苏科版七年级数学下册满分冲刺卷特训10期末解答压轴题(Ⅰ)平面图形的认识(原卷版+解析)

这是一份苏科版七年级数学下册满分冲刺卷特训10期末解答压轴题(Ⅰ)平面图形的认识(原卷版+解析)，共80页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2022春·江苏淮安·七年级校考期末）
(1)（问题） 如图1，若ABCD，∠AEP=40°，∠PFD=130°，求∠EPF的度数；
(2)（问题迁移）如图2，ABCD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；
(3)（问题拓展）如图3所示，在⑵的条件下，已知∠EPF=α，∠PEA 的平分线和∠PFC 的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数．
2．（2022春·江苏南京·七年级统考期末）【概念认识】
在四边形ABCD中，，如果在四边形ABCD内部或边AB上存在一点P，满足，那么称点P是四边形ABCD的“映角点”．
【初步思考】
（1）如图①，在四边形ABCD中，，点P在边AB上且是四边形ABCD的“映角点”．若DA//CP，DP//CB，则的度数为________°．
（2）如图②，在四边形ABCD中，，点P在四边形ABCD内部且是四边形ABCD的“映角点”，延长CP交边AB于点E．求证：．
【综合运用】
（3）在四边形ABCD中，，点P是四边形ABCD的“映角点”，DE、CF分别平分∠ADP、∠BCP，当DE和CF所在直线相交于点Q时，请直接写出∠CQD与满足的关系及对应的取值范围．
3．（2022春·江苏连云港·七年级校考期末）如图1，△ABC的外角平分线交于点F．
（1）若∠A＝40°，则∠F的度数为 ；
（2）如图2，过点F作直线MN∥BC，交AB，AC延长线于点M，N，若设∠MFB＝α，∠NFC＝β，则∠A与α+β的数量关系是 ；
（3）在（2）的条件下，将直线MN绕点F转动．
①如图3，当直线MN与线段BC没有交点时，试探索∠A与α，β之间的数量关系，并说明理由；
②当直线MN与线段BC有交点时，试问①中∠A与α，β之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出三者之间的数量关系．
4．（2022春·江苏连云港·七年级校考期末）如图，已知，直线与交于点，与交于点，射线和射线交于点．
(1)若平分，平分，，则______；
(2)若，，，则______；
(3)将（2）中“”改为“”，其余条件不变，求的度数（用含的代数式表示）；
(4)若将分成两部分，也将分成两部分，，则的度数=______________________（用含的代数式表示）．
5．（2022春·江苏南京·七年级校考期末）【探究结论】
（1）如图，，为形内一点，连结、得到，则、、的关系是______（直接写出结论，不需要证明）：
【探究应用】利用（1）中结论解决下面问题：
（2）如图，，直线分别交、于点、，和为内满足的两条线，分别与的平分线交于点和，求证：．
（3）如图，已知，为上一点，，，若，的度数为整数，则的度数为______．
6．（2022春·江苏扬州·七年级校联考期末）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了，两座可旋转探照灯．假定主道路是平行的，即，，为上两点，平分交于点，为上一点，连接，平分交于点．
(1)若，求的大小；
(2)作交于点，且满足，当时，试说明：；
(3)在（1）问的条件下，探照灯、照出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线以每秒度的速度逆时针转动，探照灯射出的光线以每秒度的速度逆时针转动，光线转至射线后立即以相同速度顺时针回转，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当光线回到出发时的位置时同时停止转动，则在转动过程中，为何值时光线与光线互相平行或垂直，请直接写出的值．
7．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，在中，点D在上，过点D作，交于点E，平分，交的平分线于点P，与相交于点G，的平分线与相交于点Q．
(1)若，则____________，____________；
(2)若，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？并说明理由；
(3)若，则____________，____________；（用含x的代数式表示）；
(4)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数．
8．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期末）我区防汛指挥部在一河道的危险地带两岸各安置一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯光射线自顺时针旋转至便立即逆时针旋转至，如此循环灯光射线自顺时针旋转至便立即逆时针旋转至，如此循环．两灯交叉照射且不间断巡视．若灯转动的速度是度/秒，灯转动的速度是度/秒，且， 满足．若这一带江水两岸河堤相互平行，即，且．根据相关信息，解答下列问题．
（1）__________，__________．
（2）若灯的光射线先转动24秒，灯的光射线才开始转动，在灯的光射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光射线互相平行？
（3）如图2，若两灯同时开始转动照射，在灯的光射线到达之前，若两灯射出的光射线交于点，过点作交于点，则在转动的过程中，与间的数量关系是否发生变化？若不变，请求出这两角间的数量关系；若改变，请求出各角的取值范围．
9．（2022春·江苏扬州·七年级统考期末）如图，已知点E在四边形ABCD的边BC的延长线上，BM、CN分别是∠ABC、∠DCE的角平分线，设∠BAD＝α，∠ADC＝β．
(1)如图1，若α＋β＝180°，判断BM、CN的位置关系，并说明理由：
(2)如图2，若α＋β＞180°，BM、CN相交于点O．
①当α＝70°，β＝150°时，则∠BOC＝_______；
②∠BOC与α、β有怎样的数量关系？说明理由．
(3)如图3，若α＋β＜180°，BM、CN的反向延长线相交于点O，则∠BOC＝______．（用含α、β的代数式表示）．
10．（2022春·江苏淮安·七年级统考期末）在中，，点D是BC上一点，将沿AD翻折后得到，边AE交射线BC于点F．
（1）如（图1），当时，求证：
（2）若，
①如（图2），当时，求x的值．
②是否存在这样的x的值，使得中有两个角相等．若存在，并求x的值；若不存在，请说明理由．
11．（2022春·江苏扬州·七年级统考期末）在苏科版七年级（下）册数学教材第12章证明中，我们学习了一个定理证明“三角形的内角和是180°”．
(1)请你根据你的课堂学习回忆并证明“三角形的内角和是180°”；如图1，在△ABC中，求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°；
(2)如图2，点A、D、C、F在一条直线上，．求证：∠A＋∠B＝∠E＋∠F；
(3)如图3，点AD是的角平分线，E是BC延长线上一点，∠EAC＝∠B，EF⊥AD，垂足为F．求证：EF平分∠AED．
12．（2022春·江苏镇江·七年级统考期末）如图1，在△ABC中，AP平分∠BAC，BP平分∠ABC．
(1)若∠C＝40°．
①∠P的度数为 ；
②如图2，过点P作直线DE∥BC，交边AB、AC于点D、E，则∠APE-∠BPD= °；
(2)若∠C＝α°，小明将（1）中的直线DE绕点P旋转，分别交线段AB，AC于点C，D，如图3，试问在旋转过程中∠APE-∠BPD的度数是否会发生改变？若不变，求出∠APE-∠BPD的度数（用含α的代数式表示），若改变，请说明理由．
13．（2022春·江苏淮安·七年级统考期末）已知：直线．
(1)如图，点E在直线BD的左侧，则∠B，∠D和∠E之间的数量关系是 ．
(2)如图，点E在直线BD的左侧，BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE，试探究∠BFD和∠BED的数量关系，并说明理由．
(3)如图，点E在直线BD的右侧，BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE，请直接写出∠BFD和∠BED的数量关系．
14．（2022春·江苏南通·七年级统考期末）在中，CD平分交AB于点D，点E是射线AB上的动点（不与点D重合），过点E作交直线CD于点F，的角平分线所在的直线与射线CD交于点G．
(1)如图1，点E在线段AD上运动．
①若，，则______°；
②若，求的度数；
(2)若点E在射线DB上运动时，探究与之间的数量关系，请直接写出答案．
15．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，线段与射线垂直，点是射线上一动点（与点不重合），的平分线与的平分线交于点，与的外角的平分线交于点．
(1)求的大小；
(2)当点在射线上运动时，的形状是否变化？若变化，请写出它的变化规律；若不变，请写出它的形状，并说明理由．
16．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期末）（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，则,,,四个角的数量关系是______；
（2）如图2，若,的角平分线,交于点，则与,的数量关系为______.
（3）如图3，，分别平分,，当时，试求的度数（提醒：解决此问题可以直接利用上述结论）：
（4）如图4，如果,，当时，试求的度数.
图1 图2 图3 图4
17．（2022春·江苏泰州·七年级统考期末）已知直线，现有2个三角板和，，，．
图1 图2
(1)将这两块三角板摆成如图1的形式，点D与B重合、点F与C重合，求的度数；
(2)如图2所示，将图1中的固定，把从图1中的位置绕着点F顺时针方向旋转，其中．
①当有一条边与AC垂直时，求的度数；
②边EF和DE与直线GH分别交于Q，K，在旋转的过程中，设，，则m的取值范围为 ．
18．（2022春·江苏苏州·七年级统考期末）已知：如图1，，BD平分，，过点A作直线，延长CD交MN于点E
(1)当时，的度数为______．
(2)如图2，当时，求的度数；
(3)设，用含x的代数式表示的度数．
19．（2022秋·八年级课时练习）已知四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，E是边AB上一点，F为边BC上一点（不与B，C两点重合），连接EF，DF，且EF⊥DF．
(1)如图1，若∠DFC=∠A，求证：AD⊥FD
(2)如图2，∠BEF和∠CDF的平分线相较于点O，当点F在边BC上运动时，探究∠O的大小是否发生变化？若不变，求出∠O的度数；若变化，写出其变化范围．
20．（2022春·江苏淮安·七年级统考期末）已知，点A在射线CE上，把沿AB翻折得，．
(1)若，则的度数为______°；
(2)设，，
①如图1，当点D在直线CE左侧时，求y与x的数量关系，并写出x的取值范围；
②如图2，当点D在直线CE右侧时出y与x的数量关系是_______；
(3)过点D作//交CE于点F，当时，求的度数．
21．（2022春·江苏南京·七年级统考期末）【概念认识】
如图①，在中，若，则BD，BE叫做的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．
(1)【问题解决】
如图②，在中，，，若的三分线BD交AC于点D，则____________°；
(2)如图③，在中，BP、CP分别是邻AB三分线和邻AC三分线，且，求的度数；
(3)【延伸推广】
如图，直线AC、BD交于点O，的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点P．若，，，直接写出的度数．
22．（2022春·江苏南京·七年级统考期末）（1）如图1，AC平分，，试说明AB与CD的位置关系，并予以证明；
（2）如图2，在（1）的结论下，AB的下方点Р满足，G是CD上任一点，PO平分，，GM平分，下列结论：①的值不变；②的度数不变．可以证明，只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值．
23．（2022春·江苏连云港·七年级统考期末）如图1，直线与直线相交于点，、两点同时从点出发，点以每秒个单位长度沿直线向左运动，点以每秒个单位长度沿直线向上运动．
(1)若运动时，点比点多运动1个单位；运动时，点与点运动的路程和为6个单位，则_________，_________．
(2)如图2，当直线与直线垂直时，设和的角平分线相交于点．在点、在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值（写出主要过程）；若发生变化，请说明理由．
(3)如图3，将（2）中的直线不动，直线绕点按顺时针方向旋转，其他条件不变．
（i）用含有的式子表示的度数_________．
（ii）如果再分别作的两个外角，的角平分线相交于点，并延长、交于点．则下列结论正确的是_________（填序号）．
①与互补；②为定值；③为定值；④与互余．
24．（2022春·江苏扬州·七年级统考期末）汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图1，灯射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，灯射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯射出的光束转动的速度是/秒，灯射出的光束转动的速度是/秒，且、满足．假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且．
（1）求、的值；
（2）如图2，两灯同时转动，在灯射出的光束到达之前，若两灯射出的光束交于点，过作交于点，若，求的度数；
（3）若灯射线先转动30秒，灯射出的光束才开始转动，在灯射出的光束到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行?
25．（2022春·江苏苏州·七年级苏州高新区第二中学校考期末）如图，，点A、B分别在直线MN、GH上，点O在直线MN、GH之间，若，．
（1）= ；
（2）如图2，点C、D是、角平分线上的两点，且，求 的度数；
（3）如图3，点F是平面上的一点，连结FA、FB，E是射线FA上的一点，若 ，，且，求n的值．
26．（2022春·江苏南京·七年级统考期末）如图1，已知两条直线，被直线所截，分别交于点，点，平分交于点，且．
（1）判断直线与直线是否平行，并说明理由；
（2）如图2，点是射线上一动点（不与点，重合），平分交于点，过点作于点，设，．
①当点在点的右侧时，若，求的度数；
②当点在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
27．（2023春·江苏·七年级专题练习）【初步认识】
(1)如图①，在△ABC中，BO、CO分别平分、．求证：．
【继续探索】
(2)如图②，在△ABC中，D、E是AB、AC上的点，设，．BO、DO分别平分、．
①若，，求的度数；
②用含m、n的式子直接表示的度数为______°．
(3)如图③，BO、CO分别平分、．射线CO与的平分线所在的直线相交于点H（不与点D重合）．直接写出点H在不同位置时，与之间满足的数量关系（用含m、n的式子表示）．
28．（2021春·江苏扬州·七年级校考期末）已知，，点为射线上一点．
（1）如图1，写出、、之间的数量关系并证明；
（2）如图2，当点在延长线上时，求证：；
（3）如图3，平分，交于点，交于点，且：，，，求的度数．
29．（2022春·江苏连云港·七年级校考阶段练习）【问题情境】
已知，在的两边上分别取点B、C，在的内部取一点O，连接、．设，，探索与、、之间的数量关系．
【初步感知】
如图1，当点O在的边上时，，此时，则与、
、之间的数量关系是．
【问题再探】
（1）如图2，当点O在的内部时，请写出与、、之间的数量关系并说明理由；
（2）如图3，当点O在的外部时，与、、之间的数量关系是________；
【拓展延伸】
（1）如图4，、的外角平分线相交于点P．
①若，，则________°；
②若且，则________°；
③直接写出与、之间的数量关系；
（2）如图5，的平分线与的外角平分线相交于点Q，则________（用、表示）．
特训10 期末解答压轴题（Ⅰ）平面图形的认识
一、解答题
1．（2022春·江苏淮安·七年级校考期末）
(1)（问题） 如图1，若ABCD，∠AEP=40°，∠PFD=130°，求∠EPF的度数；
(2)（问题迁移）如图2，ABCD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；
(3)（问题拓展）如图3所示，在⑵的条件下，已知∠EPF=α，∠PEA 的平分线和∠PFC 的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数．
【答案】(1)∠EPF=90°
(2)∠PFC=∠PEA+∠EPF，理由见解析
(3)α
【分析】(1) 过P点作PH//CD，根据平行线的性质和判定即可得到答案；
(2) 过点P作PH//AB，则PH//CD，根据平行线的性质得出∠PEA=∠HPE，进而得到∠FPH =∠PFC，然后得出∠PEA，∠PFC，∠EPF三个角之间的关系；
(3) 令AB与PF交于点O，连接EF，在△EFG中，利用三角形内角和定理进行计
算，由(2)可知，∠PFC=∠PEA+∠P，得到∠PEA=∠PFC- a，即可得出答案．
【解析】（1）解：过P点作PH//CD
可得：∠1+∠PFD=180°
∵ ∠PFD=130°
∴ ∠ 1 =50°
又∵ AB//CD
∴ PH//AB
可得：∠ 2=∠AEP=40°
故：∠EPF=∠1+∠2=90°
（2）∠PFC=∠PEA+∠EPF
理由：如图2，过点P作PH//AB
可得：∠1=∠PEA
∵ AB//CD
∴ PH//CD
可知：∠PFC=∠HPF
由于∠HPF=∠1+∠EPF
∴ ∠PFC=∠1+∠EPF
即：∠PFC=∠PEA+∠EPF
（3）令AB与PF的交点为O，连接EF，如图3
在△GFE中，∠G=180°-（∠GFE+∠GEF）
∵ ∠GEF=∠PEA+∠OEF
∠GFE=∠PFC+∠OFE
∴ ∠GEF+∠GFE=∠PEA+∠PFC+∠OEF+∠OFE
由⑵可知 ∠PFC=∠PEA+∠EPF
∴ ∠PEA=∠PFC -α
又∵ AB//CD
可得：∠EOF=∠PFC
∴在△ OEF中有：
∠OFE+∠OEF=180°-∠FOE=180°-∠PFC
则 ∠GEF+∠GFE=（∠PFC -α）+∠PFC+180°-∠PFC
=180°- α
∴∠G=180°-（∠GEF+∠GFE）
=180°-（180°- α）
=α
【点睛】本题考查了平行线的性质，以及三角形的内角和定理，以及角的和差倍分，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行同旁内角互补；三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°；
2．（2022春·江苏南京·七年级统考期末）【概念认识】
在四边形ABCD中，，如果在四边形ABCD内部或边AB上存在一点P，满足，那么称点P是四边形ABCD的“映角点”．
【初步思考】
（1）如图①，在四边形ABCD中，，点P在边AB上且是四边形ABCD的“映角点”．若DA//CP，DP//CB，则的度数为________°．
（2）如图②，在四边形ABCD中，，点P在四边形ABCD内部且是四边形ABCD的“映角点”，延长CP交边AB于点E．求证：．
【综合运用】
（3）在四边形ABCD中，，点P是四边形ABCD的“映角点”，DE、CF分别平分∠ADP、∠BCP，当DE和CF所在直线相交于点Q时，请直接写出∠CQD与满足的关系及对应的取值范围．
【答案】（1）60；（2）证明见解析；（3）当时，；当时，．
【分析】（1）根据题意可知∠A=∠B=∠DPC，若DA∥CP，DP∥CB，可以得到∠A=∠B=∠DPC=∠ADP=∠PCB，∠DPB是△ADP的外角，则∠DPC+∠CPB=2∠A，则∠DPC的度数可求；
（2）四边形ADPE中，∠ADP+∠AEP=180°，而∠CEB+∠AEP=180°，所以∠ADP=∠CEB；
（3）当时，当时，分别作出图形，根据题意作出图形都可以求出∠COD与α的关系．
【解析】解：根据题意可知∠A=∠B=∠DPC，
∵DA∥CP，
∴∠DPC=∠ADP，
∵DP∥CB，
∴∠DPC=∠PCB，
∠A=∠B=∠DPC=∠ADP=∠PCB，
∵∠DPB是△ADP的外角，
∴∠DPC+∠CPB=2∠A，
∴∠A=∠CPB，
∴∠B=∠CPB=∠PCB=60°，
故答案为：60．
（2）方法一：∵点P是四边形ABCD的“映角点”
∴，
又，
∴，
在四边形ABCD中，
∴，
又
∴．
方法二：如图，过点P作分别交AD、BC于点F、G
∵，
∴，
∵点P是四边形ABCD的“映角点”
∴．
∴．
在△DFP中，
即
∵，
即
∴
∴．
方法三：如图③，延长DP交边AB于F，
∵点P是四边形ABCD的“映角点”
∴，
∵，
∴，
在△ADF中，，
在△PEF中，，
∴
∴
（3）当时，；
如图，
∠A=∠B=∠DPC=α，
由（2）可知∠ADP=∠CGB，
设∠ADP=∠CGB=x，∠DPC=y，
当时，；
如图，
∠A=∠B=∠DPC=α，
由（2）可知，∠ADP=∠CEB，
设∠ADP=∠CEB=x，∠DPE=y，
∴∠ECQ=（180°-x-α），
则α+y=180°，
x+y+（180°-x-α）+∠Q=180°，
∴∠Q=α-90°，
∵α−90°＞0°，
∴60°＜α＜180°，
∴∠Q=α-90°（60°＜α＜180°）．
当时，．
【点睛】本题考查了三角形的内角与外角，角平分线的定义，解题的关键是熟练运用三角形外角的性质．
3．（2022春·江苏连云港·七年级校考期末）如图1，△ABC的外角平分线交于点F．
（1）若∠A＝40°，则∠F的度数为 ；
（2）如图2，过点F作直线MN∥BC，交AB，AC延长线于点M，N，若设∠MFB＝α，∠NFC＝β，则∠A与α+β的数量关系是 ；
（3）在（2）的条件下，将直线MN绕点F转动．
①如图3，当直线MN与线段BC没有交点时，试探索∠A与α，β之间的数量关系，并说明理由；
②当直线MN与线段BC有交点时，试问①中∠A与α，β之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出三者之间的数量关系．
【答案】（1）70°（2） （3）①见解析 ②不成立；或
【分析】（1）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠F的度数；
（2）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠BFC的度数，再根据平行线的性质，即可得到∠A与α+β的数量关系；
（3）①根据（2）中的结论∠BFC＝90°﹣∠A，以及平角的定义，即可得到∠A与α，β之间的数量关系；
②分两种情况进行讨论，根据（2）中的结论∠BFC＝90°﹣∠A，以及平角的定义，即可得到∠A与α，β之间的数量关系．
【解析】解：（1）如图1，∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝140°，
∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣140°＝220°，
又∵△ABC的外角平分线交于点F，
∴∠FBC+∠FCB＝（∠DBC+∠ECB）＝×220°＝110°，
∴△BCF中，∠F＝180°﹣110°＝70°，
故答案为：70°；
（2）如图2，∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A，
又∵△ABC的外角平分线交于点F，
∴∠FBC+∠FCB＝（∠DBC+∠ECB）＝×（180°+∠A）＝90°+∠A ，
∴△BCF中，∠BFC＝180°﹣（90°+∠A ）＝90°﹣∠A，
又∵∠MFB＝α，∠NFC＝β，MN∥BC，
∴∠FBC＝α，∠FCB＝β，
∵△BCF中，∠FBC+∠FCB+∠BFC＝180°，
∴α+β+90°﹣∠A＝180°，
即α+β﹣∠A＝90°，
故答案为：α+β﹣∠A＝90°；
（3）①α+β﹣∠A＝90°，理由如下：
如图3，由（2）可得，∠BFC＝90°﹣∠A，
∵∠MFB+∠NFC+∠BFC＝180°，
∴α+β+90°﹣∠A＝180°，
即α+β﹣∠A＝90°，
②当直线MN与线段BC有交点时，①中∠A与α，β之间的数量关系不成立．
分两种情况：
如图4，当M在线段AB上，N在AC延长线上时，
由（2）可得，∠BFC＝90°﹣∠A，
∵∠BFC﹣∠MFB+∠NFC＝180°，
∴90°﹣∠A﹣α+β＝180°，
即β﹣α﹣∠A＝90°；
如图5，当M在AB的延长线上，N在线段AC上时，
由（2）可得，∠BFC＝90°﹣∠A，
∵∠BFC﹣∠NFC+∠MFB＝180°，
∴90°﹣∠A﹣β+α＝180°，
即α﹣β﹣∠A＝90°；
综上所述，∠A与α，β之间的数量关系为β﹣α﹣∠A＝90°或α﹣β﹣∠A＝90°．
【点睛】此题主要考查三角形的角度求解与证明，解题的关键是根据题意分情况作图．
4．（2022春·江苏连云港·七年级校考期末）如图，已知，直线与交于点，与交于点，射线和射线交于点．
(1)若平分，平分，，则______；
(2)若，，，则______；
(3)将（2）中“”改为“”，其余条件不变，求的度数（用含的代数式表示）；
(4)若将分成两部分，也将分成两部分，，则的度数=______________________（用含的代数式表示）．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)或或
【分析】（1）根据三角形外角的性质求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，再根据三角形外角性质进行计算即可；
（2）根据三角形外角的性质求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，再根据三角形外角性质进行计算即可；
（3）根据三角形外角的性质求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，再根据三角形外角性质进行计算即可；
（4）分四种情况：①当，时；②当，时；③当，时；④当，时，进行讨论，即可得到的度数．
【解析】（1）解：∵，即，，
∴，
∵平分，平分，，
∴，，
∴．
故答案为：．
（2）解：∵，，
∴，
∵，，，
∴，，
∴；
故答案为：．
（3）解：∵，，
∴，
∵，，，
∴，，
∴．
（4）解：①当时，，
∵，
∵将分成两部分，
即，
∴，
∵，
∴，
解得：；
②当时，，
∵将分成两部分，
即，
∴射线和射线无交点；
③当时，，
∵，
∵将分成两部分，
即，
∴，
∵，
∴，
解得：；
④当时，，
∵，
∵将分成两部分，
即，
∴，
∵，
∴，
解得：；
综上可得：的度数为或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了角平分线的定义以及三角形外角性质，解本题的关键在（4）中找出所有情况．三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
5．（2022春·江苏南京·七年级校考期末）【探究结论】
（1）如图，，为形内一点，连结、得到，则、、的关系是______（直接写出结论，不需要证明）：
【探究应用】利用（1）中结论解决下面问题：
（2）如图，，直线分别交、于点、，和为内满足的两条线，分别与的平分线交于点和，求证：．
（3）如图，已知，为上一点，，，若，的度数为整数，则的度数为______．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）42°或41°
【分析】过点作，根据平行线的性质可得，，进而可求解；
由可知：，由角平分线的定义结合可得，再根据三角形的内角和定理可证明结论；
由知：，设，则，可求得，结合度数的取值范围可求解的取值范围，再利用三角形外角的性质可求解．
【解析】解：过点作，
，
，，
，
．
，
等量代换，
故答案为：；
证明：由可知：，
平分，
，
，
，
，
；
由知：，
设，则，
，
，
，
又，
，
解得，
又是的外角，
，
的度数为整数，
或，
或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识的综合运用，灵活运用平行线的性质求解角的关系是解题的关键．
6．（2022春·江苏扬州·七年级校联考期末）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了，两座可旋转探照灯．假定主道路是平行的，即，，为上两点，平分交于点，为上一点，连接，平分交于点．
(1)若，求的大小；
(2)作交于点，且满足，当时，试说明：；
(3)在（1）问的条件下，探照灯、照出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线以每秒度的速度逆时针转动，探照灯射出的光线以每秒度的速度逆时针转动，光线转至射线后立即以相同速度顺时针回转，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当光线回到出发时的位置时同时停止转动，则在转动过程中，为何值时光线与光线互相平行或垂直，请直接写出的值．
【答案】(1)110°
(2)见解析
(3)t的值为5s或s或s或20s或s
【分析】（1）利用平行线的性质和角平分线的性质可解；
（2）通过计算，利用内错角相等，两直线平行进行判定即可；
（3）分五种情况画图，列出关于的式子即可解答．
【解析】（1）解：∵，，
，，
，
平分，
，
；
（2）解: ∵，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴；
（3）解: ，
当时，则，如图，
∵，
，
，
由题意，，，
，
；
当时，则，如图，

∵，
，
，
，
，
；
当时，则，如图，

∵，
，
，
，
；
当时，则，如图，

由题意，，，
，
∵，
，
，
；
当时，，如图，

，
，
，
．

综上，的值为或或或或
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的判定定理有：同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，反之亦然．
7．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，在中，点D在上，过点D作，交于点E，平分，交的平分线于点P，与相交于点G，的平分线与相交于点Q．
(1)若，则____________，____________；
(2)若，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？并说明理由；
(3)若，则____________，____________；（用含x的代数式表示）；
(4)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数．
【答案】(1)115，25
(2)不发生变化，理由见解析
(3)，
(4)45°，60°，120°，135°
【分析】（1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；
（2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；
（3）将（2）中换成，同理即可求解；
（4）设，由（3）可知，．再由不变，即可分类讨论①当时，②当时，③当时和④当时，分别列出关于x的等式，解出x即可．
【解析】（1）∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴，．
∵平分，
∴．
∴；
∵，
∴．
∵CP平分，CQ平分，
∴，．
∵，
∴，即，
∴．
故答案为：115，25；
（2）当的度数发生变化时，、的度数不发生变化
理由如下：∵，
∴．
∵，
∴，．
∵平分，平分，
∴，．
∴
．
∴
由（1）可知不变，
∴．
∴当的度数发生变化时，、的度数不发生变化；
（3）∵，
∴．
∵，
∴，．
∵平分，平分，
∴，．
∴
．
∴．
由（1）可知不变，
∴．
故答案为：，；
（4）设，
由（3）可知，．
∵，
∴可分类讨论：①当时，
∴，
解得：，
∴；
②当时，
∴，
解得：，
∴；
③当时，
∴，
解得：，
∴；
④当时，
∴，
解得：，
∴．
综上可知或或或．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
8．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期末）我区防汛指挥部在一河道的危险地带两岸各安置一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯光射线自顺时针旋转至便立即逆时针旋转至，如此循环灯光射线自顺时针旋转至便立即逆时针旋转至，如此循环．两灯交叉照射且不间断巡视．若灯转动的速度是度/秒，灯转动的速度是度/秒，且， 满足．若这一带江水两岸河堤相互平行，即，且．根据相关信息，解答下列问题．
（1）__________，__________．
（2）若灯的光射线先转动24秒，灯的光射线才开始转动，在灯的光射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光射线互相平行？
（3）如图2，若两灯同时开始转动照射，在灯的光射线到达之前，若两灯射出的光射线交于点，过点作交于点，则在转动的过程中，与间的数量关系是否发生变化？若不变，请求出这两角间的数量关系；若改变，请求出各角的取值范围．
【答案】（1）4；1；（2）或67.2或128；（3）不变，
【分析】（1）根据平方的非负性即可求出a，b；
（2）设A灯转动x秒，两灯的光束互相平行，分三种情况进行讨论，分别求得t的值即可；
（3）设灯A射线转动时间为x秒，根据，=，可得∠BAC与∠BCD的数量关系．
【解析】解：（1）∵
∴
解得
故答案为：4；1.
（2）设灯光射线转动秒时，两灯的光射线互相平行．
①当灯光射线转第1轮时，
有，则．
②当灯光射线转第2轮时，
有，则．
③当灯光射线转第3轮时，
有，则．
综上：或67.2或128秒时，两灯的光射线互相平行．
（3）设灯转动秒，
∵∠CAN=
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均为0．
9．（2022春·江苏扬州·七年级统考期末）如图，已知点E在四边形ABCD的边BC的延长线上，BM、CN分别是∠ABC、∠DCE的角平分线，设∠BAD＝α，∠ADC＝β．
(1)如图1，若α＋β＝180°，判断BM、CN的位置关系，并说明理由：
(2)如图2，若α＋β＞180°，BM、CN相交于点O．
①当α＝70°，β＝150°时，则∠BOC＝_______；
②∠BOC与α、β有怎样的数量关系？说明理由．
(3)如图3，若α＋β＜180°，BM、CN的反向延长线相交于点O，则∠BOC＝______．（用含α、β的代数式表示）．
【答案】(1)BMCN，理由见解析
(2)①20°；②，理由见解析
(3)
【分析】（1）由α+β=180°先判断ABCD，根据平行线的性质得出∠DCE=∠ABC，再由角平分线的性质证得结论；
（2）①根据α和β的度数，求出∠ABC+∠BCD，根据角平分线的性质可知，∠ECN=∠DCN，∠CBM=∠ABM，设∠ECN=∠DCN=x，∠CBM=∠ABM=y，利用外角表示∠BOC即可；
②根据α和β的度数，求出∠ABC+∠BCD=180°-（α+β），根据角平分线的性质可知，∠ECN=∠DCN，∠CBM=∠ABM，设∠ECN=∠DCN=x，∠CBM=∠ABM=y，利用外角表示∠BOC即可；
（3）根据α和β的度数，求出∠ABC+∠BCD=180°-（α+β），根据角平分线的性质可知，∠ECN=∠DCN，∠CBM=∠ABM，设∠ECN=∠DCN=x，∠CBM=∠ABM=y，利用外角表示∠BOC即可．
（1）
解：CNBM，
理由如下：
∵α+β=180°，
∴ABCD，
∴∠DCE=∠ABC，
∵BM、CN分别是∠ABC、∠DCE的角平分线，
∴∠ECN=∠CBM，
∴CNBM；
（2）
解：①∵α=70°，β=150°，
∴∠ABC+∠BCD=360°-70°-150°=140°，
∵BM、CN分别是∠ABC、∠DCE的角平分线，
∴∠ECN=∠DCN，∠CBM=∠ABM，
设∠ECN=∠DCN=x，∠CBM=∠ABM=y，
∵∠ECN=∠BOC+∠CBM，
∴x=∠BOC+y，
∴∠BOC=x-y，
∵∠ECD+∠DCB=180°，
∴2x+140°-2y=180°，
∴x-y=20°，
∴∠BOC=20°．
故答案为：20°；
②∠BOC=，
理由如下：
∵四边形内角和为360°，
∴∠ABC+∠BCD=360°-（α+β），
∵BM、CN分别是∠ABC、∠DCE的角平分线，
∴∠ECN=∠DCN，∠CBM=∠ABM，
设∠ECN=∠DCN=x，∠CBM=∠ABM=y，
∵∠ECN=∠BOC+∠CBM，
∴x=∠BOC+y，
∴∠BOC=x-y，
∵∠ECD+∠DCB=180°，
∴2x+360°-（α+β）-2y=180°，
∴，
∴∠BOC=；
（3）
解：∠BOC=，
理由如下：
∵四边形内角和为360°，
∴∠ABC+∠BCD=360°-（α+β），
∵BM、CN分别是∠ABC、∠DCE的角平分线，
∴∠ECN=∠DCN，∠CBM=∠ABM，
设∠ECN=∠DCN=x，∠CBM=∠ABM=y，
∵∠CBM=∠BOC+∠BCO，∠ECN=∠BCO，
∴y=∠BOC+x，
∴∠BOC=y-x，
∵∠ECD+∠DCB=180°，
∴2x+360°-（α+β）-2y=180°，
∴，
∴∠BOC=．
故答案为：∠BOC=．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，解题的关键是根据多边形的内角和正确表示出各个角．
10．（2022春·江苏淮安·七年级统考期末）在中，，点D是BC上一点，将沿AD翻折后得到，边AE交射线BC于点F．
（1）如（图1），当时，求证：
（2）若，
①如（图2），当时，求x的值．
②是否存在这样的x的值，使得中有两个角相等．若存在，并求x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）①，②存在，或45
【分析】（1）由，根据同角的余角相等，可得，由折叠的性质可知，等量代换，从而得证；
（2）①根据翻折，和已知条件，求得，从而求得的值
②由①的结论可求得，，分情形讨论，当时，当，当，解方程即可求得，根据题干中的取值范围取舍．
【解析】（1）证明：，，
，，
，
由翻折可知，，
，
；
（2）①，
，
，，
，，
，
，
，
由翻折可知，；
②，则
由翻折可知：
，
，
当时，
，
解得，，
当时，
，
解得，，
，
不合题意，故舍去，
当，
，
解得，，
综上可知，存在这样的x的值，使得中有两个角相等，且或45．
【点睛】本题考查了折叠，轴对称的性质，平行线的判定，直角三角形中两锐角互余，三角形内角和定理，三角形的外角性质，掌握以上知识是解题的关键．
11．（2022春·江苏扬州·七年级统考期末）在苏科版七年级（下）册数学教材第12章证明中，我们学习了一个定理证明“三角形的内角和是180°”．
(1)请你根据你的课堂学习回忆并证明“三角形的内角和是180°”；如图1，在△ABC中，求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°；
(2)如图2，点A、D、C、F在一条直线上，．求证：∠A＋∠B＝∠E＋∠F；
(3)如图3，点AD是的角平分线，E是BC延长线上一点，∠EAC＝∠B，EF⊥AD，垂足为F．求证：EF平分∠AED．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】对于（1），过点A作，得∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC，再结合平角定义得出答案；
对于（2），根据平行线的性质得∠BCA＝∠CDE，再结合三角形内角和定理得出答案；
对于（3），先根据三角形内角和定理和平角定义得∠BAD＋∠B＝∠ADC，再根据角平分线定义得∠BAD＝∠CAD，即可得∠EAD＝∠ADC，然后根据三角形内角和定理得出答案即可．
（1）
证明：过A点作，
∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC．
∵∠DAB＋∠BAC＋∠CAE＝180°，
∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180°．
（2）
证明：∵，
∴∠BCA＝∠CDE．
∵∠A＋∠B＋∠BCA＝180°，∠F＋∠E＋∠EDC＝180°
∴∠A＋∠B＝∠E＋∠F．
（3）
证明：∵∠BAD＋∠B＋∠BDA＝180°，∠BDA＋∠ADC＝180°，
∴∠BAD＋∠B＝∠ADC，
∵AD是的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠CAD＋∠B＝∠ADC．
∵∠EAC＝∠B，
∴∠CAD＋∠EAC＝∠ADC，
即∠EAD＝∠ADC，
∵EF⊥AD，
∴∠EFA＝∠EFD＝90°．
∵∠EFA＋∠EAD＋∠AEF＝180°，∠EFD＋∠ADC＋∠DEF＝180°，
∴∠AEF＝∠DEF，
∴EF平分∠AED．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的判定和应用，角平分线的定义和判定等，理解定理并会应用是解题的关键．
12．（2022春·江苏镇江·七年级统考期末）如图1，在△ABC中，AP平分∠BAC，BP平分∠ABC．
(1)若∠C＝40°．
①∠P的度数为 ；
②如图2，过点P作直线DE∥BC，交边AB、AC于点D、E，则∠APE-∠BPD= °；
(2)若∠C＝α°，小明将（1）中的直线DE绕点P旋转，分别交线段AB，AC于点C，D，如图3，试问在旋转过程中∠APE-∠BPD的度数是否会发生改变？若不变，求出∠APE-∠BPD的度数（用含α的代数式表示），若改变，请说明理由．
【答案】(1)①∠P=110°；②70
(2)∠APE﹣∠BPD的度数不变；90°﹣α
【分析】（1）①根据三角形的内角和定理得到∠CAB+∠ABC=180°-∠C=180°-40°=140°，根据角平分线的定义得到∠BAP=∠CAB，∠ABP=∠ABC，根据三角形的内角和定理即可得到结论；
②根据平行线的性质得到ADE=∠ABC，∠DPB=∠PBC，根据角平分线的定义得到∠BAP=∠CAB，∠ABP=∠ABC，根据三角形外角的性质即可得到结论；
（2）∠根据三角形外角的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．
（1）解：①∵∠C=40°，∴∠CAB+∠ABC=180°-∠C=180°-40°=140°，∵AP平分∠BAC，BP平分∠ABC，∴∠BAP=∠CAB，∠ABP=∠ABC，∴∠P=180°-（∠CAB+∠ABC）=180°-×140°=110°，故答案为：110°；②∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠DPB=∠PBC，∵AP平分∠BAC，BP平分∠ABC，∴∠BAP=∠CAB，∠ABP=∠ABC，∴∠ADP=∠DBP+∠DPB=2∠DPB，∴∠APE-∠BPD=∠BAP+∠ADP-∠DPB=∠BAP+∠ABP=（∠CAB+∠ABC）=×140°=70°，故答案为：70；
（2）解：∠APE-∠BPD的度数不变，∵∠APE-∠BPD=∠ADP+∠DAP-∠BPD=∠ABP+∠BPD+∠DAP-∠BPD=∠ABC+∠BAC=（180°-α）=90°-α．∴∠APE-∠BPD的度数不变．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
13．（2022春·江苏淮安·七年级统考期末）已知：直线．
(1)如图，点E在直线BD的左侧，则∠B，∠D和∠E之间的数量关系是 ．
(2)如图，点E在直线BD的左侧，BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE，试探究∠BFD和∠BED的数量关系，并说明理由．
(3)如图，点E在直线BD的右侧，BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE，请直接写出∠BFD和∠BED的数量关系．
【答案】(1)
(2),理由见解析
(3)
【分析】（1）作直线l平行于AB，根据两直线平行内错角相等，可得∠B=∠1，∠D=∠2，则∠BED=∠1+∠2=∠B+∠D；
（2）根据角平分线的性质可得，根据（1）的结论可得，所以；
（3）过点E作，由两直线平行同旁内角互补可得，根据角平分线的性质可得，代入前式得．
【解析】（1）过点E作直线l平行于AB，如图，
∵
∴
∴∠B=∠1，∠D=∠2
∴∠BED=∠1+∠2=∠B+∠D
即
（2）如图2，
∵BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，
∴，，
∴
由（1），可得
，
∴．
（3）．
解析：如图3，
过点E作
∵，，
∴，
∴，，
∴，
由（1）知，，
又∵BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，
∴，，
∴，
∴
【点睛】本题考查了平行线和角平分线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
14．（2022春·江苏南通·七年级统考期末）在中，CD平分交AB于点D，点E是射线AB上的动点（不与点D重合），过点E作交直线CD于点F，的角平分线所在的直线与射线CD交于点G．
(1)如图1，点E在线段AD上运动．
①若，，则______°；
②若，求的度数；
(2)若点E在射线DB上运动时，探究与之间的数量关系，请直接写出答案．
【答案】(1)①45；②
(2)或
【分析】（1）①根据平行线的性质，角平分线的定义以及三角形的内角和定理，得出，代入进行计算即可；
②由①的方法得出，进而满出，代入计算即可；
（2）分类讨论进行解答，画出相应位置的图形，根据（1）中的结论和平角的定义，可得当点E在线段AD上时，有成立；当点E在线段DB上或DB的延长线上时，有或成立．
【解析】（1）解：①∵EF∥BC，
∴∠B=∠FEB，∠EFD=∠BCD，
∵CF是∠ACB的平分线，EG是∠FED的平分线，
∴，，
又∵∠EGC=∠FEG+∠EFG，
∴，
，
故答案为：45；
②由①得
．
（2）当点E在AD上时，如图（1），由（1）得，；
当点E在线段DB上时，如图（2），
∵平分
当点在射线DB上时，如图（3），由（1）得，，
；
综上所述，∠EGC与∠A之间的数量关系为：或

答：若点E在射线DB上运动时，∠EGC与∠A之间的数量关系为：或．
【点睛】本题考查角平分线，平行线以及三角形内角和定理，理解角平分线的定义、平行线的性质以及三角形内角和定理是解题关键．
15．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，线段与射线垂直，点是射线上一动点（与点不重合），的平分线与的平分线交于点，与的外角的平分线交于点．
(1)求的大小；
(2)当点在射线上运动时，的形状是否变化？若变化，请写出它的变化规律；若不变，请写出它的形状，并说明理由．
【答案】(1)
(2)△EPF是等腰直角三角形，理由见解析
【分析】(1)根据直角三角形的性质及角平分线的定义，可得，据此即可求得；
(2)根据角平分线的定义及平角的定义，即可解答．
（1）
解：∵
∴
∴
∵AE平分∠OAP，PE平分∠APO
∴，
∴
∴
∴∠AEP的度数为；
（2）
解：△EPF是等腰直角三角形，形状不会发生变化；
理由如下：
∵PE平分∠APO，PF平分∠OPD
∴，
∵
∴
∴△EPF是直角三角形．
又，
，
，
∴△EPF是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定，结合图形，熟练掌握和运用直角三角形的性质和角平分线的定义是解决本题的关键．
16．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期末）（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，则,,,四个角的数量关系是______；
（2）如图2，若,的角平分线,交于点，则与,的数量关系为______.
（3）如图3，，分别平分,，当时，试求的度数（提醒：解决此问题可以直接利用上述结论）：
（4）如图4，如果,，当时，试求的度数.
图1 图2 图3 图4
【答案】（1）；（2）；（3）230°；（4）
【分析】（1）由题意易得，，进而问题可求解；
（2）设，，则有，，然后可得，进而问题可求解；
（3）延长、交于点，由（2）知：，然后可得，进而问题可求解；
（4）延长、交于点，设，，同理得：，，然后可得，进而可得，最后问题可求解．
【解析】解：（1）如图1，在中，，
在中，，
∵，
∴；
故答案为：；
（2）如图2，设，，
∵，分别平分，，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（3）如图3，延长、交于点，
由（2）知：，
∵，
∴，
∴，
∴；
（4）如图4，延长、交于点，
设，，
同理得：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查邻补角、角平分线的定义、三角形外角的性质及三角形内角和，熟练掌握邻补角、角平分线的定义、三角形外角的性质及三角形内角和是解题的关键．
17．（2022春·江苏泰州·七年级统考期末）已知直线，现有2个三角板和，，，．
图1 图2
(1)将这两块三角板摆成如图1的形式，点D与B重合、点F与C重合，求的度数；
(2)如图2所示，将图1中的固定，把从图1中的位置绕着点F顺时针方向旋转，其中．
①当有一条边与AC垂直时，求的度数；
②边EF和DE与直线GH分别交于Q，K，在旋转的过程中，设，，则m的取值范围为 ．
【答案】(1)15°
(2)①60°或90°②
【分析】（1）根据两角差即可计算；
（2）①当有一条边与AC垂直时，可能出现两种情况，边DE、EF分别与AC垂直时进行分析；
②在中，根据外角，得，根据题意，，从而求出范围．
(1)
解：
(2)
解：①当DE与AC垂直时， ;当EF与AC垂直时，；
②在中，根据外角，
则，
化简得，
根据题意，
∴
∴
【点睛】本题考查了角度的计算、旋转角、三角形外角，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
18．（2022春·江苏苏州·七年级统考期末）已知：如图1，，BD平分，，过点A作直线，延长CD交MN于点E
(1)当时，的度数为______．
(2)如图2，当时，求的度数；
(3)设，用含x的代数式表示的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意证明，进而可得，根据，即可求解．继而可得，即可求得；
（2）根据全等三角形的性质可得，根据三角形内角和定理可得，进而根据即可求解．
（3）根据（1）（2）的方法分类讨论即可求解．
（1）
解： BD平分， ，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，
（2）
解：由（1）可知，
，
，
，
，
，
，
（3）
解：设，
，
，
，
，
当点在点的左侧时，
，
当点在点的右侧时，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的内角和定理的应用，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
19．（2022秋·八年级课时练习）已知四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，E是边AB上一点，F为边BC上一点（不与B，C两点重合），连接EF，DF，且EF⊥DF．
(1)如图1，若∠DFC=∠A，求证：AD⊥FD
(2)如图2，∠BEF和∠CDF的平分线相较于点O，当点F在边BC上运动时，探究∠O的大小是否发生变化？若不变，求出∠O的度数；若变化，写出其变化范围．
【答案】(1)见解析
(2)不变，45°
【分析】（1）要证明AD⊥FD，只要证明AD∥EF即可求证；
（2）延长EF于OD交于H，在△OEH，△DFH中，分别利用外角的性质得到∠EHD=∠OEH+∠O，∠EFD=∠EHD+∠FDO，进而得到 ∠EFD=∠FDO+∠OEH+∠O，再利用角平分线的定义得到∠FDO+∠OEH=45，即可求得∠O=45°．
【解析】（1）∵EF⊥DF
∴∠EFB+∠DFC=90°
∵∠B=90°
∴∠BEF+∠EFB=90°
∴∠DFC=∠BEF
∵∠DFC=∠A
∴∠BEF=∠A
∴AD∥EF
∵∠EFD=90°
∴∠ADF=90°
∴AD⊥DF
（2）不变 ，∠O=45°
延长EF于OD交于H，
在△OEH中，∠EHD=∠OEH+∠O
在△DFH中，∠EFD=∠EHD+∠FDO
∴ ∠EFD=∠FDO+∠OEH+∠O
∵∠EFD=90°
∴∠FDO+∠OEH+∠O=90°
∵∠B=∠C=90°，且∠EFD=90°
∴∠BEF+∠FDC=90°
∵OE，OD分别为∠BEF和∠FDC的角平分线
∴∠FDO+∠OEH=45°
∴∠O=45°
【点睛】本题考查了垂直的证明及角平分线的定义的计算，三角形外角的性质的灵活应用是解题的关键．
20．（2022春·江苏淮安·七年级统考期末）已知，点A在射线CE上，把沿AB翻折得，．
(1)若，则的度数为______°；
(2)设，，
①如图1，当点D在直线CE左侧时，求y与x的数量关系，并写出x的取值范围；
②如图2，当点D在直线CE右侧时出y与x的数量关系是_______；
(3)过点D作//交CE于点F，当时，求的度数．
【答案】(1)125°
(2)①y=2x-110，；②（）
(3)79°或115°
【分析】（1）根据翻折后所得图形与原图形角度相等，所以∠D=∠C=90°，则可求出∠BAC=55°，则；
（2）①先求出∠BAC的度数，利用∠DAE=180°-2∠BAC列出表达式即可得y与x的数量关系，因为点D在CE左侧，所以∠BAC<90°，利用∠BAC=180°-∠CBA-x可求出x的取值范围；
②点D在CE右侧，则90°<∠BAC<180°，将∠BAC的表达式代入即可求出x的范围；
（3）根据（2）中两种情况分别进行讨论，利用两直线平行同位角相等和内错角相等，结合条件列出等式，先求出∠DAE和∠C，从而可以求出∠BAD．
【解析】（1）∵沿AB翻折得
∴∠DBA=∠CBA
∵
∴∠CBA=
∵
∴∠BAC=90°-35°=55°
∴
（2）①根据（1）中所求，∠CBA=35°，
∴∠BAC=180°-35°-x°=145°-x°
∵∠BAD=∠BAC
∴∠DAE=180°-2∠BAC
∴y=180-2(145-x)=2x-110
∵点D在CE左侧
∴
∴
即：
解得：
所以，y=2x-110，
②当点D在CE右侧时，
∵∠BAC=145°-x°
∴
∵点D在CE右侧
∴
∴90°<145°-x°<180°
解得：
∵∠C是三角形的一个内角
∴
∴
所以， （）
（3）
①当点D在CE左侧时
∵
∴
∵∠DAE=2∠C-110°，
∴
∴
∴
②当点D在CE右侧时
∵
∴∠C=∠DFC
∵∠DAE=110°-2∠C，∠EFD=180°-∠DFC
∴180°-∠C=3(110°-2∠C)
∴∠C=30°
∴∠BAD=∠BAC=145°-30°=115°
所以，的度数为79°或115°
【点睛】本题考查了翻折的性质和平行线的性质，熟练掌握相关知识，利用各角之间的数量关系进行代换是解题的关键．
21．（2022春·江苏南京·七年级统考期末）【概念认识】
如图①，在中，若，则BD，BE叫做的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．
(1)【问题解决】
如图②，在中，，，若的三分线BD交AC于点D，则____________°；
(2)如图③，在中，BP、CP分别是邻AB三分线和邻AC三分线，且，求的度数；
(3)【延伸推广】
如图，直线AC、BD交于点O，的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点P．若，，，直接写出的度数．
【答案】(1)85或100
(2)45°
(3)59°或52°或或
【分析】（1）根据题意可得的三分线有两种情况，画图根据三角形的外角性质即可得的度数；
（2）根据、分别是邻三分线和邻三分线，且可得，进而可求的度数；
（3）画出符合条件的所有情况，①当DP和CP分别是“邻AD三分线”、 “邻BC三分线”时，②当DP和CP分别是“邻AD三分线”、 “邻AC三分线”时，③当DP和CP分别是“邻OD三分线”、“邻BC三分线”时， ④当DP和CP分别是“邻OD三分线”、“邻AC三分线”时， 再根据三角形的内角和定理求出答案即可．
(1)
解：如图，
当是“邻三分线”时，；
当是“邻三分线”时，；
故答案为：85或100；
(2)
∵，
∴，
∴，
∵BP、CP分别是邻AB三分线和邻AC三分线，
∴，，
∴，
∴，
∴；
(3)
如图1，当DP和CP分别是“邻AD三分线”、“邻BC三分线”时，
，
②如图2，当DP和CP分别是“邻AD三分线”、“邻AC三分线”时，
由得，
同理可得：，
；
③如图3，当DP和CP分别是“邻OD三分线”、“邻BC三分线”时，
，
由得，
同理可得：，
；
④如图4，当DP和CP分别是“邻OD三分线”、“邻AC三分线”时，
，
由得，
同理可得：，
；
综上，∠DPC的度数为59°或52°或 或．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，掌握三角形的外角性质是解决本题的关键．注意要分情况讨论．
22．（2022春·江苏南京·七年级统考期末）（1）如图1，AC平分，，试说明AB与CD的位置关系，并予以证明；
（2）如图2，在（1）的结论下，AB的下方点Р满足，G是CD上任一点，PO平分，，GM平分，下列结论：①的值不变；②的度数不变．可以证明，只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值．
【答案】（1），证明见解析；（2）②正确，19°
【分析】（1）由AC平分DAB，12，可得∠2=∠BAC,进而即可得到结论；
（2）由角平分线的定义和三角形外角的性质，可得∠MGP=（∠BPG+∠B），由PQ∥GN，得∠NGP=∠GPQ=∠BPG，进而由∠MGN=∠MGP-∠NGP，即可得到结论．
【解析】解：（1）．
理由如下：∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）②正确
如图，根据三角形的外角性质，，
∵平分，平分，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴②的度数不变．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理与平行线的性质和判定定理，理清角的和差倍分关系，是解题的关键．
23．（2022春·江苏连云港·七年级统考期末）如图1，直线与直线相交于点，、两点同时从点出发，点以每秒个单位长度沿直线向左运动，点以每秒个单位长度沿直线向上运动．
(1)若运动时，点比点多运动1个单位；运动时，点与点运动的路程和为6个单位，则_________，_________．
(2)如图2，当直线与直线垂直时，设和的角平分线相交于点．在点、在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值（写出主要过程）；若发生变化，请说明理由．
(3)如图3，将（2）中的直线不动，直线绕点按顺时针方向旋转，其他条件不变．
（i）用含有的式子表示的度数_________．
（ii）如果再分别作的两个外角，的角平分线相交于点，并延长、交于点．则下列结论正确的是_________（填序号）．
①与互补；②为定值；③为定值；④与互余．
【答案】(1)1，2
(2)不变，135°
(3)（i）；（ii）①③④
【分析】（1）构建方程组即可解决问题；（2）根据角平分线的定义，三角形的内角和定理求出∠APB即可；（3）（ⅰ）根据角平分线的定义，三角形内角和定理即可解决问题；（ⅱ）结论：①③④正确．根据角平分线的定义，三角形内角和定理一一证明即可；
【解析】（1）由题意：，解得，故答案为1，2．
（2）解：不变化．．理由：如图2，
∵直线直线，
∴，
即，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
在中，，
∴度数不变化，总是等于．
（3）
（i）由题意得∠AOB＝90°＋α，∠OAB＋∠OBA＝90°−α，∵AP平分∠BAO，BP平分∠ABO，∴∠PAB＋∠PBA＝＝45°−α，∴∠APB＝180°−（45°−α）＝135°＋α故答案为：．
（ii）①∠APB与∠Q互补；正确．理由：∵AQ平分∠CAB，BQ平分∠ABD，∴∠Q＝180°−(∠QAB＋∠QBA)＝180°−[(180°−∠OAB)＋(180°−∠OBA)]＝(∠OAB＋∠OBA)＝[180°−(90°＋α)]＝45°−α，∴∠APB＋∠Q＝135°＋α＋45°−α＝180°
②∠M−∠Q为定值．错误．理由：∵∠Q＝45°−α，∴∠M＝90°−∠Q＝45°＋α，∴∠M−∠Q＝α，不是定值．
③∠APB−∠M为定值；正确．理由：同法可证：∠PAM＝90°，∴∠APB＝∠PAM＋∠M，∴∠APB−∠M＝90°为定值．④∠Q与∠M互余；正确．理由：∵BQ平分∠ABD，BM平分∠ABO，∴∠MBQ＝(∠ABD＋∠ABO)＝90°，∴∠Q＋∠M＝90°．故答案为①③④
【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的定义、三角形内角和定理、二元一次方程组等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
24．（2022春·江苏扬州·七年级统考期末）汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图1，灯射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，灯射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯射出的光束转动的速度是/秒，灯射出的光束转动的速度是/秒，且、满足．假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且．
（1）求、的值；
（2）如图2，两灯同时转动，在灯射出的光束到达之前，若两灯射出的光束交于点，过作交于点，若，求的度数；
（3）若灯射线先转动30秒，灯射出的光束才开始转动，在灯射出的光束到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行?
【答案】（1），；（2）30°；（3）15秒或82.5秒
【分析】（1）解出式子即可；
（2）根据，用含t的式子表示出，根据（2）中给出的条件得出方程式 ，求出 t的值，进而求出的度数；
（3）根据灯B的要求，t<150，在这个时间段内A可以转3次，分情况讨论．
【解析】解：（1）．
又，．
，；
（2）设灯转动时间为秒，
如图，作，而

，，
，
，
，
，
（3）设灯转动秒，两灯的光束互相平行．
依题意得
①当时，
两河岸平行，所以
两光线平行，所以
所以，
即：，
解得；
②当时，
两光束平行，所以
两河岸平行，所以
所以，，
解得；
③当时，图大概如①所示
，
解得（不合题意）
综上所述，当秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行．
【点睛】这道题考查的是平行线的性质和一元一次方程的应用．根据平行线的性质找到对应角列出方程是解题的关键．
25．（2022春·江苏苏州·七年级苏州高新区第二中学校考期末）如图，，点A、B分别在直线MN、GH上，点O在直线MN、GH之间，若，．
（1）= ；
（2）如图2，点C、D是、角平分线上的两点，且，求 的度数；
（3）如图3，点F是平面上的一点，连结FA、FB，E是射线FA上的一点，若 ，，且，求n的值．
【答案】（1）100；（2）75°；（3）n=3．
【分析】（1）如图：过O作OP//MN，由MN//OP//GH得∠NAO+∠POA=180°，∠POB+∠OBH=180°，即∠NAO+∠AOB+∠OBH=360°，即可求出∠AOB；
（2）如图：分别延长AC、CD交GH于点E、F，先根据角平分线求得，再根据平行线的性质得到；进一步求得，，然后根据三角形外角的性质解答即可；
（3）设BF交MN于K，由∠NAO=116°，得∠MAO=64°，故∠MAE=，同理∠OBH=144°，∠HBF=n∠OBF，得∠FBH=，从而，又∠FKN=∠F+∠FAK，得，即可求n．
【解析】解：（1）如图：过O作OP//MN，
∵MN//GHl
∴MN//OP//GH
∴∠NAO+∠POA=180°，∠POB+∠OBH=180°
∴∠NAO+∠AOB+∠OBH=360°
∵∠NAO=116°，∠OBH=144°
∴∠AOB=360°-116°-144°=100°；
（2）分别延长AC、CD交GH于点E、F，
∵AC平分且，
∴，
又∵MN//GH，
∴；
∵，
∵BD平分，
∴，
又∵
∴；
∴；
（3）设FB交MN于K，
∵，则；
∴
∵，
∴，，
在△FAK中，,
∴，
∴．
经检验：是原方程的根，且符合题意.
【点睛】本题主要考查平行线的性质及应用，正确作出辅助线、构造平行线、再利用平行线性质进行求解是解答本题的关键．
26．（2022春·江苏南京·七年级统考期末）如图1，已知两条直线，被直线所截，分别交于点，点，平分交于点，且．
（1）判断直线与直线是否平行，并说明理由；
（2）如图2，点是射线上一动点（不与点，重合），平分交于点，过点作于点，设，．
①当点在点的右侧时，若，求的度数；
②当点在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
【答案】（1）平行，理由见解析；（2）①25°；②或
【分析】（1）依据角平分线，可得，根据，可得，进而得出；
（2）①依据平行线的性质可得，再根据平分，平分，即可得到，再根据，即可得到中，；
②分两种情况进行讨论：当点在点的右侧时，．当点在点的左侧时，．
【解析】解：（1）平分，
，
又，
，
；
（2）①如图2，，，
，
又平分，平分，
，，
，
又，
中，，
即；
②分两种情况讨论：
如图2，当点在点的右侧时，．
证明：，
，
又平分，平分，
，，
，
又，
中，，
即；
如图3，当点在点的左侧时，．
证明：，
，
又平分，平分，
，，
，
又，
中，，
即．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；利用角的和差关系进行推算．
27．（2023春·江苏·七年级专题练习）【初步认识】
(1)如图①，在△ABC中，BO、CO分别平分、．求证：．
【继续探索】
(2)如图②，在△ABC中，D、E是AB、AC上的点，设，．BO、DO分别平分、．
①若，，求的度数；
②用含m、n的式子直接表示的度数为______°．
(3)如图③，BO、CO分别平分、．射线CO与的平分线所在的直线相交于点H（不与点D重合）．直接写出点H在不同位置时，与之间满足的数量关系（用含m、n的式子表示）．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
(3)当点H在△ABC内时，，当点H在△ABC外时，．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理，角平分线的定义，即可求解．
（2）根据（1）的模型代入计算即可求解；
（3）根据题意分类讨论，当点H在△ABC内时，当点H在△ABC外时，分别根据三角形的内角和定理计算，即可求解．
【解析】（1）证明：∵BO、CO分别平分、，
∴，．∵，
∴．
∵，∴．
∴．
（2）根据第（1）问建立模型，延长DE、BC交于点F，可将图②补形成下图：
①由题（1）可知．
∵，
，，
∴．
∴．
②同理可得：；
（3）当点H在△ABC内时，，
设交于点，
当点H在△ABC外时，．
如图，设交于点，
【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定义与三角形的外角的性质，分类讨论是解题的关键．
28．（2021春·江苏扬州·七年级校考期末）已知，，点为射线上一点．
（1）如图1，写出、、之间的数量关系并证明；
（2）如图2，当点在延长线上时，求证：；
（3）如图3，平分，交于点，交于点，且：，，，求的度数．
【答案】（1），证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【分析】（1）过E作EH∥AB，根据两直线平行，内错角相等，即可得出∠AED=∠AEH+∠DEH=∠EAF+∠EDG；
（2）设CD与AE交于点H，根据∠EHG是△DEH的外角，即可得出∠EHG=∠AED+∠EDG，进而得到∠EAF=∠AED+∠EDG；
（3）设∠EAI=∠BAI=α，则∠CHE=∠BAE=2α，进而得出∠EDI=α+10°，∠CDI=α+5°，再根据∠CHE是△DEH的外角，可得∠CHE=∠EDH+∠DEK，即2α=α+5°+α+10°+20°，求得α=70°，即可根据三角形内角和定理，得到∠EKD的度数．
【解析】解：（1）∠AED=∠EAF+∠EDG．理由：如图1，
过E作EH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EH，
∴∠EAF=∠AEH，∠EDG=∠DEH，
∴∠AED=∠AEH+∠DEH=∠EAF+∠EDG；
（2）证明：如图2，设CD与AE交于点H，
∵AB∥CD，
∴∠EAF=∠EHG，
∵∠EHG是△DEH的外角，
∴∠EHG=∠AED+∠EDG，
∴∠EAF=∠AED+∠EDG；
（3）∵AI平分∠BAE，
∴可设∠EAI=∠BAI=α，则∠BAE=2α，
如图3，∵AB∥CD，
∴∠CHE=∠BAE=2α，
∵∠AED=20°，∠I=30°，∠DKE=∠AKI，
∴∠EDI=α+30°-20°=α+10°，
又∵∠EDI：∠CDI=2：1，
∴∠CDI=∠EDK=α+5°，
∵∠CHE是△DEH的外角，
∴∠CHE=∠EDH+∠DEK， 即2α=α+5°+α+10°+20°，
解得α=70°，
∴∠EDK=70°+10°=80°，
∴△DEK中，∠EKD=180°-80°-20°=80°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，运用三角形外角性质进行计算求解．解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
29．（2022春·江苏连云港·七年级校考阶段练习）【问题情境】
已知，在的两边上分别取点B、C，在的内部取一点O，连接、．设，，探索与、、之间的数量关系．
【初步感知】
如图1，当点O在的边上时，，此时，则与、
、之间的数量关系是．
【问题再探】
（1）如图2，当点O在的内部时，请写出与、、之间的数量关系并说明理由；
（2）如图3，当点O在的外部时，与、、之间的数量关系是________；
【拓展延伸】
（1）如图4，、的外角平分线相交于点P．
①若，，则________°；
②若且，则________°；
③直接写出与、之间的数量关系；
（2）如图5，的平分线与的外角平分线相交于点Q，则________（用、表示）．
【答案】[问题再探]（1）结论：∠BOC=∠BAC+∠1+∠2．证明见解析；（2）∠BOC+∠BAC+∠1+∠2=360°；[拓展延伸]（1）①25；②20；③∠BOC=∠A+2∠P；（2）
【分析】[问题再探]（1）如图2中，结论：．连接，延长到．利用三角形的外角的性质解决问题即可．
（2）利用四边形内角和定理解决问题即可．
[拓展延伸]（1）①求出，再利用结论，构建关系式即可解决问题．
②根据，可得结论．
③根据，可得结论．
（2）结论：．设，．构建方程组求解即可．
【解析】解：[问题再探]（1）如图2中，结论：．
理由：连接，延长到．
，，
．
（2）如图3中，结论：．
理由：连接．
，，
，
．
[拓展延伸]①如图4中，
，，
，
、的外角平分线相交于点，
，
，
故答案为：25．
②，，
，
，
故答案为：20．
③，
．
（2）如图5中，结论：．
理由：设，．
则有．
②①可得，，
即，
故答案为：．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，把四边形转化为三角形解决，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题．