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2024-2025 学年高中数学人教A版选择性必修三专题7.1 随机事件的条件概率（3类必考点）
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这是一份2024-2025 学年高中数学人教A版选择性必修三专题7.1 随机事件的条件概率（3类必考点），文件包含专题71随机事件的条件概率3类必考点人教A版2019选择性必修第三册原卷版docx、专题71随机事件的条件概率3类必考点人教A版2019选择性必修第三册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
专题7.1 随机事件的条件概率TOC \o "1-3" \t "正文,1" \h HYPERLINK \l "_Toc19309" 【考点1：条件概率】 PAGEREF _Toc19309 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc21031" 【考点2：乘法公式与事件的独立性】 PAGEREF _Toc21031 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc3732" 【考点3：全概率公式】 PAGEREF _Toc3732 \h 12【考点1：条件概率】【知识点：条件概率】[方法技巧]解决条件概率问题的步骤第一步，判断是否为条件概率，若题目中出现“已知”“在……前提下”等字眼，一般为条件概率．题目中若没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响所求事件的概率时，也需注意是否为条件概率．若为条件概率，则进行第二步．第二步，计算概率，这里有两种思路：[提醒] 要注意P(B|A)与P(A|B)的不同：前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率．1．（2024高二下·安徽滁州·阶段练习）已知，，则（ ）A．0.75 B．0.5 C．0.45 D．0.25【答案】A【分析】根据条件概率公式，结合已知，即可得出答案.【详解】根据条件概率公式可得，.故选：A.2．（2024·全国·模拟预测）某高三班级有校级优秀毕业生8人，其中男生6人、女生2人，从这8人中随机选取2人作为班级代表发言．若选取的第一位是女生，则第二位是男生的概率为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，结合条件概率的计算公式，准确计算，即可求解.【详解】记事件为“选取的2人中第一位是女生”，事件为“选取的2人中，1男1女”，则，所以.故选：D.3．（2024·四川·模拟预测）在杭州亚运会射击项目多向飞碟比赛中，已知某选手第一发命中的概率为，第一发和第二发均命中的概率为．则在他第一发命中的前提下，第二发未命中的概率为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用条件概率求解.【详解】解：设该选手“第一发命中”为事件，“第二发命中”为事件，则，所以．故选：C．4．（2024·全国·模拟预测）某农户购买了甲、乙两种香菇菌种，并在温度为和的条件下进行培育．已知选到的香菇全部来自甲菌种的概率为，选到的香菇全部来自甲菌种且在温度为的条件下培育出来的概率为．从培育的香菇中随机抽取一部分进行营养价值检测，若被选到的香菇全部来自甲菌种，则其是在温度为的条件下培育出来的概率为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题干中已知的概率，结合条件概率公式即可求解.【详解】设事件表示“选到的香菇全部来自甲菌种”，事件表示“选到的香菇是在温度为的条件下培育出来的”，则，故所求概率为．故选：B．5．（2024·全国·模拟预测）同时投掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，记“甲骰子正面向上的点数为奇数”为事件，“乙骰子正面向上的点数为偶数”为事件，“甲、乙两骰子至少出现一个正面向上的点数为偶数”为事件，则下列判断错误的是（ ）A．互为独立事件 B．为互斥事件C． D．【答案】B【分析】计算，看，是否相等，即可判定A选项：观察事件A，B是否可以同时发生，可判定B选项；用条件概率的公式可计算其概率，即可判定C选项；用对立事件可算出事件C的概率，则D选项可判定.【详解】，，，从而互为独立事件，A正确；可以同时发生，B错误；，C正确；，D正确.故选:B.6．（多选）（23-24高二下·福建莆田·阶段练习）已知，，若随机事件A，B相互独立，则（ ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根据条件概率公式和独立事件乘法公式即可判断ABC，再根据即可判断D.【详解】对B，，所以，B正确；对A，，所以，A错误；对C，，所以，C正确；对D，，D错误.故选：BC.7．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知，，，则 ， ．【答案】 / /【分析】根据条件概率的公式，结合已知即可求出；由，结合已知推得，进而即可根据概率的性质，得出.【详解】根据条件概率的公式可得，，所以，.又，所以.又，所以，.故答案为：；.8．（2024·云南昆明·一模）如图，一个质点从原点O出发，每隔一秒随机、等可能地向左或向右移动一个单位，共移动六次．质点位于4的位置的概率为 ；在质点第一秒位于1的位置的条件下，该质点共经过两次3的位置的概率为 ．【答案】 /0.09375 /0.125【分析】计算质点移动6次可能的结果，质点位于4的位置的可能结果，根据古典概型的概率公式即可求解；根据条件概率的概率公式计算.【详解】由题意可得：质点移动6次可能的结果有种，质点位于4的位置则指点向右移动5次向左移动1次，从质点移动6次中选1次向左移动，其它5次向右移动共有种，所以质点位于4的位置的概率为；在质点第一秒位于1的位置的条件下，该质点共经过两次3的位置，可知从1开始的5步中，第1、2步必须向右，第3步向左或向右均可，若第3步向左则第4步向右，若第3步向右则第4步向左，第5步向左向右均可，则走法有种，总的质点移动5次可能的结果有种，则在质点第一秒位于1的位置的条件下，该质点共经过两次3的位置的概率为.故答案为：；.【考点2：乘法公式与事件的独立性】【知识点：乘法公式与事件的独立性】相互独立事件概率的求法与相互独立事件A，B有关的概率的计算公式如下表：[方法技巧]求相互独立事件概率的步骤第一步，先用字母表示出事件，再分析题中涉及的事件，并把题中涉及的事件分为若干个彼此互斥的事件的和；第二步，求出这些彼此互斥的事件的概率；第三步，根据互斥事件的概率计算公式求出结果．此外，也可以从对立事件入手计算概率．1．（2024·云南贵州·二模）甲、乙两人进行网球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立. 设乙在第一局获胜的概率为、第二局获胜的概率为，第三局获胜的概率为，则甲恰好连胜两局的概率为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据独立事件的概率乘法公式即可分类求解.【详解】设甲第局胜，，2，3，且，则甲恰好连胜两局的概率，故选：B．2．（2024·全国·模拟预测）同时投掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，记“甲骰子正面向上的点数为奇数”为事件，“乙骰子正面向上的点数为偶数”为事件，“甲、乙两骰子至少出现一个正面向上的点数为偶数”为事件，则下列判断错误的是（ ）A．互为独立事件 B．为互斥事件C． D．【答案】B【分析】计算，看，是否相等，即可判定A选项：观察事件A，B是否可以同时发生，可判定B选项；用条件概率的公式可计算其概率，即可判定C选项；用对立事件可算出事件C的概率，则D选项可判定.【详解】，，，从而互为独立事件，A正确；可以同时发生，B错误；，C正确；，D正确.故选:B.3．（多选）（2024高三下·安徽芜湖·阶段练习）连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件“第一次出现2点”，“第二次的点数小于5点”，“两次点数之和为奇数”，则下列说法正确的有（ ）A．与不互斥 B．与相互独立C．与互斥 D．与相互独立【答案】ABD【分析】利用互斥事件与独立事件的定义与概率公式，对选项一一验证即可.【详解】对于AB，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次出现2点，第二次的点数小于5点可以同时发生，与不互斥，第一次与第二次的结果互不影响，即与相互独立，故AB正确；对于C，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，若第一次的点数为2，第二次的点数3点，则两次点数之和为5是奇数，即与可以同时发生，即与不互斥，故C错误；对于D，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，其总的基本事件为件，事件 “第一次出现2点”的基本事件有，故，事件“两次点数之和为奇数” 的基本事件有，故，事件“第一次出现2点，且两次点数之和为奇数” 的基本事件有，故，所以，则与相互独立，故D正确.故选：ABD.4．（多选）（2024·山东烟台·一模）先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为，设事件“为整数”，“为偶数”，“为奇数”，则（ ）A． B．C．事件与事件相互独立 D．【答案】BCD【分析】列举所有的基本事件，再由古典概型的概率公式，相互独立事件的定义及条件概率的概率公式计算可得.【详解】先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为，，则基本事件总数为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共36种情况，满足事件的有，，，，，，，，，，，共种，其概率，故A错误；满足事件的有，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个，故；满足事件的有，，共个，所以，故B正确；满足事件的有，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个，故，满足事件的有，，， ，，， ，，，共个，所以，所以事件与事件相互独立，故C正确；满足事件的有，，，，，，，共种，所以，则，故D正确.故选：BCD5．（多选）（2024高二下·福建莆田·阶段练习）已知，，若随机事件A，B相互独立，则（ ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根据条件概率公式和独立事件乘法公式即可判断ABC，再根据即可判断D.【详解】对B，，所以，B正确；对A，，所以，A错误；对C，，所以，C正确；对D，，D错误.故选：BC.6．（多选）（2024·河北·模拟预测）质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有四个数字，抛掷一次并记录与地面接触面上的数字，记事件“数字为2的倍数”为事件，“数字是5的倍数”为事件，“数字是7的倍数”为事件，则下列选项不正确的是（ ）A．事件、、两两互斥B．事件与事件对立C．D．事件、、两两独立【答案】ABC【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概念判断即可.【详解】依题意抛掷一次可能出现的结果有、、、，事件包含的基本事件有、，则；事件包含的基本事件有、，则；事件包含的基本事件有、，则；显然事件与事件，事件与事件，事件与事件均可以同时发生，故事件与事件，事件与事件，事件与事件均不互斥，故A错误；事件包含的基本事件有、、，事件包含的基本事件有，当出现时事件与事件均发生，故事件与事件不互斥，显然不对立，故B错误；又事件包含的基本事件有，所以，所以，故C错误；因为事件包含的基本事件有，所以，所以与相互独立；因为事件包含的基本事件有，所以，所以与相互独立；因为事件包含的基本事件有，所以，所以与相互独立；即事件、、两两独立，故D正确.故选：ABC7．（多选）（2024高二下·江西·开学考试）某中药材盒中共有包装相同的10袋药材，其中甲级药材有4袋，乙级药材有6袋，从中不放回地依次抽取2袋，用A表示事件“第一次取到甲级药材”，用B表示事件“第二次取到乙级药材”，则（ ）A． B．C． D．事件A，B相互独立【答案】ABC【分析】对于A，由古典概型概率计算公式验算即可；对于B，由条件概率公式即可验算；对于C，由全概率公式即可验算；对于D，由独立乘法公式即可验算.【详解】对A，，故A正确；对B，，故B正确；对C，，故C正确；对D，因为，，所以事件A，B不相互独立，故D错误．故选：ABC．8．（2024高一下·全国·期末）某高校的入学面试中有4道题目，第1题2分，第2题3分，第3题4分，第4题4分，每道题目答对得满分，答错得0分，小明答对第1，2，3，4题的概率分别为，，，，且每道题目是否答对相互独立.(1)求小明4道题目至少答错1道题的概率；(2)若该高校规定学生的面试分数不低于8分则面试成功，求小明面试成功的概率.【答案】(1)；(2).【分析】（1）小明4道题目至少答错1道题的对立事件为小明4道题全部答对，根据对立事件概率和为1计算即可；（2）分答对2题，应是第3题和第4题，答对三题或全部答对则面试成功，依次计算概率后，再相加即可.【详解】（1）小明同学4道题目至少答错1道题的对立事件为小明4道题全部答对，所以小明同学4道题目至少答错1道题的概率为.（2）由题意得，要使得面试分数不低于8分，若只答对2题，则应是第3题和第4题；若只答对三题或全部答对，面试得分均不低于8分.设事件A，B，C，D分别为小明答对第1，2，3，4题，则小明面试成功的概率.【考点3：全概率公式】【知识点：全概率公式】若样本空间中的事件满足：（1）任意两个事件均互斥，即，．（2）．（3）．则对任意事件，都有，则称该公式为全概率公式．上述公式可借助图形来理解：1．（2024高二下·湖南衡阳·阶段练习）甲与10名同学参加了一场一对一乒乓球友谊赛，这10名同学中有6名同学球技一般，有4名同学球技高超.甲打赢球技一般的同学的概率为0.9，打赢球技高超的同学的概率为0.1.甲从这10名同学中随机选取一名作为对手，则他打赢这场比赛的概率为（ ）A．0.54 B．0.58 C．0.60 D．0.64【答案】B【分析】根据题意，结合全概率公式，即可求解.【详解】根据题意，用分别表示甲随机选取的选手时球技一般的同学，球技高超的同学，用表示甲打赢这场比赛， 可得，所以由全概率公式，可得.故选：B.2．（2024高二下·山东青岛·阶段练习）盒中有除颜色外完全相同的2个红球和3个黑球，随机地从中取出1个，观察其颜色后放回，并加上同色球2个，再从盒中取出1个球，则取出的是黑球的概率为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意运用全概率公式进行求解即可.【详解】设事件A表示第一次抽取的是黑球，则，，事件表示第二次抽取的是黑球，可知，所以故选：A.3．（2024·陕西宝鸡·二模）某位同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒3盒、莲花清瘟胶囊2盒、清开灵颗粒5盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用（用药请遵医嘱），则感冒被治愈的概率为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据全概率公式计算可得；【详解】记服用金花清感颗粒为事件，服用莲花清瘟胶囊为事件，服用清开灵颗粒为事件，感冒被治愈为事件，依题意可得，，，，，，所以.故选：C4．（2024·全国·二模）某单位选派一支代表队参加市里的辩论比赛，现有“初心”“使命”两支预备队.选哪支队是随机的，其中选“初心”队获胜的概率为0.8，选“使命”队获胜的概率为0.7，单位在比赛中获胜的条件下，选“使命”队参加比赛的概率为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，利用条件概率公式、全概率公式列式计算得解.【详解】依题意，记选“初心”队为事件，选“使命”队为事件，该单位获胜为事件，则,因此，所以选“使命”队参加比赛的概率.故选：D5．（2024·海南省直辖县级单位·一模）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件，存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性；该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用条件概率，结合全概率公式与贝叶斯公式即可得解.【详解】依题意，设用该试剂检测呈现阳性为事件B，被检测者患病为事件A，未患病为事件，则，，，，故，则所求概率为.故选：C.6．（2024·湖南常德·三模）设有甲、乙两箱数量相同的产品，甲箱中产品的合格率为90%，乙箱中产品的合格率为80%.从两箱产品中任取一件，经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品，则该件产品合格的概率为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设事件表示任选一件产品，来自于甲箱，事件表示任选一件产品，来自于乙箱，事件从两箱产品中任取一件，恰好不合格，先利用全概率公式求出，进而可得，，进而可得放回原箱后再取该件产品合格的概率.【详解】设事件表示任选一件产品，来自于甲箱，事件表示任选一件产品，来自于乙箱，事件从两箱产品中任取一件，恰好不合格，又，经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品，则该件产品合格的概率为.故选：A.7．（2024高二下·广东深圳·阶段练习）有台车床加工同一型号的零件，第台车床加工的次品率为，第台车床加工的次品率为，第台车床加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起，已知第台车床加工的零件数分别占总数的，，，现从中任意选取个零件，则取到的零件是次品的概率为 .【答案】【分析】利用条件概率公式和全概率公式计算即可.【详解】记事件为“零件由第台车床加工”，记事件为“零件为次品”，则由题意可知，，，，，，所以取到的零件是次品的概率，故答案为：8．（2024高二下·山东青岛·阶段练习）已知随机事件A，B，满足，则 ．【答案】/0.1【分析】由利用条件概率公式可得，由，利用概率的乘法公式求得，借助于全概率公式求得.【详解】因 即则得，∵，又因,且与互斥，故,则．故答案为：. 定义设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率性质①0≤P(B|A)≤1；②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)思路一缩减样本空间法计算条件概率，如求P(A|B)，可分别求出事件B，AB包含的基本事件的个数，再利用公式P(A|B)＝eq \f(nAB,nB)计算思路二直接利用公式计算条件概率，即先分别计算出P(AB)，P(B)，再利用公式P(A|B)＝eq \f(PAB,PB)计算定义设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立性质①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(AB)＝P(A)P(B)；②如果事件A与B相互独立，那么A与eq \o(B,\s\up6(－))，eq \o(A,\s\up6(－))与B，eq \o(A,\s\up6(－))与eq \o(B,\s\up6(－))也都相互独立事件A，B相互独立概率计算公式A，B同时发生P(AB)＝P(A)P(B)A，B同时不发生P(eq \o(A,\s\up6(－))eq \o(B,\s\up6(－)))＝P(eq \o(A,\s\up6(－)))P(eq \o(B,\s\up6(－)))＝[1－P(A)][1－P(B)]＝1－P(A)－P(B)＋P(A)P(B)A，B至少有一个不发生P＝1－P(AB)＝1－P(A)P(B)A，B至少有一个发生P＝1－P(eq \o(A,\s\up6(－))eq \o(B,\s\up6(－)))＝1－P(eq \o(A,\s\up6(－)))P(eq \o(B,\s\up6(－)))＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B)A，B恰有一个发生P＝P(Aeq \o(B,\s\up6(－))＋eq \o(A,\s\up6(－))B)＝P(A)P(eq \o(B,\s\up6(－)))＋P(eq \o(A,\s\up6(－)))P(B)＝P(A)＋P(B)－2P(A)P(B)
专题7.1 随机事件的条件概率TOC \o "1-3" \t "正文,1" \h HYPERLINK \l "_Toc19309" 【考点1：条件概率】 PAGEREF _Toc19309 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc21031" 【考点2：乘法公式与事件的独立性】 PAGEREF _Toc21031 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc3732" 【考点3：全概率公式】 PAGEREF _Toc3732 \h 12【考点1：条件概率】【知识点：条件概率】[方法技巧]解决条件概率问题的步骤第一步，判断是否为条件概率，若题目中出现“已知”“在……前提下”等字眼，一般为条件概率．题目中若没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响所求事件的概率时，也需注意是否为条件概率．若为条件概率，则进行第二步．第二步，计算概率，这里有两种思路：[提醒] 要注意P(B|A)与P(A|B)的不同：前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率．1．（2024高二下·安徽滁州·阶段练习）已知，，则（ ）A．0.75 B．0.5 C．0.45 D．0.25【答案】A【分析】根据条件概率公式，结合已知，即可得出答案.【详解】根据条件概率公式可得，.故选：A.2．（2024·全国·模拟预测）某高三班级有校级优秀毕业生8人，其中男生6人、女生2人，从这8人中随机选取2人作为班级代表发言．若选取的第一位是女生，则第二位是男生的概率为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，结合条件概率的计算公式，准确计算，即可求解.【详解】记事件为“选取的2人中第一位是女生”，事件为“选取的2人中，1男1女”，则，所以.故选：D.3．（2024·四川·模拟预测）在杭州亚运会射击项目多向飞碟比赛中，已知某选手第一发命中的概率为，第一发和第二发均命中的概率为．则在他第一发命中的前提下，第二发未命中的概率为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用条件概率求解.【详解】解：设该选手“第一发命中”为事件，“第二发命中”为事件，则，所以．故选：C．4．（2024·全国·模拟预测）某农户购买了甲、乙两种香菇菌种，并在温度为和的条件下进行培育．已知选到的香菇全部来自甲菌种的概率为，选到的香菇全部来自甲菌种且在温度为的条件下培育出来的概率为．从培育的香菇中随机抽取一部分进行营养价值检测，若被选到的香菇全部来自甲菌种，则其是在温度为的条件下培育出来的概率为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题干中已知的概率，结合条件概率公式即可求解.【详解】设事件表示“选到的香菇全部来自甲菌种”，事件表示“选到的香菇是在温度为的条件下培育出来的”，则，故所求概率为．故选：B．5．（2024·全国·模拟预测）同时投掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，记“甲骰子正面向上的点数为奇数”为事件，“乙骰子正面向上的点数为偶数”为事件，“甲、乙两骰子至少出现一个正面向上的点数为偶数”为事件，则下列判断错误的是（ ）A．互为独立事件 B．为互斥事件C． D．【答案】B【分析】计算，看，是否相等，即可判定A选项：观察事件A，B是否可以同时发生，可判定B选项；用条件概率的公式可计算其概率，即可判定C选项；用对立事件可算出事件C的概率，则D选项可判定.【详解】，，，从而互为独立事件，A正确；可以同时发生，B错误；，C正确；，D正确.故选:B.6．（多选）（23-24高二下·福建莆田·阶段练习）已知，，若随机事件A，B相互独立，则（ ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根据条件概率公式和独立事件乘法公式即可判断ABC，再根据即可判断D.【详解】对B，，所以，B正确；对A，，所以，A错误；对C，，所以，C正确；对D，，D错误.故选：BC.7．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知，，，则 ， ．【答案】 / /【分析】根据条件概率的公式，结合已知即可求出；由，结合已知推得，进而即可根据概率的性质，得出.【详解】根据条件概率的公式可得，，所以，.又，所以.又，所以，.故答案为：；.8．（2024·云南昆明·一模）如图，一个质点从原点O出发，每隔一秒随机、等可能地向左或向右移动一个单位，共移动六次．质点位于4的位置的概率为 ；在质点第一秒位于1的位置的条件下，该质点共经过两次3的位置的概率为 ．【答案】 /0.09375 /0.125【分析】计算质点移动6次可能的结果，质点位于4的位置的可能结果，根据古典概型的概率公式即可求解；根据条件概率的概率公式计算.【详解】由题意可得：质点移动6次可能的结果有种，质点位于4的位置则指点向右移动5次向左移动1次，从质点移动6次中选1次向左移动，其它5次向右移动共有种，所以质点位于4的位置的概率为；在质点第一秒位于1的位置的条件下，该质点共经过两次3的位置，可知从1开始的5步中，第1、2步必须向右，第3步向左或向右均可，若第3步向左则第4步向右，若第3步向右则第4步向左，第5步向左向右均可，则走法有种，总的质点移动5次可能的结果有种，则在质点第一秒位于1的位置的条件下，该质点共经过两次3的位置的概率为.故答案为：；.【考点2：乘法公式与事件的独立性】【知识点：乘法公式与事件的独立性】相互独立事件概率的求法与相互独立事件A，B有关的概率的计算公式如下表：[方法技巧]求相互独立事件概率的步骤第一步，先用字母表示出事件，再分析题中涉及的事件，并把题中涉及的事件分为若干个彼此互斥的事件的和；第二步，求出这些彼此互斥的事件的概率；第三步，根据互斥事件的概率计算公式求出结果．此外，也可以从对立事件入手计算概率．1．（2024·云南贵州·二模）甲、乙两人进行网球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立. 设乙在第一局获胜的概率为、第二局获胜的概率为，第三局获胜的概率为，则甲恰好连胜两局的概率为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据独立事件的概率乘法公式即可分类求解.【详解】设甲第局胜，，2，3，且，则甲恰好连胜两局的概率，故选：B．2．（2024·全国·模拟预测）同时投掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，记“甲骰子正面向上的点数为奇数”为事件，“乙骰子正面向上的点数为偶数”为事件，“甲、乙两骰子至少出现一个正面向上的点数为偶数”为事件，则下列判断错误的是（ ）A．互为独立事件 B．为互斥事件C． D．【答案】B【分析】计算，看，是否相等，即可判定A选项：观察事件A，B是否可以同时发生，可判定B选项；用条件概率的公式可计算其概率，即可判定C选项；用对立事件可算出事件C的概率，则D选项可判定.【详解】，，，从而互为独立事件，A正确；可以同时发生，B错误；，C正确；，D正确.故选:B.3．（多选）（2024高三下·安徽芜湖·阶段练习）连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件“第一次出现2点”，“第二次的点数小于5点”，“两次点数之和为奇数”，则下列说法正确的有（ ）A．与不互斥 B．与相互独立C．与互斥 D．与相互独立【答案】ABD【分析】利用互斥事件与独立事件的定义与概率公式，对选项一一验证即可.【详解】对于AB，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次出现2点，第二次的点数小于5点可以同时发生，与不互斥，第一次与第二次的结果互不影响，即与相互独立，故AB正确；对于C，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，若第一次的点数为2，第二次的点数3点，则两次点数之和为5是奇数，即与可以同时发生，即与不互斥，故C错误；对于D，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，其总的基本事件为件，事件 “第一次出现2点”的基本事件有，故，事件“两次点数之和为奇数” 的基本事件有，故，事件“第一次出现2点，且两次点数之和为奇数” 的基本事件有，故，所以，则与相互独立，故D正确.故选：ABD.4．（多选）（2024·山东烟台·一模）先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为，设事件“为整数”，“为偶数”，“为奇数”，则（ ）A． B．C．事件与事件相互独立 D．【答案】BCD【分析】列举所有的基本事件，再由古典概型的概率公式，相互独立事件的定义及条件概率的概率公式计算可得.【详解】先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为，，则基本事件总数为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共36种情况，满足事件的有，，，，，，，，，，，共种，其概率，故A错误；满足事件的有，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个，故；满足事件的有，，共个，所以，故B正确；满足事件的有，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个，故，满足事件的有，，， ，，， ，，，共个，所以，所以事件与事件相互独立，故C正确；满足事件的有，，，，，，，共种，所以，则，故D正确.故选：BCD5．（多选）（2024高二下·福建莆田·阶段练习）已知，，若随机事件A，B相互独立，则（ ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根据条件概率公式和独立事件乘法公式即可判断ABC，再根据即可判断D.【详解】对B，，所以，B正确；对A，，所以，A错误；对C，，所以，C正确；对D，，D错误.故选：BC.6．（多选）（2024·河北·模拟预测）质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有四个数字，抛掷一次并记录与地面接触面上的数字，记事件“数字为2的倍数”为事件，“数字是5的倍数”为事件，“数字是7的倍数”为事件，则下列选项不正确的是（ ）A．事件、、两两互斥B．事件与事件对立C．D．事件、、两两独立【答案】ABC【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概念判断即可.【详解】依题意抛掷一次可能出现的结果有、、、，事件包含的基本事件有、，则；事件包含的基本事件有、，则；事件包含的基本事件有、，则；显然事件与事件，事件与事件，事件与事件均可以同时发生，故事件与事件，事件与事件，事件与事件均不互斥，故A错误；事件包含的基本事件有、、，事件包含的基本事件有，当出现时事件与事件均发生，故事件与事件不互斥，显然不对立，故B错误；又事件包含的基本事件有，所以，所以，故C错误；因为事件包含的基本事件有，所以，所以与相互独立；因为事件包含的基本事件有，所以，所以与相互独立；因为事件包含的基本事件有，所以，所以与相互独立；即事件、、两两独立，故D正确.故选：ABC7．（多选）（2024高二下·江西·开学考试）某中药材盒中共有包装相同的10袋药材，其中甲级药材有4袋，乙级药材有6袋，从中不放回地依次抽取2袋，用A表示事件“第一次取到甲级药材”，用B表示事件“第二次取到乙级药材”，则（ ）A． B．C． D．事件A，B相互独立【答案】ABC【分析】对于A，由古典概型概率计算公式验算即可；对于B，由条件概率公式即可验算；对于C，由全概率公式即可验算；对于D，由独立乘法公式即可验算.【详解】对A，，故A正确；对B，，故B正确；对C，，故C正确；对D，因为，，所以事件A，B不相互独立，故D错误．故选：ABC．8．（2024高一下·全国·期末）某高校的入学面试中有4道题目，第1题2分，第2题3分，第3题4分，第4题4分，每道题目答对得满分，答错得0分，小明答对第1，2，3，4题的概率分别为，，，，且每道题目是否答对相互独立.(1)求小明4道题目至少答错1道题的概率；(2)若该高校规定学生的面试分数不低于8分则面试成功，求小明面试成功的概率.【答案】(1)；(2).【分析】（1）小明4道题目至少答错1道题的对立事件为小明4道题全部答对，根据对立事件概率和为1计算即可；（2）分答对2题，应是第3题和第4题，答对三题或全部答对则面试成功，依次计算概率后，再相加即可.【详解】（1）小明同学4道题目至少答错1道题的对立事件为小明4道题全部答对，所以小明同学4道题目至少答错1道题的概率为.（2）由题意得，要使得面试分数不低于8分，若只答对2题，则应是第3题和第4题；若只答对三题或全部答对，面试得分均不低于8分.设事件A，B，C，D分别为小明答对第1，2，3，4题，则小明面试成功的概率.【考点3：全概率公式】【知识点：全概率公式】若样本空间中的事件满足：（1）任意两个事件均互斥，即，．（2）．（3）．则对任意事件，都有，则称该公式为全概率公式．上述公式可借助图形来理解：1．（2024高二下·湖南衡阳·阶段练习）甲与10名同学参加了一场一对一乒乓球友谊赛，这10名同学中有6名同学球技一般，有4名同学球技高超.甲打赢球技一般的同学的概率为0.9，打赢球技高超的同学的概率为0.1.甲从这10名同学中随机选取一名作为对手，则他打赢这场比赛的概率为（ ）A．0.54 B．0.58 C．0.60 D．0.64【答案】B【分析】根据题意，结合全概率公式，即可求解.【详解】根据题意，用分别表示甲随机选取的选手时球技一般的同学，球技高超的同学，用表示甲打赢这场比赛， 可得，所以由全概率公式，可得.故选：B.2．（2024高二下·山东青岛·阶段练习）盒中有除颜色外完全相同的2个红球和3个黑球，随机地从中取出1个，观察其颜色后放回，并加上同色球2个，再从盒中取出1个球，则取出的是黑球的概率为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意运用全概率公式进行求解即可.【详解】设事件A表示第一次抽取的是黑球，则，，事件表示第二次抽取的是黑球，可知，所以故选：A.3．（2024·陕西宝鸡·二模）某位同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒3盒、莲花清瘟胶囊2盒、清开灵颗粒5盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用（用药请遵医嘱），则感冒被治愈的概率为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据全概率公式计算可得；【详解】记服用金花清感颗粒为事件，服用莲花清瘟胶囊为事件，服用清开灵颗粒为事件，感冒被治愈为事件，依题意可得，，，，，，所以.故选：C4．（2024·全国·二模）某单位选派一支代表队参加市里的辩论比赛，现有“初心”“使命”两支预备队.选哪支队是随机的，其中选“初心”队获胜的概率为0.8，选“使命”队获胜的概率为0.7，单位在比赛中获胜的条件下，选“使命”队参加比赛的概率为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，利用条件概率公式、全概率公式列式计算得解.【详解】依题意，记选“初心”队为事件，选“使命”队为事件，该单位获胜为事件，则,因此，所以选“使命”队参加比赛的概率.故选：D5．（2024·海南省直辖县级单位·一模）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件，存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性；该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用条件概率，结合全概率公式与贝叶斯公式即可得解.【详解】依题意，设用该试剂检测呈现阳性为事件B，被检测者患病为事件A，未患病为事件，则，，，，故，则所求概率为.故选：C.6．（2024·湖南常德·三模）设有甲、乙两箱数量相同的产品，甲箱中产品的合格率为90%，乙箱中产品的合格率为80%.从两箱产品中任取一件，经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品，则该件产品合格的概率为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设事件表示任选一件产品，来自于甲箱，事件表示任选一件产品，来自于乙箱，事件从两箱产品中任取一件，恰好不合格，先利用全概率公式求出，进而可得，，进而可得放回原箱后再取该件产品合格的概率.【详解】设事件表示任选一件产品，来自于甲箱，事件表示任选一件产品，来自于乙箱，事件从两箱产品中任取一件，恰好不合格，又，经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品，则该件产品合格的概率为.故选：A.7．（2024高二下·广东深圳·阶段练习）有台车床加工同一型号的零件，第台车床加工的次品率为，第台车床加工的次品率为，第台车床加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起，已知第台车床加工的零件数分别占总数的，，，现从中任意选取个零件，则取到的零件是次品的概率为 .【答案】【分析】利用条件概率公式和全概率公式计算即可.【详解】记事件为“零件由第台车床加工”，记事件为“零件为次品”，则由题意可知，，，，，，所以取到的零件是次品的概率，故答案为：8．（2024高二下·山东青岛·阶段练习）已知随机事件A，B，满足，则 ．【答案】/0.1【分析】由利用条件概率公式可得，由，利用概率的乘法公式求得，借助于全概率公式求得.【详解】因 即则得，∵，又因,且与互斥，故,则．故答案为：. 定义设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率性质①0≤P(B|A)≤1；②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)思路一缩减样本空间法计算条件概率，如求P(A|B)，可分别求出事件B，AB包含的基本事件的个数，再利用公式P(A|B)＝eq \f(nAB,nB)计算思路二直接利用公式计算条件概率，即先分别计算出P(AB)，P(B)，再利用公式P(A|B)＝eq \f(PAB,PB)计算定义设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立性质①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(AB)＝P(A)P(B)；②如果事件A与B相互独立，那么A与eq \o(B,\s\up6(－))，eq \o(A,\s\up6(－))与B，eq \o(A,\s\up6(－))与eq \o(B,\s\up6(－))也都相互独立事件A，B相互独立概率计算公式A，B同时发生P(AB)＝P(A)P(B)A，B同时不发生P(eq \o(A,\s\up6(－))eq \o(B,\s\up6(－)))＝P(eq \o(A,\s\up6(－)))P(eq \o(B,\s\up6(－)))＝[1－P(A)][1－P(B)]＝1－P(A)－P(B)＋P(A)P(B)A，B至少有一个不发生P＝1－P(AB)＝1－P(A)P(B)A，B至少有一个发生P＝1－P(eq \o(A,\s\up6(－))eq \o(B,\s\up6(－)))＝1－P(eq \o(A,\s\up6(－)))P(eq \o(B,\s\up6(－)))＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B)A，B恰有一个发生P＝P(Aeq \o(B,\s\up6(－))＋eq \o(A,\s\up6(－))B)＝P(A)P(eq \o(B,\s\up6(－)))＋P(eq \o(A,\s\up6(－)))P(B)＝P(A)＋P(B)－2P(A)P(B)
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