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专题3.1 函数的概念及其表示-【初升高衔接】2023年新高一数学初升高考点必杀50题（人教A版2019）（原卷版+解析版）
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这是一份专题3.1 函数的概念及其表示-【初升高衔接】2023年新高一数学初升高考点必杀50题（人教A版2019）（原卷版+解析版），文件包含专题31函数的概念及其表示-初升高衔接2023年新高一数学初升高考点必杀50题人教A版2019原卷版docx、专题31函数的概念及其表示-初升高衔接2023年新高一数学初升高考点必杀50题人教A版2019解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。
一、单选题
1．设函数，则的值为（ ）
A．-2B．2C．1D．-1
【答案】B
【解析】利用分段函数代入求值即可.
【详解】由，
当，，
当，.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了分段函数求值问题.属于容易题.
2．已知函数，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．
【答案】A
【解析】根据分段函数的定义域分别代入求值即可.
【详解】因为，所以，，
所以，
故选：A.
【点睛】本题考查分段函数的性质，属于基础题.
3．函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】取点代入排除得到答案
【详解】当时， ，故排除BD
再代入 ， ，排除A
故选：C
4．已知，则为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】根据给定条件直接代入计算即可得解.
【详解】因，则，
所以为2.
故选：A
5．已知，则
A．2B．1C．0D．
【答案】A
【分析】直接代入x=0求解函数值即可．
【详解】f（x+1）＝x2﹣2x+2，令x=0，
∴f（0+1）＝f（1）=02﹣0+2=2．
∴f（1）=2．
故选A．
【点睛】本题考查函数值的求法，考查计算能力．
6．已知定义在上的函数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分别令，，得到两个方程，解方程组可求得结果
【详解】∵，
∴当时，，①，
当时，，②，
，得，解得．
故选：B．
7．若函数，则（ ）
A．50B．49C．D．
【答案】C
【解析】本题首先可通过得出，然后通过计算即可得出结果.
【详解】因为，所以，，
则
，
故选：C.
8．下列函数中，值域是的是（ ）
A．B．，
C．，D．
【答案】D
【分析】根据函数的性质分别进行判断即可．
【详解】对选项A：，即函数的值域为，错误；
对选项B：，则函数在上为减函数，则，即函数的值域为，错误；
对选项C：函数的定义域为，函数的，值域不连续，错误；
对选项D：，函数的值域为.
故选：D
9．若函数满足，则（ ）
A．0B．2C．3D．
【答案】D
【解析】由可得，得到方程组，可解，代入可求出.
【详解】由，可得，
联立两式可得，代入可得.
故选：D.
【点睛】方法点睛：求函数的解析式，常用的方法有：（1）配凑法；（2）换元法；（3）待定系数法；（4）构造方程组法；（5）特殊值法.
10．函数的定义域为 ，那么其值域为
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】此函数为点函数，求其值域只需将自变量一一代入求值即可
【详解】解：∵函数f（x）＝x2﹣2x的定义域为{﹣1，0，1，2}，对称轴为x＝1
且f（0）＝f（2）＝0，f（1）＝﹣1，f（﹣1）＝3
∴其值域为{﹣1，0，3}
故选：C．
【点睛】本题考查了函数的值域的意义和求法，点函数的定义域和值域间的关系，属基础题
11．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】D
【分析】根据函数的定义域，对应法则来判断.
【详解】对于A选项：的定义域为R，的定义域为，所以不是同一函数；
对于B选项：因为函数，即两个函数的对应关系不同，所以不是同一函数；
对于C选项：的定义域为R，的定义域为，所以不是同一函数；
对于D选项：的定义域与的定义域均为，且，所以是同一函数.
故选：D.
12．给定函数，，.用表示，中的较小者，记为，则的最大值为（ ）
A．B．1C．0D．2
【答案】A
【分析】先把 写成分段函数的形式，再求其最大值即可.
【详解】令得 ，所以
当 时，，
当时，
综上所述，.
故选：A
13．函数y＝2x＋，则（ ）
A．有最大值，无最小值B．有最小值，无最大值
C．有最小值，最大值D．既无最大值，也无最小值
【答案】A
【分析】设＝t（t≥0），则x＝，得y＝1－t2＋t＝－2＋（t≥0），求二次函数得最值即可得解.
【详解】解：设＝t（t≥0），则x＝，
所以y＝1－t2＋t＝－2＋（t≥0），
对称轴t＝，所以y在上递增，在上递减，
所以y在t＝处取得最大值，无最小值.
故选：A.
14．与函数的图象相同的函数是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
,,与解析式不同,
,所以选D.
15．定义在上的函数满足，且当时，，则(1)的值为（ ）
A．B．2C．D．1
【答案】A
【分析】推导出，从而(1)(5)，由此能求出结果．
【详解】解：定义在上的函数满足，
且当时，，
，
∴(1)(5)．
故选：．
【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16．若函数，则（ ）
A．0B．1C．28D．-5
【答案】B
【解析】根据分段函数的解析式先求的值，再求即可.
【详解】因为，
所以，，
故选：B.
17．已知函数满足且，，则（1）（2）（3）=（ ）
A．0B．1C．D．5
【答案】A
【分析】令，可得，再令，可得，然后可求得结果
【详解】解：函数满足且，，
令，则（1）（1）（1）
（1）
令，则（1）
（3）且（2）
（1）（2）（3）
故选：A．
18．设函数若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】先判断函数的奇偶性、单调性，然后利用奇偶性和单调性解不等式，得到，再分离参数，转化为对任意的恒成立问题求解.
【详解】
当时，，，
当时，，，
当时，，所以时，为奇函数，
与都是单调递增函数，且，
所以在上是单调递增函数，
因为，所以，
即对任意的恒成立，所以，解得.
故选：C.
【点睛】解有关函数不等式可以利用函数的奇偶性、单调性，含参数不等式恒成立的问题，分离参数转化为求函数最值.
19．已知函数的图像的图象如下，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先根据f(0)<0，得到，然后构造函数，根据韦达定理得出和的值，判断即可.
【详解】由图可知f(0)<0，故有，即，
由图可知，函数的两根分别为和，
所以有：，即 ，又
故，，
所以
故选A.
【点睛】本题考查利用函数图象研究函数的性质，解题的关键是观察图象进而得出函数的特征.
20．函数，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意可得，按的范围进行分类讨论确定不等式，从而得到结果.
【详解】依题，当时，，
代入原不等式得，此时不等式的解为.
当时，代入原不等式得,
此时不等式的解为.
当时，代入原不等式得,
解之得，即此时不等式的解为.
综上所述，不等式的解为.
故选：C
【点睛】本题考查分段函数，考查学生对分段函数的理解掌握，解决本题的关键在于分类讨论.
二、多选题
21．下列各图中是函数图像的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据函数的概念进行判断
【详解】根据函数的定义:任意垂直于轴的直线与函数图像至多有一个交点.
故满足要求.
故选：.
22．矩形的面积为，如果矩形的长为，宽为，对角线为，周长为，下列正确的（ ）
A．（）B．（）
C． （）D．（）
【答案】ABD
【分析】根据已知条件逐个分析判断即可
【详解】对于A，因为矩形的面积为，矩形的长为，宽为，
所以，得，所以矩形的周长为（），所以A正确，
对于B，由选项A，可知（），所以B正确，
对于C，因为矩形的面积为，对角线为，长为，宽为，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，，
因为，所以，所以矩形的周长为（），所以C错误，
对于D，由选项C可知，，所以，
因为，所以（），所以D正确，
故选：ABD
23．已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】设，代入列方程组求解即可.
【详解】设，
由题意可知，
所以，解得或，
所以或.
故选：AD.
24．下列选项中两个函数相等的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】判断每个选项的两函数的定义域和对应关系是否都相同，都相同的两函数相等，否则不相等．
【详解】解：．的定义域为，的定义域为，定义域和对应关系都相同，两函数相等；
．的定义域为，的定义域为，定义域不同，两函数不相等；
的定义域为，的定义域为，定义域不同，两函数不相等；
．和显然相等．
故选：．
25．设，则用表示不超过的最大整数，例如，.已知函数，则函数的值域中含有的元素可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】方法一：采用分离常数法可得，由此可得，由定义可得结果；
方法二：当时，可得；当时，，由此可得；由定义可得结果.
【详解】方法一：，
，，，即，
的值域为；
方法二：当时，，此时；
当时，，
，，即，此时或；
的值域为.
故选：BC.
26．已知函数，则表达正确的是（ ）
A．函数的单调递减区间为，B．为函数的单调递增区间
C．函数有最小值，无最大值D．函数满足
【答案】BC
【分析】画出图形，利用函数图象进行判断．
【详解】作出的图象，
由图象可知，A错误，B、C正确，
因为，，
所以，故D错误.
故选：BC.
27．下列的函数与表示的是同一个函数的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】BD
【分析】根据题意可知A选项两函数定义域不同，B选项两函数定义域、值域、对应关系完全相同，C选项两函数值域不同，D选项定义域、值域、对应关系也完全相同，即可得出结论.
【详解】对于A，易知函数的定义域为，而的定义域为，即两函数的定义域不同，所以A错误；
对于B，函数与的定义域为，值域为，且，即其对应关系也相同，故B选项正确；
对于C，易知函数和的定义域为，而的值域为，的值域为，两函数值域不同，所以C错误；
对于D，易知函数和的定义域为，值域为，且，所以D正确.
故选：BD
28．下列选项中正确的有（ ）
A．与是同一函数
B．与表示同一函数
C．函数的图象与直线的交点最多有1个
D．若，则
【答案】AC
【分析】根据函数的定义域、解析式是否相同判断AB，由函数定义判断C，根据函数解析式求值判断D.
【详解】对于A，与的定义域都为R，解析式相同，是同一函数，故正确；
对于B，与定义域不同，故不是同一函数，故错误；
对于C，根据函数的定义，当定义域中有2时，的图象与直线有一个交点，当定义域中没有2时，的图象与直线没有交点，故正确；
对于D，，故错误.
故选：AC
29．，表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”．则下列命题中正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．函数的值域为
【答案】CD
【解析】结合的定义，对选项逐个分析，可选出答案.
【详解】对于A，，而，故A错误；
对于B，因为，所以恒成立，故B错误；
对于C，，，，所以，
当时，，此时；
当时，，此时，
所以，，故C正确；
对于D，根据定义可知，，所以函数的值域为，故D正确.
故选：CD.
【点睛】本题考查函数新定义，考查学生的推理能力，属于中档题.
30．若函数，则（ ）
A．对任意x∈R，都有f（-x）=f(x)
B．对任意x∈R，都有f[f(x)]=1
C．对任意x1∈R，都存在x2∈Q有
D．对于给定非零常数a，对任意x∈R，都有f（x+a）=f(x)
【答案】ABC
【分析】根据题意，分别对和进行讨论，一一判断即可.
【详解】对于选项A，当时，，则，
当时，，则，
综上可知，对任意，都有，故A正确；
对于选项B，当时，，则，
当时，，则，
综上可知，对任意，都有，故B正确；
对于选项C，当时，因为，所以，因此，
当时，若，且，则，此时，
综上可知，对任意，都存在有，故C正确；
对于选项D，当，时，，，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题
31．已知函数，则_________．
【答案】
【分析】利用换元法，求得的表达式，进而求得的表达式.
【详解】令，故，所以，所以.
故填：.
【点睛】本小题主要考查函数解析式的求法，考查函数的对应关系，属于基础题.
32．函数的值域为__________
【答案】
【分析】根据函数单调性求出函数的最值，从而求出值域.
【详解】函数在区间为减函数，
所以当时，取得最大为2；
当时，取得最小为1.
值域为.
故答案为：.
33．已知函数的定义域为， 则函数的定义域为_____
【答案】
【分析】令进行换元，根据已知函数的定义求u的范围即可.
【详解】令，由得：，
所以，即，
所以，函数的定义域为.
故答案为：
34．设函数f(x)=，若f(2)=3，则实数a的值为____ .
【答案】2
【分析】根据函数值，代值求解即可.
【详解】因为，故可得，
解得.
故答案为：2.
【点睛】本题考查由函数值求解参数值，属基础题.
35．已知四边形为边长为1的正方形，轴，某一直线与正方形 相交，将正方形分为两个部分，其中包含了顶点部分的面积记为，则将表示为的函数，其解析式为 ______________ .
【答案】
【解析】讨论当直线在的右侧时，利用三角形的面积公式可求解；当直线在的左侧时，利用间接法即可求解.
【详解】讨论当直线在的右侧时，即直线与正方形的交点在时，
当时，直线的左侧为三角形，
此时，
当直线与正方形的交点在时，即，
直线的左侧为五边形，
，
所以表示为的函数解析式为，
故答案为：
36．设，表示不大于的最大整数，如，则使成立的的取值范围________________．
【答案】或
【分析】根据的定义可得，解绝对值不等式可得结果.
【详解】由得，
所以或，
所以或.
故答案为：或
【点睛】关键点点睛：根据的定义得到是解题关键.
37．若函数的值域为则实数的取值范围是________.
【答案】
【分析】先由分段函数值域的求法，求出各段上的值域，再由函数值域求参数的范围即可得解.
【详解】解：①当时，，即 ，
②当时，，即 ，
由函数的值域为，则，
故答案为.
【点睛】本题考查了分段函数值域的求法，重点考查了由函数值域求参数的范围，重点考查了集合思想，属中档题.
38．有下列命题：
①函数y=f (-x+2)与y=f (x-2)的图象关于轴对称；
②若函数f（x）＝，则，都有；
③若函数f（x）＝lga|x|在（0，＋∞）上单调递增，则f（－2）>f（a＋1）；
④若函数(x∈)，则函数f(x)的最小值为-2.
其中真命题的序号是
【答案】②④
【详解】考点：函数的最值及其几何意义；奇偶函数图象的对称性；对数函数的单调性与特殊点．
分析：根据函数的对称性判断①，单调性、奇偶性判断③、凹函数的性质判断②，以及图象的变换最值判断④，即可得到选项．
解答：
函数y=f （-x+2）与y=f （x-2）的图象关于x=2轴对称，故①不正确
x1，x2∈R，都有则f（x）为凹函数，函数f（x）=ex满足条件，故②正确．
∵函数f（x）=lga|x|（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上单调递增，∴a＞1则a+1＞2，
根据函数是偶函数则f（-2）=f（2）＜f（a+1），故③不正确．
函数f（x）的最小值与函数f（x+2010）=x2-2x-1（x∈R）的最小值相等，故函数f（x）的最小值为-2，故④正确．
故答案为②④
点评：本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及函数的单调性、奇偶性、对称性等有关知识，属于基础题．
39．函数的定义域为，值域为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定成立的结论的序号是___________.
【答案】③⑤⑥
【解析】根据函数的值域，可得的范围，即可求得，可得自变量的取值范围最大是，依次判断出正确的序号.
【详解】解：由于，
∴，即，所以.
即函数满足值域为的自变量的取值范围最大是；
当函数的最小值为时，仅有，故⑥正确，
当函数值为时，仅有满足，故⑤正确；
又必有，故③正确.
当时，此时函数的值域是，故④与②不一定正确；当时，函数值为，故①不正确，综上，一定正确的结论的序号是③⑤⑥.
故答案为：③⑤⑥.
【点睛】本题考查的是复合函数的定义域与值域问题，需要注意：
（1）先将函数变形，求出内函数的范围，再求解自变量的取值范围；
（2）利用复合函数值域求解出的自变量的取值范围是最大范围，即该函数的定义域包含于计算出的自变量的范围.
40．已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________
【答案】
【详解】由题意得，所以定义域为
四、解答题
41．已知，.
(1)求的定义域；
(2)求的值；
(3)求的值.
【答案】(1)；
(2)3；
(3).
【分析】（1）列不等式组求定义域；（2）直接代入求解；（3）直接代入求解.
【详解】（1）要使函数有意义，只需，解得：且.
所以的定义域为；
（2）因为，所以；
（3）因为，所以，所以.
42．画出函数y=∣x∣的图像.
【答案】见解析
【详解】试题分析：根据作出图象即可.
试题解析：由得图象为：.
43．求下列函数的定义域：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由条件可得，解出即可；
（2）由条件可得，解出即可.
【详解】（1）要使有意义，则有，解得且
即定义域为
（2）要使有意义，则有，解得且
即定义域为
44．（1）已知，求的解析式；
（2）已知，求的解析式．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）采用换元法，令，解得，代入可求得，进而得到；（2）采用构造方程组法，将替换为，可得到关于和的方程组，解方程组求得结果.
【详解】（1）由题意得：定义域为
设，则
（2）由…①得：…②
①②联立消去得：
【点睛】本题考查函数解析式中的换元法和构造方程组法的应用，关键是能够熟练掌握不同的形式所对应的求解解析式的方法.
45．已知函数
(1)求函数的解析试并标注定义域．
(2)求函数的值域．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）运用换元法，令，得，再代入，可得解；
（2）根据函数的表达式是二次函数，对其配方，再根据的范围求得值域.
【详解】（1）令,则，
所以，
所以，
（2）由（1）得：，所以在上单调递增，
所以，所以的值域，
故得解.
【点睛】本题考查求函数的解析式和函数的值域，关键在于运用换元法，在运用时注意不可改变自变量的取值范围，属于基础题.
46．已知函数.
(1)用分段函数的形式表示函数f(x)；
(2)在平面直角坐标系中画出函数f(x)的图象；
(3)在同一平面直角坐标系中，再画出函数g(x)＝ (x>0)的图象(不用列表)，观察图象直接写出当x>0时，不等式f(x)> 的解集．
【答案】（1） ；（2）见解析；（3）．
【分析】（1）根据绝对值定义将函数化为分段函数形式，（2）根据常函数以及一次函数性质作图，（3）根据图象确定f(x)在g(x)＝上方部分的解集，即为结果.
【详解】(1)当x≥0时，f(x)＝1＋ ＝1；当x<0时，f(x)＝1＋＝x＋1.
所以.
(2)函数f(x)的图象如图所示．
(3)函数g(x)＝ (x>0)的图象如图所示，由图象知f(x)> 的解集是．
【点睛】本题考查求分段函数图象以及利用图象解不等式,考查基本分析求解能力.
47．求下列函数的值域.
（1）；（2）；（3）.
【答案】（1）（2）（3）
【分析】（1）由，结合反比例函数的性质，即可求解；
（2）化简函数，设，则，结合二次函数的图象与性质，即可求解；
（3）设，得到，化简函数，根据，即可求解.
【详解】（1）由题意，因为，
所以，所以，
故函数的值域为.
（2）因为，
设，则，所以，
故函数的值域为.
（3）设，则，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
故函数的值域为.
【点睛】本题主要考查了函数值域的求解，其中解答中涉及到二次函数的图象与性质，以及换元法的应用，着重考查了运算与求解能力.
48．作出下列函数的图象.
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)图象见解析
(2)图象见解析
(3)图象见解析
【分析】（1）由定义域，图象为一条直线上5个孤立的点；
（2）先作函数的图象，把它向右平移一个单位得到函数的图象，再把它向上平移两个单位便得到函数的图象
（3）先作的图象，保留轴上方的图象，再把轴下方的图象对称翻到轴上方．再把它向上平移1个单位，即得到的图象
(1)
，∴图象为一条直线上5个孤立的点；如下图．
(2)
，
先作函数的图象，把它向右平移一个单位得到函数的图象，再把它向上平移两个单位便得到函数的图象．如下图．
(3)
先作的图象，保留轴上方的图象，再把轴下方的图象对称翻到轴上方．再把它向上平移1个单位，即得到的图象，如下图所示．
49．已知函数，，求与的解析式.
【答案】，.
【分析】分和两种情况讨论，结合函数和函数的解析式可得函数的解析式；分和两种情况讨论，结合函数和函数的解析式可得函数的解析式.
【详解】，.
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，得，则；
当时，得，则.
综上所述，，.
【点睛】本题考查复合函数解析式的求解，要注意对分段函数的定义域进行分类讨论，考查计算能力，属于中等题.
50．已知函数的定义域为集合A，集合．
(1)当时，求；
(2)若，求实数a的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）先求出集合,再求得解；
（2）分析得，解不等式组即得解.
(1)
解：由，解得，所以，
当时，，所以，
所以．
(2)
解：若，则，
所以，
解得，所以实数a的取值范围是．
一、单选题
1．设函数，则的值为（ ）
A．-2B．2C．1D．-1
【答案】B
【解析】利用分段函数代入求值即可.
【详解】由，
当，，
当，.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了分段函数求值问题.属于容易题.
2．已知函数，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．
【答案】A
【解析】根据分段函数的定义域分别代入求值即可.
【详解】因为，所以，，
所以，
故选：A.
【点睛】本题考查分段函数的性质，属于基础题.
3．函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】取点代入排除得到答案
【详解】当时， ，故排除BD
再代入 ， ，排除A
故选：C
4．已知，则为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】根据给定条件直接代入计算即可得解.
【详解】因，则，
所以为2.
故选：A
5．已知，则
A．2B．1C．0D．
【答案】A
【分析】直接代入x=0求解函数值即可．
【详解】f（x+1）＝x2﹣2x+2，令x=0，
∴f（0+1）＝f（1）=02﹣0+2=2．
∴f（1）=2．
故选A．
【点睛】本题考查函数值的求法，考查计算能力．
6．已知定义在上的函数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分别令，，得到两个方程，解方程组可求得结果
【详解】∵，
∴当时，，①，
当时，，②，
，得，解得．
故选：B．
7．若函数，则（ ）
A．50B．49C．D．
【答案】C
【解析】本题首先可通过得出，然后通过计算即可得出结果.
【详解】因为，所以，，
则
，
故选：C.
8．下列函数中，值域是的是（ ）
A．B．，
C．，D．
【答案】D
【分析】根据函数的性质分别进行判断即可．
【详解】对选项A：，即函数的值域为，错误；
对选项B：，则函数在上为减函数，则，即函数的值域为，错误；
对选项C：函数的定义域为，函数的，值域不连续，错误；
对选项D：，函数的值域为.
故选：D
9．若函数满足，则（ ）
A．0B．2C．3D．
【答案】D
【解析】由可得，得到方程组，可解，代入可求出.
【详解】由，可得，
联立两式可得，代入可得.
故选：D.
【点睛】方法点睛：求函数的解析式，常用的方法有：（1）配凑法；（2）换元法；（3）待定系数法；（4）构造方程组法；（5）特殊值法.
10．函数的定义域为 ，那么其值域为
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】此函数为点函数，求其值域只需将自变量一一代入求值即可
【详解】解：∵函数f（x）＝x2﹣2x的定义域为{﹣1，0，1，2}，对称轴为x＝1
且f（0）＝f（2）＝0，f（1）＝﹣1，f（﹣1）＝3
∴其值域为{﹣1，0，3}
故选：C．
【点睛】本题考查了函数的值域的意义和求法，点函数的定义域和值域间的关系，属基础题
11．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】D
【分析】根据函数的定义域，对应法则来判断.
【详解】对于A选项：的定义域为R，的定义域为，所以不是同一函数；
对于B选项：因为函数，即两个函数的对应关系不同，所以不是同一函数；
对于C选项：的定义域为R，的定义域为，所以不是同一函数；
对于D选项：的定义域与的定义域均为，且，所以是同一函数.
故选：D.
12．给定函数，，.用表示，中的较小者，记为，则的最大值为（ ）
A．B．1C．0D．2
【答案】A
【分析】先把 写成分段函数的形式，再求其最大值即可.
【详解】令得 ，所以
当 时，，
当时，
综上所述，.
故选：A
13．函数y＝2x＋，则（ ）
A．有最大值，无最小值B．有最小值，无最大值
C．有最小值，最大值D．既无最大值，也无最小值
【答案】A
【分析】设＝t（t≥0），则x＝，得y＝1－t2＋t＝－2＋（t≥0），求二次函数得最值即可得解.
【详解】解：设＝t（t≥0），则x＝，
所以y＝1－t2＋t＝－2＋（t≥0），
对称轴t＝，所以y在上递增，在上递减，
所以y在t＝处取得最大值，无最小值.
故选：A.
14．与函数的图象相同的函数是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
,,与解析式不同,
,所以选D.
15．定义在上的函数满足，且当时，，则(1)的值为（ ）
A．B．2C．D．1
【答案】A
【分析】推导出，从而(1)(5)，由此能求出结果．
【详解】解：定义在上的函数满足，
且当时，，
，
∴(1)(5)．
故选：．
【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16．若函数，则（ ）
A．0B．1C．28D．-5
【答案】B
【解析】根据分段函数的解析式先求的值，再求即可.
【详解】因为，
所以，，
故选：B.
17．已知函数满足且，，则（1）（2）（3）=（ ）
A．0B．1C．D．5
【答案】A
【分析】令，可得，再令，可得，然后可求得结果
【详解】解：函数满足且，，
令，则（1）（1）（1）
（1）
令，则（1）
（3）且（2）
（1）（2）（3）
故选：A．
18．设函数若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】先判断函数的奇偶性、单调性，然后利用奇偶性和单调性解不等式，得到，再分离参数，转化为对任意的恒成立问题求解.
【详解】
当时，，，
当时，，，
当时，，所以时，为奇函数，
与都是单调递增函数，且，
所以在上是单调递增函数，
因为，所以，
即对任意的恒成立，所以，解得.
故选：C.
【点睛】解有关函数不等式可以利用函数的奇偶性、单调性，含参数不等式恒成立的问题，分离参数转化为求函数最值.
19．已知函数的图像的图象如下，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先根据f(0)<0，得到，然后构造函数，根据韦达定理得出和的值，判断即可.
【详解】由图可知f(0)<0，故有，即，
由图可知，函数的两根分别为和，
所以有：，即 ，又
故，，
所以
故选A.
【点睛】本题考查利用函数图象研究函数的性质，解题的关键是观察图象进而得出函数的特征.
20．函数，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意可得，按的范围进行分类讨论确定不等式，从而得到结果.
【详解】依题，当时，，
代入原不等式得，此时不等式的解为.
当时，代入原不等式得,
此时不等式的解为.
当时，代入原不等式得,
解之得，即此时不等式的解为.
综上所述，不等式的解为.
故选：C
【点睛】本题考查分段函数，考查学生对分段函数的理解掌握，解决本题的关键在于分类讨论.
二、多选题
21．下列各图中是函数图像的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据函数的概念进行判断
【详解】根据函数的定义:任意垂直于轴的直线与函数图像至多有一个交点.
故满足要求.
故选：.
22．矩形的面积为，如果矩形的长为，宽为，对角线为，周长为，下列正确的（ ）
A．（）B．（）
C． （）D．（）
【答案】ABD
【分析】根据已知条件逐个分析判断即可
【详解】对于A，因为矩形的面积为，矩形的长为，宽为，
所以，得，所以矩形的周长为（），所以A正确，
对于B，由选项A，可知（），所以B正确，
对于C，因为矩形的面积为，对角线为，长为，宽为，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，，
因为，所以，所以矩形的周长为（），所以C错误，
对于D，由选项C可知，，所以，
因为，所以（），所以D正确，
故选：ABD
23．已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】设，代入列方程组求解即可.
【详解】设，
由题意可知，
所以，解得或，
所以或.
故选：AD.
24．下列选项中两个函数相等的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】判断每个选项的两函数的定义域和对应关系是否都相同，都相同的两函数相等，否则不相等．
【详解】解：．的定义域为，的定义域为，定义域和对应关系都相同，两函数相等；
．的定义域为，的定义域为，定义域不同，两函数不相等；
的定义域为，的定义域为，定义域不同，两函数不相等；
．和显然相等．
故选：．
25．设，则用表示不超过的最大整数，例如，.已知函数，则函数的值域中含有的元素可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】方法一：采用分离常数法可得，由此可得，由定义可得结果；
方法二：当时，可得；当时，，由此可得；由定义可得结果.
【详解】方法一：，
，，，即，
的值域为；
方法二：当时，，此时；
当时，，
，，即，此时或；
的值域为.
故选：BC.
26．已知函数，则表达正确的是（ ）
A．函数的单调递减区间为，B．为函数的单调递增区间
C．函数有最小值，无最大值D．函数满足
【答案】BC
【分析】画出图形，利用函数图象进行判断．
【详解】作出的图象，
由图象可知，A错误，B、C正确，
因为，，
所以，故D错误.
故选：BC.
27．下列的函数与表示的是同一个函数的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】BD
【分析】根据题意可知A选项两函数定义域不同，B选项两函数定义域、值域、对应关系完全相同，C选项两函数值域不同，D选项定义域、值域、对应关系也完全相同，即可得出结论.
【详解】对于A，易知函数的定义域为，而的定义域为，即两函数的定义域不同，所以A错误；
对于B，函数与的定义域为，值域为，且，即其对应关系也相同，故B选项正确；
对于C，易知函数和的定义域为，而的值域为，的值域为，两函数值域不同，所以C错误；
对于D，易知函数和的定义域为，值域为，且，所以D正确.
故选：BD
28．下列选项中正确的有（ ）
A．与是同一函数
B．与表示同一函数
C．函数的图象与直线的交点最多有1个
D．若，则
【答案】AC
【分析】根据函数的定义域、解析式是否相同判断AB，由函数定义判断C，根据函数解析式求值判断D.
【详解】对于A，与的定义域都为R，解析式相同，是同一函数，故正确；
对于B，与定义域不同，故不是同一函数，故错误；
对于C，根据函数的定义，当定义域中有2时，的图象与直线有一个交点，当定义域中没有2时，的图象与直线没有交点，故正确；
对于D，，故错误.
故选：AC
29．，表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”．则下列命题中正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．函数的值域为
【答案】CD
【解析】结合的定义，对选项逐个分析，可选出答案.
【详解】对于A，，而，故A错误；
对于B，因为，所以恒成立，故B错误；
对于C，，，，所以，
当时，，此时；
当时，，此时，
所以，，故C正确；
对于D，根据定义可知，，所以函数的值域为，故D正确.
故选：CD.
【点睛】本题考查函数新定义，考查学生的推理能力，属于中档题.
30．若函数，则（ ）
A．对任意x∈R，都有f（-x）=f(x)
B．对任意x∈R，都有f[f(x)]=1
C．对任意x1∈R，都存在x2∈Q有
D．对于给定非零常数a，对任意x∈R，都有f（x+a）=f(x)
【答案】ABC
【分析】根据题意，分别对和进行讨论，一一判断即可.
【详解】对于选项A，当时，，则，
当时，，则，
综上可知，对任意，都有，故A正确；
对于选项B，当时，，则，
当时，，则，
综上可知，对任意，都有，故B正确；
对于选项C，当时，因为，所以，因此，
当时，若，且，则，此时，
综上可知，对任意，都存在有，故C正确；
对于选项D，当，时，，，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题
31．已知函数，则_________．
【答案】
【分析】利用换元法，求得的表达式，进而求得的表达式.
【详解】令，故，所以，所以.
故填：.
【点睛】本小题主要考查函数解析式的求法，考查函数的对应关系，属于基础题.
32．函数的值域为__________
【答案】
【分析】根据函数单调性求出函数的最值，从而求出值域.
【详解】函数在区间为减函数，
所以当时，取得最大为2；
当时，取得最小为1.
值域为.
故答案为：.
33．已知函数的定义域为， 则函数的定义域为_____
【答案】
【分析】令进行换元，根据已知函数的定义求u的范围即可.
【详解】令，由得：，
所以，即，
所以，函数的定义域为.
故答案为：
34．设函数f(x)=，若f(2)=3，则实数a的值为____ .
【答案】2
【分析】根据函数值，代值求解即可.
【详解】因为，故可得，
解得.
故答案为：2.
【点睛】本题考查由函数值求解参数值，属基础题.
35．已知四边形为边长为1的正方形，轴，某一直线与正方形 相交，将正方形分为两个部分，其中包含了顶点部分的面积记为，则将表示为的函数，其解析式为 ______________ .
【答案】
【解析】讨论当直线在的右侧时，利用三角形的面积公式可求解；当直线在的左侧时，利用间接法即可求解.
【详解】讨论当直线在的右侧时，即直线与正方形的交点在时，
当时，直线的左侧为三角形，
此时，
当直线与正方形的交点在时，即，
直线的左侧为五边形，
，
所以表示为的函数解析式为，
故答案为：
36．设，表示不大于的最大整数，如，则使成立的的取值范围________________．
【答案】或
【分析】根据的定义可得，解绝对值不等式可得结果.
【详解】由得，
所以或，
所以或.
故答案为：或
【点睛】关键点点睛：根据的定义得到是解题关键.
37．若函数的值域为则实数的取值范围是________.
【答案】
【分析】先由分段函数值域的求法，求出各段上的值域，再由函数值域求参数的范围即可得解.
【详解】解：①当时，，即 ，
②当时，，即 ，
由函数的值域为，则，
故答案为.
【点睛】本题考查了分段函数值域的求法，重点考查了由函数值域求参数的范围，重点考查了集合思想，属中档题.
38．有下列命题：
①函数y=f (-x+2)与y=f (x-2)的图象关于轴对称；
②若函数f（x）＝，则，都有；
③若函数f（x）＝lga|x|在（0，＋∞）上单调递增，则f（－2）>f（a＋1）；
④若函数(x∈)，则函数f(x)的最小值为-2.
其中真命题的序号是
【答案】②④
【详解】考点：函数的最值及其几何意义；奇偶函数图象的对称性；对数函数的单调性与特殊点．
分析：根据函数的对称性判断①，单调性、奇偶性判断③、凹函数的性质判断②，以及图象的变换最值判断④，即可得到选项．
解答：
函数y=f （-x+2）与y=f （x-2）的图象关于x=2轴对称，故①不正确
x1，x2∈R，都有则f（x）为凹函数，函数f（x）=ex满足条件，故②正确．
∵函数f（x）=lga|x|（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上单调递增，∴a＞1则a+1＞2，
根据函数是偶函数则f（-2）=f（2）＜f（a+1），故③不正确．
函数f（x）的最小值与函数f（x+2010）=x2-2x-1（x∈R）的最小值相等，故函数f（x）的最小值为-2，故④正确．
故答案为②④
点评：本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及函数的单调性、奇偶性、对称性等有关知识，属于基础题．
39．函数的定义域为，值域为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定成立的结论的序号是___________.
【答案】③⑤⑥
【解析】根据函数的值域，可得的范围，即可求得，可得自变量的取值范围最大是，依次判断出正确的序号.
【详解】解：由于，
∴，即，所以.
即函数满足值域为的自变量的取值范围最大是；
当函数的最小值为时，仅有，故⑥正确，
当函数值为时，仅有满足，故⑤正确；
又必有，故③正确.
当时，此时函数的值域是，故④与②不一定正确；当时，函数值为，故①不正确，综上，一定正确的结论的序号是③⑤⑥.
故答案为：③⑤⑥.
【点睛】本题考查的是复合函数的定义域与值域问题，需要注意：
（1）先将函数变形，求出内函数的范围，再求解自变量的取值范围；
（2）利用复合函数值域求解出的自变量的取值范围是最大范围，即该函数的定义域包含于计算出的自变量的范围.
40．已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________
【答案】
【详解】由题意得，所以定义域为
四、解答题
41．已知，.
(1)求的定义域；
(2)求的值；
(3)求的值.
【答案】(1)；
(2)3；
(3).
【分析】（1）列不等式组求定义域；（2）直接代入求解；（3）直接代入求解.
【详解】（1）要使函数有意义，只需，解得：且.
所以的定义域为；
（2）因为，所以；
（3）因为，所以，所以.
42．画出函数y=∣x∣的图像.
【答案】见解析
【详解】试题分析：根据作出图象即可.
试题解析：由得图象为：.
43．求下列函数的定义域：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由条件可得，解出即可；
（2）由条件可得，解出即可.
【详解】（1）要使有意义，则有，解得且
即定义域为
（2）要使有意义，则有，解得且
即定义域为
44．（1）已知，求的解析式；
（2）已知，求的解析式．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）采用换元法，令，解得，代入可求得，进而得到；（2）采用构造方程组法，将替换为，可得到关于和的方程组，解方程组求得结果.
【详解】（1）由题意得：定义域为
设，则
（2）由…①得：…②
①②联立消去得：
【点睛】本题考查函数解析式中的换元法和构造方程组法的应用，关键是能够熟练掌握不同的形式所对应的求解解析式的方法.
45．已知函数
(1)求函数的解析试并标注定义域．
(2)求函数的值域．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）运用换元法，令，得，再代入，可得解；
（2）根据函数的表达式是二次函数，对其配方，再根据的范围求得值域.
【详解】（1）令,则，
所以，
所以，
（2）由（1）得：，所以在上单调递增，
所以，所以的值域，
故得解.
【点睛】本题考查求函数的解析式和函数的值域，关键在于运用换元法，在运用时注意不可改变自变量的取值范围，属于基础题.
46．已知函数.
(1)用分段函数的形式表示函数f(x)；
(2)在平面直角坐标系中画出函数f(x)的图象；
(3)在同一平面直角坐标系中，再画出函数g(x)＝ (x>0)的图象(不用列表)，观察图象直接写出当x>0时，不等式f(x)> 的解集．
【答案】（1） ；（2）见解析；（3）．
【分析】（1）根据绝对值定义将函数化为分段函数形式，（2）根据常函数以及一次函数性质作图，（3）根据图象确定f(x)在g(x)＝上方部分的解集，即为结果.
【详解】(1)当x≥0时，f(x)＝1＋ ＝1；当x<0时，f(x)＝1＋＝x＋1.
所以.
(2)函数f(x)的图象如图所示．
(3)函数g(x)＝ (x>0)的图象如图所示，由图象知f(x)> 的解集是．
【点睛】本题考查求分段函数图象以及利用图象解不等式,考查基本分析求解能力.
47．求下列函数的值域.
（1）；（2）；（3）.
【答案】（1）（2）（3）
【分析】（1）由，结合反比例函数的性质，即可求解；
（2）化简函数，设，则，结合二次函数的图象与性质，即可求解；
（3）设，得到，化简函数，根据，即可求解.
【详解】（1）由题意，因为，
所以，所以，
故函数的值域为.
（2）因为，
设，则，所以，
故函数的值域为.
（3）设，则，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
故函数的值域为.
【点睛】本题主要考查了函数值域的求解，其中解答中涉及到二次函数的图象与性质，以及换元法的应用，着重考查了运算与求解能力.
48．作出下列函数的图象.
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)图象见解析
(2)图象见解析
(3)图象见解析
【分析】（1）由定义域，图象为一条直线上5个孤立的点；
（2）先作函数的图象，把它向右平移一个单位得到函数的图象，再把它向上平移两个单位便得到函数的图象
（3）先作的图象，保留轴上方的图象，再把轴下方的图象对称翻到轴上方．再把它向上平移1个单位，即得到的图象
(1)
，∴图象为一条直线上5个孤立的点；如下图．
(2)
，
先作函数的图象，把它向右平移一个单位得到函数的图象，再把它向上平移两个单位便得到函数的图象．如下图．
(3)
先作的图象，保留轴上方的图象，再把轴下方的图象对称翻到轴上方．再把它向上平移1个单位，即得到的图象，如下图所示．
49．已知函数，，求与的解析式.
【答案】，.
【分析】分和两种情况讨论，结合函数和函数的解析式可得函数的解析式；分和两种情况讨论，结合函数和函数的解析式可得函数的解析式.
【详解】，.
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，得，则；
当时，得，则.
综上所述，，.
【点睛】本题考查复合函数解析式的求解，要注意对分段函数的定义域进行分类讨论，考查计算能力，属于中等题.
50．已知函数的定义域为集合A，集合．
(1)当时，求；
(2)若，求实数a的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）先求出集合,再求得解；
（2）分析得，解不等式组即得解.
(1)
解：由，解得，所以，
当时，，所以，
所以．
(2)
解：若，则，
所以，
解得，所以实数a的取值范围是．
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