华东师大版七年级数学下册专题11.6期末专项复习之轴对称、平移与旋转十八大必考点(原卷版+解析)

这是一份华东师大版七年级数学下册专题11.6期末专项复习之轴对称、平移与旋转十八大必考点(原卷版+解析)，共76页。

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\l "_Tc24122" 【考点1 判断轴对称图形】 PAGEREF _Tc24122 \h 1
\l "_Tc17514" 【考点2 画对称轴】 PAGEREF _Tc17514 \h 2
\l "_Tc1136" 【考点3 求对称轴的条数】 PAGEREF _Tc1136 \h 4
\l "_Tc22279" 【考点4 作轴对称图形】 PAGEREF _Tc22279 \h 4
\l "_Tc10233" 【考点5 根据成轴对称图形的特征进行判断】 PAGEREF _Tc10233 \h 6
\l "_Tc6383" 【考点6 根据成轴对称图形的特征进行求解】 PAGEREF _Tc6383 \h 7
\l "_Tc8410" 【考点7 台球桌上的轴对称问题】 PAGEREF _Tc8410 \h 8
\l "_Tc9762" 【考点8 轴对称中的光线反射问题】 PAGEREF _Tc9762 \h 10
\l "_Tc30429" 【考点9 折叠问题】 PAGEREF _Tc30429 \h 11
\l "_Tc31720" 【考点10 图形的平移】 PAGEREF _Tc31720 \h 12
\l "_Tc31811" 【考点11 利用平移的性质求解】 PAGEREF _Tc31811 \h 13
\l "_Tc11563" 【考点12 利用平移解决实际问题】 PAGEREF _Tc11563 \h 14
\l "_Tc9018" 【考点13 平移作图】 PAGEREF _Tc9018 \h 15
\l "_Tc2727" 【考点14 求旋转中心的个数】 PAGEREF _Tc2727 \h 17
\l "_Tc3017" 【考点15 中心对称图形的识别】 PAGEREF _Tc3017 \h 18
\l "_Tc26004" 【考点16 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案】 PAGEREF _Tc26004 \h 19
\l "_Tc30287" 【考点17 作旋转与中心对称图形】 PAGEREF _Tc30287 \h 21
\l "_Tc2235" 【考点18 图形的全等】 PAGEREF _Tc2235 \h 22
【考点1 判断轴对称图形】
【例1】（2022秋·浙江绍兴·八年级统考期末）在以下表示“节水”“节能”“回收”“绿色食品”含义的四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】（2022秋·四川德阳·八年级统考期末）以下是清华大学、北京大学、上海交通大学、浙江大学的校徽，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C．D．
【变式1-2】（2022春·河南平顶山·七年级统考期末）七巧板是我国的一种传统智力玩具．下列用七巧板拼成的图形中，是轴对称图形的是（ ）
B．
C．D．
【变式1-3】（2022秋·江苏盐城·八年级统考期末）在下列四个图案的设计中，没有运用轴对称知识的是（ ）
A．B．C．D．
【考点2 画对称轴】
【例2】（2022秋·上海·七年级期末）如图，已知三角形纸片ABC，将纸片折叠，使点A与点C重合，折痕分别与边AC、BC交于点D、E．
(1)画出直线DE；
(2)若点B关于直线DE的对称点为点F，请画出点F；
(3)在（2）的条件下，联结EF、DF，如果△DEF的面积为2，△DEC的面积为4，那么△ABC的面积等于 ．
【变式2-1】（2022秋·安徽阜阳·八年级统考期末）如图，已知△ABC与△DEF关于直线l对称．
（1）请用无刻度的直尺画出该对称轴l；
（2）在对称轴l上找一点P，使PB+PC的和最小．（请保留作图痕迹）
【变式2-2】（2022春·江西抚州·七年级统考期末）已知，△ABC是等边三角形，请仅使用无刻度的直尺分别画出图1和图2的对称轴．
(1)若△DEF是等腰三角形，A点是DE的中点，且DE∥BC
(2)若△ADE是等腰三角形，四边形BCGF为等腰梯形．
【变式2-3】（2022春·山东青岛·七年级统考期末）图①和图②均为正方形网格，点A，B，C在格点上．
（1）请你分别在图①，图②中确定格点D，画出一个以A，B，C，D为顶点的四边形，使其成为轴对称图形，并画出对称轴，对称轴用直线m表示；
（2）每个小正方形的边长为1，请分别求出图①，图②中以A，B，C，D为顶点的四边形的面积．
【考点3 求对称轴的条数】
【例3】（2022春·四川眉山·七年级统考期末）正方形的对称轴有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【变式3-1】（2022秋·山东聊城·八年级聊城市实验中学校考期中）下列图形中，是轴对称图形并且对称轴最多的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-2】（2022春·广东深圳·七年级校考期末）如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有（ ）
A．1条B．3条C．5条D．无数条
【变式3-3】（2022秋·浙江台州·七年级校考期中）一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折2次后，可以得3条折痕，那么对折4次可以得到______条折痕．
【考点4 作轴对称图形】
【例4】（2022·全国·八年级专题练习）如图，在正方形网格中，点A，B，C，M，N都在格点上．
(1)作△ABC关于直线MN对称的图形△A1B1C1；
(2)若网格中最小正方形边长为1，求△ABC的面积；
(3)在直线MN上找一点P，使得PC−PA1的值最大，并画出点P的位置．
【变式4-1】（2022秋·河北沧州·八年级统考期末）如图1，网格中的每一个小正方形的边长为1，△ABC为格点三角形（点A、B、C在小正方形的格点上），直线m为格点直线（直线m经过小正方形的格点）．
(1)如图1，作出△ABC关于直线m的轴对称图形△A′B′C′；
(2)如图2，在直线m上找到一点P，使PA+PB的值最小；
(3)如图3，仅用直尺将网格中的格点三角形ABC的面积三等分，并将其中的一份用铅笔涂成阴影．
【变式4-2】（2022春·山东济南·七年级校考期末）如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色.现在要从其余13个白色小方格中选出一个涂成黑色，使涂成黑色的图形成为轴对称图形.在下面每个网格中分别画出一种符合要求的图形（画出三种即可）．
【变式4-3】（2022春·山东济南·七年级统考期末）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，四边形ABCD的顶点与点E都是格点．
(1)作四边形ABCD关于直线MN对称的四边形A'B'C'D．
(2)求四边形ABCD的面积：______．
(3)若在直线MN上有一点P使得PA+PE最小(点E位置如图所示)，连接PD，请求出此时的PD=______．
【考点5 根据成轴对称图形的特征进行判断】
【例5】（2022春·河南洛阳·七年级统考期末）有下列说法：①轴对称的两个三角形形状相同；②面积相等的两个三角形是轴对称图形；③轴对称的两个三角形的周长相等；④经过平移、翻折或旋转得到的三角形与原三角形是形状相同的．其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【变式5-1】（2022·四川德阳·八年级统考期末）P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA、OB的对称点P1、P2，连接OP1、OP2，则下列结论正确的是( )
A．OP1⊥OP2B．OP1=OP2C．OP1⊥OP2且OP1=OP2D．OP1≠OP2
【变式5-2】（2022春·山东菏泽·七年级统考期末）如图，正六边形ABCDEF关于直线l的轴对称图形是六边形A′B′C′D′E′F′，下列判断错误的是（ ）
A．AB=A′B′B．BC∥B′C′C．直线l⊥BB′D．∠A′=120°
【变式5-3】（2022春·山东菏泽·七年级统考期末）如图是一个风筝的图案，它是以直线AF为对称轴的轴对称图形，下列结论中不一定成立的是( )
A．△ABD与△ACD完全一样B．AF垂直平分EG
C．直线BG，CE的交点在AF上D．△DEG是等边三角形
【考点6 根据成轴对称图形的特征进行求解】
【例6】（2022秋·广西柳州·八年级统考期中）如图，四边形ABCD是轴对称图形，直线AC是它的对称轴，若∠BAC＝85°，∠B＝25°，则∠BCD的大小为（ ）
A．150°B．140°C．130°D．120°
【变式6-1】（2022秋·福建厦门·八年级校考期中）如图，点P为∠AOB内一点，分别作点P关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OB于M，交OA于N，P1P2＝15，则△PMN的周长为（ ）
A．16B．15C．14D．13
【变式6-2】（2022秋·福建厦门·八年级福建省厦门第二中学校考期中）如图，四边形ABCD是轴对称图形，BD所在的直线是它的对称轴，AB=3cm，CD=2cm．则四边形ABCD的周长为_______cm．
【变式6-3】（2022秋·甘肃·八年级统考期中）如图是一个风筝的图案，它是轴对称图形，∠B=25∘，AE=90cm.
（1）求∠E的度数；
（2）求AB的长度；
（3）若ΔOCD是等边三角形，CF=22cm，求ΔOCD的周长.
【考点7 台球桌上的轴对称问题】
【例7】（2022秋·黑龙江双鸭山·八年级统考期末）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（ ）
A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋
【变式7-1】（2022秋·江苏徐州·八年级统考阶段练习）如图，桌面上有A、B两球，若要将B球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示8个点中，可以瞄准的点有____个．
【变式7-2】（2022秋·八年级课时练习）如图，在一个规格为4×8的球台上，有两个小球P和Q．若击打小球P经过球台的边AB反弹后，恰好击中小球Q，则小球P击出时，应瞄准AB边上的（ ）
A．点O1B．点O2C．点O3D．点O4
【变式7-3】（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（ ）
A．点PB．点QC．点MD．点N
【考点8 轴对称中的光线反射问题】
【例8】（2022·河北衡水·校联考模拟预测）如图，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（ ）
A．A点B．B点C．C点D．D点
【变式8-1】（2022秋·全国·八年级期末）如图，在水平地面AB上放一个平面镜BC，一束垂直于地面的光线经平面镜反射，若反射光线与地面平行，则平面镜BC与地面AB所成的锐角α为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【变式8-2】（2022秋·八年级单元测试）如图，在8×4的长方形ABCD网格中，每个网格的顶点叫格点．一发光电子位于AB边上格点P处，将发光电子沿PR方向发射（其中∠PRB=45°），碰撞到长方形的BC边时发生反弹，设定此时为发光电子第1次与长方形的边碰撞（点R为第1次碰撞点）．发光电子碰撞到长方形的边时均发生反弹，若发光电子与长方形的边共碰撞了2021次，则它与AB边碰撞次数是____
【变式8-3】（2022秋·江苏无锡·九年级无锡市天一实验学校校考期中）如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与反射光线的夹角为50°，则平面镜与水平地面的夹角α的度数是______．
【考点9 折叠问题】
【例9】（2022春·湖北黄石·七年级统考期中）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，若CD∥BE，∠1=35°，则∠2的度数是（ ）
A．90°B．100°C．105°D．110°
【变式9-1】（2022·河南郑州·郑州外国语中学校考一模）如图所示，将一个长方形纸条折成如图的形状，若已知∠1=108°，则∠2为（ ）
A．24°B．32°C．36°D．42°
【变式9-2】（2022秋·山东济宁·八年级统考期末）将图1中的△ABC折叠，使点A与点C重合，折痕为ED，点E，D分别在AB，AC上，得到图形2．若BC=4，AB=5，则△EBC的周长是________．
【变式9-3】（2022秋·安徽芜湖·七年级统考期末）利用折纸可以作出角平分线，如图1折叠，则OC为∠AOB的平分线，如图2、图3，折叠长方形纸片，OC，OD均是折痕，折叠后，点A落在点A′，点B落在点B′，连接OA′．
(1)如图2，若点B′恰好落在OA′上，且∠AOC=32°，则∠BOD=______；
(2)如图3，当点B′在∠COA′的内部时，连接OB′，若∠AOC=44°，∠BOD=61°，求∠A′OB′的度数．
【考点10 图形的平移】
【例10】（2022春·黑龙江绥化·七年级校考期中）在下列汽车标志的图案中，能用图形的平移来分析其形成过程的是（ ）
A．B．
C． D．
【变式10-1】（2022春·江苏泰州·七年级统考期中）下列现象中是平移的是（ ）
A．将一张纸对折B．电梯的上下移动
C．摩天轮的运动D．翻开书的封面
【变式10-2】（2022秋·山东淄博·八年级统考期末）下面所示的图案中，可以看成是由图案自身的一部分经过平移得到的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式10-3】（2022春·甘肃庆阳·七年级校考期中）下列几种运动中，1水平运输带上砖的运动；2笔直的高速公路上行驶的汽车的运动(忽略车轮的转动)；3升降机上下做机械运动；4足球场上足球的运动．属于平移的有__________(填上所有你认为正确的序号)
【考点11 利用平移的性质求解】
【例11】（2023春·湖北武汉·七年级统考期中）如图，在三角形ABC中，AB=4cm，BC=AC=3cm，将三角形ABC沿着与AB垂直的方向向上平移3cm得到三角形DEF，则线段AC与BC扫过的面积之和为_______cm2．
【变式11-1】（2022秋·山东临沂·八年级校考期中）如图，将△ABC沿直线AB向右平移到达△BDE的位置，若∠CAB=55°，∠ABC=100°，则∠CBE的度数为______．
【变式11-2】（2022春·广东东莞·七年级东莞市中堂中学校考期中）如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6，将△ABC平移至△DEF的位置，若四边形DGCF的面积为20，且DG=2，则CF=__．
【变式11-3】（2022春·湖北孝感·七年级校考期中）如图，在三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，BC=5，将三角形ABC沿直线BC向右平移3个单位得到三角形DEF，连接AD．则下列结论：①AC∥DF，AC=DF；②∠EDF=90°；③四边形ABFD周长是18；④AD:EC=3:2；⑤点A到BC的距离为2.4．其中正确结论有______ ．（填序号）
【考点12 利用平移解决实际问题】
【例12】（2022春·浙江·七年级期中）如图是某公园里一处矩形风景欣赏区ABCD，长AB＝100米，宽BC＝50米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那小明沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为（ ）
A．148米B．196米C．198米D．200米
【变式12-1】（2022春·湖南永州·七年级统考期中）某宾馆重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设某种红地毯，已知这种地毯售价每平方米为50元，主楼梯宽2m，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要________元钱
【变式12-2】（2022春·浙江·七年级期中）如图，粗线A→C→B和细线A→D→E→F→G→H→B是公交车从少年宫A到体育馆B的两条行驶路线．
(1)比较两条线路的长短（简要在右图上画出比较的痕迹）；
(2)小丽坐出租车由体育馆B到少年宫A，假设出租车的收费标准为：起步价为7元，3千米以后每千米1.7元，用代数式表示出租车的收费m元与行驶路程ss>3千米之间的关系；
(3)如果这段路程长4.7千米，小丽身上有10元钱，够不够小丽坐出租车由体育馆到少年宫呢？说明理由．
【变式12-3】（2022春·全国·七年级期中）动手操作：
(1)如图1，在5×5的网格中，每个小正方形的边长为1，将线段AB向右平移，得到线段A′B′，连接AA′，BB′．
①线段AB平移的距离是________；
②四边形ABB′A′的面积是________；
(2)如图2，在5×5的网格中，将△ABC向右平移3个单位长度得到△A′B′C′．
③画出平移后的△A′B′C′；
④连接AA′，BB′，多边形ACBB′C′A′的面积是________
(3)拓展延伸：如图3，在一块长为a米，宽为b米的长方形草坪上，修建一条宽为m米的小路（小路宽度处处相同），直接写出剩下的草坪面积是________．
【考点13 平移作图】
【例13】（2022春·浙江宁波·七年级宁波市第十五中学校考期中）已知在8×8方格纸中，每个小格均为边长是1的正方形，△ABC的位置如图所示，请按照要求完成下列各题：
(1)将△ABC向右平移2格，向上平移3格后，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1．
(2)连接BB1,CC1，判断BB1与CC1的关系，并求出四边形B1BCC1的面积．
【变式13-1】（2022秋·山西临汾·七年级统考期末）如图，将方格纸中的图形先向右平行移动5格，再向下平行移动4格，画出平行移动后的图形．
【变式13-2】（2021春·江苏盐城·七年级统考期末）如图，5×5的网格中，每个小方格的边长为一个单位，将△ABC向右平移2格，再向下移1格，得△A′B′C′．
(1)画出△A′B′C′；
(2)线段BC与B′C′的大小关系为 ；
(3)AA′与BB′的位置关系为 ；
(4)求△A′B′C′的面积．
【变式13-3】（2021春·安徽阜阳·七年级统考期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点上，将△ABC向右平移3单位，再向上平移2个单位得到三角形△A1B1C1．
(1)在网格中画出三角形A1B1C1．
(2)A1B1与AB的位置关系 ．
(3)三角形A1B1C1的面积为 ．
【考点14 求旋转中心的个数】
【例14】（2022春·江苏·八年级专题练习）如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式14-1】（2022春·陕西西安·八年级陕西师大附中校考阶段练习）如图，在正方形网格中，图中阴影部分的两个图形是一个经过旋转变换得到另一个的，其旋转中心可能是点_______________（填“A”“B”“C”或“D”）．
【变式14-2】（2022春·江苏连云港·八年级校考阶段练习）如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（ ）
A．M或O或NB．E或O或CC．E或O或ND．M或O或C
【变式14-3】（2022秋·云南昭通·九年级统考期中）如图，ΔABC和ΔADC都是等边三角形.
（1）ΔABC沿着______所在的直线翻折能与ΔADC重合；
（2）如果ΔABC旋转后能与ΔADC重合，则在图形所在的平面上可以作为旋转中心的点是______；
（3）请说出2中一种旋转的旋转角的度数______.
【考点15 中心对称图形的识别】
【例15】（2022秋·山东滨州·九年级统考期中）下列标志中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【变式15-1】（2022秋·北京·九年级清华附中校考期中）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlpℎaG进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ）
A．B．C．D．
【变式15-2】（2022春·河南郑州·八年级校考期中）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【变式15-3】（2022秋·河南许昌·九年级统考期中）《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【考点16 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案】
【例16】（2022春·陕西西安·八年级统考期中）在4×4的方格内选5个小正方形．
(1)在图1中，让它们以虚线为对称轴，组成一个轴对称图形；在图2中，让它们以虚线为对称轴组成一个轴对称图形；在图3中，让它们构成一个中心对称图形．请在图中画出你的这3种方案．（每个4×4的方格内限画一种）
要求：①5个小正方形必须相连在一起（有公共边或公共顶点视为相连）；②将选中的小正方形方格用黑色签字笔涂成阴影图形．（若两个方案的图形能够重合，视为一种方案）
(2)在你所画得三个图中，最喜欢的是哪一个？简要说明理由．
【变式16-1】（2022秋·湖北武汉·九年级校考期中）思考下列哪些图形可以经过复制自己拼成图一（可以翻折或旋转）
例如选择C就可以经过复制自己拼成图一，如图二所示，请模仿图二，另选两个完成下面两图．
【变式16-2】（2022春·山东菏泽·八年级统考期中）在4×4的方格内选5个小正方形，让它们组成一个轴对称图形，请在图中画出你的4种方案．（每个4×4的方格内限画一种）
要求：
（1）5个小正方形必须相连（有公共边或公共顶点式为相连）
（2）将选中的小正方行方格用黑色签字笔涂成阴影图形．（每画对一种方案得2分，若两个方案的图形经过反折、平移、旋转后能够重合，均视为一种方案）
【变式16-3】（2022秋·江西宜春·九年级统考期中）如图是一个4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1．请你在网格中以左上角的三角形为基本图形，通过平移、对称或旋转变换，设计一个精美图案，使其满足：
①既是轴对称图形，又是以点O为对称中心的中心对称图形；
②所作图案用阴影标识，且阴影部分的面积为4．
【考点17 作旋转与中心对称图形】
【例17】（2022秋·浙江台州·九年级统考期末）在给定的网格中，用无刻度的直尺按要求完成以下作图，不要求写出画法．
(1)如图1，线段AB的两个端点均在格点上，线段AB绕点A顺时针旋转90°后得到线段AB′，作出线段AB′．
(2)如图2，△ABC的顶点和点P均在格点上，作出与△ABC关于点P中心对称的图形．
【变式17-1】（2022秋·安徽·九年级统考期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．
(1)请画出△ABC绕点O逆时针方向旋转90°后得到的图形△A1B1C1．（点A，B，C的对应点分别为点A1，B1，C1）
(2)请画出（1）中△A1B1C1关于原点O对称的图形△A2B2C2．（点A1，B1，C1的对应点分别为点A2，B2，C2）
【变式17-2】（2022春·湖南衡阳·七年级统考期末）如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
(1)在图1中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；
(2)在图2中，画出一个与△ABC成轴对称且以直线AC为对称轴的格点三角形；
(3)在图3中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形．
【变式17-3】（2022春·海南海口·七年级统考期末）在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC的顶点均在格点上．
(1)画出△ABC绕A点按逆时针方向旋转90°后得到的△AB1C1；若连接CC1，则△ACC1是怎样的三角形？
(2)画出△A2B2C2，使△A2B2C2和△AB1C1关于点O成中心对称；
(3)指出如何平移△AB1C1，使得△A2B2C2和△AB1C1能拼成一个长方形．
【考点18 图形的全等】
【例18】（2022秋·湖北襄阳·八年级统考期末）如图所示，两个三角形全等，则∠α等于( )
A．72°B．60°C．58°D．50°
【变式18-1】（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）观察下面的6组图形，其中是全等图形的有（ ）
A．3组B．4组C．5组D．6组
【变式18-2】（2022春·陕西榆林·七年级统考期中）如图是由与四边形ACDB全等的6个四边形拼成的图形，若AB=3cm,CD=2AB，则AF的长为______cm．
【变式18-3】（2022秋·湖南长沙·八年级统考期末）试在下列两个图中，沿正方形的网格线（虚线）把这两个图形分别分割成两个全等的图形，将其中一部分涂上阴影．

专题11.6 轴对称、平移与旋转十八大必考点
【华东师大版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc7996" 【考点1 判断轴对称图形】 PAGEREF _Tc7996 \h 1
\l "_Tc21238" 【考点2 画对称轴】 PAGEREF _Tc21238 \h 4
\l "_Tc19304" 【考点3 求对称轴的条数】 PAGEREF _Tc19304 \h 8
\l "_Tc13406" 【考点4 作轴对称图形】 PAGEREF _Tc13406 \h 10
\l "_Tc6924" 【考点5 根据成轴对称图形的特征进行判断】 PAGEREF _Tc6924 \h 16
\l "_Tc30984" 【考点6 根据成轴对称图形的特征进行求解】 PAGEREF _Tc30984 \h 18
\l "_Tc1264" 【考点7 台球桌上的轴对称问题】 PAGEREF _Tc1264 \h 21
\l "_Tc7120" 【考点8 轴对称中的光线反射问题】 PAGEREF _Tc7120 \h 24
\l "_Tc25305" 【考点9 折叠问题】 PAGEREF _Tc25305 \h 27
\l "_Tc30839" 【考点10 图形的平移】 PAGEREF _Tc30839 \h 30
\l "_Tc3682" 【考点11 利用平移的性质求解】 PAGEREF _Tc3682 \h 32
\l "_Tc17281" 【考点12 利用平移解决实际问题】 PAGEREF _Tc17281 \h 35
\l "_Tc3568" 【考点13 平移作图】 PAGEREF _Tc3568 \h 39
\l "_Tc17898" 【考点14 求旋转中心的个数】 PAGEREF _Tc17898 \h 42
\l "_Tc6678" 【考点15 中心对称图形的识别】 PAGEREF _Tc6678 \h 45
\l "_Tc9081" 【考点16 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案】 PAGEREF _Tc9081 \h 47
\l "_Tc18192" 【考点17 作旋转与中心对称图形】 PAGEREF _Tc18192 \h 51
\l "_Tc26813" 【考点18 图形的全等】 PAGEREF _Tc26813 \h 56
【考点1 判断轴对称图形】
【例1】（2022秋·浙江绍兴·八年级统考期末）在以下表示“节水”“节能”“回收”“绿色食品”含义的四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】解：选项A、B、C中的标志都不是轴对称图形，都不符合题意；
选项D中的标志是轴对称图形，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
【变式1-1】（2022秋·四川德阳·八年级统考期末）以下是清华大学、北京大学、上海交通大学、浙江大学的校徽，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用轴对称图形定义进行依次分析即可．
【详解】A.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.是轴对称图形，故此选项符合题意；
C.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【变式1-2】（2022春·河南平顶山·七年级统考期末）七巧板是我国的一种传统智力玩具．下列用七巧板拼成的图形中，是轴对称图形的是（ ）
B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的定义去逐一判断即可．
【详解】解：A是轴对称图形，符合题意，
B不是轴对称图形，不符合题意，
C不是轴对称图形，不符合题意，
D不是轴对称图形，不符合题意，
故选A．
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，准确理解定义，是解题的关键．
【变式1-3】（2022秋·江苏盐城·八年级统考期末）在下列四个图案的设计中，没有运用轴对称知识的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】直接利用轴对称图形的定义得出符合题意的答案．
【详解】解：A、，是轴对称图形，故此选项错误；
B、，是轴对称图形，故此选项错误；
C、，不是轴对称图形，故此选项正确；
D、，是轴对称图形，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形，正确把握轴对称图形的定义是解题的关键．
【考点2 画对称轴】
【例2】（2022秋·上海·七年级期末）如图，已知三角形纸片ABC，将纸片折叠，使点A与点C重合，折痕分别与边AC、BC交于点D、E．
(1)画出直线DE；
(2)若点B关于直线DE的对称点为点F，请画出点F；
(3)在（2）的条件下，联结EF、DF，如果△DEF的面积为2，△DEC的面积为4，那么△ABC的面积等于 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)12
【分析】（1）画出线段AC的垂直平分线即为直线DE；
（2）作出点B关于直线DE的对称点F即可；
（3）先求得S△AEC=8，S△BDE＝2，再求得S△BDES△CDE＝BEEC＝12和 S△AECS△ABC＝ECBC＝23，再代入S△AEC的面积即可求得S△ABC．
【详解】（1）解：如图，直线DE即为所作：
（2）如图，点F即为所作：
（3）连接AE，如图所示：
由对折可得：S△AED=S△DEC，S△BDE=S△DEF，
∴S△AEC=8，S△BDE= 2，
设△BED中BE边上的高为h，
S△AECS△ABC＝=12BE⋅ℎ12EC⋅ℎ=BEEC＝24=12，
即BEEC=12，
则2BE=EC，
设△AEC中EC边上的高为h'，
则：S△AECS△ABC =12EC⋅ℎ′12BC⋅ℎ′=ECBC=ECBE+EC=2BEBE+2BE=23，
∴S△ABC=3×82=12．
故答案为：12
【点睛】本题考查作图——轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题．
【变式2-1】（2022秋·安徽阜阳·八年级统考期末）如图，已知△ABC与△DEF关于直线l对称．
（1）请用无刻度的直尺画出该对称轴l；
（2）在对称轴l上找一点P，使PB+PC的和最小．（请保留作图痕迹）
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）找到每个图中的对应线段，延长找到交点，过交点作直线l即可．
（2）根据轴对称的性质及两点之间线段最短，连接EC，交直线l于点P，则点P即为所求．
【详解】解：（1）如图，直线l即为所求；
（2）如图，点P即为所求．
【点睛】本题考查了作图--轴对称变换以及利用轴对称求最短路径，解此题的关键是根据轴对称的性质找出P点．
【变式2-2】（2022春·江西抚州·七年级统考期末）已知，△ABC是等边三角形，请仅使用无刻度的直尺分别画出图1和图2的对称轴．
(1)若△DEF是等腰三角形，A点是DE的中点，且DE∥BC
(2)若△ADE是等腰三角形，四边形BCGF为等腰梯形．
【答案】(1)详见解析；(2)详见解析.
【分析】（1）因为图1中的对称轴一定经过等腰三角形的顶点F和底边中点A,所以连接AF，则AF即为所求.（2）因为图2中的对称轴一定经过等腰梯形对角线的交点和等腰三角形的顶点A，所以先连接等腰梯形的对角线得到交点，再与顶点A连接即可.
【详解】解：
如图：
．
【点睛】本题考查了画轴对称图形的对称轴，熟练掌握基本轴对称图形的对称轴位置是解题关键.
【变式2-3】（2022春·山东青岛·七年级统考期末）图①和图②均为正方形网格，点A，B，C在格点上．
（1）请你分别在图①，图②中确定格点D，画出一个以A，B，C，D为顶点的四边形，使其成为轴对称图形，并画出对称轴，对称轴用直线m表示；
（2）每个小正方形的边长为1，请分别求出图①，图②中以A，B，C，D为顶点的四边形的面积．
【答案】见解析.
【分析】(1)图①中以AC为对称轴作图即可，图②中以线段AC的中垂线为对称轴作图即可；
(2)图①中四边形面积为两倍的△ABC的面积，图②中四边形为梯形.
【详解】解：（1）如图①、图②所示，四边形ABCD和四边形ABDC即为所求；
（2）如图①，四边形ABCD的面积为：2×4=8；
如图②，四边形ABDC的面积为：×2×（2+4）=6．
【点睛】本题考查了轴对称中理解和作图的能力.
【考点3 求对称轴的条数】
【例3】（2022春·四川眉山·七年级统考期末）正方形的对称轴有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】D
【分析】根据正方形的对称性解答．
【详解】如图，正方形对称轴为经过对边中点的直线，两条对角线所在的直线，共4条．
故选D．
【考点】轴对称的性质．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，熟记正方形的对称性是解题的关键．
【变式3-1】（2022秋·山东聊城·八年级聊城市实验中学校考期中）下列图形中，是轴对称图形并且对称轴最多的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】据轴对称图形的性质确定出各选项图形的对称轴的条数，然后选择即可．
【详解】A、是轴对称图形但有3条对称轴；
B、是轴对称图形但有1条对称轴；
C、图形不是轴对称图形；
D、是轴对称图形但有4条对称轴；
所以，是轴对称图形且对称轴条数最多的是D选项图形．
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
【变式3-2】（2022春·广东深圳·七年级校考期末）如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有（ ）
A．1条B．3条C．5条D．无数条
【答案】C
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】五角星的对称轴共有5条，
故选C．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
【变式3-3】（2022秋·浙江台州·七年级校考期中）一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折2次后，可以得3条折痕，那么对折4次可以得到______条折痕．
【答案】15
【分析】根据对折次数得到分成的份数，再减去1即可得到折痕条数．
【详解】解：根据观察可以得到：
对折1次，一张纸分成两份，折痕为1条；
对折2次，一张纸分成22=4份，折痕为4-1=3条；
对折3次，一张纸分成 23=8份，折痕为8-1=7条；
∴对折4次，一张纸分成 24=16份，折痕为16-1=15条 ．
故答案为15．
【点睛】本题考查折叠问题，掌握分成份数与折叠次数、折痕条数的关系是解题关键 ．
【考点4 作轴对称图形】
【例4】（2022·全国·八年级专题练习）如图，在正方形网格中，点A，B，C，M，N都在格点上．
(1)作△ABC关于直线MN对称的图形△A1B1C1；
(2)若网格中最小正方形边长为1，求△ABC的面积；
(3)在直线MN上找一点P，使得PC−PA1的值最大，并画出点P的位置．
【答案】(1)详见解析
(2)72
(3)详见解析
【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A、B、C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）根据三角形的面积公式即可得到结论．
（3）连接A1C1交直线MN于点P，此时PC−PA1的值最大．
（1）
如图，△A1B1C1即为所求．
（2）
△ABC的面积为3×3−12×1×3−12×3×2−12×1×2=72.
（3）
点P即为所求
【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，轴对称一最短路径问题，三角形的面积，解决本题的关键是掌握轴对称的性质准确作出点P．
【变式4-1】（2022秋·河北沧州·八年级统考期末）如图1，网格中的每一个小正方形的边长为1，△ABC为格点三角形（点A、B、C在小正方形的格点上），直线m为格点直线（直线m经过小正方形的格点）．
(1)如图1，作出△ABC关于直线m的轴对称图形△A′B′C′；
(2)如图2，在直线m上找到一点P，使PA+PB的值最小；
(3)如图3，仅用直尺将网格中的格点三角形ABC的面积三等分，并将其中的一份用铅笔涂成阴影．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A′、B′、C′，然后顺次连接即可即可．
（2）作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，交直线m于点P，则点P即为所求作的点；
（3）如图，取格点O，使得S△AOC=S△BOC=S△AOB=2即可解答．
【详解】（1）解：如图1所示，△A′B′C′即为所求作．
（2）解：如图2，点P即为所求作．
（3）解：如图3所示即为所作．
【点睛】本题主要考查了轴对称变换、格点三角形的面积，线段和最小值问题，掌握数形结合是解题的关键．
【变式4-2】（2022春·山东济南·七年级校考期末）如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色.现在要从其余13个白色小方格中选出一个涂成黑色，使涂成黑色的图形成为轴对称图形.在下面每个网格中分别画出一种符合要求的图形（画出三种即可）．
【答案】见解析
【分析】根据轴对称的性质设计出图案即可．
【详解】解：如图所示．
．
【点睛】本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
【变式4-3】（2022春·山东济南·七年级统考期末）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，四边形ABCD的顶点与点E都是格点．
(1)作四边形ABCD关于直线MN对称的四边形A'B'C'D．
(2)求四边形ABCD的面积：______．
(3)若在直线MN上有一点P使得PA+PE最小(点E位置如图所示)，连接PD，请求出此时的PD=______．
【答案】(1)图见解析．
(2)6．
(3)3．
【分析】1根据对称的性质作图即可．
2将所求四边形的面积转化为两个小三角形的面积之和，求解即可．
3过MN作点E的对称点E'，连接AE'，与MN交于点P，此时PA+PE最小，进而可得出答案．
【详解】（1）如图，四边形A'B'C'D即为所求．
（2）S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=12×3×1+12×3×3=6．
故答案为：6．
（3）过MN作点E的对称点E'，连接AE'，与MN交于点P，
此时PA+PE最小，
∴PD=3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查作图−轴对称变换、三角形的面积公式、轴对称−最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
【考点5 根据成轴对称图形的特征进行判断】
【例5】（2022春·河南洛阳·七年级统考期末）有下列说法：①轴对称的两个三角形形状相同；②面积相等的两个三角形是轴对称图形；③轴对称的两个三角形的周长相等；④经过平移、翻折或旋转得到的三角形与原三角形是形状相同的．其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【分析】根据平移、翻折或旋转的性质逐项判断可求解．
【详解】解：①轴对称的两个三角形形状相同，故正确；
②面积相等的两个三角形形状不一定相同，故不是轴对称图形，故错误；
③轴对称的两个三角形的周长相等，故正确；
④经过平移、翻折或旋转得到的三角形与原三角形是形状相同的，故正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了图形的变换，掌握平移、翻折或旋转的性质是解题的关键．
【变式5-1】（2022·四川德阳·八年级统考期末）P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA、OB的对称点P1、P2，连接OP1、OP2，则下列结论正确的是( )
A．OP1⊥OP2B．OP1=OP2C．OP1⊥OP2且OP1=OP2D．OP1≠OP2
【答案】B
【详解】试题分析：如图，∵点P关于直线OA、OB的对称点P1、P2，
∴OP1=OP2=OP，∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2．
∴∠P1OP2=∠AOP+∠AOP1+∠BOP+∠BOP2=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB．
∵∠AOB度数任意，∴OP1⊥OP2不一定成立．
故选B．
【变式5-2】（2022春·山东菏泽·七年级统考期末）如图，正六边形ABCDEF关于直线l的轴对称图形是六边形A′B′C′D′E′F′，下列判断错误的是（ ）
A．AB=A′B′B．BC∥B′C′C．直线l⊥BB′D．∠A′=120°
【答案】B
【详解】因为正六边形ABCDEF关于直线l的轴对称图形是六边形A’B‘C’D‘E’F‘，
所以AB=A’B‘，直线l⊥BB’，
所以A、C正确，不符合题意，
又六边形A‘B’C‘D’E‘F’是正六边形，
所以∠A‘=120°，
所以D正确，不符合题意，
故选B．
【变式5-3】（2022春·山东菏泽·七年级统考期末）如图是一个风筝的图案，它是以直线AF为对称轴的轴对称图形，下列结论中不一定成立的是( )
A．△ABD与△ACD完全一样B．AF垂直平分EG
C．直线BG，CE的交点在AF上D．△DEG是等边三角形
【答案】D
【分析】认真观察图形，根据轴对称图形的性质得选项A、B、C都是正确的，没有理由能够证明△DEG是等边三角形．
【详解】A．因为此图形是轴对称图形，正确；
B．对称轴垂直平分对应点连线，正确；
C．由三角形全等可知，BG＝CE，且直线BG，CE的交点在AF上，正确；
D．题目中没有60°条件，不能判断是等边三角形，错误．
故选D．
【点睛】本题考查了轴对称的性质；解答此题要注意，不要受图形误导，要找准各选项正误的具体原因是正确解答本题的关键．
【考点6 根据成轴对称图形的特征进行求解】
【例6】（2022秋·广西柳州·八年级统考期中）如图，四边形ABCD是轴对称图形，直线AC是它的对称轴，若∠BAC＝85°，∠B＝25°，则∠BCD的大小为（ ）
A．150°B．140°C．130°D．120°
【答案】B
【分析】根据三角形内角和的性质可求得∠ACB，再根据对称的性质可得∠ACB=∠ACD，即可求解．
【详解】解：根据三角形内角和的性质可求得∠ACB=180°−∠BAC−∠B=70°
由轴对称图形的性质可得，∠ACB=∠ACD
∴∠BCD=2∠ACB=140°
故选：B
【点睛】此题考查了三角形内角和的性质，轴对称图形的性质，解题的关键是掌握并利用相关基本性质进行求解．
【变式6-1】（2022秋·福建厦门·八年级校考期中）如图，点P为∠AOB内一点，分别作点P关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OB于M，交OA于N，P1P2＝15，则△PMN的周长为（ ）
A．16B．15C．14D．13
【答案】B
【分析】根据轴对称的性质可得P1M=PM，P2N=PN，然后根据三角形的周长定义，求出△PMN的周长为P1P2，从而得解．
【详解】解：∵P点关于OB、OA的对称点为P1，P2，
∴P1M＝PM，P2N＝PN，
∴△PMN的周长＝MN+PM+PN＝MN+P1M+P2N＝P1P2，
∵P1P2＝15，
∴△PMN的周长为15．
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称的性质，解题时注意：对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
【变式6-2】（2022秋·福建厦门·八年级福建省厦门第二中学校考期中）如图，四边形ABCD是轴对称图形，BD所在的直线是它的对称轴，AB=3cm，CD=2cm．则四边形ABCD的周长为_______cm．
【答案】10
【分析】根据轴对称的性质得到AB=BC=3cm，CD=AD=2cm，即可求得四边形ABCD的周长．
【详解】解：∵四边形ABCD是轴对称图形，BD所在的直线是它的对称轴，AB=3cm，CD=2cm，
∴AB=BC=3cm，CD=AD=2cm，
∴四边形ABCD的周长为AB+BC+CD+AD=10cm，
故答案为：10
【点睛】此题主要考查了轴对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
【变式6-3】（2022秋·甘肃·八年级统考期中）如图是一个风筝的图案，它是轴对称图形，∠B=25∘，AE=90cm.
（1）求∠E的度数；
（2）求AB的长度；
（3）若ΔOCD是等边三角形，CF=22cm，求ΔOCD的周长.
【答案】（1）∠E=30∘；（2）AB=90cm；（3）ΔOCD的周长是=132cm.
【分析】（1）由已知条件，根据轴对称图形的性质解答．
（2）由已知条件，根据轴对称图形的性质解答．
（3）由已知条件，根据轴对称图形的性质和等边三角形的性质进行解答即可；
【详解】（1）∵图案是轴对称图形，AF为对称轴，∠B与∠E是对应角，∠B=30∘，
∴∠E=∠B=30∘；
（2）∵图案是轴对称图形，AF为对称轴，AB与AE是对应边，AE=90cm，
∴AB=AE=90cm；
（3）∵图案是轴对称图形，AF为对称轴，CF与DF是对应边，CF=22cm，
∴DF=CF=22cm，
∵ΔOCD是等边三角形，
∴OC=OD=CD=22cm+22cm=44cm，
∴ΔOCD的周长是44×3=132cm.
【点睛】此题考查轴对称的性质，轴对称图形是按一条直线折叠后两边重合的图形，题中图形对称轴为AF，B点对称点为E点，找准对应点是解题的关键．
【考点7 台球桌上的轴对称问题】
【例7】（2022秋·黑龙江双鸭山·八年级统考期末）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（ ）
A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋
【答案】B
【分析】利用轴对称画图可得答案.
【详解】解：如图所示，
球最后落入的球袋是2号袋，
故选：B.
【点睛】此题主要考查了生活中的轴对称现象，关键是正确画出图形.
【变式7-1】（2022秋·江苏徐州·八年级统考阶段练习）如图，桌面上有A、B两球，若要将B球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示8个点中，可以瞄准的点有____个．
【答案】2
【分析】根据入射角等于反射角，结合网格特点即可求解．
【详解】解：如图，将B球射向桌面的点1和点6，可使一次反弹后击中A球，故可以瞄准的点有2个，
故答案为：2．
【点睛】本题考查轴对称的性质，解题关键是根据轴对称性质找到使入射角等于反射角相等的点．
【变式7-2】（2022秋·八年级课时练习）如图，在一个规格为4×8的球台上，有两个小球P和Q．若击打小球P经过球台的边AB反弹后，恰好击中小球Q，则小球P击出时，应瞄准AB边上的（ ）
A．点O1B．点O2C．点O3D．点O4
【答案】B
【分析】根据题意，画出图形，由轴对称的性质判定正确选项．
【详解】解：根据轴对称的性质可知小球P走过的路径为：
根据入射角等于反射角可知应瞄准AB边上的点O2．
故选：B．
【点睛】主要考查了轴对称的性质．轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段相等，对应角相等．注意数形结合思想的运用．
【变式7-3】（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（ ）
A．点PB．点QC．点MD．点N
【答案】A
【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2022除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．
【详解】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点P，
∵2022÷6=337，
∴当点P第2022次碰到矩形的边时为第337个循环组的最后一次反弹，
∴第2022次碰到矩形的边时的点为图中的点P，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．
【考点8 轴对称中的光线反射问题】
【例8】（2022·河北衡水·校联考模拟预测）如图，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（ ）
A．A点B．B点C．C点D．D点
【答案】B
【分析】利用轴对称变换的性质判断即可．
【详解】解：如图，过点P，点B的射线交于一点O，
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称变换的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式8-1】（2022秋·全国·八年级期末）如图，在水平地面AB上放一个平面镜BC，一束垂直于地面的光线经平面镜反射，若反射光线与地面平行，则平面镜BC与地面AB所成的锐角α为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【答案】B
【分析】利用平行线的性质和光的反射原理计算．
【详解】解：∵入射光线垂直于水平光线，
∴它们的夹角为90°，虚线为法线，∠1为入射角，
∴∠1=12×90°=45°
∵∠1=∠2，∠2+∠3=90°
∴∠3=90°−∠1=45°
∵两水平线平行
∴∠α=∠3=45°
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质、光的反射原理、入射角等于反射角等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
【变式8-2】（2022秋·八年级单元测试）如图，在8×4的长方形ABCD网格中，每个网格的顶点叫格点．一发光电子位于AB边上格点P处，将发光电子沿PR方向发射（其中∠PRB=45°），碰撞到长方形的BC边时发生反弹，设定此时为发光电子第1次与长方形的边碰撞（点R为第1次碰撞点）．发光电子碰撞到长方形的边时均发生反弹，若发光电子与长方形的边共碰撞了2021次，则它与AB边碰撞次数是____
【答案】673
【分析】如图，根据反射角与入射角的定义可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，发光电子回到起始的位置，即可求解．
【详解】解：如图，
根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，
经过6次反弹后动点回到出发点，且每次循环它与AB边的碰撞有2次，
∵2021÷6=336…5，
当点P第2021次碰到长方形的边时为第336个循环组后的第5次反弹，
∴它与AB边的碰撞次数是=336×2+1=673次，
故答案为：673．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．
【变式8-3】（2022秋·江苏无锡·九年级无锡市天一实验学校校考期中）如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与反射光线的夹角为50°，则平面镜与水平地面的夹角α的度数是______．
【答案】65°
【分析】作CD⊥平面镜，垂足为G，交地面于D．根据垂线的性质可得∠CDH+α=90°，根据平行线的性质可得∠AGC=∠CDH，根据入射角等于反射角可得∠AGC=25°，从而可得夹角α的度数．
【详解】解：如图，作CD⊥平面镜，垂足为G，交地面于D．
∴∠CDH+α=90°，
根据题意可知：AG∥DF，
∴∠AGC=∠CDH，
∵∠AGC=12∠AGB=12×50°=25°，
∴∠CDH=25°，
∴α=65°．
故答案为：65°．
【点睛】本题考查了入射角等于反射角问题，解决本题的关键是掌握平行线的性质、明确法线CG平分∠AGB．
【考点9 折叠问题】
【例9】（2022春·湖北黄石·七年级统考期中）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，若CD∥BE，∠1=35°，则∠2的度数是（ ）
A．90°B．100°C．105°D．110°
【答案】D
【分析】根据平行线的性质，推出∠5=35°，再根据折叠的性质，得到∠6=35°，即可求出∠2的度数．
【详解】解：延长BC，
∵AF∥BE，
∴∠3=∠1=35°，
∵AD∥BC，
∴∠4=∠3=35°，
∵CD∥BE，
∴∠5=∠4=35°，
由折叠的性质可知，∠5=∠6=35°，
∴∠2=180°−∠5−∠6=110°，
故选D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，根据平行线的性质找出图中角度之间的关系是解题关键．
【变式9-1】（2022·河南郑州·郑州外国语中学校考一模）如图所示，将一个长方形纸条折成如图的形状，若已知∠1=108°，则∠2为（ ）
A．24°B．32°C．36°D．42°
【答案】C
【分析】先根据两直线平行，内错角相等的性质得出∠2=∠3，再通过平角的定义求出∠3，最后求得答案即可．
【详解】如图所示，
∵纸条的两边互相平行，
∴∠2=∠3．
∵∠1=108°，
∴∠3+∠4=180°−∠1=180°−108°=72°．
根据翻折的性质得，∠4=∠3=36°．
∴∠2=∠3=36°．
故选C．
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
【变式9-2】（2022秋·山东济宁·八年级统考期末）将图1中的△ABC折叠，使点A与点C重合，折痕为ED，点E，D分别在AB，AC上，得到图形2．若BC=4，AB=5，则△EBC的周长是________．
【答案】9
【分析】根据折叠，得到AE=CE，利用△EBC的周长=BC+CE+BE=BC+AE+BE=BC+AB，进行求解即可．
【详解】解：△ABC折叠，使点A与点C重合，折痕为ED，
∴AE=CE，
∴△EBC的周长=BC+CE+BE=BC+AE+BE=BC+AB=4+5=9；
故答案为：9．
【点睛】本题考查折叠．熟练掌握折叠的性质，是解题的关键．
【变式9-3】（2022秋·安徽芜湖·七年级统考期末）利用折纸可以作出角平分线，如图1折叠，则OC为∠AOB的平分线，如图2、图3，折叠长方形纸片，OC，OD均是折痕，折叠后，点A落在点A′，点B落在点B′，连接OA′．
(1)如图2，若点B′恰好落在OA′上，且∠AOC=32°，则∠BOD=______；
(2)如图3，当点B′在∠COA′的内部时，连接OB′，若∠AOC=44°，∠BOD=61°，求∠A′OB′的度数．
【答案】(1)58°
(2)30°
【分析】（1）由折叠得出∠AOC=∠A′OC，∠BOD=∠B′OD，由平角的性质可得∠AOC+∠A′OC+∠BOD+∠B′OD=180°，再由∠AOC=32°，即可求解；
（2）同（1）的方法求出∠A′OD，再由∠A′OB′=∠B′OD−∠A′OD即可求解．
【详解】（1）解：由题意知∠AOC=∠A′OC，∠BOD=∠B′OD，
∵ ∠AOC+∠A′OC+∠BOD+∠B′OD=180°，∠AOC=32°，
∴ ∠BOD=12×180°−2×32°=58°．
（2）解：由题意知∠AOC=∠A′OC，∠BOD=∠B′OD，
∵ ∠AOC+∠A′OC+∠A′OD+∠BOD=180°，∠AOC=44°，∠BOD=61°，
∴ ∠A′OD=180°−2×44°−61°=31°，
∴ ∠A′OB′=∠B′OD−∠A′OD=30°．
【点睛】此题主要考查了折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算，从图形中找出角之间的关系是解本题的关键．
【考点10 图形的平移】
【例10】（2022春·黑龙江绥化·七年级校考期中）在下列汽车标志的图案中，能用图形的平移来分析其形成过程的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移，即可选出答案．
【详解】解：A.不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项不合题意；
B.不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项不合题意；
C.是由“基本图案”经过平移得到，故此选项符合题意；
D.不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了图形的平移，在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，学生混淆图形的平移与旋转或翻转，而误选．
【变式10-1】（2022春·江苏泰州·七年级统考期中）下列现象中是平移的是（ ）
A．将一张纸对折B．电梯的上下移动
C．摩天轮的运动D．翻开书的封面
【答案】B
【分析】根据平移的概念，依次判断即可得到答案；
【详解】解：根据平移的概念：把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移，判断：
A、将一张纸对折，不符合平移定义，故本选项错误；
B、电梯的上下移动，符合平移的定义，故本选项正确；
C、摩天轮的运动，不符合平移定义，故本选项错误；
D、翻开的封面，不符合平移的定义，故本选项错误．
故选B．
【点睛】本题考查平移的概念，在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．
【变式10-2】（2022秋·山东淄博·八年级统考期末）下面所示的图案中，可以看成是由图案自身的一部分经过平移得到的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据平移的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、不可以看成是由图案自身的一部分经过平移得到的，故本选项不符合题意；
B、不可以看成是由图案自身的一部分经过平移得到的，故本选项不符合题意；
C、可以看成是由图案自身的一部分经过平移得到的，故本选项符合题意；
D、不可以看成是由图案自身的一部分经过平移得到的，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查了图形的平移，判断图形是否由平移得到，要把握两个“不变”，图形的形状和大小不变；一个“变”，位置改变．
【变式10-3】（2022春·甘肃庆阳·七年级校考期中）下列几种运动中，1水平运输带上砖的运动；2笔直的高速公路上行驶的汽车的运动(忽略车轮的转动)；3升降机上下做机械运动；4足球场上足球的运动．属于平移的有__________(填上所有你认为正确的序号)
【答案】123
【分析】根据平移的性质，对各小题进行分析判断即可求解．
【详解】解：（1）水平运输带上砖的运动，是平移变换；
（2）笔直的高速公路上行驶的汽车的运动（忽略车轮的转动），是平移变换；
（3）升降机上下做机械运动，是平移变换；
（4）足球场上足球的运动，是旋转运动．
所以属于平移的有（1）（2）（3）共3种．
故答案是：（1）（2）（3）．
【点睛】本题考查了生活中的平移变换，熟记平移变换的性质是求解的关键．
【考点11 利用平移的性质求解】
【例11】（2023春·湖北武汉·七年级统考期中）如图，在三角形ABC中，AB=4cm，BC=AC=3cm，将三角形ABC沿着与AB垂直的方向向上平移3cm得到三角形DEF，则线段AC与BC扫过的面积之和为_______cm2．
【答案】12
【分析】线段AC与BC扫过的面积之和就是长方形ABED的面积，利用公式求解即可．
【详解】解：因为将三角形ABC沿着与AB垂直的方向向上平移3cm得到三角形DEF，所以三角形ABC的面积等于三角形DEF的面积，四边形ABED是长方形，线段AC与BC扫过的面积之和为整个图形的面积减去三角形ABC的面积，整个图形的面积是长方形ABED的面积加上三角形DEF的面积，
所以，线段AC与BC扫过的面积之和就是长方形ABED的面积=3×4=12 cm2，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了平移的性质，解题关键是得出线段AC与BC扫过的面积之和就是长方形ABED的面积．
【变式11-1】（2022秋·山东临沂·八年级校考期中）如图，将△ABC沿直线AB向右平移到达△BDE的位置，若∠CAB=55°，∠ABC=100°，则∠CBE的度数为______．
【答案】25°
【分析】根据平移的性质得出∠EBD=55°，进而利用平角的性质得出∠CBE的度数．
【详解】解：∵将△ABC沿直线AB向右平移到达△BDE的位置， ∠CAB=55°，
∴ ∠EBD=55°，
∵ ∠ABC=100°，
∴ ∠CBE的度数为：180°−∠ABC−∠EBD=180°−100°−55°=25°．
故答案为：25°．
【点睛】此题主要考查了平移的性质，根据平移的性质得出∠EBD的度数是解题关键．
【变式11-2】（2022春·广东东莞·七年级东莞市中堂中学校考期中）如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6，将△ABC平移至△DEF的位置，若四边形DGCF的面积为20，且DG=2，则CF=__．
【答案】4
【分析】根据平移的性质可知：DE=AB=6，BE=CF=AD，S△ABC=S△DEF，根据题中图形关系得到S梯形DGCF=S梯形ABGE=S矩形ABED−S△ADG=20，设BE=CF=AD=x，则AB⋅BE−12DG⋅AD=20，即6x−12×2x=20，解方程求得x的值即可得到答案．
【详解】解：连接AD，如图所示：
由△ABC平移至△DEF得DE=AB=6，BE=CF=AD，S△ABC=S△DEF，
∵S△ABC=S梯形ABEG+S△CEG，S△DEF=S梯形DGCF+S△CEG，
∴S梯形ABEG=S梯形DGCF，
∵S梯形ABEG=S矩形ABED−S△ADG，四边形DGCF的面积为20，
∴S梯形DGCF=S矩形ABED−S△ADG=20，
设BE=CF=AD=x，则AB⋅BE−12DG⋅AD=20，即6x−12×2x=20，解得x=4，
∴CF=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查平移的性质、有关图形的面积关系，求出各个相关图形面积的表示是解决问题的关键．
【变式11-3】（2022春·湖北孝感·七年级校考期中）如图，在三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，BC=5，将三角形ABC沿直线BC向右平移3个单位得到三角形DEF，连接AD．则下列结论：①AC∥DF，AC=DF；②∠EDF=90°；③四边形ABFD周长是18；④AD:EC=3:2；⑤点A到BC的距离为2.4．其中正确结论有______ ．（填序号）
【答案】①②③④⑤
【分析】对于①②③④利用平移的性质依次判断可求解，对于⑤可用等积法求解．
【详解】解：∵将三角形ABC沿直线BC向右平移3个单位得到三角形DEF，
∴AD=BE=CF=3，AC∥DF，AB∥DE，AB=DE=3，AC=DF=4，BC=EF=5，∠BAC=∠EDF=90°，故①和②正确；
∴BF=5+3=8，EC=5-3=2 ，
∵四边形ABFD的周长=AB+AD+DF+BF，
∴四边形ABFD的周长=3+4+3+8=18，故③正确；
∵AD=3，EC=2，
∴AD：EC=3：2，故④正确，
∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，BC=5，设点A到BC的距离为h，
∴12×3×4=12h×5，解得：h=2.4，
故点D到线段BF的距离是2.4，所以⑤正确．
综上所述：正确的是①②③④⑤．
故答案为：①②③④⑤
【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
【考点12 利用平移解决实际问题】
【例12】（2022春·浙江·七年级期中）如图是某公园里一处矩形风景欣赏区ABCD，长AB＝100米，宽BC＝50米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那小明沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为（ ）
A．148米B．196米C．198米D．200米
【答案】B
【分析】根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于AB，纵向距离等于（AD﹣2）×2，求出即可．
【详解】解：利用已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，
横向距离等于AB，纵向距离等于（AD﹣2）×2，
图中虚线长为：100+（50﹣2）×2＝196米，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了生活中的平移现象，正确转换图形形状是解题关键．
【变式12-1】（2022春·湖南永州·七年级统考期中）某宾馆重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设某种红地毯，已知这种地毯售价每平方米为50元，主楼梯宽2m，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要________元钱
【答案】840
【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横边和竖边向上向右平移，构成一个矩形，求出地毯的长度，再求出面积，即可求解．
【详解】解：把楼梯的横边和竖边向上向右平移，可以构成一个矩形，矩形的长宽分别为5.8米，2.6米，
可得地毯的长度为2.6+5.8=8.4米，
地毯的面积为8.4×2=16.8平方米，
故买地毯至少需要16.8×50=840元．
故答案为：840．
【点睛】本题考查了生活中的平移现象，解题的关键是掌握平移的性质，平移不改变图像的大小和形状．
【变式12-2】（2022春·浙江·七年级期中）如图，粗线A→C→B和细线A→D→E→F→G→H→B是公交车从少年宫A到体育馆B的两条行驶路线．
(1)比较两条线路的长短（简要在右图上画出比较的痕迹）；
(2)小丽坐出租车由体育馆B到少年宫A，假设出租车的收费标准为：起步价为7元，3千米以后每千米1.7元，用代数式表示出租车的收费m元与行驶路程ss>3千米之间的关系；
(3)如果这段路程长4.7千米，小丽身上有10元钱，够不够小丽坐出租车由体育馆到少年宫呢？说明理由．
【答案】(1)一样长，画图见解析
(2)m=1.7s+1.9
(3)够，理由见解析
【分析】（1）利用平移的性质得出两条线路的长相等；
（2）利用出租车收费标准进而得出答案；
（3）利用（2）中所求即可得出答案．
【详解】（1）解：如图所示：两条线路一样长；
（2）由题意可得：m=7+1.7s−3=1.7s+1.9；
（3）小丽坐出租车由体育馆到少年宫，钱够，
理由：由（2）得：m=7+1.7×4.7−3=9.89（元）．
∵9.89