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2024辽宁中考数学二轮专题复习 微专题 二次函数与等腰三角形问题（课件）
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这是一份2024辽宁中考数学二轮专题复习 微专题 二次函数与等腰三角形问题（课件），共58页。PPT课件主要包含了垂直平分线中垂线，垂直平分线和对称轴，例2题图①，例2题图②，例2题图③，例2题图④，例2题图⑤，第1题图，备用图，第1题解图②等内容，欢迎下载使用。
探究1：在抛物线对称轴上找一点P使得△ACP为等腰三角形．
(1)若AC为等腰三角形的底边时，AP＝PC；在图①中画出所有满足条件的点P的示意图(保留作图痕迹)；
(2)若AC为等腰三角形的腰时，AC＝________或AC＝________；在图②中画出所有满足条件的点P的示意图(保留作图痕迹)；
探究2：在抛物线上找一点E使得△BCE为等腰三角形．在图③中画出所有满足条件的点E的示意图(保留作图痕迹).
【作图依据】______________________________________________
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
【方法总结】等腰三角形的存在性一般要分情况讨论：常以已知边为______或______讨论；以探究1为例，已知边AC为底时，可以作已知边的______________________，所找点即为＿＿＿＿______________的交点；若已知边AC为腰时，作图方法为：__＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿___________________，所找点即为____________________
三点共线时，不能构成三角形，须忽略．
【思考】若动点在y轴上、x轴上时，确定动点位置有什么不同呢？
例2 如图①，已知抛物线y＝－ x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C，顶点为M，对称轴与x轴交于点N.
(1)求抛物线的表达式及顶点M的坐标；
(2)如图②，点P是抛物线上一点，当△PCO是以OC为底边的等腰三角形时，请直接写出点P的横坐标；
【思维教练】由于点P在抛物线上，△PCO是以OC为底边的等腰三角形，所以点P在OC的垂直平分线与抛物线的交点上．
【解法提示】如解图①，作CO的垂直平分线交抛物线于点P和点P′，交CO于点D.连接CP、OP，OP′，CP′，△POC和△P′CO是以OC为底的等腰三角形．
(3)如图③，点E是x轴上一点，当△ACE是等腰三角形时，请直接写出点E的坐标；
【思维教练】由于△ACE是等腰三角形，可分AC为底边，AC为腰两种情况分类讨论．
(4)如图④，对称轴MN上一点是否存在点G，使得△CGB是等腰三角形，若存在，请直接写出点G的纵坐标；若不存在，请说明理由；
【思维教练】未明确说等腰三角形的腰和底，故要分类讨论：①CG＝CB，②CG＝BG，③BG＝BC求解即可．
【解法提示】∵点G在对称轴上，∴设点G的坐标为(1，m)，∵点C(0，2)，B(3，0)，∴BC2＝22＋32＝13，CG2＝1＋(m－2)2，BG2＝22＋m2，当△CGB是等腰三角形时，可分以下三种情况：
(5)如图⑤，点D的坐标为(4，0)，动点Q从点A开始沿AC方向以每秒 个单位长度的速度运动，动点P从点C开始，沿CD方向以每秒 个单位长度的速度运动，当点Q到达终点时，两点同时停止运动．设运动时间为t，当△NPQ是等腰三角形时，请直接写出t的值．
【思维教练】根据题意用含t的式子表示出QN，PQ，PN，由于不确定△NPQ的底和腰．所以分下列三种情况讨论：①NQ＝NP，②NQ＝PQ，③NP＝PQ求解即可．
如解图②，过点Q作QG⊥x轴于点G，过点P作PH⊥x轴于点H，
1.(2023抚顺新抚区一模)如图，直线y＝－ x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，B两点，P为x轴上的动点，P与A，O不重合，PC∥OB交抛物线于C，交直线AB于D，连接BC.
(1)求抛物线的解析式；
(2)当∠BCD＝45°时，求点P的坐标；
(3)当△BCD为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
①如解图①，当BC＝BD时，过点B作BE⊥CD交CD于点E，
∴ m＝m2－4m，
2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－x＋c(a≠0)与x轴交于A(－1，0)、B(3，0)两点，直线AC与y轴交于点C，与抛物线交于点D，OA＝OC.
(1)求该抛物线与直线AC的解析式；
(2)若点E是x轴下方抛物线上一动点，连接AE、CE.求△ACE面积的最大值及此时点E的坐标；
(2)如解图①，作EG⊥x轴交直线AC于点G，作EH⊥AD于点H.
(3)将原抛物线沿射线AD方向平移2 个单位长度，得到新抛物线：y1＝a1x2＋b1x＋c1(a≠0)，新抛物线与原抛物线交于点F，在直线AD上是否存在点P，使以点P、D、F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3.如图，抛物线y＝ax2＋x＋c与x轴交于A，B(4，0)两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(0，4)，直线BC经过B，C两点，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，连接PB，PC.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)设点P的横坐标为n，四边形OBPC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；
(2)如解图①，过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于点F.
(3)在(2)的条件下，当S取最大值时，在PC的垂直平分线上是否存在一点M，使△BPM是等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解法提示】∵P(2，4)，C(0，4)，∴PC∥x轴，PC＝2，∴PC的垂直平分线⊥x轴且为直线x＝1，∴点M的横坐标为1，∴可设点M的坐标为(1，y)．
又∵B(4，0)，P(2，4)，∴PM2＝(1－2)2＋(y－4)2＝y2－8y＋17，MB2＝(1－4)2＋y2＝y2＋9，PB2＝(4－2)2＋(0－4)2＝20.当△BPM是等腰三角形时，如解图②，可分三种情况进行讨论：①当PM＝MB，即PM2＝MB2时，y2－8y＋17＝y2＋9，解得y1＝1，∴此时点M的坐标为(1，1)；
4. 如图，抛物线与x轴交于B、C两点，与y轴交于A点，其中A、B、C三点构成直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝2 ，AC＝4 .
(1)求经过点A、B、C的抛物线的解析式；
(2)点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，设所得△PAC的面积为S，求S等于多少时，相应的点P有且只有2个？
如解图①，过P作PH⊥OC，垂足为H，交直线AC于点Q，连接PC、PA.
∴当0＜S＜16时，0＜m＜8中有m两个值，－2≤m＜0中m有一个值，此时有三个；当16＜S＜20时，－2≤m＜0中m只有一个值；当S＝16时，m＝4或m＝4－4 这两个．故当S＝16时，相应的点P有且只有两个；
(3)在直线AC上是否存在一点Q，使△QBC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
探究1：在抛物线对称轴上找一点P使得△ACP为等腰三角形．
(1)若AC为等腰三角形的底边时，AP＝PC；在图①中画出所有满足条件的点P的示意图(保留作图痕迹)；
(2)若AC为等腰三角形的腰时，AC＝________或AC＝________；在图②中画出所有满足条件的点P的示意图(保留作图痕迹)；
探究2：在抛物线上找一点E使得△BCE为等腰三角形．在图③中画出所有满足条件的点E的示意图(保留作图痕迹).
【作图依据】______________________________________________
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
【方法总结】等腰三角形的存在性一般要分情况讨论：常以已知边为______或______讨论；以探究1为例，已知边AC为底时，可以作已知边的______________________，所找点即为＿＿＿＿______________的交点；若已知边AC为腰时，作图方法为：__＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿___________________，所找点即为____________________
三点共线时，不能构成三角形，须忽略．
【思考】若动点在y轴上、x轴上时，确定动点位置有什么不同呢？
例2 如图①，已知抛物线y＝－ x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C，顶点为M，对称轴与x轴交于点N.
(1)求抛物线的表达式及顶点M的坐标；
(2)如图②，点P是抛物线上一点，当△PCO是以OC为底边的等腰三角形时，请直接写出点P的横坐标；
【思维教练】由于点P在抛物线上，△PCO是以OC为底边的等腰三角形，所以点P在OC的垂直平分线与抛物线的交点上．
【解法提示】如解图①，作CO的垂直平分线交抛物线于点P和点P′，交CO于点D.连接CP、OP，OP′，CP′，△POC和△P′CO是以OC为底的等腰三角形．
(3)如图③，点E是x轴上一点，当△ACE是等腰三角形时，请直接写出点E的坐标；
【思维教练】由于△ACE是等腰三角形，可分AC为底边，AC为腰两种情况分类讨论．
(4)如图④，对称轴MN上一点是否存在点G，使得△CGB是等腰三角形，若存在，请直接写出点G的纵坐标；若不存在，请说明理由；
【思维教练】未明确说等腰三角形的腰和底，故要分类讨论：①CG＝CB，②CG＝BG，③BG＝BC求解即可．
【解法提示】∵点G在对称轴上，∴设点G的坐标为(1，m)，∵点C(0，2)，B(3，0)，∴BC2＝22＋32＝13，CG2＝1＋(m－2)2，BG2＝22＋m2，当△CGB是等腰三角形时，可分以下三种情况：
(5)如图⑤，点D的坐标为(4，0)，动点Q从点A开始沿AC方向以每秒 个单位长度的速度运动，动点P从点C开始，沿CD方向以每秒 个单位长度的速度运动，当点Q到达终点时，两点同时停止运动．设运动时间为t，当△NPQ是等腰三角形时，请直接写出t的值．
【思维教练】根据题意用含t的式子表示出QN，PQ，PN，由于不确定△NPQ的底和腰．所以分下列三种情况讨论：①NQ＝NP，②NQ＝PQ，③NP＝PQ求解即可．
如解图②，过点Q作QG⊥x轴于点G，过点P作PH⊥x轴于点H，
1.(2023抚顺新抚区一模)如图，直线y＝－ x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，B两点，P为x轴上的动点，P与A，O不重合，PC∥OB交抛物线于C，交直线AB于D，连接BC.
(1)求抛物线的解析式；
(2)当∠BCD＝45°时，求点P的坐标；
(3)当△BCD为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
①如解图①，当BC＝BD时，过点B作BE⊥CD交CD于点E，
∴ m＝m2－4m，
2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－x＋c(a≠0)与x轴交于A(－1，0)、B(3，0)两点，直线AC与y轴交于点C，与抛物线交于点D，OA＝OC.
(1)求该抛物线与直线AC的解析式；
(2)若点E是x轴下方抛物线上一动点，连接AE、CE.求△ACE面积的最大值及此时点E的坐标；
(2)如解图①，作EG⊥x轴交直线AC于点G，作EH⊥AD于点H.
(3)将原抛物线沿射线AD方向平移2 个单位长度，得到新抛物线：y1＝a1x2＋b1x＋c1(a≠0)，新抛物线与原抛物线交于点F，在直线AD上是否存在点P，使以点P、D、F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3.如图，抛物线y＝ax2＋x＋c与x轴交于A，B(4，0)两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(0，4)，直线BC经过B，C两点，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，连接PB，PC.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)设点P的横坐标为n，四边形OBPC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；
(2)如解图①，过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于点F.
(3)在(2)的条件下，当S取最大值时，在PC的垂直平分线上是否存在一点M，使△BPM是等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解法提示】∵P(2，4)，C(0，4)，∴PC∥x轴，PC＝2，∴PC的垂直平分线⊥x轴且为直线x＝1，∴点M的横坐标为1，∴可设点M的坐标为(1，y)．
又∵B(4，0)，P(2，4)，∴PM2＝(1－2)2＋(y－4)2＝y2－8y＋17，MB2＝(1－4)2＋y2＝y2＋9，PB2＝(4－2)2＋(0－4)2＝20.当△BPM是等腰三角形时，如解图②，可分三种情况进行讨论：①当PM＝MB，即PM2＝MB2时，y2－8y＋17＝y2＋9，解得y1＝1，∴此时点M的坐标为(1，1)；
4. 如图，抛物线与x轴交于B、C两点，与y轴交于A点，其中A、B、C三点构成直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝2 ，AC＝4 .
(1)求经过点A、B、C的抛物线的解析式；
(2)点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，设所得△PAC的面积为S，求S等于多少时，相应的点P有且只有2个？
如解图①，过P作PH⊥OC，垂足为H，交直线AC于点Q，连接PC、PA.
∴当0＜S＜16时，0＜m＜8中有m两个值，－2≤m＜0中m有一个值，此时有三个；当16＜S＜20时，－2≤m＜0中m只有一个值；当S＝16时，m＝4或m＝4－4 这两个．故当S＝16时，相应的点P有且只有两个；
(3)在直线AC上是否存在一点Q，使△QBC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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