人教版七年级数学下册同步知识点剖析精品讲义9.2一元一次不等式(原卷版+解析)

这是一份人教版七年级数学下册同步知识点剖析精品讲义9.2一元一次不等式(原卷版+解析)，共12页。
一元一次不等式的概念:不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式叫一元一次不等式。一元一次不等式的一般形式为：或。
例如，，是一元一次不等式，而，不是一元一次不等式。
解一元一次不等式的一般步骤：
去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1
【备注】去分母时不等号两边的每一项都要乘各分母的最小公倍数，千万不要漏乘。

【题型一】一元一次不等式的定义
【典题】下列式子①；②；③；④；⑤中，是一元一次不等式的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
巩固练习
1．（）下列不等式中是一元一次不等式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（）已知（m＋2）x|m|﹣1＋1＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ）
A．1B．±1C．2D．±2
3．（）下列不等式中是一元一次不等式的是( )
A．2x2-5>0B．+x0D．2x+2=2(1+x)
4．（）已知（m﹣4）x|m﹣3|＋2＞6是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ）
A．4B．2C．4或2D．不确定
【题型二】求一元一次不等式的解集
【典题】不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
巩固练习
1．（）已知点M（2m﹣1，1﹣m）在第四象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（）若关于x的不等式ax﹣3＞0的解集为x＜﹣1，则a的值为（ ）
A．3B．﹣3C．D．﹣
【题型三】列一元一次不等式
【典题】语句“x的与x的和不超过4”可以表示为（ ）
A．B．C．D．
巩固练习
1．（）下列根据语句列出的不等式错误的是（ ）
A．“a的2倍与4的差是正数”，表示为2a﹣4＞0
B．“a与b的差是非负数”，表示为a﹣b≥0．
C．“b不是正数”，表示为b≤0．
D．“a、b两数的和的3倍不小于这两个数的积”，表示为3a+b≥ab．
2．（）在“建党百年”知识抢答赛中，共有20道题，对于每一题，答对得10分，答错或不答扣5分，则至少答对多少题，得分才不低于95分？设答对x题，则可列不等式为（ ）
A．10x-5(20-x)≥ 95B．10x+5(20-x)≥ 95
C．10x-5(20-x)> 95D．10x+5(20-x)> 95
3．（）去年某市空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数（365）之比达到60%，如果明年（365天）这样的比值要超过70%，那么明年空气质量良好的天数要比去年至少增加多少？设明年比去年空气质量良好的天数增加了x天，则可列一元一次不等式为（ ）
A．x+365×60%＞365×70%B．x+365×60%≥365×70%
C．365×70%D．365×70%
【题型四】利用一元一次不等式解决实际问题
【典题】六一儿童节期间，要把一些苹果分给几个小朋友，如果每人分3个，则剩8个；如果每人分5个，那么最后一个小朋友就分不到3个，则共有小朋友（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
巩固练习
1．（）某商店以每辆250元的进价购进200辆自行车，并以每辆275元的价格销售，两个月后自行车的销售款已超过自行车的进货款，这时至少已售出自行车的车辆为（ ）
A．180B．181C．182D．183
2．（）有菜农共10人，每人可种茄子3亩或辣椒2亩，已知茄子每亩可收入0.5万元，辣椒每亩可收入0.8万元，若要使总收入不低于15.6万元，则最多只能安排（ ）人种茄子．
A．3B．4C．5D．6
3．（）在一次“交通安全法规”知识竞赛中，竞赛题共25道选择题，每道题都给出4个答案，其中只有一个答案正确，选对得3分，不选或选错倒扣1分，得分不低于50分得奖，那么得奖者至少应选对的题数为（ ）
A．16B．17C．18D．19
4（）．某种商品的进价为40元，出售时标价为60元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（ ）折．
A．7B．6C．8D．5
（）
9.2 一元一次不等式
一元一次不等式的概念:不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式叫一元一次不等式。一元一次不等式的一般形式为：或。
例如，，是一元一次不等式，而，不是一元一次不等式。
解一元一次不等式的一般步骤：
去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1
【备注】去分母时不等号两边的每一项都要乘各分母的最小公倍数，千万不要漏乘。

【题型一】一元一次不等式的定义
【典题】下列式子①；②；③；④；⑤中，是一元一次不等式的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】D
【分析】根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，进行判断即可．
【详解】解：①不含未知数，不符合题意；②是一元一次不等式，符合题意；③有两个未知数，不符合题意；④未知数的次数为：2，不符合题意；⑤不是整式，不符合题意；
综上，只有②是一元一次不等式；
故选D．
【点睛】本题考查一元一次不等式的定义．熟练掌握一元一次不等式的定义是解题的关键．
巩固练习
1．（）下列不等式中是一元一次不等式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式进行分析．
【详解】解：A、该不等式中不含有未知数，故不是一元一次不等式，不符合题意；
B、该不等式属于分式不等式，不符合题意；
C、是一元一次不等式，符合题意；
D、该不等式是一元二次不等式，不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的定义，关键是掌握一元一次不等式的定义．
2．（）已知（m＋2）x|m|﹣1＋1＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ）
A．1B．±1C．2D．±2
【答案】C
【分析】根据一元一次不等式的定义列出方程和不等式即可确定m的值．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
【详解】解：∵（m＋2）x|m|﹣1＋1＞0是关于x的一元一次不等式，
∴|m|﹣1＝1且m＋2≠0，
解得m＝2.
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，解题关键是根据一元一次不等式的定义列出方程和不等式，注意：未知数的系数不能为0．
3．（）下列不等式中是一元一次不等式的是( )
A．2x2-5>0B．+x0D．2x+2=2(1+x)
【答案】C
【分析】主要依据一元一次不等式的定义进行辨别．含有一个未知数并且未知数的次数是一次的不等式叫一元一次不等式．
【详解】A是一元二次不等式；B分母中含有未知数，所以不是一元一次不等式；C是一元一次不等式，D不是不等式，
所以只有C正确，
故选：C．
【点睛】本题考查一元一次不等式的定义中的未知数的最高次数为1次，本题还要注意一元一次不等式是在整式范围内考虑的．
4．（）已知（m﹣4）x|m﹣3|＋2＞6是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ）
A．4B．2C．4或2D．不确定
【答案】B
【分析】根据一元一次不等式的定义，|m-3|=1，m-4≠0，分别进行求解即可．
【详解】解：根据题意|m-3|=1，m-4≠0，
所以m-3=±1，m≠4，解得m=2．
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次不等式的定义和绝对值．解题的关键是明确一元一次不等式的定义中的未知数的最高次数为1次，还要注意未知数的系数不能是0．
【题型二】求一元一次不等式的解集
【典题】不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先解不等式，再在数轴上表示解集即可．
【详解】解：，
系数化为1得，，
在数轴上表示为，
故选：C．
【点睛】本题考查了解不等式和在数轴上表示不等式解集，解题关键是准确的解不等式，会在数轴上表示解集．
巩固练习
1．（）已知点M（2m﹣1，1﹣m）在第四象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由点在第四象限得到2m-1>0，1-m0，1-m1，
故选：B．
【点睛】此题考查了由点所在是象限求出参数的取值范围，利用数轴表示不等式组的解集的方法，熟练掌握点所在的象限的符号特点是解题的关键．
2．（）若关于x的不等式ax﹣3＞0的解集为x＜﹣1，则a的值为（ ）
A．3B．﹣3C．D．﹣
【答案】B
【分析】首先对所求的不等式移项、系数化成1，即可求得不等式的解集，根据解集是x＜−1，即可得到一个关于a的方程，从而求得a的值．
【详解】解不等式ax﹣3＞0，
移项，得：ax＞3，
∵解集是x＜﹣1，
∴＝﹣1，
解得：a＝﹣3．
故选：B．
【点睛】本题考查了根据不等式的解集求参数，解答此题的关键是掌握不等式的性质，在不等式两边同加或同减一个数或式子，不等号的方向不变，在不等式两边同乘或同除一个正数或式子，不等号的方向不变在不等式两边同乘或同除一个负数或式子，不等号的方向改变．
【题型三】列一元一次不等式
【典题】语句“x的与x的和不超过4”可以表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】x的即x，不超过4是小于或等于4的数，由此列出式子即可．
【详解】“x的与x的和不超过4”用不等式表示为x+x≤4．
故选A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
巩固练习
1．（）下列根据语句列出的不等式错误的是（ ）
A．“a的2倍与4的差是正数”，表示为2a﹣4＞0
B．“a与b的差是非负数”，表示为a﹣b≥0．
C．“b不是正数”，表示为b≤0．
D．“a、b两数的和的3倍不小于这两个数的积”，表示为3a+b≥ab．
【答案】D
【分析】根据题意列出对应的不等式即可判断.
【详解】解：A、“a的2倍与4的差是正数”，表示为2a﹣4＞0，此说法正确，不合题意；
B、“a与b的差是非负数”，表示为a﹣b≥0，此说法正确，不合题意；
C、“b不是正数”，表示为b≤0，此说法正确，不合题意；
D、“a、b两数的和的3倍不小于这两个数的积”，表示为3a+3b≥ab，此说法错误，符合题意；
故选D.
【点睛】本题主要考查了根据描述列出不等式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
2．（）在“建党百年”知识抢答赛中，共有20道题，对于每一题，答对得10分，答错或不答扣5分，则至少答对多少题，得分才不低于95分？设答对x题，则可列不等式为（ ）
A．10x-5(20-x)≥ 95B．10x+5(20-x)≥ 95
C．10x-5(20-x)> 95D．10x+5(20-x)> 95
【答案】A
【分析】首先设答对x道题，则答错了或不答的有（20﹣x）道，根据题意可得：答对题的得分﹣答错了或不答扣的分数≥95，列出不等式．
【详解】解：设答对x道题，根据题意可得：
10x﹣5（20﹣x）≥95，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系，列出不等式．
3．（）去年某市空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数（365）之比达到60%，如果明年（365天）这样的比值要超过70%，那么明年空气质量良好的天数要比去年至少增加多少？设明年比去年空气质量良好的天数增加了x天，则可列一元一次不等式为（ ）
A．x+365×60%＞365×70%B．x+365×60%≥365×70%
C．365×70%D．365×70%
【答案】A
【分析】先求出去年空气质量良好的天数，从而可得明年空气质量良好的天数，再根据“明年（365天）这样的比值要超过”建立不等式即可得．
【详解】解：由题意得：去年空气质量良好的天数为，
明年空气质量良好的天数为，
则可列一元一次不等式为，
故选：A．
【点睛】本题考查了列一元一次不等式，正确理解题意是解题关键．
【题型四】利用一元一次不等式解决实际问题
【典题】六一儿童节期间，要把一些苹果分给几个小朋友，如果每人分3个，则剩8个；如果每人分5个，那么最后一个小朋友就分不到3个，则共有小朋友（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
【答案】C
【分析】设共有x个小朋友，则有（3x+8）个苹果，然后根据如果每人分5个，那么最后一个小朋友就分不到3个列出不等式求解即可．
【详解】解：设共有x个小朋友，则有（3x+8）个苹果，
由题意得：，
∴，
∵x为正整数，
∴x=6，
∴一共有6个小朋友，
故选C．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用，正确理解题意列出不等式是解题的关键．
巩固练习
1．（）某商店以每辆250元的进价购进200辆自行车，并以每辆275元的价格销售，两个月后自行车的销售款已超过自行车的进货款，这时至少已售出自行车的车辆为（ ）
A．180B．181C．182D．183
【答案】C
【分析】设已售出x辆自行车，根据两个月后自行车的销售款已超过这批自行车的进货款，列出一元一次不等式求解，然后找出最小整数解即可．
【详解】设这时已售出x辆自行车，
由题意，得275x>250×200，
解得x＞ ，
x需为整数，
x最小为182．
这时至少已售出182辆自行车．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的实际应用．认真审题，分清已知量、未知量，正确列不等式、解不等式是解题的关键．
2．（）有菜农共10人，每人可种茄子3亩或辣椒2亩，已知茄子每亩可收入0.5万元，辣椒每亩可收入0.8万元，若要使总收入不低于15.6万元，则最多只能安排（ ）人种茄子．
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】设安排x人种茄子，则安排（10-x）人种辣椒，利用总收入=每亩地的收入×种植亩数，总收不低于15.6万元，得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【详解】解：设安排x人种茄子，则安排（10-x）人种辣椒，
依题意得：0.5×3x+0.8×2（10-x）≥15.6，
解得：x≤4．
∴最多只能安排4人种茄子
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据题意，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
3．（）在一次“交通安全法规”知识竞赛中，竞赛题共25道选择题，每道题都给出4个答案，其中只有一个答案正确，选对得3分，不选或选错倒扣1分，得分不低于50分得奖，那么得奖者至少应选对的题数为（ ）
A．16B．17C．18D．19
【答案】D
【分析】设得奖者至少应选对的题数为x道．根据选对得3分，不选或选错倒扣1分，得分不低于50分得奖，列出不等式，再进行求解即可得出答案．
【详解】解：设得奖者至少应选对的题数为x道．根据题意列出不等式：
3x−1×（25−x）≥50，
解得x≥18.75，
∵x为整数，
∴x最小为19．
故得奖者至少应选对19道题．
故选：D．
【点睛】此题考查了一元一次不等式的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式，及所求量的等量关系．
4（）．某种商品的进价为40元，出售时标价为60元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（ ）折．
A．7B．6C．8D．5
【答案】A
【分析】设商店打折销售，利用利润销售价格进价，结合要保证利润率不低于，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【详解】解：设商店打折销售，
依题意得：，
解得：．
故选：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
（）