江苏省南通市海门区2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试卷+

这是一份江苏省南通市海门区2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试卷+，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞0B．x≥﹣1C．x≥1D．x≤1
2．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使点A′恰好落在AB上，则旋转角度为（ ）
A．30°B．90°C．60°D．150°
3．（3分）判断下列的哪个点是在函数y＝2x﹣1的图象上（ ）
A．（﹣2.5，﹣4）B．（1，3）C．（2.5，4）D．（2，1）
4．（3分）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．通常加热到100℃时，水沸腾
B．掷一次骰子，向上一面的点数是6
C．射击运动员射击一次，命中靶心
D．任意画一个三角形，其内角和为360°
5．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则对角线AC等于（ ）
A．20B．15C．10D．5
6．（3分）把一元二次方程x2﹣4x+1＝0，配成（x+p）2＝q的形式，则p、q的值是（ ）
A．p＝﹣2，q＝5B．p＝﹣2，q＝3C．p＝2，q＝5D．p＝2，q＝3
7．（3分）下列由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（ ）
A．a＝2，b＝2，c＝3B．，，
C．a＝13，b＝14，c＝15D．a＝15，b＝8，c＝17
8．（3分）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100被感染．设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台其他电脑，由题意列方程应为（ ）
A．1+2x＝100B．x（1+x）＝100
C．（1+x）2＝100D．1+x+x2＝100
9．（3分）如图，在正方形OABC中，点B的坐标为（2，2），点E、F分别在边BC、BA上，点E为BC的中点，若∠EOF＝45°，则线段OF所在直线的解析式为（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）∴如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C由点A沿x轴向右运动，连接BC，点D为BC的中点，在点C运动过程中，AD的长的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
二、填空题（本大题共8小题，11～12每小题3分，13～18每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）在▱ABCD中，若∠A+∠C＝80°，∠B＝ ．
12．（3分）将直线y＝2x向下平移3个单位长度后所得直线的解析式是 ．
13．（4分）已知点A（a，1）与点B（5，b）是关于原点O的对称点，则a+b＝ ．
14．（4分）如图，一根垂直于地面的竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则竹子折断处离地面的高度是 尺（其中1丈＝10尺）．
15．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点P（m，n）在一次函数y＝﹣x+2的图象上，且m﹣n＝4，则代数式m2﹣n2的值为 ．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5cm，M为边AD的中点，P为BC上一点，PE⊥MC于点E，PF⊥MB于点F，当BC长为 cm时，四边形PEMF为矩形．
17．（4分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+3）x+3＝0有两个不相等的实数根，若此方程的两根均为正整数，则正整数m的值为 ．
18．（4分）如图，在边长为3的正方形ABCD内取一点E，连接AE，BE，CE，若BE＝AB，AE＝2，则线段CE的长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）（1）计算：2﹣6+3；
（2）解方程：x（2x﹣5）＝4x﹣10．
20．（10分）如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果制作的无盖的方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应该切去的正方形的边长是多少？
21．（10分）在一个不透明的盒子中装有4张卡片，4张卡片的正面分别标有数字1，2，3，4，这些卡片除数字外都相同，将卡片搅匀．
（1）从盒子中任意抽取一张卡片，恰好抽到标有奇数卡片的概率是 ；
（2）先从盒子中任意抽取一张卡片，再从余下的3张卡片中任意抽取一张卡片，求抽取的2张卡片标有数字之和大于4的概率．（请用画树状图或列表等方法求解）．
22．（12分）为让全校学生牢固树立爱国爱党的崇高信念，某校开展了形式多样的党史学习教育活动，并进行党史知识竞赛．现从参赛的八，九年级学生中，各随机抽取20名学生的成绩进行整理分析，得到如下信息：
a．表1九年级抽取的20名学生的成绩（百分制）统计表
b．表2九年级抽取的20名学生成绩的平均数、中位数、方差统计表
c．随机抽取八年级20名学生成绩的中位数为88，方差为83.2，且八、九两个年级抽取的这40名学生成绩的平均数是84.5．
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）在表2中，a的值等于 ；
（2）求八年级这20名学生成绩的平均数；
（3）你认为哪个年级的成绩较好？试从两个不同的角度说明判断的合理性．
23．（10分）如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，连接DE．
（1）若BC＝10，求线段DE的长；
（2）线段BO与线段OD有怎样的数量关系，并证明．
24．（12分）如图1，一条笔直的公路上依次有A，C，B三地，现有一辆客车由A地匀速驶往B地，同时一辆货车以45km/h的速度由B地匀速驶往C地．如图2，折线DEF和线段GH分别表示客车、货车与C地的路程y（千米）与客车行驶时间x（小时）之间的函数关系，线段EF与GH相交于点M．
（1）填空：A，B两地相距 千米；
（2）求折线DEF对应的y与x的函数关系式；
（3）求点M的坐标，并写出点M的实际意义．
25．（13分）在数学活动课上，老师提供了不同的矩形纸片ABCD，要求各小组开展“矩形的折叠”探究活动．
【初步探究】
（1）甲小组拿到的矩形纸片中，AB＝10，BC＝8，如图1，进行以下操作并提出问题：
操作：在BC边上取点E，沿AE折叠△ABE得△AFE，点F落在边CD上；
问题：求BE的长；
【拓展延伸】
（2）乙小组拿到的矩形纸片中，AB＝5，BC＝8，如图2，进行以下操作并提出问题：
操作：在射线BC上取点E，沿AE折叠△ABE得△AFE，连接DF；
问题：当DF＝CD时，求BE的长．
26．（13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝mx﹣6m（m≠0）与x轴，y轴分别交于点A，B，以AB为边作正方形ABCD．
（1）当m＝﹣1时，求点C，D的坐标；
（2）当点C的纵坐标为7时，求m的值；
（3）当点C一定不落在第二象限时，直接写出m的取值范围．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞0B．x≥﹣1C．x≥1D．x≤1
【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x﹣1≥0，
解得x≥1，
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．
2．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使点A′恰好落在AB上，则旋转角度为（ ）
A．30°B．90°C．60°D．150°
【分析】先利用互余得到∠A＝60°，再根据旋转的性质得CA′＝CA，∠ACA′等于旋转角，然后判断△ACA′为等边三角形得到∠ACA′＝60°，从而得到旋转角的度数．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠A＝60°，
∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，
∴CA′＝CA，∠ACA′等于旋转角，
∴△ACA′为等边三角形，
∴∠ACA′＝60°，
即旋转角度为60°．
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．本题的关键是证明△ACA′为等边三角形．
3．（3分）判断下列的哪个点是在函数y＝2x﹣1的图象上（ ）
A．（﹣2.5，﹣4）B．（1，3）C．（2.5，4）D．（2，1）
【分析】只需把每个点的横坐标即x的值分别代入y＝2x﹣1，计算出对应的y值，然后与对应的纵坐标比较即可．
【解答】解：A、当x＝﹣2.5时，y＝﹣6，∴（﹣2.5，﹣4）不在函数y＝2x﹣1的图象上；
B、当x＝1时，y＝1，∴（1，3）不在函数y＝2x﹣1的图象上；
C、当x＝2.5时，y＝4，∴（2.5，4）在函数y＝2x﹣1的图象上；
D、当x＝2时，y＝3，∴（2，1）不在函数y＝2x﹣1的图象上．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是：在这条直线上的各点的坐标一定适合这条直线的解析式．
4．（3分）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．通常加热到100℃时，水沸腾
B．掷一次骰子，向上一面的点数是6
C．射击运动员射击一次，命中靶心
D．任意画一个三角形，其内角和为360°
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：通常加热到100℃时，水沸腾是必然事件，A选项正确；
掷一次骰子，向上一面的点数是6是随机事件，B选项错误；
射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，C选项错误；
任意画一个三角形，其内角和为360°是不可能事件，D选项错误，
故选：A．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则对角线AC等于（ ）
A．20B．15C．10D．5
【分析】根据菱形的性质及已知可得△ABC为等边三角形，从而得到AC＝AB．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AB∥CD，
∴∠B+∠BCD＝180°，
∵∠BCD＝120°，
∴∠B＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB＝5．
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质和等边三角形的判定．
6．（3分）把一元二次方程x2﹣4x+1＝0，配成（x+p）2＝q的形式，则p、q的值是（ ）
A．p＝﹣2，q＝5B．p＝﹣2，q＝3C．p＝2，q＝5D．p＝2，q＝3
【分析】移项后，两边配上一次项系数一半的平方即可得．
【解答】解：∵x2﹣4x＝﹣1，
∴x2﹣4x+4＝﹣1+4，即（x﹣2）2＝3，
则p＝﹣2，q＝3，
故选：B．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
7．（3分）下列由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（ ）
A．a＝2，b＝2，c＝3B．，，
C．a＝13，b＝14，c＝15D．a＝15，b＝8，c＝17
【分析】根据判断三条线段是否能构成直角三角形的三边，需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、∵22+22≠32，
∴a、b、c不能组成的三角形，不是直角三角形；
B、∵（）2+（）2≠（）2，
∴a、b、c不能组成的三角形，不是直角三角形；
C、∵132+142≠152，
∴a、b、c不能组成的三角形，不是直角三角形；
D、∵152+82＝172，
∴a、b、c能组成的三角形，是直角三角形．
故选：D．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理：用到的知识点是已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
8．（3分）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100被感染．设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台其他电脑，由题意列方程应为（ ）
A．1+2x＝100B．x（1+x）＝100
C．（1+x）2＝100D．1+x+x2＝100
【分析】此题可设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则第一轮共感染x+1台，第二轮共感染x（x+1）+x+1＝（x+1）（x+1）台，根据题意列方程即可．
【解答】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，根据题意列方程得
（x+1）2＝100，
故选：C．
【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程的解，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
9．（3分）如图，在正方形OABC中，点B的坐标为（2，2），点E、F分别在边BC、BA上，点E为BC的中点，若∠EOF＝45°，则线段OF所在直线的解析式为（ ）
A．B．C．D．
【分析】作辅助线，构建全等三角形，证明△OCE≌△OAD和△EOF≌△DOF，得EF＝FD，设AF＝x，在直角△EFB中利用勾股定理列方程求出x＝，根据正方形的边长写出点F的坐标，并求直线OF的解析式．
【解答】解：延长BF至D，使AD＝CE，连接OD，
∵四边形OABC是正方形，
∴OC＝OA，∠OCB＝∠OAD＝90°，
∴△OCE≌△OAD（SAS），
∴OE＝OD，∠COE＝∠AOD，
∵∠EOF＝45°，
∴∠COE+∠FOA＝90°﹣45°＝45°，
∴∠AOD+∠FOA＝45°，
∴∠EOF＝∠FOD，
∵OF＝OF，
∴△EOF≌△DOF（SAS），
∴EF＝FD，
由题意得：OC＝2，CE＝1，
∴OE＝，
∴BE＝1，
设AF＝x，则BF＝2﹣x，EF＝FD＝1+x，
∴（1+x）2＝12+（2﹣x）2，
解得：x＝，
∴F（2，），
设OF的解析式为：y＝kx，
2k＝，
k＝，
∴OF的解析式为：y＝x，
故选：A．
【点评】本题是利用待定系数法求一次函数的解析式，考查了正方形的性质及全等三角形的性质与判定，作辅助线构建全等三角形是本题的关键，利用全等三角形的对应边相等设一未知数，找等量关系列方程，求出点F的坐标，才能运用待定系数法求直线OF的解析式．
10．（3分）∴如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C由点A沿x轴向右运动，连接BC，点D为BC的中点，在点C运动过程中，AD的长的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
【分析】求出A、B点的坐标，当AD⊥BC时，AD的长最小解答即可．
【解答】解：直线y＝﹣与x轴、y轴分别交于A，B两点，
∴A（2，0），B（0，2），
由题意知点D的运动轨迹为过AB中点且AB∥x轴
当AD垂直于此直线时，AD长的最小．
即AD＝
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握动点的运动轨迹和垂线段最短是解决此题的关节
二、填空题（本大题共8小题，11～12每小题3分，13～18每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）在▱ABCD中，若∠A+∠C＝80°，∠B＝ 140° ．
【分析】根据平行四边形对角相等即可求出∠A，进而可求出∠B．
【解答】解：在▱ABCD中有：∠A＝∠C，AD∥BC，
∵∠A+∠C＝80°，
∴∠A＝∠C＝40°，
∵AD∥BC，
∴∠B＝180°﹣∠A＝140°，
故答案为：140°．
【点评】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等、邻角互补的性质是解题关键．
12．（3分）将直线y＝2x向下平移3个单位长度后所得直线的解析式是 y＝2x﹣3 ．
【分析】根据函数的平移规则“上加下减”，即可得出直线平移后的解析式．
【解答】解：根据平移的规则可知：
直线y＝2x向下平移3个单位长度后所得直线的解析式为：y＝2x﹣3＝2x﹣3．
故答案为：y＝2x﹣3
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是熟记函数平移的规则“上加下减”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平移的规则求出平移后的函数解析式是关键．
13．（4分）已知点A（a，1）与点B（5，b）是关于原点O的对称点，则a+b＝ ﹣6 ．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到a、b的值，再算出a+b即可．
【解答】解：∵点A（a，1）与点B（5，b）是关于原点O的对称点，
∴a＝﹣5，b＝﹣1，
∴a+b＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
14．（4分）如图，一根垂直于地面的竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则竹子折断处离地面的高度是 4.55 尺（其中1丈＝10尺）．
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面的高度是x尺，则斜边为（10﹣x）尺，利用勾股定理解题即可．
【解答】解：1丈＝10尺，
设折断处离地面的高度为x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2
解得：x＝4.55．
答：折断处离地面的高度为4.55尺．
故答案为：4.55．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
15．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点P（m，n）在一次函数y＝﹣x+2的图象上，且m﹣n＝4，则代数式m2﹣n2的值为 8 ．
【分析】把点P（m，n）代入y＝﹣x+2得m+n＝2，再把m2﹣n2因式分解解答即可．
【解答】解：∵点P（m，n）在一次函数y＝﹣x+2的图象上，
∴n＝﹣m+2，
∴m+n＝2，
∵m﹣n＝4，
∵m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）＝2×4＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代数式求值，求得m+n＝2是解题的关键．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5cm，M为边AD的中点，P为BC上一点，PE⊥MC于点E，PF⊥MB于点F，当BC长为 10 cm时，四边形PEMF为矩形．
【分析】根据四边形PEMF为矩形推得∠FME＝90°，然后根据M为中点可证得MB＝MC，所以△BMC为等腰直角三角形，即∠MBC＝45°＝∠AMB，所以AM＝AB＝5，所以AD＝BC＝10．
【解答】解：∵PE⊥MC于点E，PF⊥MB于点F，
∴四边形PEMF为矩形．
∴∠FME＝90°．
∵M为边AD的中点，
∴BM＝CM．
∴∠MBC＝45°．
在矩形ABCD中，AD∥BC，则∠AMB＝∠MBC＝45°．
∴AM＝AB＝5cm．
∴AD＝10cm．
∴BC＝AD＝10cm．
故答案为：10．
【点评】本题侧重考查矩形的性质，掌握有三个角是直角的四边形是矩形、矩形的四个角都是直角是解决此题的关键．
17．（4分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+3）x+3＝0有两个不相等的实数根，若此方程的两根均为正整数，则正整数m的值为 1 ．
【分析】利用因式分解法解方程可得出x1＝、x2＝1，由方程的两个实数根都是正整数即可得出为正整数，结合m为正整数即可求出m值，最后根据根的判别式判断是否符合题意．
【解答】解：∵mx2﹣（m+3）x+3＝0，即（mx﹣3）（x﹣1）＝0，
∴x1＝，x2＝1．
∵方程mx2﹣（m+3）x+3＝0（m≠0）的两个实数根都是正整数，
∴为正整数，
又∵m为正整数，
∴m＝1或3．
∵Δ＝（m+3）2﹣4×3m＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2＞0，
∴m≠3，
综上所述，正整数m的值为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟记因式分解法解一元二次方程的方法及步骤是解题的关键．
18．（4分）如图，在边长为3的正方形ABCD内取一点E，连接AE，BE，CE，若BE＝AB，AE＝2，则线段CE的长为 4﹣ ．
【分析】根据正方形得到AB＝BC＝3，∠ABC＝90°，过A作AG⊥BE于G，求得∠AGB＝∠AGE＝90°，根据勾股定理得到BG＝，AG＝＝，过E作EF⊥BC于F，根据全等三角形的性质得到BF＝AG＝，EF＝BG＝，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝3，∠ABC＝90°，
过A作AG⊥BE于G，如图，
∴∠AGB＝∠AGE＝90°，
∴AB2﹣BG2＝AE2﹣EG2，
∵AB＝BE＝3，AE＝2，
∴32﹣BG2＝22﹣（3﹣BG）2，
∴BG＝，
∴AG＝＝＝，
过E作EF⊥BC于F，
∴AB∥EF，
∴∠ABG＝∠BEF，
∵∠AGB＝∠EFB＝90°，AB＝BE，
∴△ABG≌△BEF（AAS），
∴BF＝AG＝，EF＝BG＝，
∴CF＝BC﹣BF＝，
∴CE＝＝＝4﹣，
故答案为：4﹣．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）（1）计算：2﹣6+3；
（2）解方程：x（2x﹣5）＝4x﹣10．
【分析】（1）原式利用平方差公式化简即可得到结果；
（2）方程移项后，提取公因式变形后，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：（1）原式＝2﹣2+12
＝2+10；
（2）方程变形为：x（2x﹣5）＝2（2x﹣5），
移项得：x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，
提取公因式得：（2x﹣5）（x﹣2）＝0，
解得：x1＝2，x2＝．
【点评】此题考查了一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
20．（10分）如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果制作的无盖的方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应该切去的正方形的边长是多少？
【分析】设切去得正方形的边长为xcm，根据题意列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】解：设正方形的边长为xcm，则盒子底的长为（100﹣2x）cm，宽为（50﹣2x）cm，
根据题意得：（100﹣2x）（50﹣2x）＝3600，
展开得：x2﹣75x+350＝0，
解得：x1＝5，x2＝70（不合题意，舍去），
因为 当x＝70时，50﹣2x＜0，不合题意舍去，所以x＝5
答：正方形的边长为5cm．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
21．（10分）在一个不透明的盒子中装有4张卡片，4张卡片的正面分别标有数字1，2，3，4，这些卡片除数字外都相同，将卡片搅匀．
（1）从盒子中任意抽取一张卡片，恰好抽到标有奇数卡片的概率是 ；
（2）先从盒子中任意抽取一张卡片，再从余下的3张卡片中任意抽取一张卡片，求抽取的2张卡片标有数字之和大于4的概率．（请用画树状图或列表等方法求解）．
【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）用列表法将所有等可能的结果一一列举出来即可，找到符合条件的结果数，再利用概率公式计算．
【解答】解：（1）从盒子中任意抽取一张卡片，恰好抽到标有奇数卡片的概率是为＝，
故答案为：．
（2）根据题意列表得：
由表可知，共有12种等可能结果，其中抽取的2张卡片标有数字之和大于4的有8种结果，
所以抽取的2张卡片标有数字之和大于4的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图或表格，求出相应的概率．
22．（12分）为让全校学生牢固树立爱国爱党的崇高信念，某校开展了形式多样的党史学习教育活动，并进行党史知识竞赛．现从参赛的八，九年级学生中，各随机抽取20名学生的成绩进行整理分析，得到如下信息：
a．表1九年级抽取的20名学生的成绩（百分制）统计表
b．表2九年级抽取的20名学生成绩的平均数、中位数、方差统计表
c．随机抽取八年级20名学生成绩的中位数为88，方差为83.2，且八、九两个年级抽取的这40名学生成绩的平均数是84.5．
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）在表2中，a的值等于 91 ；
（2）求八年级这20名学生成绩的平均数；
（3）你认为哪个年级的成绩较好？试从两个不同的角度说明判断的合理性．
【分析】（1）a中的表格的数从小到大排序，第10个数和第11个数的平均数即为中位数a；
（2）八、九两个年级抽取的这40名学生成绩的总数减去九年级抽取的20名学生成绩的总数，可得八年级抽取的20名学生成绩的总数，即可求值；
（3）从中位数和平均数上分析即可．
【解答】解：（1）九年级抽取的20名学生成绩的中位数a＝（91+91）÷2＝91，
故答案为：91；
（2）（84.5×40﹣86×20）÷20＝83，
答：八年级这20名学生成绩的平均数为83；
（3）九年级的成绩较好，理由如下：
从平均数上看，九年级平均数为86＞八年级平均数为83；
从中位数上看，九年级成绩的中位数91＞八年级成绩的中位数88，
综上所述，九年级成绩较好．
【点评】本题考查频数分布表，平均数，中位数，解本题关键要掌握平均数定义，中位数定义等．
23．（10分）如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，连接DE．
（1）若BC＝10，求线段DE的长；
（2）线段BO与线段OD有怎样的数量关系，并证明．
【分析】（1）根据三角形的中位线定理即可解决问题．
（2）根据三角形重心的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）∵BD，CE分别是AC，AB上的中线，
∴点D是AC边的中点，点E是AB边的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝．
又∵BC＝10，
∴DE＝5．
（2）BO＝2OD．
理由如下：
分别取BO和BC的中点M，N，连接MN，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝，
∴∠EDO＝∠NBM，∠DEO＝∠OCB．
∵点M，N分别是OB和BC的中点，
∴MN是△OBC的中位线，
∴MN∥OC，
∴∠MNB＝∠OCB，
∴∠MNB＝∠DEO．
又∵BN＝，
∴BN＝DE．
在△DOE和△BMN中，
，
∴△DOE≌△BMN（ASA），
∴DO＝BM．
又∵BM＝MO，
∴BO＝2OD．
【点评】本题主要考查了三角形的重心、全等三角形的判定与性质及三角形中位线定理，熟知全等三角形的判定与性质及三角形的中位线定理是解题的关键．
24．（12分）如图1，一条笔直的公路上依次有A，C，B三地，现有一辆客车由A地匀速驶往B地，同时一辆货车以45km/h的速度由B地匀速驶往C地．如图2，折线DEF和线段GH分别表示客车、货车与C地的路程y（千米）与客车行驶时间x（小时）之间的函数关系，线段EF与GH相交于点M．
（1）填空：A，B两地相距 420 千米；
（2）求折线DEF对应的y与x的函数关系式；
（3）求点M的坐标，并写出点M的实际意义．
【分析】（1）由图象可知AC＝120（千米），BC＝300（千米），进而作答即可；
（2）分段考虑即可得出答案；
（3）先求出线段GH的函数表达式，联立方程即可得出答案．
【解答】解：（1）由图象可知AC＝120（千米），BC＝300（千米），
则AB＝AC+BC＝420（千米）．
故答案为：420．
（2）当0≤x≤2时，y＝120﹣x＝120﹣60x，
当2＜x≤7时，y＝x﹣120＝60x﹣120，
综上所述：y＝．
（3）线段GH的函数表达式为y＝300﹣45x（0），
，
解得：，
∴点M的坐标为（4，120），点M的实际意义为两车行驶4小时时，两车相遇，距离点C处120千米．
【点评】本题主要考查一次函数的应用，理解题意是解题的关键．
25．（13分）在数学活动课上，老师提供了不同的矩形纸片ABCD，要求各小组开展“矩形的折叠”探究活动．
【初步探究】
（1）甲小组拿到的矩形纸片中，AB＝10，BC＝8，如图1，进行以下操作并提出问题：
操作：在BC边上取点E，沿AE折叠△ABE得△AFE，点F落在边CD上；
问题：求BE的长；
【拓展延伸】
（2）乙小组拿到的矩形纸片中，AB＝5，BC＝8，如图2，进行以下操作并提出问题：
操作：在射线BC上取点E，沿AE折叠△ABE得△AFE，连接DF；
问题：当DF＝CD时，求BE的长．
【分析】（1）由折叠可知△ABE≌△AFE，利用勾股定理求出DF，则CF＝CD﹣DF，设BE＝x，在Rt△CEF 中，EF2＝CE2+CF2，求解x即可；
（2）分点E在线段BC上，点E在线段BC延长线上两种情况讨论即可．
【解答】解：（1）由折叠可知△ABE≌△AFE，
∴AF＝AB＝10，BE＝EF，
∵∠D＝90°，
在Rt△ADF 中，，
∴CF＝CD﹣DF＝10﹣6＝4，
设BE＝x，
∴EF＝x，CE＝8﹣x，
∵∠C＝90°，
∴在Rt△CEF 中，EF2＝CE2+CF2，即：x2＝（8﹣x）2+42，
解得：x＝5，
∴BE长为5；
（2）①当点E在线段BC上，如图①，
由折叠可知，BE＝EF，AF＝AB＝5，
当DF＝CD时，DF＝AF＝5，
∴△ADF为等腰三角形，
过点F作FH⊥AD于点H，延长FG交BC于点G，
∴AH＝DH＝4，∠AHF＝90°，
在Rt△AHF 中，，
∴FG＝HG﹣HF＝2，
设 BE＝x，则EF＝x，EG＝4﹣x，
在Rt△GEF 中，EF2＝GE2+GF2，即：x2＝（4﹣x）2+22，
解得：x＝2.5，
∴BE长为 5；
②当点E在线段BC延长线上，如图②，
由①得 HF＝3，则GF＝8，
设BE＝x，则EF＝x，EG＝x﹣4，
∴在Rt△GEF 中，EF2＝GE2+GF2，即：x2＝（x﹣4）2+82，
解得：x＝10，
∴BE 长为10；
∴综上得：BE的长为2.5或10．
【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
26．（13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝mx﹣6m（m≠0）与x轴，y轴分别交于点A，B，以AB为边作正方形ABCD．
（1）当m＝﹣1时，求点C，D的坐标；
（2）当点C的纵坐标为7时，求m的值；
（3）当点C一定不落在第二象限时，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）把m的值代入直线解析式，确定出A与B的坐标，分C，D在直线AB上方和下方两种情况，利用一线三垂直得三角形全等，利用全等三角形对应边相等确定出C与D的坐标即可；
（2）对于直线解析式，分别令y＝0和x＝0，求出对应x与y的值，表示出A与B的坐标，分C，D在直线AB右上方和左下方两种情况，利用一线三垂直得三角形确定出，利用全等三角形对应边相等，根据C纵坐标为7求出m的值即可；
（3）分情况讨论：当m＜0时，只要保证当点C，D在直线AB的左下方不在第二象限，当点B在（0，﹣6）的位置时，此时m＝1，再根据正方形的性质和直线的性质即可作答．
【解答】解：（1）当m＝﹣1时，直线解析式为y＝﹣x+6，
令y＝0，得到﹣x+6＝0，即x＝6，
令x＝0，得到y＝6，
∴A（6，0），B（0，6），
①当点C，D在直线AB的右上方时，如图，过点C作CE⊥y轴于点E，
∴∠BOA＝∠COE＝90°，
由正方形可得：∠CBA＝90°，BC＝AB，
则∠CBE＝∠BAO，
∴△СЕВ≌△ВOА（AAS），
∴СЕ＝OB＝6，ВЕ＝OА＝6，
点C坐标为（6，12），
此时点D坐标为（12，6）；
②当点C，D在直线AB的左下方时，
易得点C坐标为（﹣6，0），此时点D坐标为（0，﹣6）；
综上得：点C坐标为（6，12）或（﹣6，0）；点D坐标为（12，6）或（0，﹣6）；
（2）令x＝0，则y＝﹣6m；令y＝0，则x＝6，
∴A （6，0），B（0，﹣6m），
①当点C，D在直线AB的右上方时，如图过点C作CE⊥y轴于点E，
∴∠ВOА＝∠СЕВ＝90°，
由正方形可得：∠CBA＝90°，BC＝AB，
则∠CBE＝∠BAO，
∴△СЕВ≌△ВOА（AAS），
∴BE＝OA＝6，
∵点C的纵坐标为7，
∴OB＝1，
即﹣6m＝1，
解得m＝﹣；
②当点C，D在直线AB的左下方时，如图过点C作CE⊥y轴于点E，
∴∠ВOА＝∠СЕВ＝90°，
由正方形可得：∠CBA＝90°，BC＝AB，
则∠CBE＝∠BAO，
∴△СЕВ≌△ВOА（AAS），
∴ВЕ＝OА＝6，
∵点C的纵坐标为7，
∴OB＝13，
即：﹣6m＝13，
解得m＝﹣，
综上得：m＝﹣或m＝﹣；
（3）∵直线AB过定点（6，0），
∴根据题意当m＜0时，只要保证当点C，D在直线AB的左下方不在第二象限，
则点C一定不在第二象限，
由（1）知当m＝﹣1时，点C（﹣6，0），此时C不在第二象限，
又根据正方形的性质当m≥﹣1时，点C向第三象限移动，
∴当﹣1≤m＜0时，点C一定不在第二象限；
当点B在（0，﹣6）的位置时，此时m＝1，
根据正方形的性质，则C（﹣6，0），
当点B向下移动时，根据正方形的性质，点C也向下移动，
此时m＞1，
∴当m≥1时，点C一定不在第二象限；
综上，﹣1≤m＜0，m≥1．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了三角形全等的判定和性质，正方形的性质，一次函数的特征，解题的关键是分类讨论思想的应用．
82
80
97
91
94
72
71
91
85
70
94
73
92
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97
92
91
92
83
98
年级
平均数
中位数
方差
九年级
86
a
86.3

1
2
3
4
1
3
4
5
2
3
5
6
3
4
5
7
4
5
6
7
82
80
97
91
94
72
71
91
85
70
94
73
92
75
97
92
91
92
83
98
年级
平均数
中位数
方差
九年级
86
a
86.3