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2024届鲁科版新教材高考物理一轮复习教案第十章电路及应用实验十一测量电源的电动势和内阻
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这是一份2024届鲁科版新教材高考物理一轮复习教案第十章电路及应用实验十一测量电源的电动势和内阻，共14页。
考点一 伏安法测电源的电动势和内阻
1．实验原理
闭合电路欧姆定律．
2．实验器材
干电池、电压表、电流表、滑动变阻器、开关、导线、坐标纸和刻度尺．
3．实验步骤
(1)电流表用0.6 A的量程，电压表用3 V的量程，按图连接好电路．
(2)把滑动变阻器的滑片移到接入电路阻值最大的一端．
(3)闭合开关，调节滑动变阻器，使电流表有明显示数并记录一组数据(I1，U1)．用同样的方法再测量几组I、U值，填入表格中．
(4)断开开关，拆除电路，整理好器材．
4．实验数据处理
(1)列方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(E＝U1＋I1r,E＝U2＋I2r))，解出E、r，并多次测量求平均值．
(2)用作图法处理数据，如图所示．
①图线与纵轴交点为电源电动势E；
②图线斜率的绝对值为内阻r.
5．误差分析
(1)偶然误差：主要来源于电压表和电流表的读数以及作U－I图像时描点不准确．
(2)系统误差：
①若采用甲图电路
方法a 电压表的分流作用造成误差，电压值越大，电压表的分流越多，对应的I真与I测的差越大，IV＝eq \f(U,RV).其中U－I图像如图乙所示．
结论：E测方法b 等效电源法
如图甲所示，E测＝eq \f(RV,RV＋r)E真②若采用丙图电路
方法a 电流表的分压作用造成误差，电流越大，电流表分压越多，对应U真与U测的差越大，UA＝I·RA.其中U－I图像如图丁所示．
结论：E测＝E真，r测>r真．
方法b 等效电源法
如图丙所示，E测＝E真，r测＝r＋RA>r真．
(3)电路选择：
①电源内阻一般较小，选图甲电路误差较小．
②当内阻已知时选图丙电路，此时r＝k－RA，没有系统误差．
6．注意事项
(1)为了使路端电压变化明显，可使用内阻较大的旧电池．
(2)电流不要过大，应小于0.5 A，读数要快．
(3)要测出不少于6组的(I，U)数据，变化范围要大些．
(4)若U－I图线纵轴刻度不从零开始，则图线和横轴的交点不再是短路电流，内阻应根据r＝|eq \f(ΔU,ΔI)|确定．
例1 (2023·福建宁德市质检)小明同学尝试测量电瓶车上蓄电池的电动势和内阻，并探究滑动变阻器消耗的功率P.
(1)已知电源内阻比较小，移动滑动变阻器滑片时，为了使电压表示数变化比较明显，小明在思考后将R0＝7 Ω的定值电阻串入电路________(选填“A”或“B”)中，解决了问题．
(2)选定设计的实验电路后，多次调节滑动变阻器R的阻值，读出相应的电压表和电流表示数U和I，由测得的数据描绘出如图所示的U－I图像．则蓄电池的内阻r0＝________Ω，滑动变阻器R消耗的最大功率为________W．(结果均保留2位有效数字)
(3)该同学分析了实验中由电表内阻引起的实验误差．下列图中，实线是根据本实验的数据描点作图得到的U－I图像；虚线是该电源在没有电表内阻影响的理想情况下所对应的U－I图像．则可能正确的是________．
答案 (1)A (2)1.0 1.1 (3)C
解析 (1)由闭合电路欧姆定律U＝E－Ir0可知U值变化较小是由于r0太小，串联电阻应置于干路，故选A.
(2)加电阻后测量电路图为A图，由闭合电路欧姆定律有U＝E－I(r0＋R0)
题图中图线的纵轴截距表示电动势E＝6.0 V，斜率绝对值表示(r0＋R0)，图线斜率绝对值为k＝eq \f(6.0,0.75) Ω＝r0＋R0，解得r0＝1.0 Ω.加电阻后，将R0看作内阻的一部分，设r1＝r0＋R0，则对于滑动变阻器的功率有P＝eq \f(E2,R＋r12)R，整理得P＝eq \f(E2,\f(R－r12,R)＋4r1)，由该式可知，当滑动变阻器的阻值R＝r1＝8 Ω时，滑动变阻器消耗的功率最大，代入数据，整理得P＝eq \f(62,8＋82)×8 W≈1.1 W
(3)由电路图可知，由于电压表的分流作用，电流的测量值小于真实值，因此虚线在实线的上方，当电压表示数为零时，电流测量值与真实值相等，因此虚线与实线在I轴相交，A、B、D错误，C正确．
例2 (2023·湖南省长郡中学月考)某同学要测量“水果电池”的电动势和内阻，提供下列仪器：
A．待测“水果电池”(电动势E约为4 V，内阻r约为200 Ω)
B．毫安表A(量程5 mA，内阻为RA＝60 Ω)
C．电压表V(量程U0＝4 V，内阻约5 kΩ)
D．电阻箱R1(0～999.9 Ω)
E．滑动变阻器R(0～1 000 Ω)
F．开关、导线若干．
(1)由于毫安表的量程太小，该同学用电阻箱R1与毫安表A并联，可使其量程扩大，取R1＝eq \f(1,4)RA，则改装后的电流表量程为毫安表满偏电流的________倍；
(2)用改装后的电流表完成实验，应该选择的实验电路是图中的________(选填“甲”或“乙”)；
(3)根据实验数据画出U－I图线，如图所示．由图线可得，“水果电池”的电动势E＝____ V，内电阻r＝________ Ω.(保留三位有效数字)
答案 (1)5 (2)乙 (3)3.80 175
解析 (1)设毫安表电流为IA，由并联电路的规律可得IARA＝(I－IA)R1，解得I＝5IA，因此改装后的电流表量程为毫安表满偏电流的5倍；
(2)由于电流表内阻已知，因此采用题图乙电路可以避免电流表分压的误差，故选乙电路．
(3)改装后电流表的内阻为RA′＝eq \f(RAR1,RA＋R1)＝eq \f(60×15,60＋15) Ω＝12 Ω，则由闭合电路欧姆定律可得E＝Ir＋IRA′＋U，转化可得U＝－(r＋RA′)I＋E
由U－I图像可得b＝E＝3.80 V，|k|＝|－(r＋RA′)|＝eq \f(3.80－1.00,15－0×10－3) Ω，解得E＝3.80 Ω，r＝175 Ω.
考点二 安阻法测电动势和内阻
1．实验原理
闭合电路的欧姆定律E＝IR＋Ir，电路图如图所示．
2．实验器材
电池、电流表、电阻箱、开关、导线、坐标纸和刻度尺．
3．数据处理
(1)计算法：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(E＝I1R1＋I1r,E＝I2R2＋I2r))
解方程组求得E、r.
(2)图像法：由E＝I(R＋r)可得
①eq \f(1,I)＝eq \f(1,E)R＋eq \f(r,E)，可作eq \f(1,I)－R图像(如图甲)
eq \f(1,I)－R图像的斜率k＝eq \f(1,E)，纵轴截距为eq \f(r,E)
②R＝E·eq \f(1,I)－r，可作R－eq \f(1,I)图像(如图乙)
R－eq \f(1,I)图像的斜率k＝E，纵轴截距为－r.
4．误差分析
(1)误差来源：电流表有电阻，导致内阻测量不准确；
(2)结论：E测＝E真，r测＞r真(r测＝r真＋rA)．
例3 某物理兴趣小组要测量一电池组的电动势和内阻，实验室提供下列仪器：
A．电池组(电动势约为3 V，内阻约为10 Ω)
B．电压表V(量程0～15.0 V，内阻约为3 000 Ω)
C．电流表A(量程为0～2 mA，内阻RA＝12 Ω)
D．定值电阻R0＝6 Ω
E．电阻箱R1(0～999 Ω，0～1.0 A)
F．滑动变阻器R2(0～2 000 Ω，0～1.0 A)
G．导线及开关
(1)同学们根据提供的器材，设计了如图甲所示的(a)、(b)两种测量电路，经讨论后认为(a)测量电路不合理，应选(b)测量电路．请说明(a)测量电路不合理的原因：_________________.
(2)请在图乙中按照(b)电路图连接测量电路．
(3)连接好电路后进行实验，调节电阻箱R1，记录下各仪器的读数．若某次实验时电阻箱旋钮及电流表指针如图丙所示，则此时电阻箱的阻值为________ Ω，通过电阻箱的电流大小为________ mA.
(4)设电源的电动势为E，内阻为r，改装后电流表内阻为Rg，某次实验中电阻箱的阻值为R1，电流表的读数为I，则电源电动势的表达式为E＝______________.(用I、R1、Rg、r表示)
(5)将测量数据的单位统一成国际单位，根据记录数据作出如图丁所示的图像，若测得图线纵轴截距为13.5，图线斜率为0.94，则电池组电动势E＝________ V，内阻r＝__________ Ω.(结果均保留到小数点后一位)
(6)误差分析：(b)测量电路设计方案及上述数据处理方法使电源电动势测量值__________(选填“偏大”“偏小”或“不受影响”)．
答案 (1)见解析 (2)见解析图
(3)875 3.6 (4)3I(R1＋Rg＋r)
(5)3.2 10.4 (6)不受影响
解析 (1)由于电流表量程较小，若直接测量干路中电流，则测量数据范围太小，测量误差较大，故(a)测量电路不合理；
(2)按照电路图连接 ，如图；
(3)如图丙电阻箱读数为875 Ω；电流表读数为1.2 mA，电流表扩大量程后Imax＝Ig(1＋eq \f(RA,R0))＝6 mA，故电流表量程扩大3倍，故通过电阻箱的电流大小为3.6 mA；
(4)改装后电流表内阻Rg＝eq \f(RAR0,RA＋R0)＝4 Ω，改装后电流表量程变为原来的3倍，故实际电流值为3I，根据闭合电路欧姆定律有E＝3I(R1＋Rg＋r)；
(5)由上述可知eq \f(1,I)＝eq \f(3,E)R1＋eq \f(3Rg＋r,E)
则eq \f(3Rg＋r,E)＝13.5 A－1，eq \f(3,E)＝0.94 A－1·Ω－1，
解得E＝3.2 V，r＝10.4 Ω；
(6)由于改装后电流表测量的是干路电流的真实值，故求得的电源电动势也是真实值，故不受影响．
考点三 伏阻法测电动势和内阻
1．实验原理
闭合电路欧姆定律E＝U＋eq \f(U,R)r，电路图如图所示．
2．实验器材
电池、电压表、电阻箱、开关、导线、坐标纸和刻度尺．
3．数据处理
(1)计算法：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(E＝U1＋\f(U1,R1)r,E＝U2＋\f(U2,R2)r))
解方程组可求得E和r.
(2)图像法：由E＝U＋eq \f(U,R)r得：eq \f(1,U)＝eq \f(1,E)＋eq \f(r,E)·eq \f(1,R).故eq \f(1,U)－eq \f(1,R)图像的斜率k＝eq \f(r,E)，纵轴截距为eq \f(1,E)，如图．
4．误差分析
(1)误差来源：电压表有内阻，干路电流表达式不准确，导致电动势测量不准确；
(2)结论：E测＜E真，r测＜r真．
例4 (2021·全国乙卷·23)一实验小组利用图(a)所示的电路测量一电池的电动势E(约1.5 V)和内阻r(小于2 Ω)．图中电压表量程为1 V，内阻RV＝380.0 Ω；定值电阻R0＝20.0 Ω；电阻箱R最大阻值为999.9 Ω；S为开关．按电路图连接电路．完成下列填空：
(1)为保护电压表，闭合开关前，电阻箱接入电路的电阻值可以选________Ω(填“5.0”或“15.0”)；
(2)闭合开关，多次调节电阻箱，记录下阻值R和电压表的相应读数U；
(3)根据图(a)所示电路，用R、R0、RV、E和r表示eq \f(1,U)，得eq \f(1,U)＝________；
(4)利用测量数据，作eq \f(1,U)－R图线，如图(b)所示：
(5)通过图(b)可得E＝________V(保留2位小数)，r＝________Ω(保留1位小数)；
(6)若将图(a)中的电压表当成理想电表，得到的电源电动势为E′，由此产生的误差为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(E′－E,E)))×100%＝________%.
答案 (1)15.0
(3)eq \f(R0＋RV,ERVR0)·R＋eq \f(1,E)＋eq \f(RV＋R0r,ERVR0)
(5)1.55 1.0 (6)5
解析 (1)为了避免电压表被烧坏，接通电路时电压表两端的电压不能比电压表满偏电压大，当电压表满偏时有eq \f(Um,\f(RVR0,RV＋R0))＝eq \f(E－Um,R＋r)
代入数据解得R＋r＝9.5 Ω，故R>7.5 Ω
因此电阻箱接入电路的电阻值选15.0 Ω.
(3)由闭合电路的欧姆定律可得
E＝U＋eq \f(U,\f(RVR0,RV＋R0))(R＋r)
化简可得eq \f(1,U)＝eq \f(R0＋RV,ERVR0)·R＋eq \f(1,E)＋eq \f(RV＋R0,ERVR0)r
(5)由上面公式可得eq \f(R0＋RV,ERVR0)＝k＝eq \f(1,19E)，
eq \f(1,E)＋eq \f(RV＋R0,ERVR0)r＝b＝eq \f(1,E)＋eq \f(r,19E)
由eq \f(1,U)－R图像计算可得k≈0.034 V－1·Ω－1
延长图线，得到图线与纵轴的交点为0.85 V－1，则有0.85 V－1＝eq \f(1,E)＋eq \f(r,19E)＋eq \f(5,19E)(V－1)
代入可得E≈1.55 V，r≈1.0 Ω.
(6)如果电压表为理想电压表，则有
eq \f(1,U)＝eq \f(1,E)＋eq \f(r,ER0)＋eq \f(1,ER0)R
则此时E′＝eq \f(1,20k)
因此误差为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\f(1,20k)－\f(1,19k),\f(1,19k))))×100%＝5%.
课时精练
1．(2023·福建省莆田第二中学模拟)某同学在测量两节干电池串联时的电动势和内阻时所用的器材如下：
A．两节干电池：总电动势约为3 V，总内阻约为0.5 Ω；
B．电压表V：量程为3 V，内阻为几千欧；
C．电流表A：量程为100 mA，内阻为4.5 Ω；
D．定值电阻R0：阻值为0.5 Ω；
E．滑动变阻器R：0～20 Ω；
F．开关，导线若干．
(1)该同学设计出如图甲所示的电路图，根据电路图用笔画线在图乙中将实物图连接完整．
(2)实验中，该小组闭合开关，调节滑动变阻器，多次测量得出多组电压表的示数U和电流表的示数I，通过描点画出电源的U—I图像如图丙所示，该两节干电池的总电动势E＝________V(结果保留三位有效数字)，总内阻r＝________Ω(结果保留两位有效数字)．
(3)电流表的内阻对两节干电池总电动势的测量结果________(填“有”或“没有”)影响．
答案 (1)见解析图 (2) 2.95(2.94～2.96均可) 0.50(0.49～0.51均可) (3)没有
解析 (1)电路图如图所示．
(2)电流表与定值电阻并联后得到的改装电流表的量程为1 A，内阻RA＝0.45 Ω，由闭合电路欧姆定律得E＝U＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(I＋\f(IrA,R0)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(RA＋r))，则有U＝E－Ieq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(rA,R0)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(RA＋r))，故U－I图像的纵轴截距为两节干电池的总电动势，由题图丙可知E＝2.95 V．U－I图像斜率的绝对值等于10eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(RA＋r))，故RA＋r＝0.95 Ω，解得r＝0.50 Ω.
(3)当电流表的示数为0时，外电压等于两节干电池的总电动势，故电动势没有系统误差，所以电流表的内阻对两节干电池总电动势的测量结果没有影响．
2．(2021·天津卷·10)随着智能手机的广泛应用，充电宝成为手机及时充电的一种重要选择．充电宝可以视为与电池一样的直流电源．一充电宝的电动势约为5 V，内阻很小，最大放电电流为2 A，某实验小组测定它的电动势和内阻．他们剥开充电宝连接线的外绝缘层，里面有四根导线，红导线为充电宝的正极，黑导线为充电宝的负极，其余两根导线空置不用，另有滑动变阻器R用于改变电路中的电流，定值电阻R0＝3 Ω，两只数字多用电表M、N，两表均为理想电表，并与开关S连成如图所示电路．
(1)图中测量电流的电表是________，测量电压的电表是________．(均填写字母“M”或“N”)
(2)调节滑动变阻器，测得多组I、U数据，记录如下表，其中只有一个数据记录有误，审视记录的数据，可以发现表中第________次的记录数据有误．(填测量次数的序号)
(3)电路中接入R0可以达到下列哪个效果______．(填选项前的字母)
A．使测电流的电表读数变化明显
B．为了更准确地测量充电宝内阻
C．避免使充电宝的放电电流过大
D．减小测量电压的电表分流作用
答案 (1)N M (2)4 (3)C
解析 (1)电表N串联在电路中，测量干路电流，所以N为电流表；电表M一端接在开关上，另一端接在充电宝的负极，闭合开关后相当于并联在电源两端，所以M为电压表，测量路端电压；
(2)题中表格中的电流I不断增大，根据闭合电路欧姆定律E＝U＋Ir可知路端电压U不断减小，电压表的示数不断减小，所以第4次的记录数据有误；
(3)因为充电宝的内阻很小，所以电阻R0串联在电路中，起保护电路的作用，避免使充电宝的放电电流过大损坏电路中的器件．故选C.
3．(2023·福建省百校联合高三测评)某学习小组欲测量某型号手机所用锂电池的电动势E和内阻r(电动势约为4 V，内阻约为几欧)，他们找到的器材有：电压表V(量程为6 V，内阻约为6.0 kΩ)、定值电阻R0＝10 Ω、电阻箱R(0～999.9 Ω)、开关S一只、导线若干．
(1)请以笔画线代替导线将图甲中的实物图补充完整；
(2)闭合开关，调节电阻箱的阻值R，得到多组测量数据，根据测量数据作出U－eq \f(U,R)图像，如图乙所示．则该锂电池的电动势E＝______________V，内阻r＝________Ω.(结果均保留三位有效数字)
答案 (1)见解析图 (2)3.75(3.74～3.76都对) 5.00(4.90～5.10都对)
解析 (1)根据题图乙的图像可知电压表测量电阻箱两端的电压，实物图连接如图所示．
(2)根据闭合电路欧姆定律得E＝U＋eq \f(U,R)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(R0＋r))，化简得U＝E－eq \f(U,R)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(R0＋r))，所以U－eq \f(U,R)图像的纵轴截距表示电源电动势，即E＝3.75 V；图像斜率的绝对值表示定值电阻R0和电源内阻r的和，即R0＋r＝eq \f(3.75－1.5,0.15) Ω，解得电源内阻r＝5.00 Ω.
4．利用如图(a)所示电路，可以测量电源的电动势和内阻，所用的实验器材有：
待测电源，电阻箱R(最大阻值999.9 Ω)，电阻R0(阻值为3.0 Ω)，电阻R1(阻值为3.0 Ω)，电流表(量程为200 mA，内阻为RA＝6.0 Ω)，开关S.
实验步骤如下：
①将电阻箱阻值调到最大，闭合开关S；
②多次调节电阻箱，记下电流表的示数I和电阻箱相应的阻值R；
③以eq \f(1,I)为纵坐标，R为横坐标，作eq \f(1,I)－R图线(用直线拟合)；
④求出直线的斜率k和在纵轴上的截距b.
回答下列问题：
(1)分别用E和r表示电源的电动势和内阻，则eq \f(1,I)与R的关系式为________________．
(2)实验得到的部分数据如下表所示，其中电阻R＝3.0 Ω时，电流表的示数如图(b)所示，读出数据，完成下表．答：①________，②________.
(3)在图(c)的坐标纸上描点并作图，根据图线求得斜率k＝______ A－1·Ω－1，截距b＝________ A－1.
(4)根据图线求得电源电动势E＝________ V，内阻r＝________ Ω.
答案 (1)eq \f(1,I)＝eq \f(3,E)R＋eq \f(15＋3r,E) (2)0.110 9.09 (3)见解析图 1.0(0.96～1.04均可) 6.0(5.9～6.1均可) (4)3.0(2.9～3.1均可) 1.0(0.7～1.3均可)
解析 (1)根据闭合电路欧姆定律有
E＝(eq \f(IRA,R1)＋I)(R＋R0＋r)＋IRA，
代入数据，化简得eq \f(1,I)＝eq \f(3,E)R＋eq \f(15＋3r,E).
(2)电流表每小格表示4 mA，因此电流表读数I＝0.110 A，eq \f(1,I)≈9.09 A－1.
(3)在坐标纸上描点，画出一条直线，得出斜率k＝1.0 A－1·Ω－1，截距b＝6.0 A－1.
(4)斜率k＝eq \f(3,E)，因此E＝3.0 V，纵轴截距b＝eq \f(15＋3r,E)，因此 r＝1.0 Ω.次数
1
2
3
4
5
6
7
电流I/A
0.299
0.477
0.684
0.877
1.065
1.281
1.516
电压U/V
4.970
4.952
4.932
4.942
4.894
4.872
4.848
R/Ω
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
I/A
0.143
0.125
①
0.100
0.091
0.084
eq \f(1,I)/A－1
6.99
8.00
②
10.0
11.0
11.9
考点一 伏安法测电源的电动势和内阻
1．实验原理
闭合电路欧姆定律．
2．实验器材
干电池、电压表、电流表、滑动变阻器、开关、导线、坐标纸和刻度尺．
3．实验步骤
(1)电流表用0.6 A的量程，电压表用3 V的量程，按图连接好电路．
(2)把滑动变阻器的滑片移到接入电路阻值最大的一端．
(3)闭合开关，调节滑动变阻器，使电流表有明显示数并记录一组数据(I1，U1)．用同样的方法再测量几组I、U值，填入表格中．
(4)断开开关，拆除电路，整理好器材．
4．实验数据处理
(1)列方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(E＝U1＋I1r,E＝U2＋I2r))，解出E、r，并多次测量求平均值．
(2)用作图法处理数据，如图所示．
①图线与纵轴交点为电源电动势E；
②图线斜率的绝对值为内阻r.
5．误差分析
(1)偶然误差：主要来源于电压表和电流表的读数以及作U－I图像时描点不准确．
(2)系统误差：
①若采用甲图电路
方法a 电压表的分流作用造成误差，电压值越大，电压表的分流越多，对应的I真与I测的差越大，IV＝eq \f(U,RV).其中U－I图像如图乙所示．
结论：E测
如图甲所示，E测＝eq \f(RV,RV＋r)E真
方法a 电流表的分压作用造成误差，电流越大，电流表分压越多，对应U真与U测的差越大，UA＝I·RA.其中U－I图像如图丁所示．
结论：E测＝E真，r测>r真．
方法b 等效电源法
如图丙所示，E测＝E真，r测＝r＋RA>r真．
(3)电路选择：
①电源内阻一般较小，选图甲电路误差较小．
②当内阻已知时选图丙电路，此时r＝k－RA，没有系统误差．
6．注意事项
(1)为了使路端电压变化明显，可使用内阻较大的旧电池．
(2)电流不要过大，应小于0.5 A，读数要快．
(3)要测出不少于6组的(I，U)数据，变化范围要大些．
(4)若U－I图线纵轴刻度不从零开始，则图线和横轴的交点不再是短路电流，内阻应根据r＝|eq \f(ΔU,ΔI)|确定．
例1 (2023·福建宁德市质检)小明同学尝试测量电瓶车上蓄电池的电动势和内阻，并探究滑动变阻器消耗的功率P.
(1)已知电源内阻比较小，移动滑动变阻器滑片时，为了使电压表示数变化比较明显，小明在思考后将R0＝7 Ω的定值电阻串入电路________(选填“A”或“B”)中，解决了问题．
(2)选定设计的实验电路后，多次调节滑动变阻器R的阻值，读出相应的电压表和电流表示数U和I，由测得的数据描绘出如图所示的U－I图像．则蓄电池的内阻r0＝________Ω，滑动变阻器R消耗的最大功率为________W．(结果均保留2位有效数字)
(3)该同学分析了实验中由电表内阻引起的实验误差．下列图中，实线是根据本实验的数据描点作图得到的U－I图像；虚线是该电源在没有电表内阻影响的理想情况下所对应的U－I图像．则可能正确的是________．
答案 (1)A (2)1.0 1.1 (3)C
解析 (1)由闭合电路欧姆定律U＝E－Ir0可知U值变化较小是由于r0太小，串联电阻应置于干路，故选A.
(2)加电阻后测量电路图为A图，由闭合电路欧姆定律有U＝E－I(r0＋R0)
题图中图线的纵轴截距表示电动势E＝6.0 V，斜率绝对值表示(r0＋R0)，图线斜率绝对值为k＝eq \f(6.0,0.75) Ω＝r0＋R0，解得r0＝1.0 Ω.加电阻后，将R0看作内阻的一部分，设r1＝r0＋R0，则对于滑动变阻器的功率有P＝eq \f(E2,R＋r12)R，整理得P＝eq \f(E2,\f(R－r12,R)＋4r1)，由该式可知，当滑动变阻器的阻值R＝r1＝8 Ω时，滑动变阻器消耗的功率最大，代入数据，整理得P＝eq \f(62,8＋82)×8 W≈1.1 W
(3)由电路图可知，由于电压表的分流作用，电流的测量值小于真实值，因此虚线在实线的上方，当电压表示数为零时，电流测量值与真实值相等，因此虚线与实线在I轴相交，A、B、D错误，C正确．
例2 (2023·湖南省长郡中学月考)某同学要测量“水果电池”的电动势和内阻，提供下列仪器：
A．待测“水果电池”(电动势E约为4 V，内阻r约为200 Ω)
B．毫安表A(量程5 mA，内阻为RA＝60 Ω)
C．电压表V(量程U0＝4 V，内阻约5 kΩ)
D．电阻箱R1(0～999.9 Ω)
E．滑动变阻器R(0～1 000 Ω)
F．开关、导线若干．
(1)由于毫安表的量程太小，该同学用电阻箱R1与毫安表A并联，可使其量程扩大，取R1＝eq \f(1,4)RA，则改装后的电流表量程为毫安表满偏电流的________倍；
(2)用改装后的电流表完成实验，应该选择的实验电路是图中的________(选填“甲”或“乙”)；
(3)根据实验数据画出U－I图线，如图所示．由图线可得，“水果电池”的电动势E＝____ V，内电阻r＝________ Ω.(保留三位有效数字)
答案 (1)5 (2)乙 (3)3.80 175
解析 (1)设毫安表电流为IA，由并联电路的规律可得IARA＝(I－IA)R1，解得I＝5IA，因此改装后的电流表量程为毫安表满偏电流的5倍；
(2)由于电流表内阻已知，因此采用题图乙电路可以避免电流表分压的误差，故选乙电路．
(3)改装后电流表的内阻为RA′＝eq \f(RAR1,RA＋R1)＝eq \f(60×15,60＋15) Ω＝12 Ω，则由闭合电路欧姆定律可得E＝Ir＋IRA′＋U，转化可得U＝－(r＋RA′)I＋E
由U－I图像可得b＝E＝3.80 V，|k|＝|－(r＋RA′)|＝eq \f(3.80－1.00,15－0×10－3) Ω，解得E＝3.80 Ω，r＝175 Ω.
考点二 安阻法测电动势和内阻
1．实验原理
闭合电路的欧姆定律E＝IR＋Ir，电路图如图所示．
2．实验器材
电池、电流表、电阻箱、开关、导线、坐标纸和刻度尺．
3．数据处理
(1)计算法：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(E＝I1R1＋I1r,E＝I2R2＋I2r))
解方程组求得E、r.
(2)图像法：由E＝I(R＋r)可得
①eq \f(1,I)＝eq \f(1,E)R＋eq \f(r,E)，可作eq \f(1,I)－R图像(如图甲)
eq \f(1,I)－R图像的斜率k＝eq \f(1,E)，纵轴截距为eq \f(r,E)
②R＝E·eq \f(1,I)－r，可作R－eq \f(1,I)图像(如图乙)
R－eq \f(1,I)图像的斜率k＝E，纵轴截距为－r.
4．误差分析
(1)误差来源：电流表有电阻，导致内阻测量不准确；
(2)结论：E测＝E真，r测＞r真(r测＝r真＋rA)．
例3 某物理兴趣小组要测量一电池组的电动势和内阻，实验室提供下列仪器：
A．电池组(电动势约为3 V，内阻约为10 Ω)
B．电压表V(量程0～15.0 V，内阻约为3 000 Ω)
C．电流表A(量程为0～2 mA，内阻RA＝12 Ω)
D．定值电阻R0＝6 Ω
E．电阻箱R1(0～999 Ω，0～1.0 A)
F．滑动变阻器R2(0～2 000 Ω，0～1.0 A)
G．导线及开关
(1)同学们根据提供的器材，设计了如图甲所示的(a)、(b)两种测量电路，经讨论后认为(a)测量电路不合理，应选(b)测量电路．请说明(a)测量电路不合理的原因：_________________.
(2)请在图乙中按照(b)电路图连接测量电路．
(3)连接好电路后进行实验，调节电阻箱R1，记录下各仪器的读数．若某次实验时电阻箱旋钮及电流表指针如图丙所示，则此时电阻箱的阻值为________ Ω，通过电阻箱的电流大小为________ mA.
(4)设电源的电动势为E，内阻为r，改装后电流表内阻为Rg，某次实验中电阻箱的阻值为R1，电流表的读数为I，则电源电动势的表达式为E＝______________.(用I、R1、Rg、r表示)
(5)将测量数据的单位统一成国际单位，根据记录数据作出如图丁所示的图像，若测得图线纵轴截距为13.5，图线斜率为0.94，则电池组电动势E＝________ V，内阻r＝__________ Ω.(结果均保留到小数点后一位)
(6)误差分析：(b)测量电路设计方案及上述数据处理方法使电源电动势测量值__________(选填“偏大”“偏小”或“不受影响”)．
答案 (1)见解析 (2)见解析图
(3)875 3.6 (4)3I(R1＋Rg＋r)
(5)3.2 10.4 (6)不受影响
解析 (1)由于电流表量程较小，若直接测量干路中电流，则测量数据范围太小，测量误差较大，故(a)测量电路不合理；
(2)按照电路图连接 ，如图；
(3)如图丙电阻箱读数为875 Ω；电流表读数为1.2 mA，电流表扩大量程后Imax＝Ig(1＋eq \f(RA,R0))＝6 mA，故电流表量程扩大3倍，故通过电阻箱的电流大小为3.6 mA；
(4)改装后电流表内阻Rg＝eq \f(RAR0,RA＋R0)＝4 Ω，改装后电流表量程变为原来的3倍，故实际电流值为3I，根据闭合电路欧姆定律有E＝3I(R1＋Rg＋r)；
(5)由上述可知eq \f(1,I)＝eq \f(3,E)R1＋eq \f(3Rg＋r,E)
则eq \f(3Rg＋r,E)＝13.5 A－1，eq \f(3,E)＝0.94 A－1·Ω－1，
解得E＝3.2 V，r＝10.4 Ω；
(6)由于改装后电流表测量的是干路电流的真实值，故求得的电源电动势也是真实值，故不受影响．
考点三 伏阻法测电动势和内阻
1．实验原理
闭合电路欧姆定律E＝U＋eq \f(U,R)r，电路图如图所示．
2．实验器材
电池、电压表、电阻箱、开关、导线、坐标纸和刻度尺．
3．数据处理
(1)计算法：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(E＝U1＋\f(U1,R1)r,E＝U2＋\f(U2,R2)r))
解方程组可求得E和r.
(2)图像法：由E＝U＋eq \f(U,R)r得：eq \f(1,U)＝eq \f(1,E)＋eq \f(r,E)·eq \f(1,R).故eq \f(1,U)－eq \f(1,R)图像的斜率k＝eq \f(r,E)，纵轴截距为eq \f(1,E)，如图．
4．误差分析
(1)误差来源：电压表有内阻，干路电流表达式不准确，导致电动势测量不准确；
(2)结论：E测＜E真，r测＜r真．
例4 (2021·全国乙卷·23)一实验小组利用图(a)所示的电路测量一电池的电动势E(约1.5 V)和内阻r(小于2 Ω)．图中电压表量程为1 V，内阻RV＝380.0 Ω；定值电阻R0＝20.0 Ω；电阻箱R最大阻值为999.9 Ω；S为开关．按电路图连接电路．完成下列填空：
(1)为保护电压表，闭合开关前，电阻箱接入电路的电阻值可以选________Ω(填“5.0”或“15.0”)；
(2)闭合开关，多次调节电阻箱，记录下阻值R和电压表的相应读数U；
(3)根据图(a)所示电路，用R、R0、RV、E和r表示eq \f(1,U)，得eq \f(1,U)＝________；
(4)利用测量数据，作eq \f(1,U)－R图线，如图(b)所示：
(5)通过图(b)可得E＝________V(保留2位小数)，r＝________Ω(保留1位小数)；
(6)若将图(a)中的电压表当成理想电表，得到的电源电动势为E′，由此产生的误差为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(E′－E,E)))×100%＝________%.
答案 (1)15.0
(3)eq \f(R0＋RV,ERVR0)·R＋eq \f(1,E)＋eq \f(RV＋R0r,ERVR0)
(5)1.55 1.0 (6)5
解析 (1)为了避免电压表被烧坏，接通电路时电压表两端的电压不能比电压表满偏电压大，当电压表满偏时有eq \f(Um,\f(RVR0,RV＋R0))＝eq \f(E－Um,R＋r)
代入数据解得R＋r＝9.5 Ω，故R>7.5 Ω
因此电阻箱接入电路的电阻值选15.0 Ω.
(3)由闭合电路的欧姆定律可得
E＝U＋eq \f(U,\f(RVR0,RV＋R0))(R＋r)
化简可得eq \f(1,U)＝eq \f(R0＋RV,ERVR0)·R＋eq \f(1,E)＋eq \f(RV＋R0,ERVR0)r
(5)由上面公式可得eq \f(R0＋RV,ERVR0)＝k＝eq \f(1,19E)，
eq \f(1,E)＋eq \f(RV＋R0,ERVR0)r＝b＝eq \f(1,E)＋eq \f(r,19E)
由eq \f(1,U)－R图像计算可得k≈0.034 V－1·Ω－1
延长图线，得到图线与纵轴的交点为0.85 V－1，则有0.85 V－1＝eq \f(1,E)＋eq \f(r,19E)＋eq \f(5,19E)(V－1)
代入可得E≈1.55 V，r≈1.0 Ω.
(6)如果电压表为理想电压表，则有
eq \f(1,U)＝eq \f(1,E)＋eq \f(r,ER0)＋eq \f(1,ER0)R
则此时E′＝eq \f(1,20k)
因此误差为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\f(1,20k)－\f(1,19k),\f(1,19k))))×100%＝5%.
课时精练
1．(2023·福建省莆田第二中学模拟)某同学在测量两节干电池串联时的电动势和内阻时所用的器材如下：
A．两节干电池：总电动势约为3 V，总内阻约为0.5 Ω；
B．电压表V：量程为3 V，内阻为几千欧；
C．电流表A：量程为100 mA，内阻为4.5 Ω；
D．定值电阻R0：阻值为0.5 Ω；
E．滑动变阻器R：0～20 Ω；
F．开关，导线若干．
(1)该同学设计出如图甲所示的电路图，根据电路图用笔画线在图乙中将实物图连接完整．
(2)实验中，该小组闭合开关，调节滑动变阻器，多次测量得出多组电压表的示数U和电流表的示数I，通过描点画出电源的U—I图像如图丙所示，该两节干电池的总电动势E＝________V(结果保留三位有效数字)，总内阻r＝________Ω(结果保留两位有效数字)．
(3)电流表的内阻对两节干电池总电动势的测量结果________(填“有”或“没有”)影响．
答案 (1)见解析图 (2) 2.95(2.94～2.96均可) 0.50(0.49～0.51均可) (3)没有
解析 (1)电路图如图所示．
(2)电流表与定值电阻并联后得到的改装电流表的量程为1 A，内阻RA＝0.45 Ω，由闭合电路欧姆定律得E＝U＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(I＋\f(IrA,R0)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(RA＋r))，则有U＝E－Ieq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(rA,R0)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(RA＋r))，故U－I图像的纵轴截距为两节干电池的总电动势，由题图丙可知E＝2.95 V．U－I图像斜率的绝对值等于10eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(RA＋r))，故RA＋r＝0.95 Ω，解得r＝0.50 Ω.
(3)当电流表的示数为0时，外电压等于两节干电池的总电动势，故电动势没有系统误差，所以电流表的内阻对两节干电池总电动势的测量结果没有影响．
2．(2021·天津卷·10)随着智能手机的广泛应用，充电宝成为手机及时充电的一种重要选择．充电宝可以视为与电池一样的直流电源．一充电宝的电动势约为5 V，内阻很小，最大放电电流为2 A，某实验小组测定它的电动势和内阻．他们剥开充电宝连接线的外绝缘层，里面有四根导线，红导线为充电宝的正极，黑导线为充电宝的负极，其余两根导线空置不用，另有滑动变阻器R用于改变电路中的电流，定值电阻R0＝3 Ω，两只数字多用电表M、N，两表均为理想电表，并与开关S连成如图所示电路．
(1)图中测量电流的电表是________，测量电压的电表是________．(均填写字母“M”或“N”)
(2)调节滑动变阻器，测得多组I、U数据，记录如下表，其中只有一个数据记录有误，审视记录的数据，可以发现表中第________次的记录数据有误．(填测量次数的序号)
(3)电路中接入R0可以达到下列哪个效果______．(填选项前的字母)
A．使测电流的电表读数变化明显
B．为了更准确地测量充电宝内阻
C．避免使充电宝的放电电流过大
D．减小测量电压的电表分流作用
答案 (1)N M (2)4 (3)C
解析 (1)电表N串联在电路中，测量干路电流，所以N为电流表；电表M一端接在开关上，另一端接在充电宝的负极，闭合开关后相当于并联在电源两端，所以M为电压表，测量路端电压；
(2)题中表格中的电流I不断增大，根据闭合电路欧姆定律E＝U＋Ir可知路端电压U不断减小，电压表的示数不断减小，所以第4次的记录数据有误；
(3)因为充电宝的内阻很小，所以电阻R0串联在电路中，起保护电路的作用，避免使充电宝的放电电流过大损坏电路中的器件．故选C.
3．(2023·福建省百校联合高三测评)某学习小组欲测量某型号手机所用锂电池的电动势E和内阻r(电动势约为4 V，内阻约为几欧)，他们找到的器材有：电压表V(量程为6 V，内阻约为6.0 kΩ)、定值电阻R0＝10 Ω、电阻箱R(0～999.9 Ω)、开关S一只、导线若干．
(1)请以笔画线代替导线将图甲中的实物图补充完整；
(2)闭合开关，调节电阻箱的阻值R，得到多组测量数据，根据测量数据作出U－eq \f(U,R)图像，如图乙所示．则该锂电池的电动势E＝______________V，内阻r＝________Ω.(结果均保留三位有效数字)
答案 (1)见解析图 (2)3.75(3.74～3.76都对) 5.00(4.90～5.10都对)
解析 (1)根据题图乙的图像可知电压表测量电阻箱两端的电压，实物图连接如图所示．
(2)根据闭合电路欧姆定律得E＝U＋eq \f(U,R)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(R0＋r))，化简得U＝E－eq \f(U,R)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(R0＋r))，所以U－eq \f(U,R)图像的纵轴截距表示电源电动势，即E＝3.75 V；图像斜率的绝对值表示定值电阻R0和电源内阻r的和，即R0＋r＝eq \f(3.75－1.5,0.15) Ω，解得电源内阻r＝5.00 Ω.
4．利用如图(a)所示电路，可以测量电源的电动势和内阻，所用的实验器材有：
待测电源，电阻箱R(最大阻值999.9 Ω)，电阻R0(阻值为3.0 Ω)，电阻R1(阻值为3.0 Ω)，电流表(量程为200 mA，内阻为RA＝6.0 Ω)，开关S.
实验步骤如下：
①将电阻箱阻值调到最大，闭合开关S；
②多次调节电阻箱，记下电流表的示数I和电阻箱相应的阻值R；
③以eq \f(1,I)为纵坐标，R为横坐标，作eq \f(1,I)－R图线(用直线拟合)；
④求出直线的斜率k和在纵轴上的截距b.
回答下列问题：
(1)分别用E和r表示电源的电动势和内阻，则eq \f(1,I)与R的关系式为________________．
(2)实验得到的部分数据如下表所示，其中电阻R＝3.0 Ω时，电流表的示数如图(b)所示，读出数据，完成下表．答：①________，②________.
(3)在图(c)的坐标纸上描点并作图，根据图线求得斜率k＝______ A－1·Ω－1，截距b＝________ A－1.
(4)根据图线求得电源电动势E＝________ V，内阻r＝________ Ω.
答案 (1)eq \f(1,I)＝eq \f(3,E)R＋eq \f(15＋3r,E) (2)0.110 9.09 (3)见解析图 1.0(0.96～1.04均可) 6.0(5.9～6.1均可) (4)3.0(2.9～3.1均可) 1.0(0.7～1.3均可)
解析 (1)根据闭合电路欧姆定律有
E＝(eq \f(IRA,R1)＋I)(R＋R0＋r)＋IRA，
代入数据，化简得eq \f(1,I)＝eq \f(3,E)R＋eq \f(15＋3r,E).
(2)电流表每小格表示4 mA，因此电流表读数I＝0.110 A，eq \f(1,I)≈9.09 A－1.
(3)在坐标纸上描点，画出一条直线，得出斜率k＝1.0 A－1·Ω－1，截距b＝6.0 A－1.
(4)斜率k＝eq \f(3,E)，因此E＝3.0 V，纵轴截距b＝eq \f(15＋3r,E)，因此 r＝1.0 Ω.次数
1
2
3
4
5
6
7
电流I/A
0.299
0.477
0.684
0.877
1.065
1.281
1.516
电压U/V
4.970
4.952
4.932
4.942
4.894
4.872
4.848
R/Ω
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
I/A
0.143
0.125
①
0.100
0.091
0.084
eq \f(1,I)/A－1
6.99
8.00
②
10.0
11.0
11.9
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