）若甲、乙投篮总次数为次，则乙不可能获胜；
若甲、乙投篮总次数为次且乙获胜，则第一次甲未投中，乙投中第2、3次，
所以；
若甲、乙投篮总次数为次乙获胜，则第一次甲投中、第二次甲未投中，乙投中第3、4次，
所以；
记甲、乙投篮总次数不超过4次时且乙获胜为事件，则，
所以甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率为；
（2）若比赛结束时甲赢得比赛且甲恰好投了2次篮，则甲连续投中次，则概率；
若比赛结束时乙赢得比赛，又甲恰好投了2次篮，
①甲投中第一次，第二次甲未投中，乙投中第3、4次，则；
②甲第一次未投中，第二次乙未投中，第3次甲未投中，第4、5次乙投中，
则；
④甲第一次未投中，第二次乙投中，第3次乙未投中，第4甲未投中，第5、6次乙投中，
则；
综上可得比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率.