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华东师大版七年级数学下册专题9.6角度计算中的经典模型【八大题型】(华东师大版)(原卷版+解析)
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这是一份华东师大版七年级数学下册专题9.6角度计算中的经典模型【八大题型】(华东师大版)(原卷版+解析)，共64页。
TOC \ "1-2" \h \u
\l "_Tc22594" 【题型1 双垂直模型】 PAGEREF _Tc22594 \h 1
\l "_Tc12658" 【题型2 A字模型】 PAGEREF _Tc12658 \h 4
\l "_Tc23317" 【题型3 8字模型】 PAGEREF _Tc23317 \h 7
\l "_Tc27779" 【题型4 飞镖模型】 PAGEREF _Tc27779 \h 10
\l "_Tc17250" 【题型5 风筝模型】 PAGEREF _Tc17250 \h 14
\l "_Tc15037" 【题型6 两内角角平分线模型】 PAGEREF _Tc15037 \h 18
\l "_Tc18553" 【题型7 两外角角平分线模型】 PAGEREF _Tc18553 \h 21
\l "_Tc19661" 【题型8 内外角角平分线模型】 PAGEREF _Tc19661 \h 24
【知识点1 双垂直模型】
【条件】∠B=∠D=∠ACE=90°.
【结论】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.
【证明】∵∠B=∠D=∠ACE=90°；∴∠BAC+∠ACB=90°；又∠ECD+∠ACB=90°；∴∠BAC=∠DCE
同理,∠ACB+∠DCE =90°，且∠CED+∠DCE =90°；∴∠ACB=∠CED，得证.
【题型1 双垂直模型】
【例1】（2022春•建邺区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B．
（1）求证：CD⊥AB
证明：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°（已知）
∴∠A+∠B＝90°（ ）
又∵∠ACD＝∠B（已知）
∴∠A+∠ACD＝90°（等量代换）
∴∠ADC＝90° （ ）
∴CD⊥AB．
（2）如图②，若∠BAC的平分线分别交BC，CD于点E，F，求证：∠AEC＝∠CFE；
（3）如图③，若E为BC上一点，AE交CD于点F，BC＝3CE，AB＝4AD，S△ABC＝36．
①求S△CEF﹣S△ADF的值；
②四边形BDFE的面积是 ．
【变式1-1】（2022春•润州区期末）已知△ABC中，∠ABC＝90°，BD是AC边上的高，AE平分∠BAC，分别交BC、BD于点E、F．求证：∠BFE＝∠BEF．
【变式1-2】（2022•绥棱县校级期中）（1）如图①，△ABC是锐角三角形，高BD、CE相交于点H，找出∠BHC和∠A之间存在何种等量关系；
（2）如图②，若△ABC是钝角三角形，∠A＞90°，高BD、CE所在的直线相交于点H，把图②补充完整，并指出此时（1）中的等量关系是否仍然成立？
【变式1-3】（2022春•香洲区期末）如图1，线段AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，点E在线段BC上，且AE⊥DE．
（1）求证：∠EAB＝∠CED；
（2）如图2，AF、DF分别平分∠BAE和∠CDE，EH平分∠DEC交CD于点H，EH的反向延长线交AF于点G．
①求证EG⊥AF；
②求∠F的度数．【提示：三角形内角和等于180度】
【知识点2 A字模型】
【条件】△ADE与△ABC.
【结论】∠AED+∠ADE=∠B+C.
【证明】根据三角形内角和可得，∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠B+C=180°-∠A，
∴∠AED+∠ADE=∠B+C，得证.
【题型2 A字模型】
【例2】（2022•江阴市校级月考）如图是某建筑工地上的人字架．这个人字架夹角∠1＝120°，那么∠3﹣∠2的度数为 ．
【变式2-1】（2022春•道里区期末）如图，△ABC中∠A＝115°，若图中沿虚线剪去∠A，则∠1+∠2等于（ ）
A．180°B．230°C．290°D．295°
【变式2-2】（2022武功县期末）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，连接DC、DE，在CD上取一点F，连接EF，若∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：DE∥BC．
【变式2-3】（2022春•新野县期末）旧知新意：
我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
尝试探究：
（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？
初步应用：
（2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CDE，得到四边形ABDE，∠1＝130°，则∠2﹣∠C＝ 50° ；
（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案 ．
拓展提升：
（4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，∠P与∠A、∠D有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由．）
【知识点3 8字模型】
【条件】AD、BC相交于点O.
【结论】∠A+∠B=∠C+∠D.(上面两角之和等于下面两角之和)
【证明】在△ABO中，由内角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°，在△CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°，
∴∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，由对顶角相等：∠BOA=∠COD
∴∠A+∠B=∠C+∠D，得证.
【题型3 8字模型】
【例3】（2022春•叙州区期末）如图，BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，若∠A＝45°，∠P＝40°，则∠C的度数为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
【变式3-1】（2022春•靖江市校级月考）已知，如图，线段AD、CB相交于点O，连结AB、CD，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P．试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系，请说明理由．
【变式3-2】（2022春•新野县期末）在学习并掌握了平行线的性质和判定内容后，数学老师安排了自主探究内容一利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于180°．小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．请将下面（1）中的证明补充完整
（1）已知：如图1，三角形ABC，求证：∠BAC+∠B+∠C＝180°，证明：过点A作EF∥BC．
（2）如图2，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图2这样的图形称之为“8字形”．请利用小颖探究的结论直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： ；
（3）在图2的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，得到图3，请判断∠P与∠D、∠B之间存在的数量关系，并说明理由．
【变式3-3】（2022春•石家庄期中）如图1至图2，在△ABC中，∠BAC＝α°，点D在边AC所在直线上，作DE垂直于直线BC，垂足为点E；BM为△ABC的角平分线，∠ADE的平分线交直线BC于点G．
特例感悟：
（1）如图1，延长AB交DG于点F，若BM∥DG，∠F＝30°．
解决问题：
①∠ABC＝ °；
②求证：AC⊥AB；
深入探究；
（2）如图2，当α＜90，DG与BM反向延长线交于点H，用含α的代数式表示∠BHD＝ ；
拓展延伸：
（3）当点D在直线AC上移动时，若射线DG与射线BM相交，设交点为N，直接写出∠BND与α的关系式．
【知识点4 飞镖模型】
【条件】四边形ABDC如上左图所示.
【结论】∠D=∠A+∠B+∠C.(凹四边形凹外角等于三个内角和)
【证明】如上右图，连接AD并延长到E，则：
∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C.本质为两个三角形外角和定理证明.
【题型4 飞镖模型】
【例4】（2022春•三明期末）探究与思考：
（1）如图①，∠BPC是△ABP的一个外角，则有结论：∠BPC＝∠A+∠B成立．若点P沿着线段PB向点B运动（不与点B重合），连接PC形成图形②，我们称之为“飞镖”图形，那么请你猜想“飞镖”图形中∠BPC与∠A、∠B、∠C之间存在的数量关系？并证明你的猜想；
（2）利用（1）的结论，请你求出五角星（如图③）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的值，说明你的理由；
（3）若五角星中的点B向右运动，形成如图④⑤形状，（2）中的结论还成立吗？请从图④⑤中任选一个图形说明理由．
【变式4-1】（2022春•井研县期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝α．
（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α＝60°，则∠1+∠2＝ ；
（2）若点P在线段AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为 ；
（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由；
（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．
【变式4-2】（2022春•深圳校级期中）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系
（1）已知AB平行于CD，如a图，当点P在AB、CD外部时，∠BPD+∠D＝∠B即∠BPD＝∠B﹣∠D，为什么？请说明理由．如b图，将点P移动到AB、CD内部，以上结论是否仍然成立？若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请说明结论；
（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）
（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
【变式4-3】（2022•吉州区期末）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝ °；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数；
③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC＝133°，∠BG1C＝70°，求∠A的度数．
【知识点5 风筝模型】
【条件】四边形ABPC，分别延长AB、AC于点D、E，如上左图所示.
【结论】∠PBD+∠PCE=∠A+∠P.
【证明】如上右图，连接AP，则：∠PBD=∠PAB+∠APB，∠PCE=∠PAC+∠APC，
∴∠PBD+∠PCE=∠PAB+∠APB+∠PAC+∠APC=∠BAC+∠BPC，得证.
【题型5 风筝模型】
【例5】（2022春•南通期末）如图所示，把一个三角形纸片ABC的三个顶角向内折叠之后（3个顶点不重合），图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝ °．
【变式5-1】（2022春•铜山区期中）（1）如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，请直接写出∠1+2与∠A的关系： ．
（2）如图2，把△ABC分别沿DE、FG折叠，使点A落在点A′处，使点B落在点B′处，若∠1+∠2+∠3+∠4＝220°，则∠C＝ °
（3）如图3，在锐角△ABC中，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，BM、CN交于点H，把△ABC沿DE折叠使点A和点H重合，则∠BHC与∠1+∠2的关系是 ．
A．∠BHC＝180°−12（∠1+∠2）
B．∠BHC＝∠1+∠2
C．∠BHC＝90°+12（∠1+∠2）
D．∠BHC＝90°+∠1﹣∠2
（4）如图4，BH平分∠ABC，CH平分∠ACB，把△ABC沿DE折叠，使点A与点H重合，若∠1+∠2＝100°，求∠BHC的度数．
【变式5-2】（2022春•常州期中）已知△ABC是一张三角形的纸片．
（1）如图①，沿DE折叠，使点A落在边AC上点A′的位置，∠DA′E与∠1的之间存在怎样的数量关系？为什么？
（2）如图②所示，沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的内部点A′的位置，∠A、∠1与∠2之间存在怎样的数量关系？为什么？
（3）如图③，沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A′的位置，∠A、∠1与∠2之间存在怎样的数量关系？为什么？
【变式5-3】（2022春•姜堰市期中）△ABC，直线DE交AB于D，交AC于E，将△ADE沿DE折叠，使A落在同一平面上的A′处，∠A的两边与BD、CE的夹角分别记为∠1，∠2
如图①，当A落在四边形BDEC内部时，探索∠A与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由．
如图②，当A′落在BC下方时，请直接写出∠A与∠1+∠2之间的数量关系．
如图③，当A′落在AC右侧时，探索∠A与∠1，∠2之间的数量关系，并说明理由．
【知识点6 两内角角平分线模型】
【条件】△ABC中，BI、CI分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且相交于点I.
【结论】
【证明】∵BI是∠ABC平分线，∴∵CI是∠ACB平分线，∴
由A→B→I→C→A的飞镖模型可知：
∠I=∠A+∠2+∠3=∠A++=∠A+=.
【题型6 两内角角平分线模型】
【例6】（2022春•靖江市校级月考）如图，△ABC中，∠BAC＝50°，∠ABC的角平分线与∠ACB的角平分线交于点O．则∠BOC＝ ．
【变式6-1】（2022春•昌平区校级期中）如图，BD，CE，AF分别是△ABC的角平分线，且相交于点O，OH⊥BC于H，试问∠1＝∠2？请说明理由．
【变式6-2】（2022春•秀英区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BD，CE相交于点O．
（1）若∠A＝60°，求∠BOC的度数；
（2）求证：∠BOC＝90°+12∠A．
【变式6-3】（2022春•海淀区校级期中）已知AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点E、F，点G为落在直线AB和直线CD之间的一个动点．
（1）如图1，点G恰为∠BEF和∠DFE的角平分线的交点，则∠EGF＝ ；
（2）若点G恰为∠BEF和∠DFE的三等分线的交点，有如下结论：①∠EGF一定为钝角；②∠EGF可能为60°；③若∠EGF为直角，则EF⊥CD．其中正确结论的序号为 ．
（3）进一步探索，若EF⊥CD，且点G不在线段EF上，记∠AEG＝α，∠CFG＝β，EM为∠AEG最接近EG的n等分线，FN是∠CFG最接近CF的n等分线（其中n≥2）．直线EM、FN交于点Pn，是否存在某一正整数n，使得∠EPnF＝90°？说明理由．
【知识点7 两外角角平分线模型】
【条件】△ABC中，BI、CI分别是△ABC的外角的角平分线，且相交于点O.
【结论】.
【证明】∵BO是∠EBC平分线，∴，∵CO是∠FCB平分线，∴
由△BCO中内角和定理可知：∠O=180°-∠2 -∠5 =180°--=180°--===
【题型7 两外角角平分线模型】
【例7】（2022•平湖市模拟）如图，在△ABC中，∠B，∠C的外角平分线相交于点O，若∠A＝74°，则∠O＝ 度．
【变式7-1】（2022春•新北区校级期中）（1）如图①，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∠A＝40°，求∠BOC的度数；
（2）如图②，△A′B′C′的外角平分线相交于点O′，∠A′＝40°，求∠B′O′C′的度数；
（3）上面（1）、（2）两题中的∠BOC与∠B′O′C′有怎样的数量关系若∠A＝∠A′＝n°，∠BOC与∠B′O′C′是否还具有这样的关系？这个结论你是怎样得到的？
【变式7-2】（2022春•江夏区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，延长BA至E，连接CE交AD于F，∠EAD和∠ECD的角平分线相交于点P．若∠E＝60°，∠APC＝70°，则∠D的度数是（ ）
A．80°B．75°C．70°D．60°
【变式7-3】（2022春•丰县月考）如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝β．
（1）如图1，若α+β＝105°，求∠MBC+∠NDC的度数；
（2）如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD＝45°，请直接写出α，β所满足的数量关系式；
（3）如图2，若α＝β，判断BE，DF的位置关系，并说明理由．
【知识点8 内外角角平分线模型】
【条件】△ABC中，BP、CP分别是△ABC的内角和外角的角平分线，且相交于点P.
【结论】
【证明】 ∵BP是∠ABC平分线，∴ ∵CP是∠ACE平分线，∴
由△ABC外角定理可知：∠ACE=∠ABC+∠A即：2∠1=2∠3+∠A ……①
对①式两边同时除以2，得：∠1=∠3+ ……②又在△BPC中由外角定理可知：∠1=∠3+∠P ……③
比较②③式子可知：.==.
【题型8 内外角角平分线模型】
【例8】（2022春•榕城区期末）如图，∠AOB＝60°，点M、N分别在OA、OB上运动（不与点O重合），ME平分∠AMN，ME的反向延长线与∠MNO的平分线交于点F，在M、N的运动过程中，∠F的度数（ ）
A．变大B．变小C．等于45°D．等于30°
【变式8-1】（2022春•海陵区校级期末）△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作∠ODC＝∠AOC，交边BC于点D．
（1）如图1，求∠BOD的度数；
（2）如图2，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F．
①求证：BE∥OD；
②若∠F＝50°，求∠BAC的度数；
③若∠F＝∠ABC＝50°，将△BOD绕点O顺时针旋转一定角度α（00＜α＜3600）后得△B'O′D′，B′D′所在直线与FC平行，请直接写出所有符合条件的旋转角度α的值．
【变式8-2】（2022•平湖市模拟）如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1＝ ；∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…；∠A2010BC的平分线与∠A2010CD的平分线交于点A2011，得∠A2011，则∠A2011＝ ．
【变式8-3】（2022春•东海县期中）在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验
【结论发现】小明在处理教材第43页第21题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半．
【结论探究】（1）如图1，在△ABC中，点E是△ABC内角∠ACB平分线CE与外角∠ABD的平分线BE的交点，则有∠E=12∠A请补齐下方的说理过程．
理由如下：因为∠EBC+∠EBD＝180°，
又因为在△EBC中，∠EBC+∠E+∠ECB＝180°，
所以∠EBC+∠EBD＝∠EBC+∠E+∠ECB．
所以∠EBD＝∠E+∠ （理由是：等式性质）
同理可得∠ABD＝∠A+∠ ．
又因为BE和CE分别是∠ABD和∠ACB的角平分线，
所以∠EBD=12∠ABD，∠ =12∠ACB．
所以12∠ABD＝∠E+12∠ACB
即∠E=12∠ABD−12∠ACB=12（∠ABD﹣∠ACB）
所以∠E=12∠A．
请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题：
【简单应用】（2）如图2，在△ABC中，∠ABC＝40°．延长BA至G，延长AC至H，已知∠BAC、∠CAG的角平分线与∠BCH的角平分线及其反向延长线交于E、F，求∠F的度数；
【变式拓展】（3）如图3，四边形ABCD的内角∠BCD与外角∠ABG的平分线形成如图所示形状．
①已知∠A＝150°，∠D＝80°，求∠E+∠F的度数；
②直接写出∠E+∠F与∠A+∠D的关系．
专题9.6 角度计算中的经典模型【八大题型】
【华东师大版】
TOC \ "1-2" \h \u
\l "_Tc22594" 【题型1 双垂直模型】 PAGEREF _Tc22594 \h 1
\l "_Tc12658" 【题型2 A字模型】 PAGEREF _Tc12658 \h 7
\l "_Tc23317" 【题型3 8字模型】 PAGEREF _Tc23317 \h 10
\l "_Tc27779" 【题型4 飞镖模型】 PAGEREF _Tc27779 \h 16
\l "_Tc17250" 【题型5 风筝模型】 PAGEREF _Tc17250 \h 23
\l "_Tc15037" 【题型6 两内角角平分线模型】 PAGEREF _Tc15037 \h 29
\l "_Tc18553" 【题型7 两外角角平分线模型】 PAGEREF _Tc18553 \h 35
\l "_Tc19661" 【题型8 内外角角平分线模型】 PAGEREF _Tc19661 \h 39
【知识点1 双垂直模型】
【条件】∠B=∠D=∠ACE=90°.
【结论】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.
【证明】∵∠B=∠D=∠ACE=90°；∴∠BAC+∠ACB=90°；又∠ECD+∠ACB=90°；∴∠BAC=∠DCE
同理,∠ACB+∠DCE =90°，且∠CED+∠DCE =90°；∴∠ACB=∠CED，得证.
【题型1 双垂直模型】
【例1】（2022春•建邺区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B．
（1）求证：CD⊥AB
证明：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°（已知）
∴∠A+∠B＝90°（ 直角三角形两锐角互余 ）
又∵∠ACD＝∠B（已知）
∴∠A+∠ACD＝90°（等量代换）
∴∠ADC＝90° （ 三角形内角和定理 ）
∴CD⊥AB．
（2）如图②，若∠BAC的平分线分别交BC，CD于点E，F，求证：∠AEC＝∠CFE；
（3）如图③，若E为BC上一点，AE交CD于点F，BC＝3CE，AB＝4AD，S△ABC＝36．
①求S△CEF﹣S△ADF的值；
②四边形BDFE的面积是 21 ．
【分析】（1）根据直角三角形的性质、三角形内角和定理解答即可；
（2）根据角平分线的定义得到∠CAE＝∠BAE，根据三角形的外角性质计算，证明结论；
（3）①根据三角形的面积公式分别求出S△ACD、S△ACE，结合图形计算即可；
②连接BF，设S△ADF＝x，根据三角形的面积公式列出方程，求出x，把x代入计算得到答案．
【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°（已知）
∴∠A+∠B＝90°（直角三角形两锐角互余）
又∵∠ACD＝∠B（已知）
∴∠A+∠ACD＝90°（等量代换）
∴∠ADC＝90° （三角形内角和定理），∴CD⊥AB．
故答案为：直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理；
（2）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAE，
∵∠AEC＝∠BAE+∠B，∠CFE＝∠ACD+∠CAE，
∴∠AEC＝∠CFE；
（3）解：①∵BC＝3CE，AB＝4AD，S△ABC＝36，
∴S△ACD=14S△ABC＝9，S△ACE=13S△ABC＝12，
∴S△CEF﹣S△ADF＝S△ACE﹣S△ACD＝12﹣9＝3；
②连接BF，
设S△ADF＝x，则S△CFE＝3+x，
∵AB＝4AD，
∴S△BDF＝3x，
∵BC＝3CE，
∴S△BEF＝2（x+3）＝2x+6，
∴x+3+2x+6+3x=34×36，
解得，x＝3，
∴四边形BDFE的面积＝3x+2x+6＝21，
故答案为：21．
【变式1-1】（2022春•润州区期末）已知△ABC中，∠ABC＝90°，BD是AC边上的高，AE平分∠BAC，分别交BC、BD于点E、F．求证：∠BFE＝∠BEF．
【分析】根据角平分线的定义可得∠BAE＝∠CAE，再根据等角的余角相等求出∠BEF＝∠AFD，然后根据对顶角相等可得∠BFE＝∠AFD，等量代换即可得解．
【解答】证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵BD⊥AC，∠ABC＝90°，
∴∠BAE+∠BEF＝∠CAE+∠AFD＝90°，
∴∠BEF＝∠AFD，
∵∠BFE＝∠AFD（对顶角相等），
∴∠BEF＝∠BFE
【变式1-2】（2022•绥棱县校级期中）（1）如图①，△ABC是锐角三角形，高BD、CE相交于点H，找出∠BHC和∠A之间存在何种等量关系；
（2）如图②，若△ABC是钝角三角形，∠A＞90°，高BD、CE所在的直线相交于点H，把图②补充完整，并指出此时（1）中的等量关系是否仍然成立？
【分析】（1）根据对顶角的性质，可得∠BHC与∠EHD的关系，根据四边形的内角和定理，可得答案；
（2）根据对顶角的性质，可得∠BHC与∠EHD的关系，根据四边形的内角和定理，可得答案．
【解答】解：（1）由∠BHC与∠EHD是对顶角，得
∠BHC＝∠EHD．
由高BD、CE相交于点H，得
∠ADH＝∠AEH＝90°．
由四边形内角和定理，得
∠A+∠AEH+∠EHD+∠HDA＝360°，
∠A+∠EHD＝360°﹣∠AEH﹣∠HDA＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∴∠BHC+∠A＝180°；
（2）如图，由∠BHC与∠EHD是对顶角，得
∠BHC＝∠EHD．
由高BD、CE相交于点H，得
∠ADH＝∠AEH＝90°．
由四边形内角和定理，得
∠H+∠AEH+∠EHD+∠HDA＝360°，
∠H+∠DAE＝360°﹣∠AEH﹣∠HDA＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∴∠BHC+∠BAC＝180°．
【变式1-3】（2022春•香洲区期末）如图1，线段AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，点E在线段BC上，且AE⊥DE．
（1）求证：∠EAB＝∠CED；
（2）如图2，AF、DF分别平分∠BAE和∠CDE，EH平分∠DEC交CD于点H，EH的反向延长线交AF于点G．
①求证EG⊥AF；
②求∠F的度数．【提示：三角形内角和等于180度】
【分析】（1）利用同角的余角相等即可证明；
（2）①想办法证明∠EAG+∠AEG＝90°即可解决问题；
②利用∠DFA＝∠DFM+∠AFM=12∠CDE+12∠EAB=12（∠CDE+∠EAB）即可解决问题；
【解答】解：（1）∵AB⊥BC，
∴∠EAB+∠AEB＝90°，
∵AE⊥ED，
∴∠CED+∠AEB＝90°，
∴∠EAB＝∠CED．
（2）①∵AF平分∠BAE，
∴∠EAG=12∠EAB，
∵EH平分∠CED，
∴∠HED=12∠CED，
∵∠EAB＝∠CED，
∴∠HED＝∠EAG，
∴∠HED+∠AEG＝90°，
∴∠EAG+∠AEG＝90°，
∴∠EGA＝90°，∴EG⊥AF．
②作FM∥CD．
∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴AB∥CD，∴FM∥AB，
∴∠DFM＝∠CDF=12∠CDE，∠AFM＝∠FAB=12∠EAB，
∵∠CDE+∠CED＝90°，
∴∠CDE+∠EAB＝90°，
∴∠DFA＝∠DFM+∠AFM=12∠CDE+12∠EAB=12（∠CDE+∠EAB）＝45°．
【知识点2 A字模型】
【条件】△ADE与△ABC.
【结论】∠AED+∠ADE=∠B+C.
【证明】根据三角形内角和可得，∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠B+C=180°-∠A，
∴∠AED+∠ADE=∠B+C，得证.
【题型2 A字模型】
【例2】（2022•江阴市校级月考）如图是某建筑工地上的人字架．这个人字架夹角∠1＝120°，那么∠3﹣∠2的度数为 60° ．
【分析】根据平角的定义求出∠4，再利用三角形的外角的性质即可解决问题；
【解答】解：如图
∵∠1+∠4＝180°，∠1＝120°，
∴∠4＝60°，
∵∠3＝∠2+∠4，
∴∠3﹣∠2＝∠4＝60°，
故答案为60°．
【变式2-1】（2022春•道里区期末）如图，△ABC中∠A＝115°，若图中沿虚线剪去∠A，则∠1+∠2等于（ ）
A．180°B．230°C．290°D．295°
【分析】根据题意由三角形内角和可得出∠B+∠C＝65°，再根据四边形的内角和可求出∠1+∠2．
【解答】解：∵∠A＝115°，
∴∠B+∠C＝65°，
∵∠1+∠2+∠B+∠C＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣65°＝295°．
故选：D．
【变式2-2】（2022武功县期末）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，连接DC、DE，在CD上取一点F，连接EF，若∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：DE∥BC．
【分析】先利用平行线的判定定理判定AB∥EF，利用平行线的性质定理得到∠3＝∠ADE，利用等量代换得到∠B＝∠ADE，最后利用同位角相等，两直线平行判定即可．
【解答】证明：∵∠1+∠DFE＝180°，∠1+∠2＝180°，
∴∠2＝∠DFE．
∴AB∥EF．
∴∠3＝∠ADE．
∵∠3＝∠B，
∴∠B＝∠ADE．
∴DE∥BC．
故答案为：240°．
【变式2-3】（2022春•新野县期末）旧知新意：
我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
尝试探究：
（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？
初步应用：
（2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CDE，得到四边形ABDE，∠1＝130°，则∠2﹣∠C＝ 50° ；
（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案 ∠P＝90°−12∠A ．
拓展提升：
（4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，∠P与∠A、∠D有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由．）
【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠DBC+∠ECB，再利用三角形内角和定理整理即可得解；
（2）根据（1）的结论整理计算即可得解；
（3）表示出∠DBC+∠ECB，再根据角平分线的定义求出∠PBC+∠PCB，然后利用三角形内角和定理列式整理即可得解；
（4）延长BA、CD相交于点Q，先用∠Q表示出∠P，再用（1）的结论整理即可得解．
【解答】解：（1）∠DBC+∠ECB
＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB
＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝360°﹣（180°﹣∠A）
＝180°+∠A；
（2）∵∠1+∠2＝∠180°+∠C，
∴130°+∠2＝180°+∠C，
∴∠2﹣∠C＝50°；
（3）∠DBC+∠ECB＝180°+∠A，
∵BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，
∴∠PBC+∠PCB=12（∠DBC+∠ECB）=12（180°+∠A），
在△PBC中，∠P＝180°−12（180°+∠A）＝90°−12∠A；
即∠P＝90°−12∠A；
故答案为：50°，∠P＝90°−12∠A；
（4）延长BA、CD于Q，
则∠P＝90°−12∠Q，
∴∠Q＝180°﹣2∠P，
∴∠BAD+∠CDA＝180°+∠Q，
＝180°+180°﹣2∠P，
＝360°﹣2∠P．
【知识点3 8字模型】
【条件】AD、BC相交于点O.
【结论】∠A+∠B=∠C+∠D.(上面两角之和等于下面两角之和)
【证明】在△ABO中，由内角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°，在△CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°，
∴∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，由对顶角相等：∠BOA=∠COD
∴∠A+∠B=∠C+∠D，得证.
【题型3 8字模型】
【例3】（2022春•叙州区期末）如图，BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，若∠A＝45°，∠P＝40°，则∠C的度数为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
【分析】根据三角形内角和定理，得∠A+∠ADG＝∠C+∠GBC，∠A+∠ADE＝∠P+∠PBE．根据角平分线的定义，得到∠GBC＝2∠PBE，∠ADG＝2∠ADE，进而推断出∠A+∠C＝2∠P，从而解决此题．
【解答】解：∵∠A+∠ADG+∠AGD＝180°，∠ABC+∠C+∠BGC＝180°，
∴∠A+∠ADG+∠AGD＝∠ABC+∠C+∠BGC．
又∵∠AGD＝∠BGC，
∴∠A+∠ADG＝∠C+∠GBC．
∴∠A﹣∠C＝∠GBC﹣∠ADG．
同理可得，∠A+∠ADE＝∠P+∠PBE．
∴∠A﹣∠P＝∠PBE﹣∠ADE．
∵BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，
∴∠GBC＝2∠PBE，∠ADG＝2∠ADE．
∴∠A﹣∠C＝2（∠A﹣∠P）．
∴∠A+∠C＝2∠P．
又∵∠A＝45°，∠P＝40°，
∴∠C＝35°．
故选：B．
【变式3-1】（2022春•靖江市校级月考）已知，如图，线段AD、CB相交于点O，连结AB、CD，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P．试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系，请说明理由．
【分析】根据“8字形”可得∠OAB+∠B＝∠OCD+∠D，∠1+∠P＝∠2+∠D，由角平分线的定义可得∠OAB＝2∠1，∠OCD＝2∠2，整理可得结论．
【解答】解：2∠P＝∠B+∠D，理由如下：
如图，
在△AOB和△COD中，
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠OAB+∠B＝∠OCD+∠D，
在△AEP和△CED中，
∵∠AEP＝∠CED，
∴∠1+∠P＝∠2+∠D，
∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线，
∴∠OAB＝2∠1，∠OCD＝2∠2，
∴2∠P﹣∠B＝2∠D﹣∠D，
整理得，2∠P＝∠B+∠D．
【变式3-2】（2022春•新野县期末）在学习并掌握了平行线的性质和判定内容后，数学老师安排了自主探究内容一利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于180°．小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．请将下面（1）中的证明补充完整
（1）已知：如图1，三角形ABC，求证：∠BAC+∠B+∠C＝180°，证明：过点A作EF∥BC．
（2）如图2，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图2这样的图形称之为“8字形”．请利用小颖探究的结论直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： ∠A+∠D＝∠C+∠B ；
（3）在图2的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，得到图3，请判断∠P与∠D、∠B之间存在的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）通过作平行线把三角形的内角转移到同一个顶点，然后利用平角的定义解决问题；
（2）利用（1）的结论即可求解；
（3）利用（2）的结论即可求解．
【解答】（1）证明：过A作EF∥BC，
∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，
又∠EAB+∠BAC+∠FAC＝180°，
∴∠B+∠C+∠BAC＝180°；
（2）解：根据（1）得∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠COB＝180°，
又∠AOD＝∠BOC，
∴∠A+∠D＝∠C+∠B；
故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；
（3）解：2∠P＝∠D+∠B．
根据（2）∠D+∠DAP＝∠P+∠DCP①，∠PAB+∠P＝∠B+∠PCB②，
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，
∴①﹣②得：∠D﹣∠P＝∠P﹣∠B，
∴2∠P＝∠D+∠B．
【变式3-3】（2022春•石家庄期中）如图1至图2，在△ABC中，∠BAC＝α°，点D在边AC所在直线上，作DE垂直于直线BC，垂足为点E；BM为△ABC的角平分线，∠ADE的平分线交直线BC于点G．
特例感悟：
（1）如图1，延长AB交DG于点F，若BM∥DG，∠F＝30°．
解决问题：
①∠ABC＝ 60 °；
②求证：AC⊥AB；
深入探究；
（2）如图2，当α＜90，DG与BM反向延长线交于点H，用含α的代数式表示∠BHD＝ 45°−12α ；
拓展延伸：
（3）当点D在直线AC上移动时，若射线DG与射线BM相交，设交点为N，直接写出∠BND与α的关系式．
【分析】（1）①根据平行线的性质和角平分线的定义可得答案；②根据平行线的性质得∠DGC＝∠CBM＝30°，再根据垂直的定义和角平分线的定义可得结论；
（2）由八字模型可得，△BHG和△DEG中，∠BHD＝∠EDG+90°﹣∠HBG，再整理可得答案；
（3）分情况讨论，分别画出对应图形，再整理即可．
【解答】解：（1）①∵BM∥DG，
∴∠ABM＝∠F＝30°，
∵BM为△ABC的角平分线，
∴∠ABC＝2∠ABM＝60°，
故答案为：60°；
②证明：由①得，∠CBM＝∠ABM＝30°，
∵BM∥DG，
∴∠DGC＝∠CBM＝30°，
∵DE⊥BC，
∴∠EDG＝60°，
∵DG平分∠ADE，
∴∠ADF＝60°，
∴∠A＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴AC⊥AB；
（2）由八字模型可得，△BHG和△DEG中，
∠BHD＝∠EDG+90°﹣∠HBG=12∠ADE+90°﹣（180°−12∠ABC）=12（∠ADE+∠ABC）﹣90°＝45°−12α．
故答案为：45°−12α；
（3）①如图，
由八字模型可得，△ABM和△NMD中，
∠BND＝∠ABN+∠A﹣∠MDN=12∠ABC+α−12（90°﹣∠ACB）=12（∠ABC+∠ACB）+α﹣45°＝45°+12α；
②如图，
由四边形的内角和得，
∠BND＝360°﹣90°−12∠ABC−12∠ADE＝270°−12（270°﹣α）＝135°+12α；
③如图，
由八字模型可得，∠BND+∠ABM＝∠ADG+∠DAB，
∴∠BND=12∠ADE+（180°﹣α）−12∠ABC=12（90°﹣∠ACB）+（180°﹣α）−12∠ABC＝135°−12α；
综上，∠BND＝45°+12α或135°±12α．
【知识点4 飞镖模型】
【条件】四边形ABDC如上左图所示.
【结论】∠D=∠A+∠B+∠C.(凹四边形凹外角等于三个内角和)
【证明】如上右图，连接AD并延长到E，则：
∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C.本质为两个三角形外角和定理证明.
【题型4 飞镖模型】
【例4】（2022春•三明期末）探究与思考：
（1）如图①，∠BPC是△ABP的一个外角，则有结论：∠BPC＝∠A+∠B成立．若点P沿着线段PB向点B运动（不与点B重合），连接PC形成图形②，我们称之为“飞镖”图形，那么请你猜想“飞镖”图形中∠BPC与∠A、∠B、∠C之间存在的数量关系？并证明你的猜想；
（2）利用（1）的结论，请你求出五角星（如图③）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的值，说明你的理由；
（3）若五角星中的点B向右运动，形成如图④⑤形状，（2）中的结论还成立吗？请从图④⑤中任选一个图形说明理由．
【分析】（1）连接AP并延长至F，将“飞镖”图形转化为两个三角形，再根据三角形的外角的性质进行解答；
（2）两次运用三角形外角的性质得到∠C+∠E＝∠1，∠B+∠D＝∠2，相加即可得到∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°；
（3）根据三角形外角的性质可知，在△ACG中，∠AGE＝∠A+∠C，在△BDF中，∠DFE＝∠DBF+∠D，所以，∠A+∠C+∠DBF+∠D+∠E＝180°．
【解答】解：（1）如图②，∠BPC＝∠A+∠B+∠C，
连接AP并延长至F，
则有∠B+∠BAP＝∠BPF，∠C+∠CAP＝∠CPF，
所以∠B+∠C+∠CAP+∠BAP＝∠BPF+∠CPF＝∠BPC，
即∠B+∠C+∠A＝∠BPC，
（2）如图③，∠C+∠E＝∠1，∠B+∠D＝∠2，
则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠A+∠1+∠2＝180°．
（3）如图④，在△ACG中，∠AGE＝∠A+∠C，
在△BDF中，∠DFE＝∠DBF+∠D，
所以，∠A+∠C+∠DBF+∠D+∠E＝∠AGE+∠DFE+∠E＝180°．
【变式4-1】（2022春•井研县期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝α．
（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α＝60°，则∠1+∠2＝ 150° ；
（2）若点P在线段AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为 90°+α ；
（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由；
（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．
【分析】（1）由平角的定义得出，∠CDP＝180﹣∠1，∠CEP＝180﹣∠2，最后用四边形CDPE的内角和是360°即可求得∠1+∠2．
（2）同（1）的方法．
（3）利用三角形的外角的性质即可得出结论．
（4）利用外角的性质和对顶角相等即可得出结论．
【解答】解：（1）由平角的定义知，
∠1+∠CDP＝180°，∠2+∠CEP＝180°，
在四边形CDPE中，∠CDP+∠α+∠PEC+∠C＝360°，
即（180°﹣∠1）+∠α+（180°﹣∠2）+∠C＝360°，
180°﹣∠1+∠α+180°﹣∠2+90°＝360°，
∴∠1+∠2＝90°+α．
当α＝60°时，∠1+∠2＝150°．
故答案为：150°．
（2）由（1）知，∠1+∠2＝90°+α．
故答案为：90°+α．
（3）∠1＝90°+∠2+∠α．理由如下：
由三角形的外角的性质知，
∠DMC＝∠2+∠α，
∠1＝∠C+∠DMC，
∴∠1＝∠C+（∠2+∠α），
即∠1＝90°+∠2+∠α．
（4）∠2＝90°+∠1﹣∠α．理由如下：
由三角形的外角的性质知，
∠2＝∠CFE+∠C，
∠1＝∠PFD+∠α，
∵∠CFE＝∠PFD，
∴∠2﹣∠C＝∠1﹣∠α，
∴∠2＝∠C+∠1﹣∠α，
即∠2＝90°+∠1﹣∠α．
【变式4-2】（2022春•深圳校级期中）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系
（1）已知AB平行于CD，如a图，当点P在AB、CD外部时，∠BPD+∠D＝∠B即∠BPD＝∠B﹣∠D，为什么？请说明理由．如b图，将点P移动到AB、CD内部，以上结论是否仍然成立？若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请说明结论；
（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）
（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
【分析】（1）①利用平行线的性质和三角形的外角即可；②利用平行线的特点作出平行线，再利用平行线的性质即可；
（2）利用三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和即可；
（3）利用三角形的外角的性质把角转化到四边形CDHM中，用四边形的内角和即可．
【解答】解：（1）①∵AB∥CD，
∴∠B＝∠COP，
∵∠COP＝∠BPD+∠D，
∴∠B＝∠BPD+∠D，
即：∠BPD＝∠B﹣∠D，
②不成立，
结论：∠BPD＝∠B+∠D，
理由：如图b，
过点P作PG∥AB，
∴∠B＝∠BPG，
∵PG∥AB，CD∥AB，
∴PG∥CD，
∴∠DPG＝∠D，
∴∠BPD＝∠BPG+∠DPG＝∠B+∠D；
（2）结论：∠DPQ＝∠B+∠BQD+∠D，
理由：如图c，
连接QP并延长，
∵∠BP∠G是△BPQ的外角，
∴∠BPG＝∠B+∠BQP，
同理：∠DPG＝∠D+∠DQP，
∴∠BPD＝∠BPG+∠DPG＝∠B+∠BQP+∠DQP+∠D＝∠B+∠BQD+∠D；
（3）如图d，
∵∠DHM是△BFH的外角，
∴∠DHM＝∠B+∠F，
同理：∠CMH＝∠A+∠E，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠DHM+∠CMH+∠C+∠D＝360°．
【变式4-3】（2022•吉州区期末）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝ 50 °；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数；
③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC＝133°，∠BG1C＝70°，求∠A的度数．
【分析】（1）首先连接AD并延长至点F，然后根据外角的性质，即可判断出∠BDC＝∠A+∠B+∠C．
（2）①由（1）可得∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，然后根据∠A＝40°，∠BXC＝90°，求出∠ABX+∠ACX的值是多少即可．
②由（1）可得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，再根据∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求出∠ADB+∠AEB的值是多少；然后根据∠DCE=12（∠ADB+∠AEB）+∠DAE，求出∠DCE的度数是多少即可．
③根据∠BG1C=110（∠ABD+∠ACD）+∠A，∠BG1C＝70°，设∠A为x°，可得∠ABD+∠ACD＝133°﹣x°，解方程，求出x的值，即可判断出∠A的度数是多少．
【解答】解：（1）如图（1），连接AD并延长至点F，
，
根据外角的性质，可得
∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD，
又∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∠BAC＝∠BAD+∠CAD，
∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C；
（2）①由（1），可得
∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，
∵∠A＝40°，∠BXC＝90°，
∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣40°＝50°，
故答案为：50．
②由（1），可得
∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，
∴∠ADB+∠AEB＝∠DBE﹣∠DAE＝130°﹣40°＝90°，
∴12（∠ADB+∠AEB）＝90°÷2＝45°，
∴∠DCE=12（∠ADB+∠AEB）+∠DAE
＝45°+40°
＝85°；
③∠BG1C=110（∠ABD+∠ACD）+∠A，
∵∠BG1C＝70°，
∴设∠A为x°，
∵∠ABD+∠ACD＝133°﹣x°
∴110（133﹣x）+x＝70，
∴13.3−110x+x＝70，
解得x＝63，
即∠A的度数为63°．
【知识点5 风筝模型】
【条件】四边形ABPC，分别延长AB、AC于点D、E，如上左图所示.
【结论】∠PBD+∠PCE=∠A+∠P.
【证明】如上右图，连接AP，则：∠PBD=∠PAB+∠APB，∠PCE=∠PAC+∠APC，
∴∠PBD+∠PCE=∠PAB+∠APB+∠PAC+∠APC=∠BAC+∠BPC，得证.
【题型5 风筝模型】
【例5】（2022春•南通期末）如图所示，把一个三角形纸片ABC的三个顶角向内折叠之后（3个顶点不重合），图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝ 360 °．
【分析】由折叠可知∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6等于六边形的内角和减去（∠B'FG+∠B'GF）以及（∠C'HI+∠C'IH）和（∠A'DE+∠A'ED），再利用三角形的内角和定理即可求解．
【解答】解：由题意知，
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝720°﹣（∠B'FG+∠B'GF）﹣（∠C'HI+∠C'IH）﹣（∠A'DE+∠A'ED）＝720°﹣（180°﹣∠B'）﹣（180°﹣C'）＝（180°﹣A'）＝180°+（∠B'+∠C'+∠A'）
又∵∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，∠A＝∠A'，
∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°．
故答案为：360．
【变式5-1】（2022春•铜山区期中）（1）如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，请直接写出∠1+2与∠A的关系： ∠1+∠2＝2∠A ．
（2）如图2，把△ABC分别沿DE、FG折叠，使点A落在点A′处，使点B落在点B′处，若∠1+∠2+∠3+∠4＝220°，则∠C＝ 70 °
（3）如图3，在锐角△ABC中，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，BM、CN交于点H，把△ABC沿DE折叠使点A和点H重合，则∠BHC与∠1+∠2的关系是 A ．
A．∠BHC＝180°−12（∠1+∠2）
B．∠BHC＝∠1+∠2
C．∠BHC＝90°+12（∠1+∠2）
D．∠BHC＝90°+∠1﹣∠2
（4）如图4，BH平分∠ABC，CH平分∠ACB，把△ABC沿DE折叠，使点A与点H重合，若∠1+∠2＝100°，求∠BHC的度数．
【分析】（1）根据翻折变换的性质以及三角形内角和定理以及平角的定义求出即可；
（2）根据（1）的结论即可得到结果；
（3）根据翻折变换的性质以及垂线的性质得出，∠AMH+∠ANH＝90°+90°＝180°，进而求出∠A=12（∠1+∠2），即可得出答案；
（4）根据三角形角平分线的性质得出∠HBC+∠HCB＝90°−12∠A，得出∠BIC的度数即可；
【解答】解：（1）∠1+∠2＝2∠A；
理由如下：由折叠的性质得：∠1+2∠ADE＝180°，∠2+2∠AED＝180°，
∴∠1+2∠ADE+∠2+2∠AED＝360°①，
又∵∠A+∠ADE+∠AED＝180°，
∴2（∠A+∠ADE+∠AED）＝360°②，
由①②得：∠1+∠2＝2∠A；
故答案为：∠1+∠2＝2∠A；
（2）由（1）可得，∠A=12（∠1+∠2），∠B=12（∠3+∠4），
∴∠A+∠B=12（∠1+∠2+∠3+∠4）=12×220＝110，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝70°，
故答案为：70°；
（3）理由：∵BM⊥AC，CN⊥AB，
∴∠AMH+∠ANH＝90°+90°＝180°，∠MHN+∠A＝180°，
∴∠BHC＝∠MHN＝180°﹣∠A，由（1）知∠1+∠2＝2∠A．
∴∠A=12（∠1+∠2）．
∴∠BHC＝180°−12（∠1+∠2）．
故选A；
（4）由（1）得：∠1+∠2＝2∠A，
得2∠A＝100°，
∴∠A＝50°，
∵HB平分∠ABC，HC平分∠ACB，
∴∠HBC+∠HCB=12（∠ABC+∠ACB）
=12（180°﹣∠A）＝90°−12∠A，
∴∠BHC＝180°﹣（∠HBC+∠HCB）
＝180°﹣（90°−12∠A）
＝90°+12∠A＝90°+12×50°
＝115°．
【变式5-2】（2022春•常州期中）已知△ABC是一张三角形的纸片．
（1）如图①，沿DE折叠，使点A落在边AC上点A′的位置，∠DA′E与∠1的之间存在怎样的数量关系？为什么？
（2）如图②所示，沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的内部点A′的位置，∠A、∠1与∠2之间存在怎样的数量关系？为什么？
（3）如图③，沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A′的位置，∠A、∠1与∠2之间存在怎样的数量关系？为什么？
【分析】（1）根据翻折的性质可得∠A＝∠DA′E，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和解答即可；
（2）根据翻折变换的性质用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；
（3）根据翻折的性质可得∠A＝∠DA′E，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理即可得解．
【解答】解：（1）∵点A沿DE折叠落在点A′的位置，
∴∠A＝∠DA′E，
根据三角形外角性质，∠1＝∠A+∠DA′E＝2∠DA′E，
即∠1＝2∠DA′E；
（2）∵点A沿DE折叠落在点A′的位置，
∴∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，
∴∠ADE=12（180°﹣∠1），∠AED=12（180°﹣∠2），
在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED＝180°，
∴∠A+12（180°﹣∠1）+12（180°﹣∠2）＝180°，
整理得，2∠A＝∠1+∠2；
（3）如图③，∵点A沿DE折叠落在点A′的位置，
∴∠A＝∠A′，
根据三角形的外角性质，∠3＝∠2+∠A′，
∠1＝∠A+∠3，
∴∠1＝∠A+∠2+∠A′＝∠2+2∠A，
即∠1＝∠2+2∠A．
【变式5-3】（2022春•姜堰市期中）△ABC，直线DE交AB于D，交AC于E，将△ADE沿DE折叠，使A落在同一平面上的A′处，∠A的两边与BD、CE的夹角分别记为∠1，∠2
如图①，当A落在四边形BDEC内部时，探索∠A与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由．
如图②，当A′落在BC下方时，请直接写出∠A与∠1+∠2之间的数量关系．
如图③，当A′落在AC右侧时，探索∠A与∠1，∠2之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据图①中∠A与∠DA′E是相等的，再结合四边形的内角和及互补角的性质可得结论2∠A＝∠1+∠2；
（2）与（1）的证明过程完全相同；
（3）根据图③中由于折叠∠A与∠A′是相等的，再两次运用三角形外角的性质可得结论2∠A＝∠1﹣∠2．
【解答】解：（1）2∠A＝∠1+∠2．理由如下：
如图①，∵∠A+∠A′+∠AEA′+∠ADA′＝360°，
又∵∠1+∠ADA′+∠2+∠AEA′＝360°，
∴∠A+∠A′＝∠1+∠2，
又∵∠A＝∠A′，
∴2∠A＝∠1+∠2；
（2）2∠A＝∠1+∠2．
理由：∵∠A+∠A′+∠AEA′+∠ADA′＝360°，
又∵∠1+∠ADA′+∠2+∠AEA′＝360°，
∴∠A+∠A′＝∠1+∠2，
又∵∠A＝∠A′，
∴2∠A＝∠1+∠2；
（3）2∠A＝∠1﹣∠2．理由如下：
如图③，设DA′交AC于点F．
∵∠1＝∠A+∠DFA，∠DFA＝∠A′+∠2，
∴∠1＝∠A+∠A′+∠2，
∴∠A+∠A′＝∠1﹣∠2，
∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，
∴∠A＝∠A′，
∴2∠A＝∠1﹣∠2．
【知识点6 两内角角平分线模型】
【条件】△ABC中，BI、CI分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且相交于点I.
【结论】
【证明】∵BI是∠ABC平分线，∴∵CI是∠ACB平分线，∴
由A→B→I→C→A的飞镖模型可知：
∠I=∠A+∠2+∠3=∠A++=∠A+=.
【题型6 两内角角平分线模型】
【例6】（2022春•靖江市校级月考）如图，△ABC中，∠BAC＝50°，∠ABC的角平分线与∠ACB的角平分线交于点O．则∠BOC＝ 115° ．
【分析】利用三角形内角和定理先求出∠ABC+∠ACB的度数，再利用角平分线的定义即可求解．
【解答】解：∵∠BAC＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，
∵∠ABC的角平分线与∠ACB的角平分线交于点O，
∴∠ABO＝∠OBC=12∠ABC，∠ACO＝∠OCB=12∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=12∠ABC+12∠ACB=12（∠ABC+∠ACB）=12×130°＝65°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣65°＝115°，
故答案为：115°．
【变式6-1】（2022春•昌平区校级期中）如图，BD，CE，AF分别是△ABC的角平分线，且相交于点O，OH⊥BC于H，试问∠1＝∠2？请说明理由．
【分析】根据角平分线定义得∠ABO=12∠ABC，∠BAO=12∠BAC，∠OCB=12∠ACB，再根据三角形外角性质得∠1＝∠ABO+∠BAO，则∠1=12（∠ABC+∠BAC），然后根据三角形内角和定理得∠ABC+∠BAC+∠ACB＝180°，所以∠1=12（180°﹣∠ACB）＝90°−12∠ACB；再由OH⊥BC得∠OHC＝90°，利用三角形内角和定理得∠2＝90°﹣∠OCH＝90°−12∠ACB，于是可得到∠1＝∠2．
【解答】解：∠1＝∠2．理由如下：
∵BD，CE，AF分别是△ABC的角平分线，
∴∠ABO=12∠ABC，∠BAO=12∠BAC，∠OCB=12∠ACB，
∵∠1＝∠ABO+∠BAO，
∴∠1=12（∠ABC+∠BAC），
∵∠ABC+∠BAC+∠ACB＝180°，
∴∠1=12（180°﹣∠ACB）＝90°−12∠ACB，
又∵OH⊥BC，
∴∠OHC＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠OCH＝90°−12∠ACB，
∴∠1＝∠2．
【变式6-2】（2022春•秀英区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BD，CE相交于点O．
（1）若∠A＝60°，求∠BOC的度数；
（2）求证：∠BOC＝90°+12∠A．
【分析】（1）利用角平分线的性质求出∠2+∠4的度数，再由三角形的内角和定理便可求出∠BOC；
（2）方法同（1）．
【解答】（1）解：∵∠ABC和∠ACB的平分线BD、CE相交于点O，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠2+∠4=12（180°﹣∠A）=12（180°﹣60°）＝60°，
故∠BOC＝180°﹣（∠2+∠4）＝180°﹣60°＝120°．
（2）证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BD、CE相交于点O，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠2+∠4=12（180°﹣∠A）＝90°−12∠A，
故∠BOC＝180°﹣（∠2+∠4）＝180°﹣（90°−12∠A）＝90°+12∠A．
【变式6-3】（2022春•海淀区校级期中）已知AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点E、F，点G为落在直线AB和直线CD之间的一个动点．
（1）如图1，点G恰为∠BEF和∠DFE的角平分线的交点，则∠EGF＝ 90° ；
（2）若点G恰为∠BEF和∠DFE的三等分线的交点，有如下结论：①∠EGF一定为钝角；②∠EGF可能为60°；③若∠EGF为直角，则EF⊥CD．其中正确结论的序号为 ②③ ．
（3）进一步探索，若EF⊥CD，且点G不在线段EF上，记∠AEG＝α，∠CFG＝β，EM为∠AEG最接近EG的n等分线，FN是∠CFG最接近CF的n等分线（其中n≥2）．直线EM、FN交于点Pn，是否存在某一正整数n，使得∠EPnF＝90°？说明理由．
【分析】（1）根据平行线的性质定理，两直线平行同旁内角互补，以及三角形内角和定理来完成．
（2）根据平行线的性质定理，两直线平行同旁内角互补，以及三角形内角和定理，另外角的等分来判断．
（3）按题意添加辅助线，画出相应的EM、FN、点Pn，再根据平行线的性质定理，两直线平行同旁内角互补，以及三角形内角和定理、角的n等分，通过分类别讨论推测出n是否存在，存在的值．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE＝180°，
∵点G恰为∠BEF和∠DFE的角平分线的交点，
∴∠FEG+∠EFG=12×180°＝90°，
∴∠EGF＝180°﹣90°＝90°．
故答案为：90°．
（2）若点G恰为∠BEF和∠DFE的三等分线的交点，
∴∠FEG+∠EFG=13×180°或者∠FEG+∠EFG=23×180°，
∠FEG+∠EFG＝60°或∠FEG+∠EFG＝120°，
∴∠EGF＝180°﹣60°＝120°或∠EGF＝180°﹣120°＝60°，
∴①错误，②正确，
当∠EGF为直角，只有13∠BEF+23∠DFE＝90°或23∠BEF+13∠DFE＝90°，
不妨假设13∠BEF+23∠DFE＝90°，
∴23∠BEF+13∠DFE＝90°，
∴13（∠BEF﹣∠DFE）+23（∠DFE﹣∠BEF）＝0，
∴∠BEF＝∠DFE，
∵∠BEF+∠DFE＝180°，
∴∠BEF＝∠DFE＝90°，
∴EF⊥CD，故③正确．
故答案为：②③．
（3）不存在某一整数n，使得∠EPnF＝90°，理由如下：
∵EM为∠AEG最接近EG的n等分线，FN是∠CFG最接近CF的n等分线（其中n≥2），
∴∠AEM=n−1nα，∠CFM=1nβ．
①当点G在EF的左侧，此时α＜90°，β＜90°，Pn必在EF的左侧，如图2所示，过点Pn作PnQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PnQ∥CD，
∴∠EPnF＝∠EPnQ+∠FPnQ＝∠AEM+∠CFN=n−1nα+1nβ＜n−1n×90°+1n×90°＜90°，
②当点G在右侧，此时α＞90°，β＞90°．
若n−1nα＜90°，则Pn在EF的左侧，如图3中，
同理可得∠EPnF=n−1nα+1nβ＞90°．
若n−1nα＝90°，则Pn与F重合，不存在∠EPnF，舍弃．
若n−1nα＞90°，则Pn在EF的右侧，如图4中，
过点Pn作PnQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PnQ∥CD，
∴∠EPnF＝∠EPnQ﹣∠FPnQ＝∠BEM+∠CFN＝（180°−n−1nα）−1nβ，
∵n−1nα＞90°，1nβ＞0，
∴（180°−n−1nα）−1nβ＜90°，
即∠EPnF＜90°，
综上所述，不存在某一整数n，使得∠EPnF＝90°．
【知识点7 两外角角平分线模型】
【条件】△ABC中，BI、CI分别是△ABC的外角的角平分线，且相交于点O.
【结论】.
【证明】∵BO是∠EBC平分线，∴，∵CO是∠FCB平分线，∴
由△BCO中内角和定理可知：∠O=180°-∠2 -∠5 =180°--=180°--===
【题型7 两外角角平分线模型】
【例7】（2022•平湖市模拟）如图，在△ABC中，∠B，∠C的外角平分线相交于点O，若∠A＝74°，则∠O＝ 53 度．
【分析】根据三角形的内角和定理，得∠ACB+∠ABC＝180°﹣74°＝106°；再根据邻补角的定义，得两个角的邻补角的和是360°﹣106°＝254°；再根据角平分线的定义，得∠OCB+∠OBC＝127°；最后根据三角形的内角和定理，得∠O＝53°．
【解答】解：∵∠A＝74°，
∴∠ACB+∠ABC＝180°﹣74°＝106°，
∴∠BOC＝180°−12（360°﹣106°）＝180°﹣127°＝53°．
【变式7-1】（2022春•新北区校级期中）（1）如图①，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∠A＝40°，求∠BOC的度数；
（2）如图②，△A′B′C′的外角平分线相交于点O′，∠A′＝40°，求∠B′O′C′的度数；
（3）上面（1）、（2）两题中的∠BOC与∠B′O′C′有怎样的数量关系若∠A＝∠A′＝n°，∠BOC与∠B′O′C′是否还具有这样的关系？这个结论你是怎样得到的？
【分析】（1）（2）根据三角形内角和定理和角平分线定义解答；（3）由前两问提供的思路，进一步推理．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，则
∠1+∠2=12∠ABC+12∠ACB=12（∠ABC+∠ACB）
=12（180°﹣∠A）=12×（180°﹣40°）＝70°．
故∠BOC＝180°﹣70°＝110°；
（2）因为∠A的外角等于180°﹣40°＝140°，
△A′B′C′另外的两外角平分线相交于点O′，
根据三角形的外角和等于360°，
所以∠1+∠2=12×（360°﹣140°）＝110°，
∠B′O′C′＝180°﹣110°＝70°；
（3）∵（1）（2）中∠BOC+∠B′O′C′＝110°+70°＝180°，∴∠BOC与∠B′O′C′互补；
证明：当∠A＝n°时，∠BOC＝180°﹣[（180°﹣n°）÷2]＝90°+n°2，
∵∠A′＝n°，∠B′O′C′＝180°﹣[360°﹣（180°﹣n°）]÷2＝90°−n°2，
∴∠A+∠A′＝90°+n°2+90°−n°2=180°，∠BOC与∠B′O′C′互补，
所以当∠A＝∠A′＝n°，∠BOC与∠B′O′C′还具有互补的关系．
【变式7-2】（2022春•江夏区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，延长BA至E，连接CE交AD于F，∠EAD和∠ECD的角平分线相交于点P．若∠E＝60°，∠APC＝70°，则∠D的度数是（ ）
A．80°B．75°C．70°D．60°
【分析】由角平分线的定义可知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，根据三角形的内角和定理，可得：∠E+∠1＝∠P+∠3，进而∴∠1﹣∠3＝∠P﹣∠E＝70°﹣60°＝10°＝∠2﹣∠4，
同理∴∠2﹣∠4＝∠D﹣∠P＝10°，从而求出∠D的度数．
【解答】解：由题意得：∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠E＝60°，∠P＝70°，
在△AME和△PMC中，由三角形的内角和定理得：∠E+∠1＝∠P+∠3，
∴∠1﹣∠3＝∠P﹣∠E＝70°﹣60°＝10°＝∠2﹣∠4，
同理：∠P+∠2＝∠D+∠4，
∴∠2﹣∠4＝∠D﹣∠P＝10°，
∴∠D＝80°．
故选：A．
【变式7-3】（2022春•丰县月考）如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝β．
（1）如图1，若α+β＝105°，求∠MBC+∠NDC的度数；
（2）如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD＝45°，请直接写出α，β所满足的数量关系式；
（3）如图2，若α＝β，判断BE，DF的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）利用四边形的内角和和平角的定义推导即可；
（2）利用角平分线的定义，四边形的内角和以及三角形的内角和转化即可；
（3）利用角平分线的定义以及平行线的判定与性质即可解答．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD的内角和为360°，
∴α+β＝∠A+∠BCD＝360°﹣（∠ABC+∠ADC），
∵∠MBC和∠NDC是四边形ABCD的外角，
∴∠MBC＝180°﹣∠ABC，∠NDC＝180°﹣∠ADC，
∴∠MBC+∠NDC＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ADC
＝360°﹣（∠ABC+∠ADC），
＝α+β＝105°；
（2）β﹣α＝90°（或α﹣β＝﹣90°等均正确）．
理由：如图1，连接BD，
由（1）有，∠MBC+∠NDC＝α+β，
∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，
∴∠CBG=12∠MBC，∠CDG=12∠NDC，
∴∠CBG+∠CDG=12∠MBC+12∠NDC=12（∠MBC+∠NDC）=12（α+β），
在△BCD中，∠BDC+∠CBD＝180°﹣∠BCD＝180°﹣β，
在△BDG中，∠BGD＝45°，∠GBD+∠GDB+∠BGD＝180°，
∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD＝180°，
∴（∠CBG+∠CDG）+（∠BDC+∠CBD）+∠BGD＝180°，
∴12（α+β）+180°﹣β+45°＝180°，∴β﹣α＝90°．
（3）BE∥DF．
理由：如图2，过点C作CP∥BE，
则∠EBC＝∠BCP，
∴∠DCP＝∠BCD﹣∠BCP＝β﹣∠EBC，
由（1）知∠MBC+∠NDC＝α+β，
∵α＝β，
∴∠MBC+∠NDC＝2β，
又∵BE、DF分别平分∠MBC和∠NDC，
∴∠EBC+∠FDC=12（∠MBC+∠NDC）＝β，
∴∠FDC＝β﹣∠EBC，
又∵∠DCP＝β﹣∠EBC，
∴∠FDC＝∠DCP，
∴CP∥DF，
又CP∥BE，
∴BE∥DF．
【知识点8 内外角角平分线模型】
【条件】△ABC中，BP、CP分别是△ABC的内角和外角的角平分线，且相交于点P.
【结论】
【证明】 ∵BP是∠ABC平分线，∴ ∵CP是∠ACE平分线，∴
由△ABC外角定理可知：∠ACE=∠ABC+∠A即：2∠1=2∠3+∠A ……①
对①式两边同时除以2，得：∠1=∠3+ ……②又在△BPC中由外角定理可知：∠1=∠3+∠P ……③
比较②③式子可知：.==.
【题型8 内外角角平分线模型】
【例8】（2022春•榕城区期末）如图，∠AOB＝60°，点M、N分别在OA、OB上运动（不与点O重合），ME平分∠AMN，ME的反向延长线与∠MNO的平分线交于点F，在M、N的运动过程中，∠F的度数（ ）
A．变大B．变小C．等于45°D．等于30°
【分析】由∠AMN是△OMN的外角，∠EMN是△FMN的外角，得到∠AMN＝∠O+∠ONM，∠EMN＝∠F+∠FNM，
再由角平分线，得到∠AMN＝2∠EMN，∠ONM＝2∠FNM，从而得到∠F=12∠O．
【解答】解：∵∠AMN是△OMN的外角，
∴∠AMN＝∠O+∠ONM，
∵∠EMN是△FMN的外角，
∴∠EMN＝∠F+∠FNM，
∵ME平分∠AMN，FN平分∠MNO，
∴∠AMN＝2∠EMN，∠ONM＝2∠FNM，
∴∠O＝2∠F，
∴∠F＝30°．
故选：D．
【变式8-1】（2022春•海陵区校级期末）△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作∠ODC＝∠AOC，交边BC于点D．
（1）如图1，求∠BOD的度数；
（2）如图2，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F．
①求证：BE∥OD；
②若∠F＝50°，求∠BAC的度数；
③若∠F＝∠ABC＝50°，将△BOD绕点O顺时针旋转一定角度α（00＜α＜3600）后得△B'O′D′，B′D′所在直线与FC平行，请直接写出所有符合条件的旋转角度α的值．
【分析】（1）根据角平分线的定义，结合三角形内角和即可得到答案．
（2）①根据角平分线的定义，结合三角形内角和即可得到答案．②结合角平分线的性质，根据三角形外角的性质即可得到答案．③求出∠ODB的度数即可解决
【解答】解：（1）∵三个内角的平分线交于点O，
∴∠OAC+∠OCA=12（∠BAC+∠BCA）=12（180°﹣∠ABC），
∵∠OBC=12∠ABC，
∴∠AOC＝180°﹣（∠OAC+∠OCA）＝90°+12∠ABC＝90°+∠OBC，
∵∠ODC＝∠BOD+∠OBC＝∠AOC，
∴∠BOD＝90°；
（2）①∵三个内角的平分线交于点O，
∴∠EBF=12∠ABE=12（180°﹣∠ABC）＝90°﹣∠DBO，
∵∠ODB＝90°﹣∠OBD，
∴∠FBE＝∠ODB，
∴BF∥OD；
②∵三个内角的平分线交于点O，
∴∠EBF=12∠ABE=12（∠BAC+∠ABC），
∴∠FCB=12∠ACB，
∵∠F＝∠FBE﹣∠BCF=12（∠BAC+∠ACB）−12∠ACB=12∠BAC，
∵∠F＝50°，
∴∠BAC＝2∠F＝100°；
③∠F＝∠ABC＝40°，
由②可知，∠BAC＝80°，
∠BDO＝∠ACB＝60°，
∠OCD＝30°，∠COD＝30°，
易知△BOD绕点O顺时针旋转30°或210°后得△B'O′D′，B′D′所在直线与FC平行．
【变式8-2】（2022•平湖市模拟）如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1＝ α2 ；∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…；∠A2010BC的平分线与∠A2010CD的平分线交于点A2011，得∠A2011，则∠A2011＝ α22011 ．
【分析】根据角平分线的定义可得∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，整理即可求出∠A1的度数，同理求出∠A2，可以发现后一个角等于前一个角的12，根据此规律即可得解．
【解答】解：∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，
∴∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，
又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，
∴12（∠A+∠ABC）=12∠ABC+∠A1，
∴∠A1=12∠A，
∵∠A＝α，
∴∠A1=α2；
同理可得∠A2=12∠A1=12•12α=α22，
∴∠An=α2n，
∴∠A2011=α22011．
故答案为：α2，α22011．
【变式8-3】（2022春•东海县期中）在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验
【结论发现】小明在处理教材第43页第21题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半．
【结论探究】（1）如图1，在△ABC中，点E是△ABC内角∠ACB平分线CE与外角∠ABD的平分线BE的交点，则有∠E=12∠A请补齐下方的说理过程．
理由如下：因为∠EBC+∠EBD＝180°，
又因为在△EBC中，∠EBC+∠E+∠ECB＝180°，
所以∠EBC+∠EBD＝∠EBC+∠E+∠ECB．
所以∠EBD＝∠E+∠ ECB （理由是：等式性质）
同理可得∠ABD＝∠A+∠ ACB ．
又因为BE和CE分别是∠ABD和∠ACB的角平分线，
所以∠EBD=12∠ABD，∠ ECB =12∠ACB．
所以12∠ABD＝∠E+12∠ACB
即∠E=12∠ABD−12∠ACB=12（∠ABD﹣∠ACB）
所以∠E=12∠A．
请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题：
【简单应用】（2）如图2，在△ABC中，∠ABC＝40°．延长BA至G，延长AC至H，已知∠BAC、∠CAG的角平分线与∠BCH的角平分线及其反向延长线交于E、F，求∠F的度数；
【变式拓展】（3）如图3，四边形ABCD的内角∠BCD与外角∠ABG的平分线形成如图所示形状．
①已知∠A＝150°，∠D＝80°，求∠E+∠F的度数；
②直接写出∠E+∠F与∠A+∠D的关系．
【分析】（1）根据解题思路完成填空即可；
（2）根据角平分线的定义可得∠EAF＝90°，再根据（1）的结论可得∠E＝20°，最后由三角形的内角和可得答案；
（3）①延长BA、CD交于点M，延长BF、CE交于点H，求出∠M和∠H的度数可得答案；
②由①的思路可得结论．
【解答】解：（1）因为∠EBC+∠EBD＝180°，
又因为在△EBC中，∠EBC+∠E+∠ECB＝180°，
所以∠EBC+∠EBD＝∠EBC+∠E+∠ECB．
所以∠EBD＝∠E+∠ECB（理由是：等式性质），
同理可得∠ABD＝∠A+∠ACB．
又因为BE和CE分别是∠ABD和∠ACB的角平分线，
所以∠EBD=12∠ABD，∠ECB=12∠ACB．
所以12∠ABD＝∠E+12∠ACB，
即∠E=12∠ABD−12∠ACB=12（∠ABD﹣∠ACB），
所以∠E=12∠A．
故答案为：ECB，ACB，ECB；
（2）∵AE平分∠BAC，AF平分∠GAC，
∴∠EAF＝∠EAC+∠FAC=12∠BAG＝90°，
由（1）得，∠E=12∠B＝20°，
∴∠F＝180°﹣90°﹣20°＝70°；
（3）①延长BA、CD交于点M，延长BF、CE交于点H，
∵∠BAD＝150°，∠ADC＝80°，
∴∠MAD＝180°﹣150°＝30°，∠MDA＝180°﹣80°＝100°，
∴∠M＝180°﹣30°﹣100°＝50°，
由（1）得，∠H=12∠M＝25°，
∴∠HFE+∠HEF＝180°﹣25°＝155°，
∴∠BFE+∠AEF＝360°﹣155°＝205°；
②由①的思路可得，
∠BFE+∠AEF＝360°﹣（180°﹣∠H）＝180°+∠H，
∠BAD+∠ADC＝360°﹣（180°﹣∠M）＝180°+∠M＝180°+2∠H，
∴2（∠BFE+∠AEF）＝∠BAD+∠ADC+180°．
TOC \ "1-2" \h \u
\l "_Tc22594" 【题型1 双垂直模型】 PAGEREF _Tc22594 \h 1
\l "_Tc12658" 【题型2 A字模型】 PAGEREF _Tc12658 \h 4
\l "_Tc23317" 【题型3 8字模型】 PAGEREF _Tc23317 \h 7
\l "_Tc27779" 【题型4 飞镖模型】 PAGEREF _Tc27779 \h 10
\l "_Tc17250" 【题型5 风筝模型】 PAGEREF _Tc17250 \h 14
\l "_Tc15037" 【题型6 两内角角平分线模型】 PAGEREF _Tc15037 \h 18
\l "_Tc18553" 【题型7 两外角角平分线模型】 PAGEREF _Tc18553 \h 21
\l "_Tc19661" 【题型8 内外角角平分线模型】 PAGEREF _Tc19661 \h 24
【知识点1 双垂直模型】
【条件】∠B=∠D=∠ACE=90°.
【结论】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.
【证明】∵∠B=∠D=∠ACE=90°；∴∠BAC+∠ACB=90°；又∠ECD+∠ACB=90°；∴∠BAC=∠DCE
同理,∠ACB+∠DCE =90°，且∠CED+∠DCE =90°；∴∠ACB=∠CED，得证.
【题型1 双垂直模型】
【例1】（2022春•建邺区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B．
（1）求证：CD⊥AB
证明：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°（已知）
∴∠A+∠B＝90°（ ）
又∵∠ACD＝∠B（已知）
∴∠A+∠ACD＝90°（等量代换）
∴∠ADC＝90° （ ）
∴CD⊥AB．
（2）如图②，若∠BAC的平分线分别交BC，CD于点E，F，求证：∠AEC＝∠CFE；
（3）如图③，若E为BC上一点，AE交CD于点F，BC＝3CE，AB＝4AD，S△ABC＝36．
①求S△CEF﹣S△ADF的值；
②四边形BDFE的面积是 ．
【变式1-1】（2022春•润州区期末）已知△ABC中，∠ABC＝90°，BD是AC边上的高，AE平分∠BAC，分别交BC、BD于点E、F．求证：∠BFE＝∠BEF．
【变式1-2】（2022•绥棱县校级期中）（1）如图①，△ABC是锐角三角形，高BD、CE相交于点H，找出∠BHC和∠A之间存在何种等量关系；
（2）如图②，若△ABC是钝角三角形，∠A＞90°，高BD、CE所在的直线相交于点H，把图②补充完整，并指出此时（1）中的等量关系是否仍然成立？
【变式1-3】（2022春•香洲区期末）如图1，线段AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，点E在线段BC上，且AE⊥DE．
（1）求证：∠EAB＝∠CED；
（2）如图2，AF、DF分别平分∠BAE和∠CDE，EH平分∠DEC交CD于点H，EH的反向延长线交AF于点G．
①求证EG⊥AF；
②求∠F的度数．【提示：三角形内角和等于180度】
【知识点2 A字模型】
【条件】△ADE与△ABC.
【结论】∠AED+∠ADE=∠B+C.
【证明】根据三角形内角和可得，∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠B+C=180°-∠A，
∴∠AED+∠ADE=∠B+C，得证.
【题型2 A字模型】
【例2】（2022•江阴市校级月考）如图是某建筑工地上的人字架．这个人字架夹角∠1＝120°，那么∠3﹣∠2的度数为 ．
【变式2-1】（2022春•道里区期末）如图，△ABC中∠A＝115°，若图中沿虚线剪去∠A，则∠1+∠2等于（ ）
A．180°B．230°C．290°D．295°
【变式2-2】（2022武功县期末）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，连接DC、DE，在CD上取一点F，连接EF，若∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：DE∥BC．
【变式2-3】（2022春•新野县期末）旧知新意：
我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
尝试探究：
（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？
初步应用：
（2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CDE，得到四边形ABDE，∠1＝130°，则∠2﹣∠C＝ 50° ；
（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案 ．
拓展提升：
（4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，∠P与∠A、∠D有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由．）
【知识点3 8字模型】
【条件】AD、BC相交于点O.
【结论】∠A+∠B=∠C+∠D.(上面两角之和等于下面两角之和)
【证明】在△ABO中，由内角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°，在△CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°，
∴∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，由对顶角相等：∠BOA=∠COD
∴∠A+∠B=∠C+∠D，得证.
【题型3 8字模型】
【例3】（2022春•叙州区期末）如图，BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，若∠A＝45°，∠P＝40°，则∠C的度数为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
【变式3-1】（2022春•靖江市校级月考）已知，如图，线段AD、CB相交于点O，连结AB、CD，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P．试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系，请说明理由．
【变式3-2】（2022春•新野县期末）在学习并掌握了平行线的性质和判定内容后，数学老师安排了自主探究内容一利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于180°．小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．请将下面（1）中的证明补充完整
（1）已知：如图1，三角形ABC，求证：∠BAC+∠B+∠C＝180°，证明：过点A作EF∥BC．
（2）如图2，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图2这样的图形称之为“8字形”．请利用小颖探究的结论直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： ；
（3）在图2的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，得到图3，请判断∠P与∠D、∠B之间存在的数量关系，并说明理由．
【变式3-3】（2022春•石家庄期中）如图1至图2，在△ABC中，∠BAC＝α°，点D在边AC所在直线上，作DE垂直于直线BC，垂足为点E；BM为△ABC的角平分线，∠ADE的平分线交直线BC于点G．
特例感悟：
（1）如图1，延长AB交DG于点F，若BM∥DG，∠F＝30°．
解决问题：
①∠ABC＝ °；
②求证：AC⊥AB；
深入探究；
（2）如图2，当α＜90，DG与BM反向延长线交于点H，用含α的代数式表示∠BHD＝ ；
拓展延伸：
（3）当点D在直线AC上移动时，若射线DG与射线BM相交，设交点为N，直接写出∠BND与α的关系式．
【知识点4 飞镖模型】
【条件】四边形ABDC如上左图所示.
【结论】∠D=∠A+∠B+∠C.(凹四边形凹外角等于三个内角和)
【证明】如上右图，连接AD并延长到E，则：
∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C.本质为两个三角形外角和定理证明.
【题型4 飞镖模型】
【例4】（2022春•三明期末）探究与思考：
（1）如图①，∠BPC是△ABP的一个外角，则有结论：∠BPC＝∠A+∠B成立．若点P沿着线段PB向点B运动（不与点B重合），连接PC形成图形②，我们称之为“飞镖”图形，那么请你猜想“飞镖”图形中∠BPC与∠A、∠B、∠C之间存在的数量关系？并证明你的猜想；
（2）利用（1）的结论，请你求出五角星（如图③）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的值，说明你的理由；
（3）若五角星中的点B向右运动，形成如图④⑤形状，（2）中的结论还成立吗？请从图④⑤中任选一个图形说明理由．
【变式4-1】（2022春•井研县期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝α．
（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α＝60°，则∠1+∠2＝ ；
（2）若点P在线段AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为 ；
（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由；
（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．
【变式4-2】（2022春•深圳校级期中）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系
（1）已知AB平行于CD，如a图，当点P在AB、CD外部时，∠BPD+∠D＝∠B即∠BPD＝∠B﹣∠D，为什么？请说明理由．如b图，将点P移动到AB、CD内部，以上结论是否仍然成立？若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请说明结论；
（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）
（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
【变式4-3】（2022•吉州区期末）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝ °；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数；
③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC＝133°，∠BG1C＝70°，求∠A的度数．
【知识点5 风筝模型】
【条件】四边形ABPC，分别延长AB、AC于点D、E，如上左图所示.
【结论】∠PBD+∠PCE=∠A+∠P.
【证明】如上右图，连接AP，则：∠PBD=∠PAB+∠APB，∠PCE=∠PAC+∠APC，
∴∠PBD+∠PCE=∠PAB+∠APB+∠PAC+∠APC=∠BAC+∠BPC，得证.
【题型5 风筝模型】
【例5】（2022春•南通期末）如图所示，把一个三角形纸片ABC的三个顶角向内折叠之后（3个顶点不重合），图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝ °．
【变式5-1】（2022春•铜山区期中）（1）如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，请直接写出∠1+2与∠A的关系： ．
（2）如图2，把△ABC分别沿DE、FG折叠，使点A落在点A′处，使点B落在点B′处，若∠1+∠2+∠3+∠4＝220°，则∠C＝ °
（3）如图3，在锐角△ABC中，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，BM、CN交于点H，把△ABC沿DE折叠使点A和点H重合，则∠BHC与∠1+∠2的关系是 ．
A．∠BHC＝180°−12（∠1+∠2）
B．∠BHC＝∠1+∠2
C．∠BHC＝90°+12（∠1+∠2）
D．∠BHC＝90°+∠1﹣∠2
（4）如图4，BH平分∠ABC，CH平分∠ACB，把△ABC沿DE折叠，使点A与点H重合，若∠1+∠2＝100°，求∠BHC的度数．
【变式5-2】（2022春•常州期中）已知△ABC是一张三角形的纸片．
（1）如图①，沿DE折叠，使点A落在边AC上点A′的位置，∠DA′E与∠1的之间存在怎样的数量关系？为什么？
（2）如图②所示，沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的内部点A′的位置，∠A、∠1与∠2之间存在怎样的数量关系？为什么？
（3）如图③，沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A′的位置，∠A、∠1与∠2之间存在怎样的数量关系？为什么？
【变式5-3】（2022春•姜堰市期中）△ABC，直线DE交AB于D，交AC于E，将△ADE沿DE折叠，使A落在同一平面上的A′处，∠A的两边与BD、CE的夹角分别记为∠1，∠2
如图①，当A落在四边形BDEC内部时，探索∠A与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由．
如图②，当A′落在BC下方时，请直接写出∠A与∠1+∠2之间的数量关系．
如图③，当A′落在AC右侧时，探索∠A与∠1，∠2之间的数量关系，并说明理由．
【知识点6 两内角角平分线模型】
【条件】△ABC中，BI、CI分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且相交于点I.
【结论】
【证明】∵BI是∠ABC平分线，∴∵CI是∠ACB平分线，∴
由A→B→I→C→A的飞镖模型可知：
∠I=∠A+∠2+∠3=∠A++=∠A+=.
【题型6 两内角角平分线模型】
【例6】（2022春•靖江市校级月考）如图，△ABC中，∠BAC＝50°，∠ABC的角平分线与∠ACB的角平分线交于点O．则∠BOC＝ ．
【变式6-1】（2022春•昌平区校级期中）如图，BD，CE，AF分别是△ABC的角平分线，且相交于点O，OH⊥BC于H，试问∠1＝∠2？请说明理由．
【变式6-2】（2022春•秀英区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BD，CE相交于点O．
（1）若∠A＝60°，求∠BOC的度数；
（2）求证：∠BOC＝90°+12∠A．
【变式6-3】（2022春•海淀区校级期中）已知AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点E、F，点G为落在直线AB和直线CD之间的一个动点．
（1）如图1，点G恰为∠BEF和∠DFE的角平分线的交点，则∠EGF＝ ；
（2）若点G恰为∠BEF和∠DFE的三等分线的交点，有如下结论：①∠EGF一定为钝角；②∠EGF可能为60°；③若∠EGF为直角，则EF⊥CD．其中正确结论的序号为 ．
（3）进一步探索，若EF⊥CD，且点G不在线段EF上，记∠AEG＝α，∠CFG＝β，EM为∠AEG最接近EG的n等分线，FN是∠CFG最接近CF的n等分线（其中n≥2）．直线EM、FN交于点Pn，是否存在某一正整数n，使得∠EPnF＝90°？说明理由．
【知识点7 两外角角平分线模型】
【条件】△ABC中，BI、CI分别是△ABC的外角的角平分线，且相交于点O.
【结论】.
【证明】∵BO是∠EBC平分线，∴，∵CO是∠FCB平分线，∴
由△BCO中内角和定理可知：∠O=180°-∠2 -∠5 =180°--=180°--===
【题型7 两外角角平分线模型】
【例7】（2022•平湖市模拟）如图，在△ABC中，∠B，∠C的外角平分线相交于点O，若∠A＝74°，则∠O＝ 度．
【变式7-1】（2022春•新北区校级期中）（1）如图①，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∠A＝40°，求∠BOC的度数；
（2）如图②，△A′B′C′的外角平分线相交于点O′，∠A′＝40°，求∠B′O′C′的度数；
（3）上面（1）、（2）两题中的∠BOC与∠B′O′C′有怎样的数量关系若∠A＝∠A′＝n°，∠BOC与∠B′O′C′是否还具有这样的关系？这个结论你是怎样得到的？
【变式7-2】（2022春•江夏区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，延长BA至E，连接CE交AD于F，∠EAD和∠ECD的角平分线相交于点P．若∠E＝60°，∠APC＝70°，则∠D的度数是（ ）
A．80°B．75°C．70°D．60°
【变式7-3】（2022春•丰县月考）如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝β．
（1）如图1，若α+β＝105°，求∠MBC+∠NDC的度数；
（2）如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD＝45°，请直接写出α，β所满足的数量关系式；
（3）如图2，若α＝β，判断BE，DF的位置关系，并说明理由．
【知识点8 内外角角平分线模型】
【条件】△ABC中，BP、CP分别是△ABC的内角和外角的角平分线，且相交于点P.
【结论】
【证明】 ∵BP是∠ABC平分线，∴ ∵CP是∠ACE平分线，∴
由△ABC外角定理可知：∠ACE=∠ABC+∠A即：2∠1=2∠3+∠A ……①
对①式两边同时除以2，得：∠1=∠3+ ……②又在△BPC中由外角定理可知：∠1=∠3+∠P ……③
比较②③式子可知：.==.
【题型8 内外角角平分线模型】
【例8】（2022春•榕城区期末）如图，∠AOB＝60°，点M、N分别在OA、OB上运动（不与点O重合），ME平分∠AMN，ME的反向延长线与∠MNO的平分线交于点F，在M、N的运动过程中，∠F的度数（ ）
A．变大B．变小C．等于45°D．等于30°
【变式8-1】（2022春•海陵区校级期末）△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作∠ODC＝∠AOC，交边BC于点D．
（1）如图1，求∠BOD的度数；
（2）如图2，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F．
①求证：BE∥OD；
②若∠F＝50°，求∠BAC的度数；
③若∠F＝∠ABC＝50°，将△BOD绕点O顺时针旋转一定角度α（00＜α＜3600）后得△B'O′D′，B′D′所在直线与FC平行，请直接写出所有符合条件的旋转角度α的值．
【变式8-2】（2022•平湖市模拟）如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1＝ ；∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…；∠A2010BC的平分线与∠A2010CD的平分线交于点A2011，得∠A2011，则∠A2011＝ ．
【变式8-3】（2022春•东海县期中）在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验
【结论发现】小明在处理教材第43页第21题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半．
【结论探究】（1）如图1，在△ABC中，点E是△ABC内角∠ACB平分线CE与外角∠ABD的平分线BE的交点，则有∠E=12∠A请补齐下方的说理过程．
理由如下：因为∠EBC+∠EBD＝180°，
又因为在△EBC中，∠EBC+∠E+∠ECB＝180°，
所以∠EBC+∠EBD＝∠EBC+∠E+∠ECB．
所以∠EBD＝∠E+∠ （理由是：等式性质）
同理可得∠ABD＝∠A+∠ ．
又因为BE和CE分别是∠ABD和∠ACB的角平分线，
所以∠EBD=12∠ABD，∠ =12∠ACB．
所以12∠ABD＝∠E+12∠ACB
即∠E=12∠ABD−12∠ACB=12（∠ABD﹣∠ACB）
所以∠E=12∠A．
请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题：
【简单应用】（2）如图2，在△ABC中，∠ABC＝40°．延长BA至G，延长AC至H，已知∠BAC、∠CAG的角平分线与∠BCH的角平分线及其反向延长线交于E、F，求∠F的度数；
【变式拓展】（3）如图3，四边形ABCD的内角∠BCD与外角∠ABG的平分线形成如图所示形状．
①已知∠A＝150°，∠D＝80°，求∠E+∠F的度数；
②直接写出∠E+∠F与∠A+∠D的关系．
专题9.6 角度计算中的经典模型【八大题型】
【华东师大版】
TOC \ "1-2" \h \u
\l "_Tc22594" 【题型1 双垂直模型】 PAGEREF _Tc22594 \h 1
\l "_Tc12658" 【题型2 A字模型】 PAGEREF _Tc12658 \h 7
\l "_Tc23317" 【题型3 8字模型】 PAGEREF _Tc23317 \h 10
\l "_Tc27779" 【题型4 飞镖模型】 PAGEREF _Tc27779 \h 16
\l "_Tc17250" 【题型5 风筝模型】 PAGEREF _Tc17250 \h 23
\l "_Tc15037" 【题型6 两内角角平分线模型】 PAGEREF _Tc15037 \h 29
\l "_Tc18553" 【题型7 两外角角平分线模型】 PAGEREF _Tc18553 \h 35
\l "_Tc19661" 【题型8 内外角角平分线模型】 PAGEREF _Tc19661 \h 39
【知识点1 双垂直模型】
【条件】∠B=∠D=∠ACE=90°.
【结论】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.
【证明】∵∠B=∠D=∠ACE=90°；∴∠BAC+∠ACB=90°；又∠ECD+∠ACB=90°；∴∠BAC=∠DCE
同理,∠ACB+∠DCE =90°，且∠CED+∠DCE =90°；∴∠ACB=∠CED，得证.
【题型1 双垂直模型】
【例1】（2022春•建邺区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B．
（1）求证：CD⊥AB
证明：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°（已知）
∴∠A+∠B＝90°（ 直角三角形两锐角互余 ）
又∵∠ACD＝∠B（已知）
∴∠A+∠ACD＝90°（等量代换）
∴∠ADC＝90° （ 三角形内角和定理 ）
∴CD⊥AB．
（2）如图②，若∠BAC的平分线分别交BC，CD于点E，F，求证：∠AEC＝∠CFE；
（3）如图③，若E为BC上一点，AE交CD于点F，BC＝3CE，AB＝4AD，S△ABC＝36．
①求S△CEF﹣S△ADF的值；
②四边形BDFE的面积是 21 ．
【分析】（1）根据直角三角形的性质、三角形内角和定理解答即可；
（2）根据角平分线的定义得到∠CAE＝∠BAE，根据三角形的外角性质计算，证明结论；
（3）①根据三角形的面积公式分别求出S△ACD、S△ACE，结合图形计算即可；
②连接BF，设S△ADF＝x，根据三角形的面积公式列出方程，求出x，把x代入计算得到答案．
【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°（已知）
∴∠A+∠B＝90°（直角三角形两锐角互余）
又∵∠ACD＝∠B（已知）
∴∠A+∠ACD＝90°（等量代换）
∴∠ADC＝90° （三角形内角和定理），∴CD⊥AB．
故答案为：直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理；
（2）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAE，
∵∠AEC＝∠BAE+∠B，∠CFE＝∠ACD+∠CAE，
∴∠AEC＝∠CFE；
（3）解：①∵BC＝3CE，AB＝4AD，S△ABC＝36，
∴S△ACD=14S△ABC＝9，S△ACE=13S△ABC＝12，
∴S△CEF﹣S△ADF＝S△ACE﹣S△ACD＝12﹣9＝3；
②连接BF，
设S△ADF＝x，则S△CFE＝3+x，
∵AB＝4AD，
∴S△BDF＝3x，
∵BC＝3CE，
∴S△BEF＝2（x+3）＝2x+6，
∴x+3+2x+6+3x=34×36，
解得，x＝3，
∴四边形BDFE的面积＝3x+2x+6＝21，
故答案为：21．
【变式1-1】（2022春•润州区期末）已知△ABC中，∠ABC＝90°，BD是AC边上的高，AE平分∠BAC，分别交BC、BD于点E、F．求证：∠BFE＝∠BEF．
【分析】根据角平分线的定义可得∠BAE＝∠CAE，再根据等角的余角相等求出∠BEF＝∠AFD，然后根据对顶角相等可得∠BFE＝∠AFD，等量代换即可得解．
【解答】证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵BD⊥AC，∠ABC＝90°，
∴∠BAE+∠BEF＝∠CAE+∠AFD＝90°，
∴∠BEF＝∠AFD，
∵∠BFE＝∠AFD（对顶角相等），
∴∠BEF＝∠BFE
【变式1-2】（2022•绥棱县校级期中）（1）如图①，△ABC是锐角三角形，高BD、CE相交于点H，找出∠BHC和∠A之间存在何种等量关系；
（2）如图②，若△ABC是钝角三角形，∠A＞90°，高BD、CE所在的直线相交于点H，把图②补充完整，并指出此时（1）中的等量关系是否仍然成立？
【分析】（1）根据对顶角的性质，可得∠BHC与∠EHD的关系，根据四边形的内角和定理，可得答案；
（2）根据对顶角的性质，可得∠BHC与∠EHD的关系，根据四边形的内角和定理，可得答案．
【解答】解：（1）由∠BHC与∠EHD是对顶角，得
∠BHC＝∠EHD．
由高BD、CE相交于点H，得
∠ADH＝∠AEH＝90°．
由四边形内角和定理，得
∠A+∠AEH+∠EHD+∠HDA＝360°，
∠A+∠EHD＝360°﹣∠AEH﹣∠HDA＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∴∠BHC+∠A＝180°；
（2）如图，由∠BHC与∠EHD是对顶角，得
∠BHC＝∠EHD．
由高BD、CE相交于点H，得
∠ADH＝∠AEH＝90°．
由四边形内角和定理，得
∠H+∠AEH+∠EHD+∠HDA＝360°，
∠H+∠DAE＝360°﹣∠AEH﹣∠HDA＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∴∠BHC+∠BAC＝180°．
【变式1-3】（2022春•香洲区期末）如图1，线段AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，点E在线段BC上，且AE⊥DE．
（1）求证：∠EAB＝∠CED；
（2）如图2，AF、DF分别平分∠BAE和∠CDE，EH平分∠DEC交CD于点H，EH的反向延长线交AF于点G．
①求证EG⊥AF；
②求∠F的度数．【提示：三角形内角和等于180度】
【分析】（1）利用同角的余角相等即可证明；
（2）①想办法证明∠EAG+∠AEG＝90°即可解决问题；
②利用∠DFA＝∠DFM+∠AFM=12∠CDE+12∠EAB=12（∠CDE+∠EAB）即可解决问题；
【解答】解：（1）∵AB⊥BC，
∴∠EAB+∠AEB＝90°，
∵AE⊥ED，
∴∠CED+∠AEB＝90°，
∴∠EAB＝∠CED．
（2）①∵AF平分∠BAE，
∴∠EAG=12∠EAB，
∵EH平分∠CED，
∴∠HED=12∠CED，
∵∠EAB＝∠CED，
∴∠HED＝∠EAG，
∴∠HED+∠AEG＝90°，
∴∠EAG+∠AEG＝90°，
∴∠EGA＝90°，∴EG⊥AF．
②作FM∥CD．
∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴AB∥CD，∴FM∥AB，
∴∠DFM＝∠CDF=12∠CDE，∠AFM＝∠FAB=12∠EAB，
∵∠CDE+∠CED＝90°，
∴∠CDE+∠EAB＝90°，
∴∠DFA＝∠DFM+∠AFM=12∠CDE+12∠EAB=12（∠CDE+∠EAB）＝45°．
【知识点2 A字模型】
【条件】△ADE与△ABC.
【结论】∠AED+∠ADE=∠B+C.
【证明】根据三角形内角和可得，∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠B+C=180°-∠A，
∴∠AED+∠ADE=∠B+C，得证.
【题型2 A字模型】
【例2】（2022•江阴市校级月考）如图是某建筑工地上的人字架．这个人字架夹角∠1＝120°，那么∠3﹣∠2的度数为 60° ．
【分析】根据平角的定义求出∠4，再利用三角形的外角的性质即可解决问题；
【解答】解：如图
∵∠1+∠4＝180°，∠1＝120°，
∴∠4＝60°，
∵∠3＝∠2+∠4，
∴∠3﹣∠2＝∠4＝60°，
故答案为60°．
【变式2-1】（2022春•道里区期末）如图，△ABC中∠A＝115°，若图中沿虚线剪去∠A，则∠1+∠2等于（ ）
A．180°B．230°C．290°D．295°
【分析】根据题意由三角形内角和可得出∠B+∠C＝65°，再根据四边形的内角和可求出∠1+∠2．
【解答】解：∵∠A＝115°，
∴∠B+∠C＝65°，
∵∠1+∠2+∠B+∠C＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣65°＝295°．
故选：D．
【变式2-2】（2022武功县期末）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，连接DC、DE，在CD上取一点F，连接EF，若∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：DE∥BC．
【分析】先利用平行线的判定定理判定AB∥EF，利用平行线的性质定理得到∠3＝∠ADE，利用等量代换得到∠B＝∠ADE，最后利用同位角相等，两直线平行判定即可．
【解答】证明：∵∠1+∠DFE＝180°，∠1+∠2＝180°，
∴∠2＝∠DFE．
∴AB∥EF．
∴∠3＝∠ADE．
∵∠3＝∠B，
∴∠B＝∠ADE．
∴DE∥BC．
故答案为：240°．
【变式2-3】（2022春•新野县期末）旧知新意：
我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
尝试探究：
（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？
初步应用：
（2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CDE，得到四边形ABDE，∠1＝130°，则∠2﹣∠C＝ 50° ；
（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案 ∠P＝90°−12∠A ．
拓展提升：
（4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，∠P与∠A、∠D有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由．）
【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠DBC+∠ECB，再利用三角形内角和定理整理即可得解；
（2）根据（1）的结论整理计算即可得解；
（3）表示出∠DBC+∠ECB，再根据角平分线的定义求出∠PBC+∠PCB，然后利用三角形内角和定理列式整理即可得解；
（4）延长BA、CD相交于点Q，先用∠Q表示出∠P，再用（1）的结论整理即可得解．
【解答】解：（1）∠DBC+∠ECB
＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB
＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝360°﹣（180°﹣∠A）
＝180°+∠A；
（2）∵∠1+∠2＝∠180°+∠C，
∴130°+∠2＝180°+∠C，
∴∠2﹣∠C＝50°；
（3）∠DBC+∠ECB＝180°+∠A，
∵BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，
∴∠PBC+∠PCB=12（∠DBC+∠ECB）=12（180°+∠A），
在△PBC中，∠P＝180°−12（180°+∠A）＝90°−12∠A；
即∠P＝90°−12∠A；
故答案为：50°，∠P＝90°−12∠A；
（4）延长BA、CD于Q，
则∠P＝90°−12∠Q，
∴∠Q＝180°﹣2∠P，
∴∠BAD+∠CDA＝180°+∠Q，
＝180°+180°﹣2∠P，
＝360°﹣2∠P．
【知识点3 8字模型】
【条件】AD、BC相交于点O.
【结论】∠A+∠B=∠C+∠D.(上面两角之和等于下面两角之和)
【证明】在△ABO中，由内角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°，在△CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°，
∴∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，由对顶角相等：∠BOA=∠COD
∴∠A+∠B=∠C+∠D，得证.
【题型3 8字模型】
【例3】（2022春•叙州区期末）如图，BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，若∠A＝45°，∠P＝40°，则∠C的度数为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
【分析】根据三角形内角和定理，得∠A+∠ADG＝∠C+∠GBC，∠A+∠ADE＝∠P+∠PBE．根据角平分线的定义，得到∠GBC＝2∠PBE，∠ADG＝2∠ADE，进而推断出∠A+∠C＝2∠P，从而解决此题．
【解答】解：∵∠A+∠ADG+∠AGD＝180°，∠ABC+∠C+∠BGC＝180°，
∴∠A+∠ADG+∠AGD＝∠ABC+∠C+∠BGC．
又∵∠AGD＝∠BGC，
∴∠A+∠ADG＝∠C+∠GBC．
∴∠A﹣∠C＝∠GBC﹣∠ADG．
同理可得，∠A+∠ADE＝∠P+∠PBE．
∴∠A﹣∠P＝∠PBE﹣∠ADE．
∵BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，
∴∠GBC＝2∠PBE，∠ADG＝2∠ADE．
∴∠A﹣∠C＝2（∠A﹣∠P）．
∴∠A+∠C＝2∠P．
又∵∠A＝45°，∠P＝40°，
∴∠C＝35°．
故选：B．
【变式3-1】（2022春•靖江市校级月考）已知，如图，线段AD、CB相交于点O，连结AB、CD，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P．试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系，请说明理由．
【分析】根据“8字形”可得∠OAB+∠B＝∠OCD+∠D，∠1+∠P＝∠2+∠D，由角平分线的定义可得∠OAB＝2∠1，∠OCD＝2∠2，整理可得结论．
【解答】解：2∠P＝∠B+∠D，理由如下：
如图，
在△AOB和△COD中，
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠OAB+∠B＝∠OCD+∠D，
在△AEP和△CED中，
∵∠AEP＝∠CED，
∴∠1+∠P＝∠2+∠D，
∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线，
∴∠OAB＝2∠1，∠OCD＝2∠2，
∴2∠P﹣∠B＝2∠D﹣∠D，
整理得，2∠P＝∠B+∠D．
【变式3-2】（2022春•新野县期末）在学习并掌握了平行线的性质和判定内容后，数学老师安排了自主探究内容一利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于180°．小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．请将下面（1）中的证明补充完整
（1）已知：如图1，三角形ABC，求证：∠BAC+∠B+∠C＝180°，证明：过点A作EF∥BC．
（2）如图2，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图2这样的图形称之为“8字形”．请利用小颖探究的结论直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： ∠A+∠D＝∠C+∠B ；
（3）在图2的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，得到图3，请判断∠P与∠D、∠B之间存在的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）通过作平行线把三角形的内角转移到同一个顶点，然后利用平角的定义解决问题；
（2）利用（1）的结论即可求解；
（3）利用（2）的结论即可求解．
【解答】（1）证明：过A作EF∥BC，
∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，
又∠EAB+∠BAC+∠FAC＝180°，
∴∠B+∠C+∠BAC＝180°；
（2）解：根据（1）得∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠COB＝180°，
又∠AOD＝∠BOC，
∴∠A+∠D＝∠C+∠B；
故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；
（3）解：2∠P＝∠D+∠B．
根据（2）∠D+∠DAP＝∠P+∠DCP①，∠PAB+∠P＝∠B+∠PCB②，
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，
∴①﹣②得：∠D﹣∠P＝∠P﹣∠B，
∴2∠P＝∠D+∠B．
【变式3-3】（2022春•石家庄期中）如图1至图2，在△ABC中，∠BAC＝α°，点D在边AC所在直线上，作DE垂直于直线BC，垂足为点E；BM为△ABC的角平分线，∠ADE的平分线交直线BC于点G．
特例感悟：
（1）如图1，延长AB交DG于点F，若BM∥DG，∠F＝30°．
解决问题：
①∠ABC＝ 60 °；
②求证：AC⊥AB；
深入探究；
（2）如图2，当α＜90，DG与BM反向延长线交于点H，用含α的代数式表示∠BHD＝ 45°−12α ；
拓展延伸：
（3）当点D在直线AC上移动时，若射线DG与射线BM相交，设交点为N，直接写出∠BND与α的关系式．
【分析】（1）①根据平行线的性质和角平分线的定义可得答案；②根据平行线的性质得∠DGC＝∠CBM＝30°，再根据垂直的定义和角平分线的定义可得结论；
（2）由八字模型可得，△BHG和△DEG中，∠BHD＝∠EDG+90°﹣∠HBG，再整理可得答案；
（3）分情况讨论，分别画出对应图形，再整理即可．
【解答】解：（1）①∵BM∥DG，
∴∠ABM＝∠F＝30°，
∵BM为△ABC的角平分线，
∴∠ABC＝2∠ABM＝60°，
故答案为：60°；
②证明：由①得，∠CBM＝∠ABM＝30°，
∵BM∥DG，
∴∠DGC＝∠CBM＝30°，
∵DE⊥BC，
∴∠EDG＝60°，
∵DG平分∠ADE，
∴∠ADF＝60°，
∴∠A＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴AC⊥AB；
（2）由八字模型可得，△BHG和△DEG中，
∠BHD＝∠EDG+90°﹣∠HBG=12∠ADE+90°﹣（180°−12∠ABC）=12（∠ADE+∠ABC）﹣90°＝45°−12α．
故答案为：45°−12α；
（3）①如图，
由八字模型可得，△ABM和△NMD中，
∠BND＝∠ABN+∠A﹣∠MDN=12∠ABC+α−12（90°﹣∠ACB）=12（∠ABC+∠ACB）+α﹣45°＝45°+12α；
②如图，
由四边形的内角和得，
∠BND＝360°﹣90°−12∠ABC−12∠ADE＝270°−12（270°﹣α）＝135°+12α；
③如图，
由八字模型可得，∠BND+∠ABM＝∠ADG+∠DAB，
∴∠BND=12∠ADE+（180°﹣α）−12∠ABC=12（90°﹣∠ACB）+（180°﹣α）−12∠ABC＝135°−12α；
综上，∠BND＝45°+12α或135°±12α．
【知识点4 飞镖模型】
【条件】四边形ABDC如上左图所示.
【结论】∠D=∠A+∠B+∠C.(凹四边形凹外角等于三个内角和)
【证明】如上右图，连接AD并延长到E，则：
∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C.本质为两个三角形外角和定理证明.
【题型4 飞镖模型】
【例4】（2022春•三明期末）探究与思考：
（1）如图①，∠BPC是△ABP的一个外角，则有结论：∠BPC＝∠A+∠B成立．若点P沿着线段PB向点B运动（不与点B重合），连接PC形成图形②，我们称之为“飞镖”图形，那么请你猜想“飞镖”图形中∠BPC与∠A、∠B、∠C之间存在的数量关系？并证明你的猜想；
（2）利用（1）的结论，请你求出五角星（如图③）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的值，说明你的理由；
（3）若五角星中的点B向右运动，形成如图④⑤形状，（2）中的结论还成立吗？请从图④⑤中任选一个图形说明理由．
【分析】（1）连接AP并延长至F，将“飞镖”图形转化为两个三角形，再根据三角形的外角的性质进行解答；
（2）两次运用三角形外角的性质得到∠C+∠E＝∠1，∠B+∠D＝∠2，相加即可得到∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°；
（3）根据三角形外角的性质可知，在△ACG中，∠AGE＝∠A+∠C，在△BDF中，∠DFE＝∠DBF+∠D，所以，∠A+∠C+∠DBF+∠D+∠E＝180°．
【解答】解：（1）如图②，∠BPC＝∠A+∠B+∠C，
连接AP并延长至F，
则有∠B+∠BAP＝∠BPF，∠C+∠CAP＝∠CPF，
所以∠B+∠C+∠CAP+∠BAP＝∠BPF+∠CPF＝∠BPC，
即∠B+∠C+∠A＝∠BPC，
（2）如图③，∠C+∠E＝∠1，∠B+∠D＝∠2，
则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠A+∠1+∠2＝180°．
（3）如图④，在△ACG中，∠AGE＝∠A+∠C，
在△BDF中，∠DFE＝∠DBF+∠D，
所以，∠A+∠C+∠DBF+∠D+∠E＝∠AGE+∠DFE+∠E＝180°．
【变式4-1】（2022春•井研县期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝α．
（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α＝60°，则∠1+∠2＝ 150° ；
（2）若点P在线段AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为 90°+α ；
（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由；
（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．
【分析】（1）由平角的定义得出，∠CDP＝180﹣∠1，∠CEP＝180﹣∠2，最后用四边形CDPE的内角和是360°即可求得∠1+∠2．
（2）同（1）的方法．
（3）利用三角形的外角的性质即可得出结论．
（4）利用外角的性质和对顶角相等即可得出结论．
【解答】解：（1）由平角的定义知，
∠1+∠CDP＝180°，∠2+∠CEP＝180°，
在四边形CDPE中，∠CDP+∠α+∠PEC+∠C＝360°，
即（180°﹣∠1）+∠α+（180°﹣∠2）+∠C＝360°，
180°﹣∠1+∠α+180°﹣∠2+90°＝360°，
∴∠1+∠2＝90°+α．
当α＝60°时，∠1+∠2＝150°．
故答案为：150°．
（2）由（1）知，∠1+∠2＝90°+α．
故答案为：90°+α．
（3）∠1＝90°+∠2+∠α．理由如下：
由三角形的外角的性质知，
∠DMC＝∠2+∠α，
∠1＝∠C+∠DMC，
∴∠1＝∠C+（∠2+∠α），
即∠1＝90°+∠2+∠α．
（4）∠2＝90°+∠1﹣∠α．理由如下：
由三角形的外角的性质知，
∠2＝∠CFE+∠C，
∠1＝∠PFD+∠α，
∵∠CFE＝∠PFD，
∴∠2﹣∠C＝∠1﹣∠α，
∴∠2＝∠C+∠1﹣∠α，
即∠2＝90°+∠1﹣∠α．
【变式4-2】（2022春•深圳校级期中）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系
（1）已知AB平行于CD，如a图，当点P在AB、CD外部时，∠BPD+∠D＝∠B即∠BPD＝∠B﹣∠D，为什么？请说明理由．如b图，将点P移动到AB、CD内部，以上结论是否仍然成立？若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请说明结论；
（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）
（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
【分析】（1）①利用平行线的性质和三角形的外角即可；②利用平行线的特点作出平行线，再利用平行线的性质即可；
（2）利用三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和即可；
（3）利用三角形的外角的性质把角转化到四边形CDHM中，用四边形的内角和即可．
【解答】解：（1）①∵AB∥CD，
∴∠B＝∠COP，
∵∠COP＝∠BPD+∠D，
∴∠B＝∠BPD+∠D，
即：∠BPD＝∠B﹣∠D，
②不成立，
结论：∠BPD＝∠B+∠D，
理由：如图b，
过点P作PG∥AB，
∴∠B＝∠BPG，
∵PG∥AB，CD∥AB，
∴PG∥CD，
∴∠DPG＝∠D，
∴∠BPD＝∠BPG+∠DPG＝∠B+∠D；
（2）结论：∠DPQ＝∠B+∠BQD+∠D，
理由：如图c，
连接QP并延长，
∵∠BP∠G是△BPQ的外角，
∴∠BPG＝∠B+∠BQP，
同理：∠DPG＝∠D+∠DQP，
∴∠BPD＝∠BPG+∠DPG＝∠B+∠BQP+∠DQP+∠D＝∠B+∠BQD+∠D；
（3）如图d，
∵∠DHM是△BFH的外角，
∴∠DHM＝∠B+∠F，
同理：∠CMH＝∠A+∠E，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠DHM+∠CMH+∠C+∠D＝360°．
【变式4-3】（2022•吉州区期末）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝ 50 °；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数；
③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC＝133°，∠BG1C＝70°，求∠A的度数．
【分析】（1）首先连接AD并延长至点F，然后根据外角的性质，即可判断出∠BDC＝∠A+∠B+∠C．
（2）①由（1）可得∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，然后根据∠A＝40°，∠BXC＝90°，求出∠ABX+∠ACX的值是多少即可．
②由（1）可得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，再根据∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求出∠ADB+∠AEB的值是多少；然后根据∠DCE=12（∠ADB+∠AEB）+∠DAE，求出∠DCE的度数是多少即可．
③根据∠BG1C=110（∠ABD+∠ACD）+∠A，∠BG1C＝70°，设∠A为x°，可得∠ABD+∠ACD＝133°﹣x°，解方程，求出x的值，即可判断出∠A的度数是多少．
【解答】解：（1）如图（1），连接AD并延长至点F，
，
根据外角的性质，可得
∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD，
又∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∠BAC＝∠BAD+∠CAD，
∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C；
（2）①由（1），可得
∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，
∵∠A＝40°，∠BXC＝90°，
∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣40°＝50°，
故答案为：50．
②由（1），可得
∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，
∴∠ADB+∠AEB＝∠DBE﹣∠DAE＝130°﹣40°＝90°，
∴12（∠ADB+∠AEB）＝90°÷2＝45°，
∴∠DCE=12（∠ADB+∠AEB）+∠DAE
＝45°+40°
＝85°；
③∠BG1C=110（∠ABD+∠ACD）+∠A，
∵∠BG1C＝70°，
∴设∠A为x°，
∵∠ABD+∠ACD＝133°﹣x°
∴110（133﹣x）+x＝70，
∴13.3−110x+x＝70，
解得x＝63，
即∠A的度数为63°．
【知识点5 风筝模型】
【条件】四边形ABPC，分别延长AB、AC于点D、E，如上左图所示.
【结论】∠PBD+∠PCE=∠A+∠P.
【证明】如上右图，连接AP，则：∠PBD=∠PAB+∠APB，∠PCE=∠PAC+∠APC，
∴∠PBD+∠PCE=∠PAB+∠APB+∠PAC+∠APC=∠BAC+∠BPC，得证.
【题型5 风筝模型】
【例5】（2022春•南通期末）如图所示，把一个三角形纸片ABC的三个顶角向内折叠之后（3个顶点不重合），图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝ 360 °．
【分析】由折叠可知∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6等于六边形的内角和减去（∠B'FG+∠B'GF）以及（∠C'HI+∠C'IH）和（∠A'DE+∠A'ED），再利用三角形的内角和定理即可求解．
【解答】解：由题意知，
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝720°﹣（∠B'FG+∠B'GF）﹣（∠C'HI+∠C'IH）﹣（∠A'DE+∠A'ED）＝720°﹣（180°﹣∠B'）﹣（180°﹣C'）＝（180°﹣A'）＝180°+（∠B'+∠C'+∠A'）
又∵∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，∠A＝∠A'，
∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°．
故答案为：360．
【变式5-1】（2022春•铜山区期中）（1）如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，请直接写出∠1+2与∠A的关系： ∠1+∠2＝2∠A ．
（2）如图2，把△ABC分别沿DE、FG折叠，使点A落在点A′处，使点B落在点B′处，若∠1+∠2+∠3+∠4＝220°，则∠C＝ 70 °
（3）如图3，在锐角△ABC中，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，BM、CN交于点H，把△ABC沿DE折叠使点A和点H重合，则∠BHC与∠1+∠2的关系是 A ．
A．∠BHC＝180°−12（∠1+∠2）
B．∠BHC＝∠1+∠2
C．∠BHC＝90°+12（∠1+∠2）
D．∠BHC＝90°+∠1﹣∠2
（4）如图4，BH平分∠ABC，CH平分∠ACB，把△ABC沿DE折叠，使点A与点H重合，若∠1+∠2＝100°，求∠BHC的度数．
【分析】（1）根据翻折变换的性质以及三角形内角和定理以及平角的定义求出即可；
（2）根据（1）的结论即可得到结果；
（3）根据翻折变换的性质以及垂线的性质得出，∠AMH+∠ANH＝90°+90°＝180°，进而求出∠A=12（∠1+∠2），即可得出答案；
（4）根据三角形角平分线的性质得出∠HBC+∠HCB＝90°−12∠A，得出∠BIC的度数即可；
【解答】解：（1）∠1+∠2＝2∠A；
理由如下：由折叠的性质得：∠1+2∠ADE＝180°，∠2+2∠AED＝180°，
∴∠1+2∠ADE+∠2+2∠AED＝360°①，
又∵∠A+∠ADE+∠AED＝180°，
∴2（∠A+∠ADE+∠AED）＝360°②，
由①②得：∠1+∠2＝2∠A；
故答案为：∠1+∠2＝2∠A；
（2）由（1）可得，∠A=12（∠1+∠2），∠B=12（∠3+∠4），
∴∠A+∠B=12（∠1+∠2+∠3+∠4）=12×220＝110，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝70°，
故答案为：70°；
（3）理由：∵BM⊥AC，CN⊥AB，
∴∠AMH+∠ANH＝90°+90°＝180°，∠MHN+∠A＝180°，
∴∠BHC＝∠MHN＝180°﹣∠A，由（1）知∠1+∠2＝2∠A．
∴∠A=12（∠1+∠2）．
∴∠BHC＝180°−12（∠1+∠2）．
故选A；
（4）由（1）得：∠1+∠2＝2∠A，
得2∠A＝100°，
∴∠A＝50°，
∵HB平分∠ABC，HC平分∠ACB，
∴∠HBC+∠HCB=12（∠ABC+∠ACB）
=12（180°﹣∠A）＝90°−12∠A，
∴∠BHC＝180°﹣（∠HBC+∠HCB）
＝180°﹣（90°−12∠A）
＝90°+12∠A＝90°+12×50°
＝115°．
【变式5-2】（2022春•常州期中）已知△ABC是一张三角形的纸片．
（1）如图①，沿DE折叠，使点A落在边AC上点A′的位置，∠DA′E与∠1的之间存在怎样的数量关系？为什么？
（2）如图②所示，沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的内部点A′的位置，∠A、∠1与∠2之间存在怎样的数量关系？为什么？
（3）如图③，沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A′的位置，∠A、∠1与∠2之间存在怎样的数量关系？为什么？
【分析】（1）根据翻折的性质可得∠A＝∠DA′E，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和解答即可；
（2）根据翻折变换的性质用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；
（3）根据翻折的性质可得∠A＝∠DA′E，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理即可得解．
【解答】解：（1）∵点A沿DE折叠落在点A′的位置，
∴∠A＝∠DA′E，
根据三角形外角性质，∠1＝∠A+∠DA′E＝2∠DA′E，
即∠1＝2∠DA′E；
（2）∵点A沿DE折叠落在点A′的位置，
∴∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，
∴∠ADE=12（180°﹣∠1），∠AED=12（180°﹣∠2），
在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED＝180°，
∴∠A+12（180°﹣∠1）+12（180°﹣∠2）＝180°，
整理得，2∠A＝∠1+∠2；
（3）如图③，∵点A沿DE折叠落在点A′的位置，
∴∠A＝∠A′，
根据三角形的外角性质，∠3＝∠2+∠A′，
∠1＝∠A+∠3，
∴∠1＝∠A+∠2+∠A′＝∠2+2∠A，
即∠1＝∠2+2∠A．
【变式5-3】（2022春•姜堰市期中）△ABC，直线DE交AB于D，交AC于E，将△ADE沿DE折叠，使A落在同一平面上的A′处，∠A的两边与BD、CE的夹角分别记为∠1，∠2
如图①，当A落在四边形BDEC内部时，探索∠A与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由．
如图②，当A′落在BC下方时，请直接写出∠A与∠1+∠2之间的数量关系．
如图③，当A′落在AC右侧时，探索∠A与∠1，∠2之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据图①中∠A与∠DA′E是相等的，再结合四边形的内角和及互补角的性质可得结论2∠A＝∠1+∠2；
（2）与（1）的证明过程完全相同；
（3）根据图③中由于折叠∠A与∠A′是相等的，再两次运用三角形外角的性质可得结论2∠A＝∠1﹣∠2．
【解答】解：（1）2∠A＝∠1+∠2．理由如下：
如图①，∵∠A+∠A′+∠AEA′+∠ADA′＝360°，
又∵∠1+∠ADA′+∠2+∠AEA′＝360°，
∴∠A+∠A′＝∠1+∠2，
又∵∠A＝∠A′，
∴2∠A＝∠1+∠2；
（2）2∠A＝∠1+∠2．
理由：∵∠A+∠A′+∠AEA′+∠ADA′＝360°，
又∵∠1+∠ADA′+∠2+∠AEA′＝360°，
∴∠A+∠A′＝∠1+∠2，
又∵∠A＝∠A′，
∴2∠A＝∠1+∠2；
（3）2∠A＝∠1﹣∠2．理由如下：
如图③，设DA′交AC于点F．
∵∠1＝∠A+∠DFA，∠DFA＝∠A′+∠2，
∴∠1＝∠A+∠A′+∠2，
∴∠A+∠A′＝∠1﹣∠2，
∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，
∴∠A＝∠A′，
∴2∠A＝∠1﹣∠2．
【知识点6 两内角角平分线模型】
【条件】△ABC中，BI、CI分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且相交于点I.
【结论】
【证明】∵BI是∠ABC平分线，∴∵CI是∠ACB平分线，∴
由A→B→I→C→A的飞镖模型可知：
∠I=∠A+∠2+∠3=∠A++=∠A+=.
【题型6 两内角角平分线模型】
【例6】（2022春•靖江市校级月考）如图，△ABC中，∠BAC＝50°，∠ABC的角平分线与∠ACB的角平分线交于点O．则∠BOC＝ 115° ．
【分析】利用三角形内角和定理先求出∠ABC+∠ACB的度数，再利用角平分线的定义即可求解．
【解答】解：∵∠BAC＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，
∵∠ABC的角平分线与∠ACB的角平分线交于点O，
∴∠ABO＝∠OBC=12∠ABC，∠ACO＝∠OCB=12∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=12∠ABC+12∠ACB=12（∠ABC+∠ACB）=12×130°＝65°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣65°＝115°，
故答案为：115°．
【变式6-1】（2022春•昌平区校级期中）如图，BD，CE，AF分别是△ABC的角平分线，且相交于点O，OH⊥BC于H，试问∠1＝∠2？请说明理由．
【分析】根据角平分线定义得∠ABO=12∠ABC，∠BAO=12∠BAC，∠OCB=12∠ACB，再根据三角形外角性质得∠1＝∠ABO+∠BAO，则∠1=12（∠ABC+∠BAC），然后根据三角形内角和定理得∠ABC+∠BAC+∠ACB＝180°，所以∠1=12（180°﹣∠ACB）＝90°−12∠ACB；再由OH⊥BC得∠OHC＝90°，利用三角形内角和定理得∠2＝90°﹣∠OCH＝90°−12∠ACB，于是可得到∠1＝∠2．
【解答】解：∠1＝∠2．理由如下：
∵BD，CE，AF分别是△ABC的角平分线，
∴∠ABO=12∠ABC，∠BAO=12∠BAC，∠OCB=12∠ACB，
∵∠1＝∠ABO+∠BAO，
∴∠1=12（∠ABC+∠BAC），
∵∠ABC+∠BAC+∠ACB＝180°，
∴∠1=12（180°﹣∠ACB）＝90°−12∠ACB，
又∵OH⊥BC，
∴∠OHC＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠OCH＝90°−12∠ACB，
∴∠1＝∠2．
【变式6-2】（2022春•秀英区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BD，CE相交于点O．
（1）若∠A＝60°，求∠BOC的度数；
（2）求证：∠BOC＝90°+12∠A．
【分析】（1）利用角平分线的性质求出∠2+∠4的度数，再由三角形的内角和定理便可求出∠BOC；
（2）方法同（1）．
【解答】（1）解：∵∠ABC和∠ACB的平分线BD、CE相交于点O，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠2+∠4=12（180°﹣∠A）=12（180°﹣60°）＝60°，
故∠BOC＝180°﹣（∠2+∠4）＝180°﹣60°＝120°．
（2）证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BD、CE相交于点O，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠2+∠4=12（180°﹣∠A）＝90°−12∠A，
故∠BOC＝180°﹣（∠2+∠4）＝180°﹣（90°−12∠A）＝90°+12∠A．
【变式6-3】（2022春•海淀区校级期中）已知AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点E、F，点G为落在直线AB和直线CD之间的一个动点．
（1）如图1，点G恰为∠BEF和∠DFE的角平分线的交点，则∠EGF＝ 90° ；
（2）若点G恰为∠BEF和∠DFE的三等分线的交点，有如下结论：①∠EGF一定为钝角；②∠EGF可能为60°；③若∠EGF为直角，则EF⊥CD．其中正确结论的序号为 ②③ ．
（3）进一步探索，若EF⊥CD，且点G不在线段EF上，记∠AEG＝α，∠CFG＝β，EM为∠AEG最接近EG的n等分线，FN是∠CFG最接近CF的n等分线（其中n≥2）．直线EM、FN交于点Pn，是否存在某一正整数n，使得∠EPnF＝90°？说明理由．
【分析】（1）根据平行线的性质定理，两直线平行同旁内角互补，以及三角形内角和定理来完成．
（2）根据平行线的性质定理，两直线平行同旁内角互补，以及三角形内角和定理，另外角的等分来判断．
（3）按题意添加辅助线，画出相应的EM、FN、点Pn，再根据平行线的性质定理，两直线平行同旁内角互补，以及三角形内角和定理、角的n等分，通过分类别讨论推测出n是否存在，存在的值．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE＝180°，
∵点G恰为∠BEF和∠DFE的角平分线的交点，
∴∠FEG+∠EFG=12×180°＝90°，
∴∠EGF＝180°﹣90°＝90°．
故答案为：90°．
（2）若点G恰为∠BEF和∠DFE的三等分线的交点，
∴∠FEG+∠EFG=13×180°或者∠FEG+∠EFG=23×180°，
∠FEG+∠EFG＝60°或∠FEG+∠EFG＝120°，
∴∠EGF＝180°﹣60°＝120°或∠EGF＝180°﹣120°＝60°，
∴①错误，②正确，
当∠EGF为直角，只有13∠BEF+23∠DFE＝90°或23∠BEF+13∠DFE＝90°，
不妨假设13∠BEF+23∠DFE＝90°，
∴23∠BEF+13∠DFE＝90°，
∴13（∠BEF﹣∠DFE）+23（∠DFE﹣∠BEF）＝0，
∴∠BEF＝∠DFE，
∵∠BEF+∠DFE＝180°，
∴∠BEF＝∠DFE＝90°，
∴EF⊥CD，故③正确．
故答案为：②③．
（3）不存在某一整数n，使得∠EPnF＝90°，理由如下：
∵EM为∠AEG最接近EG的n等分线，FN是∠CFG最接近CF的n等分线（其中n≥2），
∴∠AEM=n−1nα，∠CFM=1nβ．
①当点G在EF的左侧，此时α＜90°，β＜90°，Pn必在EF的左侧，如图2所示，过点Pn作PnQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PnQ∥CD，
∴∠EPnF＝∠EPnQ+∠FPnQ＝∠AEM+∠CFN=n−1nα+1nβ＜n−1n×90°+1n×90°＜90°，
②当点G在右侧，此时α＞90°，β＞90°．
若n−1nα＜90°，则Pn在EF的左侧，如图3中，
同理可得∠EPnF=n−1nα+1nβ＞90°．
若n−1nα＝90°，则Pn与F重合，不存在∠EPnF，舍弃．
若n−1nα＞90°，则Pn在EF的右侧，如图4中，
过点Pn作PnQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PnQ∥CD，
∴∠EPnF＝∠EPnQ﹣∠FPnQ＝∠BEM+∠CFN＝（180°−n−1nα）−1nβ，
∵n−1nα＞90°，1nβ＞0，
∴（180°−n−1nα）−1nβ＜90°，
即∠EPnF＜90°，
综上所述，不存在某一整数n，使得∠EPnF＝90°．
【知识点7 两外角角平分线模型】
【条件】△ABC中，BI、CI分别是△ABC的外角的角平分线，且相交于点O.
【结论】.
【证明】∵BO是∠EBC平分线，∴，∵CO是∠FCB平分线，∴
由△BCO中内角和定理可知：∠O=180°-∠2 -∠5 =180°--=180°--===
【题型7 两外角角平分线模型】
【例7】（2022•平湖市模拟）如图，在△ABC中，∠B，∠C的外角平分线相交于点O，若∠A＝74°，则∠O＝ 53 度．
【分析】根据三角形的内角和定理，得∠ACB+∠ABC＝180°﹣74°＝106°；再根据邻补角的定义，得两个角的邻补角的和是360°﹣106°＝254°；再根据角平分线的定义，得∠OCB+∠OBC＝127°；最后根据三角形的内角和定理，得∠O＝53°．
【解答】解：∵∠A＝74°，
∴∠ACB+∠ABC＝180°﹣74°＝106°，
∴∠BOC＝180°−12（360°﹣106°）＝180°﹣127°＝53°．
【变式7-1】（2022春•新北区校级期中）（1）如图①，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∠A＝40°，求∠BOC的度数；
（2）如图②，△A′B′C′的外角平分线相交于点O′，∠A′＝40°，求∠B′O′C′的度数；
（3）上面（1）、（2）两题中的∠BOC与∠B′O′C′有怎样的数量关系若∠A＝∠A′＝n°，∠BOC与∠B′O′C′是否还具有这样的关系？这个结论你是怎样得到的？
【分析】（1）（2）根据三角形内角和定理和角平分线定义解答；（3）由前两问提供的思路，进一步推理．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，则
∠1+∠2=12∠ABC+12∠ACB=12（∠ABC+∠ACB）
=12（180°﹣∠A）=12×（180°﹣40°）＝70°．
故∠BOC＝180°﹣70°＝110°；
（2）因为∠A的外角等于180°﹣40°＝140°，
△A′B′C′另外的两外角平分线相交于点O′，
根据三角形的外角和等于360°，
所以∠1+∠2=12×（360°﹣140°）＝110°，
∠B′O′C′＝180°﹣110°＝70°；
（3）∵（1）（2）中∠BOC+∠B′O′C′＝110°+70°＝180°，∴∠BOC与∠B′O′C′互补；
证明：当∠A＝n°时，∠BOC＝180°﹣[（180°﹣n°）÷2]＝90°+n°2，
∵∠A′＝n°，∠B′O′C′＝180°﹣[360°﹣（180°﹣n°）]÷2＝90°−n°2，
∴∠A+∠A′＝90°+n°2+90°−n°2=180°，∠BOC与∠B′O′C′互补，
所以当∠A＝∠A′＝n°，∠BOC与∠B′O′C′还具有互补的关系．
【变式7-2】（2022春•江夏区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，延长BA至E，连接CE交AD于F，∠EAD和∠ECD的角平分线相交于点P．若∠E＝60°，∠APC＝70°，则∠D的度数是（ ）
A．80°B．75°C．70°D．60°
【分析】由角平分线的定义可知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，根据三角形的内角和定理，可得：∠E+∠1＝∠P+∠3，进而∴∠1﹣∠3＝∠P﹣∠E＝70°﹣60°＝10°＝∠2﹣∠4，
同理∴∠2﹣∠4＝∠D﹣∠P＝10°，从而求出∠D的度数．
【解答】解：由题意得：∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠E＝60°，∠P＝70°，
在△AME和△PMC中，由三角形的内角和定理得：∠E+∠1＝∠P+∠3，
∴∠1﹣∠3＝∠P﹣∠E＝70°﹣60°＝10°＝∠2﹣∠4，
同理：∠P+∠2＝∠D+∠4，
∴∠2﹣∠4＝∠D﹣∠P＝10°，
∴∠D＝80°．
故选：A．
【变式7-3】（2022春•丰县月考）如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝β．
（1）如图1，若α+β＝105°，求∠MBC+∠NDC的度数；
（2）如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD＝45°，请直接写出α，β所满足的数量关系式；
（3）如图2，若α＝β，判断BE，DF的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）利用四边形的内角和和平角的定义推导即可；
（2）利用角平分线的定义，四边形的内角和以及三角形的内角和转化即可；
（3）利用角平分线的定义以及平行线的判定与性质即可解答．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD的内角和为360°，
∴α+β＝∠A+∠BCD＝360°﹣（∠ABC+∠ADC），
∵∠MBC和∠NDC是四边形ABCD的外角，
∴∠MBC＝180°﹣∠ABC，∠NDC＝180°﹣∠ADC，
∴∠MBC+∠NDC＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ADC
＝360°﹣（∠ABC+∠ADC），
＝α+β＝105°；
（2）β﹣α＝90°（或α﹣β＝﹣90°等均正确）．
理由：如图1，连接BD，
由（1）有，∠MBC+∠NDC＝α+β，
∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，
∴∠CBG=12∠MBC，∠CDG=12∠NDC，
∴∠CBG+∠CDG=12∠MBC+12∠NDC=12（∠MBC+∠NDC）=12（α+β），
在△BCD中，∠BDC+∠CBD＝180°﹣∠BCD＝180°﹣β，
在△BDG中，∠BGD＝45°，∠GBD+∠GDB+∠BGD＝180°，
∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD＝180°，
∴（∠CBG+∠CDG）+（∠BDC+∠CBD）+∠BGD＝180°，
∴12（α+β）+180°﹣β+45°＝180°，∴β﹣α＝90°．
（3）BE∥DF．
理由：如图2，过点C作CP∥BE，
则∠EBC＝∠BCP，
∴∠DCP＝∠BCD﹣∠BCP＝β﹣∠EBC，
由（1）知∠MBC+∠NDC＝α+β，
∵α＝β，
∴∠MBC+∠NDC＝2β，
又∵BE、DF分别平分∠MBC和∠NDC，
∴∠EBC+∠FDC=12（∠MBC+∠NDC）＝β，
∴∠FDC＝β﹣∠EBC，
又∵∠DCP＝β﹣∠EBC，
∴∠FDC＝∠DCP，
∴CP∥DF，
又CP∥BE，
∴BE∥DF．
【知识点8 内外角角平分线模型】
【条件】△ABC中，BP、CP分别是△ABC的内角和外角的角平分线，且相交于点P.
【结论】
【证明】 ∵BP是∠ABC平分线，∴ ∵CP是∠ACE平分线，∴
由△ABC外角定理可知：∠ACE=∠ABC+∠A即：2∠1=2∠3+∠A ……①
对①式两边同时除以2，得：∠1=∠3+ ……②又在△BPC中由外角定理可知：∠1=∠3+∠P ……③
比较②③式子可知：.==.
【题型8 内外角角平分线模型】
【例8】（2022春•榕城区期末）如图，∠AOB＝60°，点M、N分别在OA、OB上运动（不与点O重合），ME平分∠AMN，ME的反向延长线与∠MNO的平分线交于点F，在M、N的运动过程中，∠F的度数（ ）
A．变大B．变小C．等于45°D．等于30°
【分析】由∠AMN是△OMN的外角，∠EMN是△FMN的外角，得到∠AMN＝∠O+∠ONM，∠EMN＝∠F+∠FNM，
再由角平分线，得到∠AMN＝2∠EMN，∠ONM＝2∠FNM，从而得到∠F=12∠O．
【解答】解：∵∠AMN是△OMN的外角，
∴∠AMN＝∠O+∠ONM，
∵∠EMN是△FMN的外角，
∴∠EMN＝∠F+∠FNM，
∵ME平分∠AMN，FN平分∠MNO，
∴∠AMN＝2∠EMN，∠ONM＝2∠FNM，
∴∠O＝2∠F，
∴∠F＝30°．
故选：D．
【变式8-1】（2022春•海陵区校级期末）△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作∠ODC＝∠AOC，交边BC于点D．
（1）如图1，求∠BOD的度数；
（2）如图2，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F．
①求证：BE∥OD；
②若∠F＝50°，求∠BAC的度数；
③若∠F＝∠ABC＝50°，将△BOD绕点O顺时针旋转一定角度α（00＜α＜3600）后得△B'O′D′，B′D′所在直线与FC平行，请直接写出所有符合条件的旋转角度α的值．
【分析】（1）根据角平分线的定义，结合三角形内角和即可得到答案．
（2）①根据角平分线的定义，结合三角形内角和即可得到答案．②结合角平分线的性质，根据三角形外角的性质即可得到答案．③求出∠ODB的度数即可解决
【解答】解：（1）∵三个内角的平分线交于点O，
∴∠OAC+∠OCA=12（∠BAC+∠BCA）=12（180°﹣∠ABC），
∵∠OBC=12∠ABC，
∴∠AOC＝180°﹣（∠OAC+∠OCA）＝90°+12∠ABC＝90°+∠OBC，
∵∠ODC＝∠BOD+∠OBC＝∠AOC，
∴∠BOD＝90°；
（2）①∵三个内角的平分线交于点O，
∴∠EBF=12∠ABE=12（180°﹣∠ABC）＝90°﹣∠DBO，
∵∠ODB＝90°﹣∠OBD，
∴∠FBE＝∠ODB，
∴BF∥OD；
②∵三个内角的平分线交于点O，
∴∠EBF=12∠ABE=12（∠BAC+∠ABC），
∴∠FCB=12∠ACB，
∵∠F＝∠FBE﹣∠BCF=12（∠BAC+∠ACB）−12∠ACB=12∠BAC，
∵∠F＝50°，
∴∠BAC＝2∠F＝100°；
③∠F＝∠ABC＝40°，
由②可知，∠BAC＝80°，
∠BDO＝∠ACB＝60°，
∠OCD＝30°，∠COD＝30°，
易知△BOD绕点O顺时针旋转30°或210°后得△B'O′D′，B′D′所在直线与FC平行．
【变式8-2】（2022•平湖市模拟）如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1＝ α2 ；∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…；∠A2010BC的平分线与∠A2010CD的平分线交于点A2011，得∠A2011，则∠A2011＝ α22011 ．
【分析】根据角平分线的定义可得∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，整理即可求出∠A1的度数，同理求出∠A2，可以发现后一个角等于前一个角的12，根据此规律即可得解．
【解答】解：∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，
∴∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，
又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，
∴12（∠A+∠ABC）=12∠ABC+∠A1，
∴∠A1=12∠A，
∵∠A＝α，
∴∠A1=α2；
同理可得∠A2=12∠A1=12•12α=α22，
∴∠An=α2n，
∴∠A2011=α22011．
故答案为：α2，α22011．
【变式8-3】（2022春•东海县期中）在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验
【结论发现】小明在处理教材第43页第21题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半．
【结论探究】（1）如图1，在△ABC中，点E是△ABC内角∠ACB平分线CE与外角∠ABD的平分线BE的交点，则有∠E=12∠A请补齐下方的说理过程．
理由如下：因为∠EBC+∠EBD＝180°，
又因为在△EBC中，∠EBC+∠E+∠ECB＝180°，
所以∠EBC+∠EBD＝∠EBC+∠E+∠ECB．
所以∠EBD＝∠E+∠ ECB （理由是：等式性质）
同理可得∠ABD＝∠A+∠ ACB ．
又因为BE和CE分别是∠ABD和∠ACB的角平分线，
所以∠EBD=12∠ABD，∠ ECB =12∠ACB．
所以12∠ABD＝∠E+12∠ACB
即∠E=12∠ABD−12∠ACB=12（∠ABD﹣∠ACB）
所以∠E=12∠A．
请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题：
【简单应用】（2）如图2，在△ABC中，∠ABC＝40°．延长BA至G，延长AC至H，已知∠BAC、∠CAG的角平分线与∠BCH的角平分线及其反向延长线交于E、F，求∠F的度数；
【变式拓展】（3）如图3，四边形ABCD的内角∠BCD与外角∠ABG的平分线形成如图所示形状．
①已知∠A＝150°，∠D＝80°，求∠E+∠F的度数；
②直接写出∠E+∠F与∠A+∠D的关系．
【分析】（1）根据解题思路完成填空即可；
（2）根据角平分线的定义可得∠EAF＝90°，再根据（1）的结论可得∠E＝20°，最后由三角形的内角和可得答案；
（3）①延长BA、CD交于点M，延长BF、CE交于点H，求出∠M和∠H的度数可得答案；
②由①的思路可得结论．
【解答】解：（1）因为∠EBC+∠EBD＝180°，
又因为在△EBC中，∠EBC+∠E+∠ECB＝180°，
所以∠EBC+∠EBD＝∠EBC+∠E+∠ECB．
所以∠EBD＝∠E+∠ECB（理由是：等式性质），
同理可得∠ABD＝∠A+∠ACB．
又因为BE和CE分别是∠ABD和∠ACB的角平分线，
所以∠EBD=12∠ABD，∠ECB=12∠ACB．
所以12∠ABD＝∠E+12∠ACB，
即∠E=12∠ABD−12∠ACB=12（∠ABD﹣∠ACB），
所以∠E=12∠A．
故答案为：ECB，ACB，ECB；
（2）∵AE平分∠BAC，AF平分∠GAC，
∴∠EAF＝∠EAC+∠FAC=12∠BAG＝90°，
由（1）得，∠E=12∠B＝20°，
∴∠F＝180°﹣90°﹣20°＝70°；
（3）①延长BA、CD交于点M，延长BF、CE交于点H，
∵∠BAD＝150°，∠ADC＝80°，
∴∠MAD＝180°﹣150°＝30°，∠MDA＝180°﹣80°＝100°，
∴∠M＝180°﹣30°﹣100°＝50°，
由（1）得，∠H=12∠M＝25°，
∴∠HFE+∠HEF＝180°﹣25°＝155°，
∴∠BFE+∠AEF＝360°﹣155°＝205°；
②由①的思路可得，
∠BFE+∠AEF＝360°﹣（180°﹣∠H）＝180°+∠H，
∠BAD+∠ADC＝360°﹣（180°﹣∠M）＝180°+∠M＝180°+2∠H，
∴2（∠BFE+∠AEF）＝∠BAD+∠ADC+180°．
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