专题03 幂、指数与对数（原卷版+解析版）2023-2024学年高一数学上学期期末复习课·专题（上海专用沪教版2020必修第一册）

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第3章幂、指数与对数【课本目录】
3.1 幂与指数；3.1.1 指数幂的拓展；
3.2 对数：3.2.1 对数的定义；3.2.2 对数的运算性质；3.2.3 对数的换底；
本章内容提要
1. 指数幂的拓展：正整数指数幂、整数指数幂、有理数指数幂、实数指数幂.
2. 幂的运算性质：对任意给定的正实数及实数，成立
（1）；
（2）；
（3）.
3. 对数的定义：当
3. 对数的定义：当是不等于1的正数，时，以为底的对数
是满足的唯一的数；
4. 对数的基本性质：设是不等于1的正数，是任意给定的正数，是任意给定的实数，成立
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）（换底公式）如果也是一个不等于1的正数，那么
题型1、根式、指数式的化简与求值
例1、（1）化简的结果为（）
A．meq \r(m) B．meq \r(－m)
C．－meq \r(m) D．－meq \r(－m)
（2）若a＋b＝，ab＝ (m＞0)，则a3＋b3＝
【说明】指数幂运算的一般原则：
1、有括号的先算括号里的，无括号的先进行指数运算；
2、先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；
3、底数是负数的，先确定符号；底数是小数的，先化成分数．底数是带分数的，先化成假分数；
4、若是根式，则化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答；
题型2、有理数指数幂的运算
例2、（1）eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(7,9)))eq \s\up12(0.5)＋0.1－2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(10,27)))eq \s\up12(－\f(2,3))－3π0＋eq \f(37,48)；
（2）eq \r(6\f(1,4))－eq \r(3,3\f(3,8))＋eq \r(4,0.062 5)＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.064\f(1,3)))\s\up12(－2.5)))eq \s\up12(\f(2,5))－π0.
【说明】1、有理数指数幂运算的常用技巧：（1）有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算；（2）负指数幂化为正指数幂的倒数；（3）底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用有理数指数幂的运算法则；
2、根式化简的步骤：（1）将根式化成分数指数幂的形式；（2）运用分数指数幂的运算法则求解；
3、对于化简或求值结果的要求：对化简或求值的结果，一般保留为分数指数幂的形式；在进行指数幂运算时，通常是化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时要兼顾运算的顺序；
题型3、结合乘法公式求含指数幂的代数式
例3、（1）已知＋＝eq \r(5)，则x2＋x－2＝________.
（2）已知x＋x－1＝7，求值：①＋；②x2－x－2；③x3＋x－3
【说明】利用整体代换法求分数指数幂：1、整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键；2、利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式．x2＋x－2＝(x±x－1)2 ∓2，x＋x－1＝(±)2∓2，＋＝(±)2∓2；
题型4、由根式的意义求范围
例4、（1）求使等式eq \r((a－3)(a2－9))＝(3－a)eq \r(a＋3)成立的实数a的取值范围．
（2）若eq \r((3a－1)2)＝eq \r(3,(1－3a)3)，求实数a的取值范围．
【说明】由根式的意义求范围应该注意：对于eq \r(n,a)，当n为偶数时，要注意两点：1、只有a≥0才有意义；2、只要eq \r(n,a)有意义，eq \r(n,a)必不为负；
题型5、利用根式的性质化简或求值
例5、（1）化简下列各式：①eq \r(7,(－2)7)；②eq \r(4,(3a－3)4)(a≤1)；③eq \r(3,a3)＋eq \r(4,(1－a)4)；
（2）已知－3【说明】正确区分eq \r(n,an)与(eq \r(n,a))n：
1、(eq \r(n,a))n已暗含了eq \r(n,a)有意义，根据n的奇偶性可知a的范围；
2、eq \r(n,an)中的a可以是全体实数，eq \r(n,an)的值取决于n的奇偶性；
有限制条件根式的化简
1、有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．
2、有限制条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负；
题型6、对数式的化简与求值
例6、（1）若lg x＝lg a＋2lg b－3lg c，则x＝( )
A．a＋2b－3c B．a＋b2－c3
C．eq \f(ab2,c3) D．eq \f(2ab,3c)
（2）计算(lg32＋lg23)2－eq \f(lg32,lg23)－eq \f(lg23,lg32)的值为
【说明】对数运算的一般思路：
1、将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；
2、将同底对数的和、差、倍合并；
3、ab＝N⇔b＝lgaN(a＞0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化；
4、利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；
题型7、换底公式及其应用
例7、（1）计算：(lg43＋lg83)lg32＝________.
（2）已知lg189＝a，18b＝5，用a，b表示lg3645.
【说明】1、换底公式的意义在于改变对数式的底数，把不同底数的对数转化为同底数的对数.在应用换底公式时将原对数的底数换成以什么为底数的对数，要由具体已知条件确定，一般换成以10为底的常用对数.
2、换底公式应用于代数式表示对数：换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，然后再运用对数的运算性质对同底数的对数运算.可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简.
题型8、利用对数式与指数式互化求值的方法
例8、（1）若实数a，b满足2a＝5b＝10，则下列关系正确的是( )
A. eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝2 B. eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1
C. eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝1 D. eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \f(1,2)
（2）已知2x＝3y＝5z，且eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＋eq \f(1,z)＝1，求x，y，z.
【说明】利用对数式与指数式互化求值的方法：
1、在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化；
2、对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解；
题型9、对数的实际应用
例9、（1）一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的eq \f(1,3)？(结果保留整数，
lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
（2）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝eq \f(1,2)lg3eq \f(θ,100)，单位是m/s，θ表示鱼的耗氧量的单位数.
（1）当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？
（2）某条鲑鱼想把游速提高1 m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？
【说明】解决对数应用题的一般步骤：
1、审题：理解题意，理解关键词及其字母的含义；
2、建模：根据已知条件，列出指数式或对数式；
3、解模：运用对数、指数及其相关数学知识、公式解之；
4、回归：还原为实际问题，归纳结论；
题型10、相关新颖题与创新题
新高考下，高考数学命题遵循课程标准，深化基础性考查，注重数学本质与创造性思维，深入考查核心素养和关键能力，加强情境化设计，增强题目的开放性．新情境、新设问、新题型等都成为新高考的一个特色．机械刷题、套路解题已远远达不到新高考的要求，减少刷题、减少套路，重思维、提能力．
例10、根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与eq \f(M,N)最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)（）
A．1033B．1053
C．1073D．1093
例11、在通信技术领域中，香农公式C＝Wlg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(S,N)))是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中eq \f(S,N)叫做信噪比．
根据香农公式，以下说法正确的命题序号是 (参考数据：lg 5≈0.699 0)；
①．若不改变信噪比eq \f(S,N)，而将信道带宽W增加一倍，则C增加一倍
②．若不改变信道带宽W和信道内所传信号的平均功率S，而将信道内部的高斯噪声功率N降低为原来的一半，则C增加一倍
③．若不改变信道带宽W，而将信噪比eq \f(S,N)从255提升至1 023，则C增加了25%
④．若不改变信道带宽W，而将信噪比eq \f(S,N)从999提升至4 999，则C大约增加了23.3%
例12、已知a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＋eq \f(1,z)＝0，则abc的值为________．
题型11、相关综合题
例13、若x满足(lg2x)2－2lg2x－3＝0，则x＝________.
例14、若lg(1－x)(1＋x)2＝1，则x＝________.
例15、若 eq \r(x2＋2x＋1)＋eq \r(y2＋6y＋9)＝0，则(x2 019)y＝_____________________________.
例16、设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________．
例17、对于正整数a，b，c(a≤b≤c)和非零实数x，y，z，w有ax＝by＝cz＝70w，且eq \f(1,w)＝eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＋eq \f(1,z)，求a，b，c的值；
例18、已知函数f(x)＝eq \f(22x,2＋22x).
（1）求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))，f(3)＋f(－2)的值．
（2）探求f(x)＋f(1－x)的值．
（3）利用（2）的结论求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,100)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,100)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,100)))＋…＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(98,100)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(99,100)))的值．
一、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1、若有意义，则x的取值范围是
2、当x<0时，化简：x＋eq \r(4,x4)＋eq \f(\r(3,x3),x)＝________.
3、已知－14、已知2a＝5b＝10，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝________.
5、lg23·lg34·lg42＝________.
6、已知lg 2＝a，lg 3＝b，则lg36等于
7、若lgab·lgbc·lgc3＝2，则a的值为________．
8、若lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，则eq \f(x,y)＝________.
9、若eq \r((x2－2x－3)2)＝－x2＋2x＋3，则实数x的取值范围是________．
10、已知a2m＋n＝2－2，am－n＝28(a>0，且a≠1)，则a4m＋n的值为________．
二、选择题（共4小题每小题4分，满分16分）
11、当eq \r(2－x)有意义时，化简eq \r(x2－4x＋4)－eq \r(x2－6x＋9)的结果是( )
A．2x－5 B．－2x－1
C．－1 D．5－2x
12、若a>0，a≠1，x>y>0，n∈N*，则下列各式：
①(lgax)n＝nlgax；②(lgax)n＝lgaxn；③lgax＝－lgaeq \f(1,x)；④eq \r(n,lgax)＝eq \f(1,n)lgax；⑤eq \f(lgax,n)＝lgaeq \r(n,x).
其中正确的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
13、已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋0.1的图象如图所示，则eq \r(4,(a－b)4)的值为( )
A．a＋b
B．－(a＋b)
C．a－b
D．b－a
14、已知ab＝－5，则aeq \r(－\f(b,a))＋beq \r(－\f(a,b))的值是( )
A．2eq \r(5) B．0
C．－2eq \r(5) D．±2eq \r(5)
三、解答题（共4小题，满分44分）
15.（本题8分）
（1）已知2a＝5b＝m，且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2，求m的值；
（2）已知2x＝8y＋1，9y＝3x－9，求x＋y的值；
16.（本题10分）
对于正整数a，b，c(a≤b≤c)和非零实数x，y，z，ω，有ax＝by＝cz＝70ω，eq \f(1,ω)＝eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＋eq \f(1,z)，求a，b，c的值；
17.（本题满分12分）
（1）已知2x＋2－x＝a(常数)，求16x＋16－x的值；
（2）已知x＋y＝12，xy＝9且x18.（本题满分14分、第1小题满分4分、第2小题满分4分，第3小题满分6分）
已知lgax＋3lgxa－lgxy＝3(a>1)，若设x＝at.
（1）试用a，t表示y；
（2）若当0