2024届鲁科版新教材高考物理一轮复习教案第四章抛体运动与圆周运动专题强化六圆周运动的临界问题

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题型一 水平面内圆周运动的临界问题
物体做圆周运动时，若物体的速度、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态．
1．常见的临界情况
(1)水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与盘间恰好达到最大静摩擦力．
(2)物体间恰好分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零．
(3)绳的拉力出现临界条件的情形有：绳恰好拉直意味着绳上无弹力；绳上拉力恰好为最大承受力等．
2．分析方法
分析圆周运动临界问题的方法是让角速度或线速度从小逐渐增大，分析各量的变化，找出临界状态．确定了物体运动的临界状态和临界条件后，选择研究对象进行受力分析，利用牛顿第二定律列方程求解．
例1 (2018·浙江11月选考·9)如图所示，一质量为2.0×103 kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4×104 N，当汽车经过半径为80 m的弯道时，下列判断正确的是( )
A．汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力
B．汽车转弯的速度为20 m/s时所需的向心力为1.4×104 N
C．汽车转弯的速度为20 m/s时汽车会发生侧滑
D．汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0 m/s2
答案 D
解析 汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力，向心力是由摩擦力提供的，A错误；汽车转弯的速度为20 m/s时，根据F＝meq \f(v2,R)，得所需的向心力为1.0×104 N，没有超过最大静摩擦力，所以汽车不会发生侧滑，B、C错误；汽车安全转弯时的最大向心加速度为am＝eq \f(f,m)＝7.0 m/s2，D正确．
例2 (多选)如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l.木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是( )
A．b一定比a先开始滑动
B．a、b所受的摩擦力始终相等
C．ω＝eq \r(\f(kg,2l))是b开始滑动的临界角速度
D．当ω＝eq \r(\f(2kg,3l))时，a所受摩擦力的大小为kmg
答案 AC
解析 小木块a、b做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即f＝mω2R.当角速度增大时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块a有fa＝mωa2l，当fa＝kmg时，kmg＝mωa2l，ωa＝eq \r(\f(kg,l))；对木块b有fb＝mωb2·2l，当fb＝kmg时，kmg＝mωb2·2l，ωb＝eq \r(\f(kg,2l))，则ω＝eq \r(\f(kg,2l))是b开始滑动的临界角速度，所以b先达到最大静摩擦力，即b比a先开始滑动，选项A、C正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则fa＝mω2l，则fb＝mω2·2l，fa3mg，C正确．
题型三 斜面上圆周运动的临界问题
物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力大小相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化．
物体在转动过程中，转动越快，最容易滑动的位置是最低点，恰好滑动时：μmgcs θ－mgsin θ＝mω2R.
例7 (多选)如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴2.5 m处有一小物体(可视为质点)与圆盘始终保持相对静止，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2，则以下说法中正确的是( )
A．小物体随圆盘以不同的角速度ω做匀速圆周运动时，ω越大时，小物体在最高点处受到的摩擦力一定越大
B．小物体受到的摩擦力可能背离圆心
C．若小物体与盘面间的动摩擦因数为eq \f(\r(3),2)，则ω的最大值是1.0 rad/s
D．若小物体与盘面间的动摩擦因数为eq \f(\r(3),2)，则ω的最大值是eq \r(3) rad/s
答案 BC
解析 当物体在最高点时，也可能受到重力、支持力与摩擦力三个力的作用，摩擦力的方向可能沿斜面向上(即背离圆心)，也可能沿斜面向下(即指向圆心)，摩擦力的方向沿斜面向上时，ω越大时，小物体在最高点处受到的摩擦力越小，故A错误，B正确；当物体转到圆盘的最低点恰好不滑动时，圆盘的角速度最大，此时小物体受竖直向下的重力、垂直于斜面向上的支持力、沿斜面指向圆心的摩擦力，由沿斜面的合力提供向心力，支持力 N＝mgcs 30°，摩擦力f＝μN＝μmgcs 30°，又μmgcs 30°－mgsin 30°＝mω2R，解得ω＝1.0 rad/s，故C正确，D错误．
课时精练
1．一汽车通过拱形桥顶时速度为10 m/s，车对桥顶的压力为车重的eq \f(3,4)，如果要使汽车在该桥顶对桥面恰好没有压力，车速为( )
A．15 m/s B．20 m/s
C．25 m/s D．30 m/s
答案 B
解析 当N′＝N＝eq \f(3,4)G时，有G－N′＝meq \f(v2,r)，所以eq \f(1,4)G＝meq \f(v2,r)；当N＝0时，G＝meq \f(v′2,r)，所以v′＝2v＝20 m/s，选项B正确．
2.(多选)如图所示，三角形为一光滑锥体的正视图，母线与竖直方向的夹角为θ＝37°.一根长为l＝1 m的细线一端系在锥体顶端，另一端系着一可视为质点的小球，小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，不计空气阻力，则( )
A．小球受重力、支持力、拉力和向心力
B．小球可能只受拉力和重力
C．当ω＝eq \f(5,2)eq \r(2) rad/s时，小球对锥体的压力刚好为零
D．当ω＝2eq \r(5) rad/s时，小球受重力、支持力和拉力作用
答案 BC
解析 转速较小时，小球紧贴锥体，则Tcs θ＋Nsin θ＝mg，Tsin θ－Ncs θ＝mω2lsin θ，随着转速的增加，T增大，N减小，当角速度ω达到ω0时支持力为零，支持力恰好为零时有mgtan θ＝mω02lsin θ，解得ω0＝eq \f(5,2)eq \r(2) rad/s，A错误，B、C正确；当ω＝2eq \r(5) rad/s时，小球已经离开斜面，小球受重力和拉力的作用，D错误．
3.(多选)(2023·湖北省华大新高考联盟名校联考)如图所示，在竖直平面内有一半径为R的光滑固定细管(忽略管的内径)，半径OB水平、OA竖直，一个直径略小于管内径的小球(可视为质点)由B点以某一初速度v0进入细管，之后从管内的A点以大小为vA的水平速度飞出．忽略空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A．为使小球能从A点飞出，小球在B点的初速度必须满足v0>eq \r(3gR)
B．为使小球能从A点飞出，小球在B点的初速度必须满足v0>eq \r(2gR)
C．为使小球从A点水平飞出后再返回B点，小球在B点的初速度应为v0＝eq \r(\f(5gR,2))
D．小球从A点飞出的水平初速度必须满足vA>eq \r(gR)，因而不可能使小球从A点水平飞出后再返回B点
答案 BC
解析 小球能从A点飞出，则在A点的最小速度大于零，则由机械能守恒定律有eq \f(1,2)mv02>mgR，则小球在B点的初速度必须满足v0>eq \r(2gR)，选项A错误，B正确；为使小球从A点水平飞出后再返回B点，则R＝vAt，R＝eq \f(1,2)gt2，联立解得vA＝eq \r(\f(gR,2))，eq \f(1,2)mv02＝mgR＋eq \f(1,2)mvA2，小球在B点的初速度应为v0＝eq \r(\f(5gR,2))，选项C正确；要使小球从A点飞出，则小球在A点的速度大于零即可，由选项C的分析可知，只要小球在A点的速度为eq \r(\f(gR,2))，小球就能从A点水平飞出后再返回B点，选项D错误．
4.(2023·福建省百校联考)半径为R的内壁光滑的圆环形轨道固定在水平桌面上，轨道的正上方和正下方分别有质量为mA和mB的小球A和B，A的质量是B的两倍，它们在轨道内沿逆时针方向滚动，经过最低点时速率相等；当B在最低点时，A球恰好在最高点，如图所示，此时轨道对桌面的压力恰好等于轨道重力，当地重力加速度为g.则小球在最低点的速率可表示为( )
A.eq \r(3gR)B.eq \r(5gR)
C.eq \r(11gR)D．2eq \r(5gR)
答案 C
解析 设小球A、B在最低点时速率为v1，对A、B在最低点，由牛顿第二定律可得NA1－mAg＝mAeq \f(v12,R)，NB－mBg＝mBeq \f(v12,R)，小球A从最低点运动到最高点(速率为v2)过程，由动能定理可得－2mAgR＝eq \f(1,2)mAv22－eq \f(1,2)mAv12，小球A在最高点时，由牛顿第二定律可得NA2＋mAg＝mAeq \f(v22,R)，由题意知NA2＝NB，mA＝2mB，联立以上各式可解得v1＝eq \r(11gR)，故选C.
5.(2023·湖南岳阳市第十四中学检测)如图所示，叠放在水平转台上的物体 A、B及物体 C能随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C 的质量分别为3m、2m、m，A与B、B和C与转台间的动摩擦因数都为μ，A 和B、C离转台中心的距离分别为r和1.5r.最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物体A、B、C均可视为质点，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A．B对A的摩擦力一定为3μmg
B．B对A的摩擦力一定为3mω2r
C．转台的角速度需要满足ω≤eq \r(\f(μg,r))
D．若转台的角速度逐渐增大，最先滑动的是A物体
答案 B
解析 由于物体 A、B及物体 C能随转台一起匀速转动，则三个物体受到的均为静摩擦力，由静摩擦力提供向心力，则B对A的摩擦力一定为fA＝3mω2r，又有0ω3，由于物体 A、B及物体 C均随转台一起匀速转动，则转台的角速度需要满足ω≤ω3＝eq \r(\f(2μg,3r))，该分析表明，当角速度逐渐增大时，物体C所受摩擦力先达到最大静摩擦力，即若转台的角速度逐渐增大，最先滑动的是C物体，C、D错误．
6．(2023·四川绵阳市诊断)如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B(均可视为质点)，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力．忽略空气阻力，重力加速度为g，则球B在最高点时( )
A．球B的速度为零
B．球A的速度大小为eq \r(2gL)
C．水平转轴对杆的作用力为1.5mg
D．水平转轴对杆的作用力为2.5mg
答案 C
解析 球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力，即仅重力提供向心力，则有mg＝meq \f(vB2,2L)，解得vB＝eq \r(2gL)，故A错误；由于A、B两球的角速度相等，则球A的速度大小vA＝eq \f(1,2)eq \r(2gL)，故B错误；B球在最高点时，对杆无弹力，此时A球受到的重力和拉力的合力提供向心力，有F－mg＝meq \f(vA2,L)，解得F＝1.5mg，即杆受到的弹力大小为1.5mg，可知水平转轴对杆的作用力为1.5mg，C正确，D错误．
7.(2023·重庆市西南大学附属中学月考)如图所示，在倾角为α＝30°的光滑斜面上有一长L＝0.8 m的轻杆，杆一端固定在O点，可绕O点自由转动，另一端系一质量为m＝0.05 kg的小球(可视为质点)，小球在斜面上做圆周运动，g取10 m/s2.要使小球能到达最高点A，则小球在最低点B的最小速度是( )
A．4 m/s B．2eq \r(10) m/s
C．2eq \r(5) m/s D．2eq \r(2) m/s
答案 A
解析 小球恰好到达A点时的速度大小为vA＝0，此时对应B点的速度最小，设为vB，对小球从A到B的运动过程，由动能定理有eq \f(1,2)mvB2－eq \f(1,2)mvA2＝2mgLsin α，代入数据解得vB＝4 m/s，故选A.
8.(多选)如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L的水平细绳连接，木块与转盘间的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是(重力加速度为g)( )
A．当ω>eq \r(\f(2Kg,3L))时，A、B会相对于转盘滑动
B．当ω>eq \r(\f(Kg,2L))，绳子一定有弹力
C．ω在eq \r(\f(Kg,2L))