2024年四川省自贡市中考数学试卷【含解析】

这是一份2024年四川省自贡市中考数学试卷【含解析】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．在0，﹣2，，π四个数中，最大的数是（ ）
A．﹣2B．0C．πD．
2．据统计，今年“五一”小长假期间，近70000人次游览了自贡中华彩灯大世界.70000用科学记数法表示为（ ）
A．0.7×105B．7×104C．7×105D．0.7×104
3．如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交∠A两边于点M，N，再分别以M、N为圆心，AM的长为半径画弧，两弧交于点B，连接MB，NB．若∠A＝40°，则∠MBN＝（ ）
A．40°B．50°C．60°D．140°
第3题 第6题 第7题 第 9题
4．下列几何体中，俯视图与主视图形状相同的是（ ）
A．B．C．D．
5．学校群文阅读活动中，某学习小组五名同学阅读课外书的本数分别为3，5，7，4，5．这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．3，4B．4，4C．4，5D．5，5
6．如图，在平面直角坐标系中，D（4，﹣2），将Rt△OCD绕点O逆时针旋转90°到△OAB位置．则点B坐标为（ ）
A．（2，4）B．（4，2）C．（﹣4，﹣2）D．（﹣2，4）
7．我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理．“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案．下列关于“赵爽弦图”说法正确的是（ ）
A．是轴对称图形B．是中心对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形 D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形
8．关于x的方程x2+mx﹣2＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
9．一次函数y＝x﹣2n+4，二次函数y＝x2+（n﹣1）x﹣3，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（ ）
A．n＞﹣1B．n＞2C．﹣1＜n＜1D．1＜n＜2
10．如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝6cm，BC＝12cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→D运动，同时点Q从点C出发，以3cm/s的速度沿C→B→C→…往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动．在此运动过程中，线段PQ＝CD出现的次数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
11．如图，等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12m．现将钢架立柱缩短成DE，∠BED＝60°．则新钢架减少用钢（ ）
A．（24﹣12）mB．（24﹣8）mC．（24﹣6）mD．（24﹣4）m

第10题 第11题 第12题
12．如图，在矩形ABCD中，AF平分∠BAC，将矩形沿直线EF折叠，使点A，B分别落在边AD、BC上的点A′，B′处，EF，A′F分别交AC于点G，H．若GH＝2，HC＝8，则BF的长为（ ）
A．B．C．D．5
二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）
13．分解因式：x2﹣3x＝ ．14．计算：﹣＝ ．
15．凸七边形的内角和是 度．
16．一次函数y＝（3m+1）x﹣2的值随x的增大而增大，请写出一个满足条件的m的值 ．
17．龚扇是自贡“小三绝”之一，为弘扬民族传统文化，某校手工兴趣小组将一个废弃的大纸杯侧面剪开直接当作扇面，制作了一个龚扇模型（如图），扇形外侧两竹条AB，AC夹角为120°，AB长30cm，扇面的BD边长为18cm，则扇面面积为 cm2（结果保留π）．
18．九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地，地上两段围墙AB⊥CD于点O（如图），其中AB上的EO段围墙空缺．同学们测得AE＝6.6m，OE＝1.4m，OB＝6m，OC＝5m，OD＝3m，班长买来可切断的围栏16m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是 m2．
三、解答题（共8个题，共78分）
19．（8分）计算：（tan45°﹣2）0+|2﹣3|﹣．
20．（8分）如图，在△ABC中，DE∥BC，∠EDF＝∠C．
（1）求证：∠BDF＝∠A；
（2）若∠A＝45°，DF平分∠BDE，请直接写出△ABC的形状．
21．（8分）为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知七（3）班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．
22．（8分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F．
（1）图1中三组相等的线段分别是CE＝CF，AF＝ ，BD＝ ；若AC＝3，BC＝4，则⊙O半径长为 ；
（2）如图2，延长AC到点M，使AM＝AB，过点M作MN⊥AB于点N．求证：MN是⊙O的切线．
23．（10分）某校为了解学生身体健康状况，从全校600名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理（如表），并绘制出不完整的条形统计图（如图）．
学生体质健康统计表
（1）如表中a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）请补全如图的条形统计图，并估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数；
（3）为听取测试建议，学校选出了3名“良好”1名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加学校体质健康测试交流会，请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人均为“良好”的概率．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A（﹣6，1），B（1，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）P是直线x＝﹣2上的一个动点，△PAB的面积为21，求点P坐标；
（3）点Q在反比例函数y＝位于第四象限的图象上，△QAB的面积为21，请直接写出Q点坐标．
25．（12分）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．
（1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE．此时，小组同学测得旗杆AB的影长BC为11.3m，据此可得旗杆高度为 m；
（2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度DE＝1.5m，小李到镜面距离EC＝2m，镜面到旗杆的距离CB＝16m．求旗杆高度；
（3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：
如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上．
如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线PQ始终垂直于水平地面．
如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线DA与标高线交点C，测得标高CG＝1.8m，DG＝1.5m．将观测点D后移24m到D′处．采用同样方法，测得C′G′＝1.2m，D′G′＝2m．求雕塑高度（结果精确到1m）．
26．（14分）如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，顶点为P．（1）求抛物线的解析式及P点坐标；
（2）抛物线交y轴于点C，经过点A，B，C的圆与y轴的另一个交点为D，求线段CD的长；
（3）过点P的直线y＝kx+n分别与抛物线、直线x＝﹣1交于x轴下方的点M，N，直线NB交抛物线对称轴于点E，点P关于E的对称点为Q，MH⊥x轴于点H．请判断点H与直线NQ的位置关系，并证明你的结论．
2024年四川省自贡市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在0，﹣2，，π四个数中，最大的数是（ ）
A．﹣2B．0C．πD．
【分析】根据大小比较，选出最大的数．
【解答】解：∵﹣2＜＜0＜π，
∴最大的数为π，
故选：C．
【点评】本题考查了实数的大小比较，掌握负数＜0＜正数是解题的关键．
2．据统计，今年“五一”小长假期间，近70000人次游览了自贡中华彩灯大世界.70000用科学记数法表示为（ ）
A．0.7×105B．7×104C．7×105D．0.7×104
【分析】70000用科学记数法表示为7×104．
【解答】解：70000用科学记数法表示为7×104，
故选：B．
【点评】本题考查了科学记数法的定义，掌握1≤＜10是解题的关键．
3．如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交∠A两边于点M，N，再分别以M、N为圆心，AM的长为半径画弧，两弧交于点B，连接MB，NB．若∠A＝40°，则∠MBN＝（ ）
A．40°B．50°C．60°D．140°
【分析】判断出四边形AMBN是菱形，可得结论．
【解答】解：由作图可知AM＝AN＝MB＝NB，
∴四边形AMBN是菱形，
∴∠MBN＝∠A＝40°．
故选：A．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
4．下列几何体中，俯视图与主视图形状相同的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据圆锥、圆柱、正方体和棱台的主视图、俯视图进行判断即可．
【解答】解：圆锥的主视图是等腰三角形，俯视图是圆，故选项A不符合题意；
圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，故B不符合题意
正方体的主视图和俯视图都是正方形，故C符合题意；
棱台的主视图是梯形，俯视图是正方形，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查简单几何体的三视图，理解三视图的意义，明确各种几何体的三视图的形状是正确判断的前提．
5．学校群文阅读活动中，某学习小组五名同学阅读课外书的本数分别为3，5，7，4，5．这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．3，4B．4，4C．4，5D．5，5
【分析】将数据从小到大排列，中间的数为中位数；出现次数最多的数为众数．
【解答】解：将数据从小到大排列为：3，4，5，5，7，
∴中位数是5，众数是5，
故选：D．
【点评】本题考查了中位数和众数，掌握中位数和众数的定义是解题的关键．
6．如图，在平面直角坐标系中，D（4，﹣2），将Rt△OCD绕点O逆时针旋转90°到△OAB位置．则点B坐标为（ ）
A．（2，4）B．（4，2）C．（﹣4，﹣2）D．（﹣2，4）
【分析】根据点D的坐标得出OC＝4，CD＝2，根据旋转得出OA＝OC＝4，AB＝CD＝2，从而得到B的坐标为（2，4）．
【解答】解：∵D（4，﹣2），
∴OC＝4，CD＝2，
∵旋转，
∴OA＝OC＝4，AB＝CD＝2，
∴B（2，4），
故选：A．
【点评】本题考查了坐标系中旋转的特点，掌握旋转前后两个图形全等是解题的关键．
7．我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理．“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案．下列关于“赵爽弦图”说法正确的是（ ）
A．是轴对称图形
B．是中心对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形
【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，结合选项分析即可．
【解答】解：“赵爽弦图”是中心对称图形，但不是轴对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合是解题的关键．
8．关于x的方程x2+mx﹣2＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【分析】根据一元二次方程根的判别式解答即可．
【解答】解：关于x的方程x2+mx﹣2＝0中，
∵a＝1，b＝m，c＝﹣2，
∴Δ＝m2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解题的关键．
9．一次函数y＝x﹣2n+4，二次函数y＝x2+（n﹣1）x﹣3，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（ ）
A．n＞﹣1B．n＞2C．﹣1＜n＜1D．1＜n＜2
【分析】根据题意列不等式组，解不等式组即可得到结论．
【解答】解：根据题意得，
解得﹣1＜n＜1，
∴n的取值范围是﹣1＜n＜1，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的图象，一次函数图象，二次函数的图象与系数的关系，正确地识别图形是解题的关键．
10．如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝6cm，BC＝12cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→D运动，同时点Q从点C出发，以3cm/s的速度沿C→B→C→…往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动．在此运动过程中，线段PQ＝CD出现的次数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】由已知可得，P从A到D需12s，Q从C到B（或从B到C）需4s，设P，Q运动时间为t s，分三种情况画出图形：①当0≤t≤4时，过Q作QH⊥AD于H，过C作CG⊥AD于G，由四边形CQPD是等腰梯形，可得t+3+3t+3＝12，t＝1.5；当四边形CQPD是平行四边形时，t+3t＝12，得t＝3；②当4＜t≤8时，若四边形CQPD是平行四边形，可得3（t﹣4）＝t，t＝6；而四边形CQPD是等腰梯形，则PD＞6cm，这种情况在4＜t≤8时不存在；③当8＜t≤12时，若四边形CQPD是平行四边形，3（t﹣8）＝12﹣t，得t＝9，即可得到答案．
【解答】解：由已知可得，P从A到D需12s，Q从C到B（或从B到C）需4s，
设P，Q运动时间为t s，
①当0≤t≤4时，过Q作QH⊥AD于H，过C作CG⊥AD于G，如图：
由题可知，AP＝t cm，CQ＝3t cm＝GH，
∵PD∥CQ，PQ＝CD，
∴四边形CQPD是等腰梯形，
∴∠QPH＝∠D＝∠B＝60°，
∵PQ＝CD＝AB＝6cm，
∴PH＝PQ＝3cm，DG＝CD＝3cm，
∵AP+PH+GH+DG＝AD＝BC＝12，
∴t+3+3t+3＝12，
解得t＝1.5；
当四边形CQPD是平行四边形时，如图：
此时PD＝CQ＝3t cm，
∴t+3t＝12，
解得t＝3，
∴t为1.5s或3s时，PQ＝CD；
②当4＜t≤8时，若四边形CQPD是平行四边形，如图：
此时BQ＝3（t﹣4）cm，AP＝t cm，
∵AD＝BC，PD＝CQ，
∴BQ＝AP，
∴3（t﹣4）＝t，
解得t＝6；
由①知，若四边形CQPD是CD，PQ为腰的等腰梯形，则PD＞6cm，这种情况在4＜t≤8时不存在；
∴t为6s时，PQ＝CD；
③当8＜t≤12时，若四边形CQPD是平行四边形，如图：
此时CQ＝3（t﹣8），PD＝12﹣t，
∴3（t﹣8）＝12﹣t，
解得t＝9，
∴t为9s时，PQ＝CD；
综上所述，t为1.5s或3s或6s或9s时，PQ＝CD；
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形，等腰梯形的性质及应用，解题的关键是分类讨论思想的应用．
11．如图，等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12m．现将钢架立柱缩短成DE，∠BED＝60°．则新钢架减少用钢（ ）
A．（24﹣12）mB．（24﹣8）mC．（24﹣6）mD．（24﹣4）m
【分析】根据特殊直角三角形求出DE，CD和BE的长，从而得出减少用钢的长度．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，AB＝BC＝AC＝12，BD＝6，
∴CD＝，
∵∠BED＝60°，
∴DE＝，BE＝AE＝，
∴减少用钢为（AB+AC+BC+CD）﹣（AE+BE+AB+DE）＝AC+BC+CD﹣AE﹣BE﹣DE＝24﹣（cm），
故选：D．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，特殊直角三角形的三边关系，掌握特殊角的三边关系是解题的关键．
12．如图，在矩形ABCD中，AF平分∠BAC，将矩形沿直线EF折叠，使点A，B分别落在边AD、BC上的点A′，B′处，EF，A′F分别交AC于点G，H．若GH＝2，HC＝8，则BF的长为（ ）
A．B．C．D．5
【分析】由AD∥BC，推出＝，＝，推出＝，推出＝，可得＝．解得AG＝，再证明FG＝AG，利用勾股定理求出CF，再利用平行线分线段成比例定理求出BF．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴＝，＝，
∴＝，
∴＝，
∴＝．
∴AG＝，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠FAC，
∵EF∥AB，
∴∠BAF＝∠AFG，
∴∠GAF＝∠GFA，
∴FG＝AG＝，
∵CF＝＝＝，
∵BF：CF＝AG：CG＝1：3，
∴BF＝CF＝．
故选：A．
【点评】本题考查翻折变换，角平分线的性质，矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）
13．分解因式：x2﹣3x＝ x（x﹣3） ．
【分析】原式提取x即可得到结果．
【解答】解：原式＝x（x﹣3），
故答案为：x（x﹣3）
【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
14．计算：﹣＝ 1 ．
【分析】利用分式的化简方法逐步化简即可．
【解答】解：﹣
＝
＝
＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了分式的化简，属于简单题．
15．凸七边形的内角和是 900 度．
【分析】根据多边形内角和公式180°（n﹣2）计算即可．
【解答】解：∵n＝7，
∴内角和为：180°（7﹣2）＝900°，
故答案为：900．
【点评】本题考查了多边形内角和，掌握内角和公式是解题的关键．
16．一次函数y＝（3m+1）x﹣2的值随x的增大而增大，请写出一个满足条件的m的值 1 ．
【分析】根据一次函数y的值随x的增大而增大，得出k＞0，写一个满足条件的m的值即可．
【解答】解：∵y＝（3m+1）x﹣2的值随x的增大而增大，
∴3m+1＞0，
∴m＞，
∴m可以为：1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了一次函数的性质，根据k的正负性判断函数增减性是解题的关键．
17．龚扇是自贡“小三绝”之一，为弘扬民族传统文化，某校手工兴趣小组将一个废弃的大纸杯侧面剪开直接当作扇面，制作了一个龚扇模型（如图），扇形外侧两竹条AB，AC夹角为120°，AB长30cm，扇面的BD边长为18cm，则扇面面积为 252π cm2（结果保留π）．
【分析】根据扇形公式进行计算即可．
【解答】解：扇面面积＝扇形BAC的面积﹣扇形DAE的面积
＝﹣
＝252π（cm2），
故答案为：252π．
【点评】本题考查了扇面面积计算，掌握扇面面积等于两个扇形面积相减是解题的关键．
18．九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地，地上两段围墙AB⊥CD于点O（如图），其中AB上的EO段围墙空缺．同学们测得AE＝6.6m，OE＝1.4m，OB＝6m，OC＝5m，OD＝3m，班长买来可切断的围栏16m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是 46.4 m2．
【分析】要利用围墙和围栏围成一个面积最大的封闭的矩形菜地，那就 必须尽量使用原来的围墙，那么由图可知，我们尽量利用围墙的AO段 和CO段，也就是说：矩形的两个边，一边在射线OA上．一边在射线OC上．设射线OA上的这一段边长为x m．x可能小于等于AO的长8，也有可能大于 AO的长8，所以分成两种情况进行讨论
【解答】解：设矩形在射线OA上的一段长为x m．
（1）当x≤8时 ，
当x＝8时，S＝46.4，
（2）当x＞8时． ，
由于在x＞8的范围内，S均小于46.4．
所以由于（1）（2）得最大面积为 46.4m2．
故答案为：46.4．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，学会构建二次函数解决问题．
三、解答题（共8个题，共78分）
19．（8分）计算：（tan45°﹣2）0+|2﹣3|﹣．
【分析】先根据零指数幂的运算法则，绝对值的性质及数的开方法则分别计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可．
【解答】解：（tan45°﹣2）0+|2﹣3|﹣
＝1+1﹣3
＝﹣1．
【点评】本题考查的是实数的运算，零指数幂的运算法则，绝对值的性质及数的开方法则，熟知以上知识是解题的关键．
20．（8分）如图，在△ABC中，DE∥BC，∠EDF＝∠C．
（1）求证：∠BDF＝∠A；
（2）若∠A＝45°，DF平分∠BDE，请直接写出△ABC的形状．
【分析】（1）根据DE∥BC，得到∠C＝∠AED，再根据∠EDF＝∠C，得到∠AED＝∠EDF，从而得到DF∥AC，得出∠BDF＝∠A；
（2）通过（1）得出∠BDF＝45°，再根据角平分线，得出∠BDE＝90°＝∠B，由此得出△ABC是等腰直角三角形．
【解答】（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠C＝∠AED，
∵∠EDF＝∠C，
∴∠AED＝∠EDF，
∴DF∥AC，
∴∠BDF＝∠A；
（2）解：∵∠A＝45°，
∴∠BDF＝45°，
∵DF平分∠BDE，
∴∠BDE＝2∠BDF＝90°，
∵DE∥BC，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
【点评】本题考查了平行线的性质与判定，等腰直角三角形的判定，掌握判定方法是解题的关键．
21．（8分）为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知七（3）班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．
【分析】设乙组同学平均每小时包x个粽子，则甲组同学平均每小时包（x+20）个粽子，根据“甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同”列出分式方程，求解即可．
【解答】解：设乙组同学平均每小时包x个粽子，则甲组同学平均每小时包（x+20）个粽子，
根据题意得＝，
解得x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，
x+20＝100．
答：甲组同学平均每小时包100个粽子，乙组同学平均每小时包80个粽子．
【点评】本题主要考查了分式方程的应用，正确找出等量关系是解决问题的关键．
22．（8分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F．
（1）图1中三组相等的线段分别是CE＝CF，AF＝ AD ，BD＝ BE ；若AC＝3，BC＝4，则⊙O半径长为 1 ；
（2）如图2，延长AC到点M，使AM＝AB，过点M作MN⊥AB于点N．求证：MN是⊙O的切线．
【分析】（1）连接OE，OF，由切线长定理可知，AF＝AD，BD＝BE，根据∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，可得∠C＝∠OEC＝∠OFC＝90°，OE＝OF，故四边形OECF是正方形，设OE＝OF＝CF＝CE＝x，可得4﹣x+3﹣x＝5，解得x＝1，即⊙O半径长为1；
（2）过O作OH⊥MN于H，连接OD，OE，OF，根据∠ANM＝90°＝∠ACB，∠A＝∠A，AM＝AB，可得△AMN≌△ABC（AAS），从而AN＝AC，即可得DN＝CF，又CF＝OE，有DN＝OE，证明四边形OHND是矩形，即可得OH＝OE，即OH是⊙O的半径，故MN是⊙O的切线．
【解答】（1）解：连接OE，OF，如图：
由切线长定理可知，AF＝AD，BD＝BE，
∵∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，
∴∠C＝∠OEC＝∠OFC＝90°，OE＝OF，
∴四边形OECF是正方形，
设OE＝OF＝CF＝CE＝x，则BE＝BC﹣CE＝4﹣x＝BD，AF＝AC﹣CF＝3﹣x＝AD，
∵BD+AD＝AB＝＝＝5，
∴4﹣x+3﹣x＝5，
解得x＝1，
∴OE＝1，即⊙O半径长为1；
故答案为：AD，BE，1；
（2）证明：过O作OH⊥MN于H，连接OD，OE，OF，如图：
∵∠ANM＝90°＝∠ACB，∠A＝∠A，AM＝AB，
∴△AMN≌△ABC（AAS），
∴AN＝AC，
∵AD＝AF，
∴AN﹣AD＝AC﹣AF，即DN＝CF，
同（1）可知，CF＝OE，
∴DN＝OE，
∵∠ANM＝90°＝∠ODN＝∠OHN，
∴四边形OHND是矩形，
∴OH＝DN，
∴OH＝OE，即OH是⊙O的半径，
∵OH⊥MN，
∴MN是⊙O的切线．
【点评】本题考查三角形内切圆，圆的切线判定与性质，涉及全等三角形的判定与性质，正方形判定与性质，解题的关键是掌握切线长定理和切线的判定定理．
23．（10分）某校为了解学生身体健康状况，从全校600名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理（如表），并绘制出不完整的条形统计图（如图）．
学生体质健康统计表
（1）如表中a＝ 3% ，b＝ 20 ，c＝ 45% ；
（2）请补全如图的条形统计图，并估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数；
（3）为听取测试建议，学校选出了3名“良好”1名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加学校体质健康测试交流会，请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人均为“良好”的概率．
【分析】（1）先根据选取的优秀人数和百分比求出选取的人数，再根据总数、频数、百分比的关系即可求得答案；
（2）根据及格的人数，补全条形统计图即可；
（3）画树状图列出所有等可能的结果，再找出恰好选中两人均为“良好”的结果，利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）这次调查的人数为：32÷32%＝100（人），
a＝×100%＝3%，b＝100×20%＝20，c＝×100%＝45%，
故答案为：3%，20，45%；
（2）补全条形统计图如下：
600×（45%+32%）＝462（人），
估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数为462人；
（3）设3名“良好”分别为甲、乙、丙，1名“优秀”学生为丁，
画树状图如图：
∵共有12种等可能的结果，其中恰好选中两人均为“良好”的结果有6种，
∴所抽取的两人均为“良好”的概率为＝．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、列表法与树状图法，熟练掌握条形统计图与扇形统计图以及列表法与树状图法求概率是解答本题的关键．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A（﹣6，1），B（1，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）P是直线x＝﹣2上的一个动点，△PAB的面积为21，求点P坐标；
（3）点Q在反比例函数y＝位于第四象限的图象上，△QAB的面积为21，请直接写出Q点坐标．
【分析】（1）把A（﹣6，1）代入y＝得m＝﹣6，可得反比例函数的解析式为y＝﹣，即可求出B（1，﹣6），再用待定系数法得一次函数的解析式为y＝﹣x﹣5；
（2）设直线x＝﹣2交直线AB于H，求出N（﹣2，﹣3），由△PAB的面积为21，可得PH×（1+6）＝21，PH＝6，故P的坐标为（﹣2，3）或（﹣2，﹣9）；
（3）过Q作QM∥x轴交直线AB于M，设Q（t，﹣），可得M（﹣5，﹣），MQ＝|﹣5﹣t|，故MQ•|yA﹣yB|＝21，即×|﹣5﹣t|×7＝21，解出t的值并检验可得Q的坐标为（，﹣）或（3，﹣2）．
【解答】解：（1）把A（﹣6，1）代入y＝得：1＝，
∴m＝﹣6，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣；
把B（1，n）代入y＝﹣得：n＝﹣6，
∴B（1，﹣6），
把A（﹣6，1），B（1，﹣6）代入y＝kx+b得：
，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣5；
（2）设直线x＝﹣2交直线AB于H，如图：
在y＝﹣x﹣5中，令x＝﹣2得y＝﹣3，
∴N（﹣2，﹣3），
∵△PAB的面积为21，
∴PH•|xB﹣xA|＝21，即PH×（1+6）＝21，
∴PH＝6，
∵﹣3+6＝3，﹣3﹣6＝﹣9，
∴P的坐标为（﹣2，3）或（﹣2，﹣9）；
（3）过Q作QM∥x轴交直线AB于M，如图：
设Q（t，﹣），
在y＝﹣x﹣5中，令y＝﹣得x＝﹣5，
∴M（﹣5，﹣），
∴MQ＝|﹣5﹣t|，
∵△QAB的面积为21，
∴MQ•|yA﹣yB|＝21，
即×|﹣5﹣t|×7＝21，
∴﹣5﹣t＝6或﹣5﹣t＝﹣6，
解得t＝或t＝﹣2或t＝3，
经检验，t＝，t＝3符合题意，
∴Q的坐标为（，﹣）或（3，﹣2）．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数交点问题，解题的关键是掌握直角坐标系中三角形面积的求法．
25．（12分）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．
（1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE．此时，小组同学测得旗杆AB的影长BC为11.3m，据此可得旗杆高度为 11.3 m；
（2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度DE＝1.5m，小李到镜面距离EC＝2m，镜面到旗杆的距离CB＝16m．求旗杆高度；
（3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：
如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上．
如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线PQ始终垂直于水平地面．
如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线DA与标高线交点C，测得标高CG＝1.8m，DG＝1.5m．将观测点D后移24m到D′处．采用同样方法，测得C′G′＝1.2m，D′G′＝2m．求雕塑高度（结果精确到1m）．
【分析】（1）由影长EF恰好等于自己的身高DE，知△DEF是等腰直角三角形，△ABC是等腰直角三角形，故AB＝BC＝11.3m，
（2）证明△DEC∽△ABC，可得＝，故AB＝12，即旗杆高度为12米；
（3）由△DCG∽△DAB，得＝，设AB＝x m，BD＝y m，则＝，知y＝x，同理可得＝，即得＝，从而＝，解出x即可得雕塑高度约为31m．
【解答】解：（1）∵影长EF恰好等于自己的身高DE，
∴△DEF是等腰直角三角形，
由平行投影性质可知，△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝BC＝11.3m，
故答案为：11.3；
（2）如图：
由反射定律可知，∠DCE＝∠ACB，
又∠DEC＝90°＝∠ABC，
∴△DEC∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得AB＝12，
∴旗杆高度为12米；
（3）如图：
∵∠CDG＝∠ADB，∠CGD＝90°＝∠ABD，
∴△DCG∽△DAB，
∴＝，
设AB＝x m，BD＝y m，则＝，
∴y＝x，
同理可得＝，
∴＝，
∴＝，
解得x＝28.8；
经检验，x＝28.8是原方程的解，
故AB≈29m，
∴雕塑高度AB约为29m．
【点评】本题考查解直角三角形应用，涉及相似三角形判定与性质，解题的关键是读懂题意，列出方程解决问题．
26．（14分）如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，顶点为P．（1）求抛物线的解析式及P点坐标；
（2）抛物线交y轴于点C，经过点A，B，C的圆与y轴的另一个交点为D，求线段CD的长；
（3）过点P的直线y＝kx+n分别与抛物线、直线x＝﹣1交于x轴下方的点M，N，直线NB交抛物线对称轴于点E，点P关于E的对称点为Q，MH⊥x轴于点H．请判断点H与直线NQ的位置关系，并证明你的结论．
【分析】（1）用待定系数法可得抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣2，即可知抛物线顶点P的坐标为（，﹣）；
（2）求出C（0，﹣2），可得tan∠ACO＝＝，tan∠CBO＝＝＝，故∠ACO＝∠CBO，可得∠ACB＝90°，从而AB是经过点A、B、C的圆的直径，又AB⊥CD，故CD＝2CO＝4；
（3）将 代入y＝kx+n得n＝﹣k﹣，直线MN解析式为y＝kx﹣k﹣，联立，可得M（2k+，2k2﹣），H（2k+，0），求出N（﹣1，﹣k﹣），由GE∥AN，点G为AB中点，知点E为BN中点，故E（，﹣k﹣），可得Q（，﹣k），直线NQ解析式为y＝x﹣k﹣，令y＝0得x＝2k+，可知直线NQ与x轴交于（2k+，0），即直线NQ与x轴交于点H．
【解答】解：（1）∵抛物线 与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣2，
而，
∴抛物线顶点P的坐标为（，﹣）；
（2）如图：
在y＝x2﹣x﹣2中，令x＝0得y＝﹣2，
∴点C（0，﹣2），
∵A（﹣1，0），B（4，0），
∴tan∠ACO＝＝，tan∠CBO＝＝＝，
∴∠ACO＝∠CBO，
∵∠CBO+∠OCB＝90°，
∴∠ACO+∠OCB＝90°，即∠ACB＝90°，
∴AB是经过点A、B、C的圆的直径，
∵AB⊥CD，AB经过圆心，
∴CD＝2CO＝4；
（3）H在直线NQ上，证明如下：
如图：
将 代入y＝kx+n得：，
∴n＝﹣k﹣，
∴直线MN解析式为y＝kx﹣k﹣，
联立，
解得或，
∴M（2k+，2k2﹣），
∵MH⊥x轴于点H，
∴H（2k+，0），
在y＝kx﹣k﹣中，令x＝﹣1得y＝﹣k﹣k﹣＝﹣k﹣，
∴N（﹣1，﹣k﹣），
∵GE⊥x轴，AN⊥x轴，
∴GE∥AN，点G为AB中点，
∴，
∴点E为BN中点，
∵N（﹣1，﹣k﹣），B（4，0），
∴E（，﹣k﹣），
∵P，Q关于E对称，即E为PQ中点，
∴Q（，﹣k），
由N（﹣1，﹣k﹣），Q（，﹣k）可得直线NQ解析式为y＝x﹣k﹣，
在y＝x﹣k﹣中，令y＝0得x＝2k+，
∴直线NQ与x轴交于（2k+，0），即直线NQ与x轴交于点H，
∴H在直线NQ上．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，圆的性质及应用，三角形中位线定理等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/14 18:56:22；用户：陈莉；邮箱：badywgy52@xyh.cm；学号：39221433成绩
频数
百分比
不及格
3
a
及格
b
20%
良好
45
c
优秀
32
32%
成绩
频数
百分比
不及格
3
a
及格
b
20%
良好
45
c
优秀
32
32%