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    2024辽宁中考数学二轮专题复习 微专题 二次函数与矩形、菱形、正方形问题(课件)

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    这是一份2024辽宁中考数学二轮专题复习 微专题 二次函数与矩形、菱形、正方形问题(课件),共43页。PPT课件主要包含了例1题图①,例1题图②,例1题解图①,例1题解图②,例1题解图③,例1题解图④,例1题图③,例1题解图⑤,例1题解图⑥,例1题解图⑦等内容,欢迎下载使用。

    例1 如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(5,0)两点,与y轴交于点C.点P是抛物线上一个动点,过点P作x轴的垂线,垂足为点H,交直线BC于点E.
    (1)求抛物线的解析式;
    (1)将A(1,0),B(5,0)代入y=-x2+bx+c中,得 解得 ∴抛物线解析式为y=-x2+6x-5 ;
    (2)如图②,设点M是抛物线对称轴上一点,点N是平面内一点,是否存在点M,使得以B,C,M,N为顶点的四边形是矩形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由;
    【思维教练】要求使得以B,C,M,N为顶点的四边形是矩形的点M的坐标,已知点M是抛物线对称轴上一点,设点M的坐标,分别求出BC,BM,CM的长,然后根据矩形的性质分别讨论∠CBM,∠BCM,∠CMB为直角的情况,利用勾股定理列方程求解.
    (2)存在.易得抛物线对称轴为直线x=3,∵点M是对称轴上一点,设点M的坐标为(3,m), 易得BC2=52+52=50,BM2=(5-3)2+m2=4+m2,①如解图①,连接CM,CM2=32+(m+5)2=m2+10m+34,
    若∠CBM=90°, 则BC2+BM2=CM2, 即50+4+m2=m2+10m+34, 解得m=2, 此时点M的坐标为(3,2);
    ②如解图②, 若∠BCM=90°. 则BC2+CM2=BM2, 即50+m2+10m+34=4+m2, 解得m=-8, 此时点M的坐标为(3,-8);
    ③如解图③④,若∠BMC=90°. 则BM2+CM2=BC2, 即4+m2+m2+10m+34=50, 解得m=1或m=-6,此时点M的坐标为(3,1)或(3,-6). 综上所述,满足条件的点M坐标为(3,2)或(3,-8)或(3,1)或(3,-6);
    (3)如图③,点Q是平面直角坐标系内一点,当以点P,E,B,Q为顶点的四边形为菱形时,请求出此时点Q的坐标.
    【思维教练】设点P的坐标为(x,-x2+6x-5),则点E的坐标为(x,x-5),共分为四种情况讨论:①当PH=HE,QH=HB时,四边形PQEB是菱形;②当点P在x轴上方,且PE=EB=BQ=QP时,四边形PEBQ为菱形;③当点P与点A重合,且PB=PE=EQ=QB时,四边形PEQB是菱形;④当点P在x轴下方,且PE=EB=BQ=QP时,四边形PEBQ为菱形.
    如解图⑤ ∵PE⊥QB,∴当PH=HE,QH=HB时,四边形PQEB是菱形.此时yP=-yE,即-x2+6x-5=-(x-5),解得x1=2,x2=5(不合题意,舍去),∴QH=HB=3,∴点Q的坐标为(-1,0);
    如解图⑥,当点P在x轴上方,且PE=EB=BQ=QP时,四边形PEBQ为菱形. ∵PE=-x2+6x-5-(x-5)=-x2+5x,BE= BH= (5-x),∴-x2+5x= (5-x),解得x1=5(不合题意,舍去),x2= .当x= 时,BQ=PE= ,∴点Q的坐标为(5, );
    如解图⑦,当点P与点A重合时,PB=PE. ∴当PB=PE=EQ=QB时,四边形PEQB是菱形.易得Q的坐标为(5,-4);
    如解图⑧,当点P在x轴下方,且PE=EB=BQ=QP时,四边形PEBQ为菱形. ∵PE=x-5-(-x2+6x-5)=x2-5x,BE= BH= (5-x),∴x2-5x= (5-x),解得x1=5(不合题意,舍去),x2=- .当x=- 时,QB=PE= ,∴点Q的坐标为(5, ).
    综上所述,存在点Q,使得以点P,E,B,Q为顶点的四边形为菱形.此时点Q的坐标为(-1,0),(5, ),(5,-4)或(5, ).
    (4)如图④,点M是抛物线的顶点,坐标平面内是否存在点P、Q(点P在点Q左侧),使得以B,M,P,Q为顶点的四边形是正方形?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,说明理由.
    【思维教练】由BM为定边,可分以BM为正方形的边或以BM为正方形的对角线来确定点P.
    【解法提示】当MB为正方形的边时,①当点P在点M的左侧时,如解图⑨,∵点M为抛物线的顶点,∴M点坐标为(3,4),∵B(5,0),∴BM= ,∴BM=PM= ,设P1(m,n),过点P1作P1N1⊥x轴于点N1,
    ②当点P在点M右侧时,如解图⑨,∵点P2与点P1关于直线BM对称,∴P2(3×2+1,4×2-2),即P2(7,6);当MB为正方形的对角线时,∵点P在点Q左侧,∴点P只能在点M的左侧,如解图⑨,∵BM= ,∴P3B=PM= ,
    设P3(m,n),∴P3B= ,P3M= ,解得m=2n,∵点P3与点Q3关于直线MB对称,∴Q3(5+n,5-m), ,∴3n=3,n=1,∴m=2n=2,∴P3(2,1),综上所述,存在点P,使得以B,M,P,Q为顶点的四边形为正方形,此时点P的坐标为(-1,2),(7,6),(2,1).
    1. (2023抚本铁辽葫定心卷)如图,抛物线y=ax2+x+c(a≠0)交 x轴于点A(4,0)、B,交 y轴于点C(0,4).(1)求抛物线的解析式;
    (2)如图①,点E是OA的中点,点D是线段BE上一点(不与点B、E重合),过点D作x轴的垂线,交直线CE于点M,交抛物线于点N,若直线MN到y轴的距离为 ,求点M与点N之间的距离;
    将x= 代入y=- x2+x+4中,得y= .∴M( ,1),N( ),∴MN= ;当D(- ,0)时,点M、N的横坐标为- ,将x=- 代入y=-2x+4中,得y=7,将x=- 代入y=- x2+x+4中,得y= .
    ∴M(- ,7),N(- , ),∴MN=7- = .∴点M与点N之间的距离为 或 ;
    (3)如图②,点F在抛物线的对称轴上且在x轴上方,点G在坐标平面内,当以点B、C、F、G为顶点的四边形为菱形时,请直接写出点F的坐标.
    要使以点B、C、F、G为顶点的四边形为菱形,分两种情况讨论,当BC为菱形的边时,①当BC=BF时,即20=9+m2 ,解得m1= ,m2=- (不符合题意,舍去),∴点F的坐标为(1, );②当BC=CF时,即20=1+(m-4)2,解得m3=4+ ,m4=4- (不符合题意,舍去),∴点F的坐标为(1,4+ );
    当BC为菱形的对角线时,则点F在线段BC的垂直平分线上.∴BF=CF,即9+m2=1+(m-4)2,解得m=1.∴点F的坐标为(1,1),综上所述,点F的坐标为(1, )或(1,4+ )或(1,1).
    2. 如图,已知抛物线y=ax2-2ax+b与x轴交于点A(-2,0)和点B,与y轴交于点C(0,4).(1)求抛物线的解析式;
    (2)点P是第四象限抛物线上一点,连接AC、AP,当∠PAB=2∠ACO时,求点P的坐标;
    (2)如解图,在OB上取一点R,使OR=OA=2,连接CR,
    则∠ACR=2∠ACO=∠PAB,过点A作AK⊥CR于点K,设直线AP交y轴于点H,
    ∵A(-2,0),C(0,4),∴AR=4,OC=4,AC=CR= ∴S△ACR= AR·OC= CR·AK,即 ×4×4= 解得AK= ,∴CK= ,∴tan∠ACK=
    ∵∠PAB=2∠ACO=∠ACK,∴tan∠ACK=tan∠PAB.在Rt△AOH中,OH=OA·tan∠PAB= .∴H(0, ).由点A、H的坐标得直线AP的解析式为y= .联立 解得 或 (舍去), ∴点P的坐标为( );
    (3)点M是抛物线的对称轴上一动点,在平面内是否存在点N,使得以M、N、B、C为顶点的四边形是矩形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
    当以M、N、B、C为顶点的四边形是矩形时,需分以BC为边和BC为对角线两种情况讨论.①当BC为边时,以M、B、C为顶点的三角形是以BC为直角边的直角三角形,则分以MC为斜边和以MB为斜边,当以MC为斜边时,BC2+BM2=CM2,即32+9+m2=m2-8m+17,解得m=-3,∴点M的坐标为(1,-3).由xC+xM=xB+xN,得xN=-3,同理可得yN=1,∴点N的坐标为(-3,1);
    当以MB为斜边时,BC2+CM2=BM2,即32+m2-8m+17=m2+9,解得m=5,∴M(1,5).由xB+xM=xC+xN,得xN=5,同理可得yN=1,∴点N的坐标为(5,1);②当以BC为对角线时,以M、B、C为顶点的三角形是以BC为斜边的直角三角形,则BM2+CM2=BC2,即9+m2+m2-8m+17=32,解得m1=2+ ,m2=2- ,∴点M的坐标为(1,2+ )或(1,2- ),
    由xB+xC=xM+xN,得xN=3,同理可得yN=2- 或2+ ,∴点N的坐标为(3,2- )或(3,2+ ).综上所述,存在点N使得以M、N、B、C为顶点的四边形是矩形,满足条件的点N的坐标为(-3,1)或(5,1)或(3,2- )或(3,2+ ).
    3. 直线y=-x+3与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,抛物线y=ax2+2x+c经过点A,B,与x轴的另一个交点为C.(1)求抛物线的解析式;
    (2)如图①,点D是第一象限内抛物线上的一个动点,过点D作DE∥y轴交AB于点E,DF⊥AB于点F,FG⊥x轴于点G,当DE=FG时,求点D的坐标;
    由(1)可知抛物线的解析式为y=-x2+2x+3,直线AB的解析式为y=-x+3,设D(m,-m2+2m+3),∵DE∥y轴,∴E(m,-m+3),∴DE=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m,ME=-m+3,
    (2)如解图,延长DE交x轴于点M,则DM⊥x轴
    ∵B(0,3),A(3,0)∴OB=OA=3,∴∠OBA=∠OAB=45°,∵DM⊥x轴,DF⊥AB,∴∠DEF=∠AEM=45°,∴DE= EF,AF= FG,∵DE=FG,∴AF=2EF,∴AE=EF,∵FG⊥x轴,∴FG∥ME,∴ ∴FG=2ME,∴DE=2ME,∴-m2+3m=2(-m+3),∴m=2或m=3(舍去),∴D(2,3);
    (3)如图②,在(2)的条件下,直线CD与AB相交于点M,点H在抛物线上,过点H作HK∥y轴,交直线CD于点K.P是平面内一点,当以点M,H,K,P为顶点的四边形是正方形时,请直接写出点P的坐标.
    联立直线CD与直线AB的解析式得 解得 ∴点M的坐标为(1,2).①当MK为正方形边时,则MH⊥MK时,H点在AB上,K点在CD上.∵H点在抛物线上,∴H(3,0)或H(0,3);当H(3,0)时,MH= ,∴KH=4,∴K(3,4)∴HK的中点为(3,2),则MP的中点为(3,2);∴P(5,2);
    当H(0,3)时,MH= ,∴KH=2,∴K(0,1),∴HK的中点为(0,2),则M的中点为(0,2)∴P(-1,2);②当MK为正方形的对角线时,如解图②,则MH⊥HK,PM∥KH,∵HK∥y轴, ∴PM∥y轴,MH⊥y轴,∴∠PMK=∠OBA=45°,MH∥x轴,∴点H的纵坐标为2,∴-x2+2x+3=2,解得x1= +1,x2=- +1,即点H的横坐标为为 +1或- +1,∴MH= ,
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