沪教版七年级数学下册满分冲刺卷专题09等腰三角形(重点)(原卷版+解析)

这是一份沪教版七年级数学下册满分冲刺卷专题09等腰三角形(重点)(原卷版+解析)，共39页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2023春·七年级单元测试）的三边分别是a，b，c，不能判定是等腰三角形的是（ ）
A．B．
C．，D．
2．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）如图，已知，，那么下列结论中，错误的是（ ）
A．
B．平分
C．如果取边上的中点M，联结交于N，那么
D．点N是的中点
3．（2023春·上海·七年级专题练习）下列条件中，不能说明△ABC为等边三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B＝60°B．∠B+∠C＝120°
C．∠B＝60°，AB＝ACD．∠A＝60°，AB＝AC
4．（2019春·上海浦东新·七年级统考阶段练习）下列语句中错误的是_______.
A．有一个角是的等腰三角形是等边三角形；
B．连接等边三角形三边中点所构成的三角形，也是等边三角形:
C．三角形的外角和为
D．等腰三角形的对称轴是顶角平分线
5．（2021·上海·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC，D是AB的中点，且DE＝BE，则∠C的度数是（ ）
A．65°B．70°C．75°D．80°
6．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，在等边△ABC中，∠BAD＝20°，AE＝AD，则∠CDE的度数是（ ）
A．10°B．12.5°C．15°D．20°
7．（2020秋·上海·八年级校考期中）如图所示，在中，，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
8．（2019秋·重庆綦江·八年级重庆市綦江中学校考期中）如图，在三角形ABC中，已知∠B和∠C的平分线相交于点D，过点D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，若BE+CF=9，则线段EF长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
9．（2019春·上海浦东新·七年级上海市民办新竹园中学校考期中）如图：D，E分别是△ABC的边BC、AC上的点，若AB=AC，AD=AE，则（ ）
A．当∠B为定值时，∠CDE为定值
B．当∠α为定值时，∠CDE为定值
C．当∠β为定值时，∠CDE为定值
D．当∠γ为定值时，∠CDE为定值
10．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，C为线段上一动点（不与A，D重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中完全正确的有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
二、填空题
11．（2023春·上海·七年级专题练习）等腰三角形的对称轴是____________________________．
12．（2023春·上海·七年级专题练习）等腰三角形的两边长分别为和，这个等腰三角形的周长为_______．
13．（2022春·上海闵行·七年级校考阶段练习）如果等腰三角形的一个角的度数为 ，那么其余的两个角的度数是______．
14．（2023春·上海·七年级专题练习）在中，如果，，那么的形状为______．
15．（2023春·上海·七年级专题练习）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则顶角的度数是______．
16．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，在中，D、E是BC的三等分点，是等边三角形，则______度．
17．（2023春·七年级单元测试）如图，在等边中，是边上的高，延长至点E，使，则的长为 ___________．
18．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，E是BC边上一点，将△ABE沿AE翻折，点B落到点D的位置，AD边与BC边交于点F，如果AE＝AF＝DE，那么∠BAC＝_______度．
三、解答题
19．（2022春·上海·七年级期末）如图，已知D是△ABC的边BC上一点，AB＝AC＝BD，AD＝CD，求∠B的度数．
20．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，在中，BE平分，点D是BC边上的中点，．
(1)说明的理由；
(2)若，求的度数．
21．（2023春·上海·七年级专题练习）填空完成下列说理：
如图，与交于点，联结、、，已知，．
说明：．
在与中，
（已知）
（已知）
（______）
≌（______）
（______）
（______）
（______）
（______）
即．
22．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，是等边三角形，是的中点，连接，延长至，使，连接．
(1)等于多少度？
(2)说明与相等的理由．
23．（2023春·上海·七年级专题练习）已知，根据下列条件，画图及填空：
(1)画，使，，
(2)在（1）的条件下，画的中线．
(3)在（1）、（2）的条件下，从引出一条射线，将切割成两个等腰三角形，射线与边相交于点，请画出射线，在图中标出的大小，并写出______．
24．（2023春·上海·七年级专题练习）已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB、BC的延长线上，且AD＝BE，联结DC、AE．
(1)试说明△BCD≌△ACE的理由；
(2)如果BE＝2AB，求∠BAE的度数．
25．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E、F分别在、、上，且，，试说明的理由．
解：因为，（已知），
所以是等边三角形（ ）
所以．
又因为△ABC是等边三角形（已知），
所以 （ ）
所以（等量代换），
因为∠ （ ），
即，
所以（ ）
在和中，
，
所以（ ）
所以（ ）
26．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，BE与CD相于点F．求证：
（1）∠ADC＝∠AEB；
（2）FD＝FE．
27．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，已知中，，点D是线段AB上的一点，以BD为底边作等腰，腰CD经过点O，且满足．
(1)如图①，如果，说明的理由．
(2)如图②，延长线段AO交线段BC于点E，如果是等腰三角形，求：的度数．
28．（2023春·上海·七年级专题练习）已知：如图，在△ABC中，点D，E是边BC上的两点，且AB＝BE，AC＝CD．
(1)若∠BAC＝90°，求∠DAE的度数；
(2)若∠BAC＝120°，直接写出∠DAE的度数；
(3)设∠BAC＝α，∠DAE＝β，猜想α与β的之间数量关系（不需证明）．
29．（2023春·上海·七年级专题练习）已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．
(1)求∠DOE的度数；
(2)试判断△MNC的形状，并说明理由．
30．（2023春·上海·七年级专题练习）在等边的两边所在直线上分别有两点，为外一点，且，，．探究：当分别在直线上移动时，之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系．
(1)如图1，是周长为9的等边三角形，则的周长 ；
(2)如图1，当点边上，且时，之间的数量关系是 ；此时 ；
(3)点在边，且当时，猜想（2）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明．
专题09 等腰三角形（重点）
一、单选题
1．（2023春·七年级单元测试）的三边分别是a，b，c，不能判定是等腰三角形的是（ ）
A．B．
C．，D．
【答案】D
【分析】根据等腰三角形的判定，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答．
【解析】解：A、因为，，所以，所以是等腰三角形；
B、因为 ，所以设，则有两边相等的是等腰三角形；
C、因为 ，所以，则，所以是等腰三角形；
D、因为，，则，那么， ，不能判定是等腰三角形．
故选：D.
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定，以及三角形内角和定理是解题的关键．
2．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）如图，已知，，那么下列结论中，错误的是（ ）
A．
B．平分
C．如果取边上的中点M，联结交于N，那么
D．点N是的中点
【答案】D
【分析】设，根据等腰三角形的性质可得，利用外角的性质可得，进而得出，再根据三角形内角和定理可得；根据，，可得平分；根据等腰三角形“三线合一”可得，再利用外角的性质可得；最后根据三角形中位线的性质可判断D选项错误．
【解析】解：设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，故A选项结论正确，不合题意；
，，
平分，故B选项结论正确，不合题意；
，点M是边上的中点，
，
，故C选项结论正确，不合题意；
与不平行，，
，即点N不是的中点，故D选项结论错误，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
3．（2023春·上海·七年级专题练习）下列条件中，不能说明△ABC为等边三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B＝60°B．∠B+∠C＝120°
C．∠B＝60°，AB＝ACD．∠A＝60°，AB＝AC
【答案】B
【分析】根据等边三角形的判定定理可得出答案．
【解析】A．∵∠A＝∠B＝60°，
∴∠C＝60°，
∴∠A＝∠B＝∠C，
∴△ABC是等边三角形．
故A选项不符合题意；
B．∵∠B+∠C＝120°，
∴∠A＝60°，
∴△ABC不一定是等边三角形，
故B选项符合题意；
C．∵∠B＝60°，AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形．
故C选项不符合题意；
D．∵∠A＝60°，AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形．
故D选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定，三角形内角和定理，能熟记等边三角形的判定定理是解此题的关键．
4．（2019春·上海浦东新·七年级统考阶段练习）下列语句中错误的是_______.
A．有一个角是的等腰三角形是等边三角形；
B．连接等边三角形三边中点所构成的三角形，也是等边三角形:
C．三角形的外角和为
D．等腰三角形的对称轴是顶角平分线
【答案】D
【分析】分别利用等边三角形的判定方法对AB进行判断，利用三角形外角和对C进行判断，利用对称轴是直线对D进行判断后，即可得到结论．
【解析】解：A、根据等边三角形的判定得出：有一个角是的等腰三角形是等边三角形，故A正确；
B、顺次连接三角形三边的中点所成的线段，根据中位线的性质可知都是对应边的一半，所以所构成的三角形也是等边三角形，故B正确；
、根据三角形的外角和等于360°可知，故C正确；
、沿某等腰三角形的顶角平分线所在直线翻折后左右能够重合，而顶角平分线是线段不是直线，故D错误.
故选．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定、三角形中位线定理、等腰三角形性质及三角形外角和定理，解题的关键是熟悉对称轴是直线而三角形角平分线是线段以及等边三角形的判定定理．
5．（2021·上海·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC，D是AB的中点，且DE＝BE，则∠C的度数是（ ）
A．65°B．70°C．75°D．80°
【答案】C
【分析】根据直角三角形的性质得到DE＝AB＝BD＝AD，得到△BDE为等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【解析】解：∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝90°，
∵D是AB的中点，
∴DE＝AB＝BD＝AD，
∵DE＝BE，
∴DE＝BE＝BD，
∴△BDE为等边三角形，
∴∠ABE＝60°，
∴∠A＝90°﹣60°＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝×（180°﹣30°）＝75°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理和等边三角性质，准确计算是解题的关键．
6．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，在等边△ABC中，∠BAD＝20°，AE＝AD，则∠CDE的度数是（ ）
A．10°B．12.5°C．15°D．20°
【答案】A
【分析】先求出，根据等腰三角形性质求出，可求出，再根据三角形的外角性质求出，即可求出答案．
【解析】解：是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的外角性质，三角形的内角和定理等知识点的综合运用，解题的关键是考查了学生运用定理进行推理和计算的能力．
7．（2020秋·上海·八年级校考期中）如图所示，在中，，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据等边对等角和三角形内角和定理可得∠B=∠C=（180°－∠A）=90°－，然后根据三角形外角的性质和已知可证出∠DEB=∠CDF，结合平角的定义和三角形的内角和定理可证∠EDF=∠B=90°－．
【解析】解：∵，
∴∠B=∠C=（180°－∠A）=90°－
∵=∠C＋∠CDF
∴∠DEB=∠CDF
∵∠B＋∠DEB＋∠EDB=180°，∠EDF＋∠CDF＋∠EDB=180°
∴∠EDF＋∠CDF＋∠EDB=∠B＋∠DEB＋∠EDB
∴∠EDF=∠B=90°－
故选A．
【点睛】此题考查的是等腰三角形的性质、三角形内角和定理和三角形外角的性质，掌握等边对等角、三角形内角和定理和三角形外角的性质是解题关键．
8．（2019秋·重庆綦江·八年级重庆市綦江中学校考期中）如图，在三角形ABC中，已知∠B和∠C的平分线相交于点D，过点D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，若BE+CF=9，则线段EF长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】D
【分析】由平行线的性质可得内错角∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，再由角平分线的性质可得∠ABD=∠EDB，∠ACD=∠FDC，即BE=DE，DF=FC，进而可求EF的长．
【解析】∵EF∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，
∵BD、CD分别平分∠ABC与∠ACB，
∴∠ABD=∠DBC，∠ACD=∠DCB，
∴∠ABD=∠EDB，∠ACD=∠FDC，
即BE=DE，DF=FC，
EF=DE+DF=BE+FC=9．
故选D．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的性质和等腰三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握．
9．（2019春·上海浦东新·七年级上海市民办新竹园中学校考期中）如图：D，E分别是△ABC的边BC、AC上的点，若AB=AC，AD=AE，则（ ）
A．当∠B为定值时，∠CDE为定值
B．当∠α为定值时，∠CDE为定值
C．当∠β为定值时，∠CDE为定值
D．当∠γ为定值时，∠CDE为定值
【答案】B
【解析】试题分析：本题主要考查等腰三角形的性质和外角的性质，掌握等边对等角和三角形的外角等于不相邻两内角的和是解题的关键．根据等边对等角，可找到角之间的关系，再利用外角的性质可找到∠CDE和∠1之间的关系，从而得到答案．
解：
A∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∠ADC=∠α+∠B，
∴∠ADE=∠ADC-∠CDE=∠α+∠B-∠CDE，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠γ=∠CDE+∠C=∠CDE+∠B，
∴∠1+∠B-∠CDE=∠CDE+∠B，
∴∠1=2∠CDE，
∴当∠α为定值时，∠CDE为定值，
故选B．
考点：等腰三角形的性质．
10．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，C为线段上一动点（不与A，D重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中完全正确的有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】B
【分析】①证明，即可得到；②证明，得到，进而得到为等边三角形，得到，即可得到；③由，即可得证；④，得到，进而得到；⑤根据，得到，再根据对顶角相等和三角形内角和定理，即可得到．
【解析】解：①和均是等边三角形，点A，C，E在同一条直线上，
∴，，．
∴，
∴，故①正确；
②∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
又，
∴为等边三角形，
∴，
∴，故②正确；
③由②知：，
∴，故③正确；
④∵、为正三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，故④错误；
⑤由①知：，
∴，
又∵，
∴，故⑤正确；
综上：正确的有共4个；
故选B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形外角的性质和三角形内角和定理．熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等，是解题的关键．
二、填空题
11．（2023春·上海·七年级专题练习）等腰三角形的对称轴是____________________________．
【答案】底边上的高（顶角平分线或底边的中线）
【分析】本题根据等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是底边上的高所在的直线，因为等腰三角形底边上的高，顶角平分线，底边上的中线三线合一，所以等腰三角形的对称轴是底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在的直线．
【解析】解：根据等腰三角形的性质，等腰三角形的对称轴是底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在的直线．
故答案为：底边上的高（顶角平分线或底边的中线）．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质及轴对称图形的知识；对两个性质的熟练掌握是正确解答本题的关键．
12．（2023春·上海·七年级专题练习）等腰三角形的两边长分别为和，这个等腰三角形的周长为_______．
【答案】15
【分析】由等腰三角形两腰长相等的性质，分为腰长或为腰长两种情况，结合三角形三边关系即可求解．
【解析】解：根据题意，当腰长为时，6、6、3能组成三角形，
周长为：；
当腰长为时，，6、3、3不能构成三角形，
故答案为：15．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，解题的关键是掌握“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”．
13．（2022春·上海闵行·七年级校考阶段练习）如果等腰三角形的一个角的度数为 ，那么其余的两个角的度数是______．
【答案】，或，
【分析】根据等腰三角形性质，分类讨论即可得到答案．
【解析】解：①当时顶角时，其余两个角是底角且相等，则有：；
②当时底角时，则有：顶角；
故答案为：，或，．
【点睛】本题考查等腰三角形性质：两个底角相等，还考查了分类讨论的思想．
14．（2023春·上海·七年级专题练习）在中，如果，，那么的形状为______．
【答案】等边三角形
【分析】根据三个角相等的三角形是等边三角形证明即可．
【解析】在中，由得，
又∵，
∴，
∴是等边三角形．
故答案为：等边三角形．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，以及等边三角形的判定，熟练掌握三个角相等的三角形是等边三角形是解答本题的关键．
15．（2023春·上海·七年级专题练习）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则顶角的度数是______．
【答案】或
【分析】首先根据题意画出图形，一种情况是等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为；另一种情况是等腰三角形为钝角三角形，即可推出顶角的度数为；
【解析】如图1，等腰三角形为锐角三角形，
∵，，
∴；
如图2，等腰三角形为钝角三角形，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：或
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正确的画出图形，结合图形利用数形结合的思想求解是解题的关键．
16．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，在中，D、E是BC的三等分点，是等边三角形，则______度．
【答案】120
【分析】由三等分点，可知，由是等边三角形，可知，，则，由等边对等角可得，，根据三角形外角的性质可求的值，在中，根据三角形内角和定理知，计算求解即可．
【解析】解：∵D，E是BC的三等分点，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
在中，，
∴．
故答案为：120．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等边对等角，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识．解题的关键在于明确角度的数量关系．
17．（2023春·七年级单元测试）如图，在等边中，是边上的高，延长至点E，使，则的长为 ___________．
【答案】3
【分析】由等边三角形的性质可得，根据是边上的高线，可得，再由题中条件，即可求得．
【解析】解：∵是等边三角形，
∴，
∵是边上的高线，
∴D为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：3．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及等边三角形的性质，考查了学生综合运用数学知识的能力，得到是正确解答本题的关键．
18．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，E是BC边上一点，将△ABE沿AE翻折，点B落到点D的位置，AD边与BC边交于点F，如果AE＝AF＝DE，那么∠BAC＝_______度．
【答案】108
【分析】由等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，令∠B＝∠C＝x，根据折叠的性质以及等腰三角形的性质分别用含有x的代数式表示出∠D，∠EFD，∠FED，再根据三角形的内角和定理求解即可．
【解析】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
令∠B＝∠C＝x，
由折叠的性质可得∠D＝∠B＝x.
∵AE＝ED，
∴∠EAD＝∠D＝x.
∵AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE=.
∵∠AEF+∠AEB＝180°，∠AFE+∠EFD＝180°，
∴∠AEB=∠EFD＝.
∵∠AEB＝∠AED，
∴∠AED＝，
∴∠FED＝x.
在△EFD中，∠FED+∠EFD+∠D＝180°，
即，
解得x＝36°，
∴∠B＝36°，
∴∠BAC＝180°﹣2∠B＝108°．
故答案为：108．
【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及等腰三角形的性质，能用含有x的代数式表示出∠D，∠EFD，∠FED是解答本题的关键．
三、解答题
19．（2022春·上海·七年级期末）如图，已知D是△ABC的边BC上一点，AB＝AC＝BD，AD＝CD，求∠B的度数．
【答案】36°
【分析】根据AB＝AC可得∠B＝∠C，CD＝DA可得∠ADB＝2∠C＝2∠B，BA＝BD，可得∠BDA＝∠BAD＝2∠B，在△ABD中利用三角形内角和定理可求出∠B．
【解析】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵CD＝DA，
∴∠C＝∠DAC，
∵BA＝BD，
∴∠BDA＝∠BAD，
∵∠ADB=∠C+∠CAD，
∴∠BDA＝∠BAD＝2∠C＝2∠B，
又∵∠B+∠BAD+∠BDA＝180°，
∴5∠B＝180°，
∴∠B＝36°．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理和方程思想的应用．
20．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，在中，BE平分，点D是BC边上的中点，．
(1)说明的理由；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）利用已知条件即可证明（SAS）；
（2）根据，，可知，即，由点D是BC边上的中点（等腰三角形三线合一），可知，由（1），可知=．
【解析】（1）解：∵BE平分，
∴，
∵点D是BC边上的中点，，
∴，
在和中，
∵，
∴（SAS）；
（2）∵，，
∴，
∴，
∵点D是BC边上的中点，
∴，
∴，
∵，
∴=．
【点睛】本题主要考查的是三角形全等的判定和性质，以及等腰三角形三线合一的应用，利用已知条件进行证明是解题的关键．
21．（2023春·上海·七年级专题练习）填空完成下列说理：
如图，与交于点，联结、、，已知，．
说明：．
在与中，
（已知）
（已知）
（______）
≌（______）
（______）
（______）
（______）
（______）
即．
【答案】对顶角相等；ASA；全等三角形的对应角相等；全等三角形的对应边相等；等边对等角；等式性质．
【分析】根据对顶角相等得到，再证明≌，所以，根据等边对等角证明，最后根据等式性质即可解答．
【解析】解：在与中，
已知，
已知，
对顶角相等，
≌，
全等三角形的对应角相等，
全等三角形的对应边相等，
等边对等角，
等式性质，
即．
故答案为：对顶角相等；ASA；全等三角形的对应角相等；全等三角形的对应边相等；等边对等角；等式性质．
【点睛】本题主要考查对顶角相等，全等三角形的判定和性质，解题关键是对相应的知识的掌握与应用．
22．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，是等边三角形，是的中点，连接，延长至，使，连接．
(1)等于多少度？
(2)说明与相等的理由．
【答案】(1)
(2)理由见解析
【分析】（1）先根据等边三角形的性质得出，由可知，再根据三角形外角的性质即可得出结论；
（2）根据等边三角形三线合一的性质得出，在由在同一三角形中等角对等边的性质即可得出结论．
【解析】（1）解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
（2）理由如下：
∵是等边三角形，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质．熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
23．（2023春·上海·七年级专题练习）已知，根据下列条件，画图及填空：
(1)画，使，，
(2)在（1）的条件下，画的中线．
(3)在（1）、（2）的条件下，从引出一条射线，将切割成两个等腰三角形，射线与边相交于点，请画出射线，在图中标出的大小，并写出______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）问利用量角器可以画出 和，顺次连接点A、B、C得到；
（2）问用刻度尺取AC中点D，连接BD，线段BD为的中线；
（3）因为， =60°，所以，从引出一条射线将切割成两个等腰三角形，让，此时，， 和为等腰三角形，符合题意．
【解析】（1）（1）如图1所示，将量角器中心与点对齐，0刻度线与对齐，内圈30°线条指向作射线；将量角器中心与点对齐，0刻度线与对齐，外圈60°线条指向作射线；射线与交点为点，则即为所求．
（2）（2）如图2所示，取中点为点，作线段，则为的中线，线段即为所求．
（3）（3）如图3所示，从引出一条射线将切割成两个等腰三角形和等腰三角形（点为等腰三角形和等腰三角形的顶点），
∴，
在中，，，
∴，
∴，则，
又∵点为的中点，
∴，
故图3中射线即为所求；的度数为60°，如图3所示；．
【点睛】本题考查作图能力和三角形中线、等腰三角形的知识，熟练掌握用量角器和刻度尺做基本图形、三角形中线概念、等腰三角形概念是解决本题的关键．
24．（2023春·上海·七年级专题练习）已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB、BC的延长线上，且AD＝BE，联结DC、AE．
(1)试说明△BCD≌△ACE的理由；
(2)如果BE＝2AB，求∠BAE的度数．
【答案】(1)见解析
(2)90°
【分析】（1）由等边三角形的性质得出AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°．可证明△BCD≌△ACE；
（2）证得AC＝CE，得出∠CAE＝∠E，可求出∠E＝30°，由三角形的内角和定理可求出答案．
【解析】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°．
∴∠DBC＝∠ECA=120°．
∵AD＝BE，
∴AD﹣AB＝BE﹣BC，
即BD＝CE．
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS）；
（2）解∶∵BE＝2BC，
∴BC＝CE，
∵AC＝BC，
∴AC＝CE，
∴∠CAE＝∠E，
∵∠ACB＝∠CAE+∠E＝60°，
∴∠E＝30°，
∵∠ABE+∠E+∠BAE＝180°，∠ABE=60°，
∴∠BAE＝180°﹣∠ABE﹣∠E＝90°．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
25．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E、F分别在、、上，且，，试说明的理由．
解：因为，（已知），
所以是等边三角形（ ）
所以．
又因为△ABC是等边三角形（已知），
所以 （ ）
所以（等量代换），
因为∠ （ ），
即，
所以（ ）
在和中，
，
所以（ ）
所以（ ）
【答案】见详解
【分析】根据等边三角形性质与判定，三角形内外角关系及三角形全等的性质与判定直接填写即可得到答案．
【解析】解：因为，（已知），
所以是等边三角形（有一个角是的等腰三角形是等边三角形）
所以．
又因为△ABC是等边三角形（已知），
所以（等边三角形三个角都是 ）
所以（等量代换），
因为（三角形外角等于与它不相邻两个内角之和 ），
即，
所以（等量代换 ）
在和中，
，
所以（）
所以（全等三角形对应边相等）
【点睛】本题考查等边三角形性质与判定，三角形内外角关系及三角形全等的性质与判定，解题的关键是根据两次等边三角形转换角度相等．
26．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，BE与CD相于点F．求证：
（1）∠ADC＝∠AEB；
（2）FD＝FE．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）先证明∠BAE=∠CAD，然后根据SAS证明△ABE≌△ACD即可得到∠ADC=∠AEB；
（2）连接DE，由AD=AE，可得∠ADE=∠AED，再由∠ADC=∠AEB ，可得∠ADC-∠ADE =∠AEB-∠AED，即∠FDE=∠FED，则FD=FE ．
【解析】证明：（1）∵∠BAD=∠CAE（已知），
∴∠BAD+∠EAD=∠CAE+∠DAE（等式性质），即∠BAE=∠CAD．
在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD（AAS），
∴∠ADC=∠AEB；
（2）连结DE，
∵AD=AE（已知），
∴∠ADE=∠AED(等边对等角)．
∵∠ADC=∠AEB (已证)，
∴∠ADC-∠ADE =∠AEB-∠AED（等式性质），即∠FDE=∠FED．
∴FD=FE (等角对等边)．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．
27．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，已知中，，点D是线段AB上的一点，以BD为底边作等腰，腰CD经过点O，且满足．
(1)如图①，如果，说明的理由．
(2)如图②，延长线段AO交线段BC于点E，如果是等腰三角形，求：的度数．
【答案】(1)见详解；
(2)36°或45°.
【分析】先证，再证≌即可；
设的度数为，分当时，当时，当时，三种情况进行解答即可．
【解析】（1）证明：，
，
∵OC=OB
∴
又∵∠ABO=∠OBC
，
在与中，
≌,
∴AB=BC.
（2）解：延长AO交CB与点E,如图，
∵△CDB为等腰三角形，
∴
∵,,
∴
设的度数为，则，，
当时，
∵
即,
∴这种情况不存在；
当时，
，
解得：，
当时，
，
解得：，
∵,
∴综上所述，当为等腰三角形时，∠C的度数为或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，正确的进行分类讨论是解决问题的关键．
28．（2023春·上海·七年级专题练习）已知：如图，在△ABC中，点D，E是边BC上的两点，且AB＝BE，AC＝CD．
(1)若∠BAC＝90°，求∠DAE的度数；
(2)若∠BAC＝120°，直接写出∠DAE的度数；
(3)设∠BAC＝α，∠DAE＝β，猜想α与β的之间数量关系（不需证明）．
【答案】(1)45°；
(2)30°；
(3)α+2β＝180°．
【分析】（1）根据等腰三角形性质得出∠BAE＝∠BEA，∠CAD＝∠CDA，根据三角形内角和定理得出∠B＝180°﹣2∠BAE①，∠C＝180°﹣2∠CAD②，①+②得出∠B+∠C＝360°﹣2（∠BAE+∠CAD），求出2∠DAE＝180°﹣∠BAC，代入求出即可；
（2）由∠DAE＝（180°﹣∠BAC）解答；
（3）同（1），根据等腰三角形性质得出∠BAE＝∠BEA，∠CAD＝∠CDA，根据三角形内角和定理得出∠B＝180°﹣2∠BAE①，∠C＝180°﹣2∠CAD②，①+②得出∠B+∠C＝360°﹣2（∠BAE+∠CAD），求出2∠DAE＝180°﹣∠BAC，代入求出即可．
【解析】（1）解：（1）∵BE＝BA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴∠B＝180°﹣2∠BAE，①
∵CD＝CA，
∴∠CAD＝∠CDA，
∴∠C＝180°﹣2∠CAD，②
①+②得：∠B+∠C＝360°﹣2（∠BAE+∠CAD）
∴180°﹣∠BAC＝360°﹣2[（∠BAD+∠DAE）+（∠DAE+∠CAE）]，
∴﹣∠BAC＝180°﹣2[（∠BAD+∠DAE+∠CAD）+∠DAE]，
∴﹣∠BAC＝180°﹣2（∠BAC+∠DAE），
∴2∠DAE＝180°﹣∠BAC．
∵∠BAC＝90°，
∴2∠DAE＝180°﹣90°＝90°，
∴∠DAE＝45°；
（2）由（1）知，∠DAE＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣120°）＝30°；
（3）∵BE＝BA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴∠B＝180°﹣2∠BAE，①
∵CD＝CA，
∴∠CAD＝∠CDA，
∴∠C＝180°﹣2∠CAD，②
①+②得：∠B+∠C＝360°﹣2（∠BAE+∠CAD）
∴180°﹣∠BAC＝360°﹣2[（∠BAD+∠DAE）+（∠DAE+∠CAE）]，
∴﹣∠BAC＝180°﹣2[（∠BAD+∠DAE+∠CAD）+∠DAE]，
∴﹣∠BAC＝180°﹣2（∠BAC+∠DAE），
∴2∠DAE＝180°﹣∠BAC．
∵∠BAC＝α，
∴2β＝180°﹣α，
∴α+2β＝180°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质的应用，关键是推出2∠DAE＝180°﹣∠BAC．
29．（2023春·上海·七年级专题练习）已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．
(1)求∠DOE的度数；
(2)试判断△MNC的形状，并说明理由．
【答案】(1)∠DOE=60°；
(2)△MNC是等边三角形，理由见解析
【分析】（1）证明△ACD≌BCE（SAS），得∠ADC=∠BEC，再求出∠ADE+∠BED=120°，即可得出∠DOE的度数；
（2）证明△ACM≌△BCN得CM=CN，∠ACM=∠BCN，再求出∠MCN=60°，即可得出△MNC是等边三角形．
【解析】（1）解：∵△ABC、△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，，
∴△ACD≌BCE（SAS），
∴∠ADC=∠BEC，
∵△DCE是等边三角形，
∴∠CED=∠CDE=60°，
∴∠ADE+∠BED
=∠ADC+∠CDE+∠BED
=∠ADC+60°+∠BED=∠BEC+∠CED+60°
=∠DEC+60°
=60°+60°
=120°，
∴∠DOE=180°-（∠ADE+∠BED）=60°；
（2）解：△MNC是等边三角形，理由如下：
由（1）得：△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，AD=BE，
又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，
∴AM=AD，BN=BE，
∴AM=BN，
在△ACM和△BCN中，，
∴△ACM≌△BCN（SAS），
∴CM=CN，∠ACM=∠BCN，
又∵∠ACB=60°，
∴∠ACM+∠MCB=60°，
∴∠BCN+∠MCB=60°，
∴∠MCN=60°，
∴△MNC是等边三角形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质与判定、三角形的外角性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
30．（2023春·上海·七年级专题练习）在等边的两边所在直线上分别有两点，为外一点，且，，．探究：当分别在直线上移动时，之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系．
(1)如图1，是周长为9的等边三角形，则的周长 ；
(2)如图1，当点边上，且时，之间的数量关系是 ；此时 ；
(3)点在边，且当时，猜想（2）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明．
【答案】(1)
(2)，
(3)猜想：（2）中的结论仍然成立，理由见解析
【分析】（1）延长至，使，连接，通过证明，得到，，通过证明，得到，从而可表示出的周长，最后根据是周长为9的等边三角形即可得到答案；
（2）延长至，使，连接，通过证明，得到，，通过证明，得到，从而可以表示出和的周长，即可得到答案；
（3）延长至，使，连接，，通过证明，得到，，通过证明，得到，从而可以表示出和的周长，即可得到答案．
【解析】（1）解：如图1，延长至，使，连接，
，
，且，
，
又是等边三角形，
，
在与中，
，
．
，．
．
在与中，
，
，
，
的周，
等边的周长，
，
，
故答案为：6；
（2）解：如图，、、之间的数量关系，此时，
，
，且，
，
又是等边三角形，
，
在与中，
，
，
，，
，
在与中，
，
，
，
的周，
等边的周长，
，
故答案为：，；
（3）解：猜想：（2）中的结论仍然成立，
证明：如图2，延长至，使，连接，
，
，且，
，
又是等边三角形，
，
在与中，
，
．
，．
．
在与中，
，
，
，
的周长，
等边的周长，
．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质，题目中线段的转换都是根据全等三角形来实现的，当题中没有明显的全等三角形时，我们要根据条件通过作辅助线来构建与已知和所求相关的全等三角形，熟练掌握全等三角形的判定与性质是本题的关键．