高中数学湘教版（2019）选择性必修 第二册3.3 正态分布精品达标测试

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A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由正态分布密度函数，可得．故选B．
2．设随机变量服从正态分布，若，则实数
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线关于对称．
又，所以，解得．故选C．
3．已知甲、乙两种水果的质量分别服从正态分布，，其正态分布的密度曲线如图
所示，则
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由正态分布密度曲线关于对称可知，．又因为越小正态曲线越尖陡，越大越扁平，所以．故选A．
4．已知随机变量服从正态分布，若，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为随机变量服从正态分布，所以，即正态曲线关于直线对称，所以．故选A．
5．据统计2021年“十一”黄金周哈尔滨太阳岛每天接待的游客人数服从正态分布，则在
此期间的某一天，太阳岛接待的人数不少于的概率为
附：若，则，，
．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为服从正态分布，且
所以，所以，
所以．故选D．
二．填空题（每小题5分）．
6．已知，则 ．
【答案】
【解析】因为服从标准正态分布，所以．
7．如果正态分布总体的数据落在内的概率和落在内的概率相等，那么这个正态分布总体的
数学期望是 ．
【答案】
【解析】由正态分布曲线的对称性知，．
8．某超市经营的某种包装优质东北大米的重量（单位：）服从正态分布，任意选取一
袋这种大米，重量在的概率为 ．
附：若，则，，
．
【答案】
【解析】因为，所以．
所以．
9．在某市年月的高二质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布．已知参加
本次考试的全市理科学生约人．某学生在这次考试中的数学成绩是分，那么他的数学成绩大约排在全市第 名．
附：若，则，，
．
【答案】
【解析】因为考试的成绩，所以．
所以，
数学成绩为分的学生大约排在全市第名．
10．在产品质量检测中，已知某产品的一项质量指标，且质量指标在内的产品
数量为，请估计该批次检测的产品数量为 ．
附：若，则，，
．
【答案】
【解析】因为，所以．
所以．
又指标在内的产品数量为，所以该批次检测的产品数量为．
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
11．（本小题满分12分）
《福建省高考改革试点方案》规定：从2018年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2021年高考总成绩由语数外三门统考科目和物理、化学等六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B、C、D、E共5个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%、2%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到五个分数区间，得到考生的等级成绩．某市高一学生共6000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六门选考科目进行测试，其中化学考试原始成绩大致服从正态分布．
（1）求该市化学原始成绩在区间的人数；
（2）以各等级人数所占比例作为各分数区间发生的概率，按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间的人数，求．
（附：若随机变量，则，，）
【答案】（1）4911人；（2）．
【解析】（1）因为化学原始成绩，
所以
．
所以化学原始成绩在的人数为（人）．
（2）因为以各等级人数所占比例作为各分数区间发生的概率，且等级成绩在区间的人数所占比例分别为35%、35%，则随机抽取1人，其等级成绩在区间内的概率为 ，
所以从全省考生中随机抽取3人，则的所有可能取值为0，1，2，3，且，
所以．
12．（本小题满分12分）
国庆70周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线，每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅兵方队，筛选标准非常严格，例如要求女兵身高（单位：）在区间内．现从全体受阅女兵中随机抽取人，对她们的身高进行统计，将所得数据分为，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为，最后三组的频率之和为．
（1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）用频率估计概率，从全体受阅女兵中随机抽取个，求身高位于区间内的人数不超过个的概率；
（3）根据样本数据，可认为受阅女兵的身高（cm）近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，求．
参考数据：若，则，，．
【答案】（1），；（Ⅱ）；（Ⅲ）．
【解析】（1）由题意可知：第三组的频率为，
第五组的频率为，
第二组的频率为，
所以五组的频率分别为：，
所以，
．
（2）从全体受阅女兵中随机抽取 个女兵身高位于区间的概率为，
则随机抽个人，身高位于区间内不超过个的概率为．
（3）由（Ⅰ）知： ，，
所以
，
所以．