【暑假衔接】人教版新高二物理 暑假衔接讲义 第04讲 复习专题四 小船渡河问题（教师版+学生版）

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知识点1：小船渡河
（1）模型特点
小船在河流中实际的运动可视为船同时参与了这样两个分运动：①船在静水中的运动，它的方向与船身的指向相同；②水流的运动(即速度等于水的流速)，它的方向与河岸平行。
三种速度：v1(船在静水中的速度)、v2(水流速度)、v(船的实际速度)．
（2）渡河的三种情景
①渡河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t短＝eq \f(d,v船)(d为河宽)．
分析：由于水流速度始终沿河道方向，不能提供指向河对岸的分速度。因此，只要使船头垂直于河岸航行即可。由图可知，t短＝eq \f(d,v船)，此时船渡河的位移x＝eq \f(d,sin θ)，位移方向满足tan θ＝eq \f(v船,v水)。
②渡河位移最短：
情形一：v水＜v船。最短的位移为河宽d，此时渡河所用时间t＝eq \f(d,v船sin θ)，船头与上游河岸夹角θ满足v船cs θ＝v水，如下图所示。
情形二：v水＞v船
如下图所示，以v水矢量的末端为圆心，以v船的大小为半径作圆，当合速度的方向与圆相切时，合速度的方向与河岸的夹角最大(设为α)，此时航程最短。由图可知sin α＝eq \f(v船,v水)，最短航程为x＝eq \f(d,sin α)＝eq \f(v船,v水)d。此时船头指向应与上游河岸成θ′角，且csθ＝eq \f(v船,v水)。
渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关，与水流速度无关。
船渡河位移最小值与v船和v水大小关系有关，v船＞v水时，河宽即为最小位移，v船＜v水时，应利用图解法求极值的方法处理。
一、单选题
过河时间最短问题
1．摩托艇以恒定的速率垂直河岸横渡一条百米宽的大河，当河水向下游流动的速度突然减小时，摩托艇横渡大河经历的时间将（ ）
A．变长B．变短C．不变D．无法确定
【答案】C
【详解】将摩托艇的运动分解为沿河岸方向和垂直于河岸方向，在垂直于河岸方向上速率不变，渡河时间
则渡河时间不变。故C正确，ABD错误。
故选C。
2．如图所示，河宽为d，汽艇在静水中航行速度大小为，水流速度大小为，若汽艇始终向着与河岸垂直的方向航行，则汽艇渡河的时间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】根据题意可知，汽艇始终向着与河岸垂直的方向航行，此时渡河时间最短，最短时间为
故选C。
船速大于水速时最短过河位移问题
3．“十月里来秋风凉，中央红军远征忙；星夜渡过于都河，古陂新田打胜仗。”这是在于都县长征第一渡口纪念碑上镌刻的一首诗，描述的是当年红军夜渡于都河开始长征的情景。假设于都河宽，水流速度大小恒定且处处相等，红军渡河时船头垂直河岸，船在静水中的速度为，于正对岸下游处靠岸。则（ ）
A．红军夜渡于都河的时间为
B．于都河水流速度大小为
C．若河水流速变快，则过河时间会变短
D．无论如何改变船头朝向，红军都不可能到达正对岸
【答案】B
【详解】A．红军渡河时船头垂直河岸，红军夜渡于都河的时间为最短时间
A错误；
B．于都河水流速度大小为
B正确；
C．若河水流速变快，则垂直于河岸方向的分运动不影响，故过河时间会不变，C错误；
D．船速大于水速，当船头朝向上游一定的角度，使船相对于河岸的速度垂直于河岸，则红军可能到达正对岸，D错误。
故选B。
4．一艘小船在静水中的速度是5m/s，一条河宽为60m，河水流速是4m/s，下列说法正确的是（ ）
A．小船渡过这条河的最短时间是15sB．小船渡过这条河的最短时间是20s
C．小船渡过这条河的最小位移是60mD．小船渡过这条河的最小位移是80m
【答案】C
【详解】AB．小船船头垂直河岸过河时间最短，最短时间为
AB错误；
CD．小船速度大于水速，故小船可垂直河岸过河，且过河位移最小等于河宽，C正确，D错误。
故选C。
船速小于于水速时最短过河位移问题
5．有一条可视为质点的渡船匀速横渡一条河宽为180m的河流，小船在静水中的速度为3m/s，水流速度为4m/s，则该小船（ ）
A．小船渡河最短位移180mB．小船渡河最短位移300m
C．小船渡河的最短时间36sD．小船渡河的最短时间等于60s
【答案】D
【详解】A．因船在静水中的速度小于水流的速度，由平行四边形定则，求得合速度不可能垂直河岸，小船不可能垂直河岸到达正对岸，故A错误；
B．当船头方向与合速度方向垂直时，船过河的位移最小，最小值为
故B错误；
CD．当船在静水中的速度垂直河岸渡河时时间最短，最短时间为
故D正确C错误。
故选D。
6．某船在静水中划行的速率为，河水的流速为，要渡过宽的河，下列说法正确的是（ ）
A．该船渡河所用的时间一定大于
B．该船渡河所通过的位移大小至少为
C．该船用最短时间渡河时所通过的位移大小为
D．该船以最短位移渡河时所用的时间为
【答案】B
【详解】A．当船头垂直于河岸行驶时，船渡河所用时间最短为
A错误；
B．因为，所以船不能垂直于河岸行驶，如图所示
当船合速度沿AC方向时，船渡河位移最小，则
其中
联立解得，该船渡河所通过的位移大小最小为
B正确；
C．该船用最短时间渡河时，则沿水流方向位移为
所通过的位移大小为
C错误；
D．该船以最短位移渡河时所用的时间为
D错误。
故选B。
小船过河模型在其它运动中的运用
7．如图所示，河水由西向东流，河宽为800m，若河中各点的水流速度大小为，各点到较近河岸的距离为x，则与x的关系为(x的单位为m).让小船船头垂直河岸由南向北渡河，小船划水速度大小恒为=4m/s，则下列说法中正确的是（ ）
A．小船在河水中的最大速度是5m/s
B．小船渡河的轨迹为直线
C．小船渡河的时间是160s
D．小船在距南岸200m处的速度小于在距南岸600m处的速度
【答案】A
【详解】A．当小船运动到河中间时，东西方向上的分速度最大，为3m/s，此时小船的合速度最大，最大值
A正确；
B．小船在南北方向上为匀速直线运动，在东西方向上先加速，到达河中间后再减速，合速度方向与合加速度方向不共线，小船的合运动是曲线运动，B错误；
C．小船的渡河时间
C错误；
D．小船在距南岸200m处的水流的速度与在距北岸200m处的水流的速度大小相等，则小船在距南岸200m处的速度与在距北岸200m处的速度大小相等，D错误。
故选A。
8．跑马射箭是民族马术中的一个比赛项目，如图甲所示，运动员需骑马在直线跑道上奔跑，弯弓射箭，射击侧方的固定靶标，该过程可简化为如图乙（俯视图）所示的物理模型：假设运动员骑马以大小为的速度沿直线跑道匀速奔驰，其轨迹所在直线与靶心的水平距离为d。运动员应在合适的位置将箭水平射出，若运动员静止时射出的弓箭速度大小为（大于），不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．运动员应瞄准靶心放箭
B．为保证箭能命中靶心且在空中运动的时间最短，箭射中靶心的最短时间为
C．为保证箭能命中靶心且在空中运动的时间最短，箭射中靶心的最短时间为
D．为保证箭能命中靶心且在空中运动的距离最短，箭射中靶心的时间为
【答案】B
【详解】A．当箭射出的同时，箭也要参与沿跑道方向的匀速运动，若运动员瞄准靶心放箭，则箭的合速度方向不会指向靶心，不会击中靶，选项A错误；
BC．为保证箭能命中靶心且在空中运动的时间最短，则需箭射出时速度方向与直线跑道垂直，此时箭射中靶心的最短时间为
选项B正确，C错误；
D．为保证箭能命中靶心且在空中运动的距离最短，则箭的合速度方向垂直直线跑道，此时箭射中靶心的时间为
选项D错误。
故选B。
二、多选题
过河时间最短问题
9．如图所示，小船（视为质点）从岸边A点开始渡河，河两岸平行，河的宽度为150m，水流速度大小为3m/s，船在静水中的速度大小为4m/s，则（ ）
A．船不可能到达正对岸B点
B．船的最短过河时间为37.5s
C．船要以最短路程过河，船头必须指向正对岸
D．船以最短路程过河时的速率为m/s
【答案】BD
【详解】ACD．由于船在静水中的速度大于水流的速度，当速度满足如图所示关系时，船垂直河岸过河，此时为最短路程过河，船头方向与方向相同，过河时的速率为
m/s
故AC错误，D正确；
B．船头垂直河岸过河时，时间最短，则有
故B正确。
故选BD。
船速大于水速时最短过河位移问题
10．关于两个运动的合成，下列说法正确的是（ ）
A．两个直线运动的合运动一定也是直线运动
B．不共线的两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动
C．小船渡河的运动中，小船的对岸速度可以小于水流速度
D．小船渡河的运动中，小船渡河所需的最短时间与水流速度大小无关
【答案】BCD
【详解】A．两个分运动是直线运动，其合运动可能是曲线运动，比如平抛运动，故A错误；
B．不共线两个匀速直线运动，没有加速度，则合运动也一定是匀速直线运动，故B正确；
C．合运动的速度可能比分速度大，可能比分速度小，可能与分速度相等，故C正确；
D．小船渡河运动中，当船头垂直于河岸渡河时，小船渡河所需的最短时间，则有
可知小船渡河所需的最短时间与水流速度大小无关，故D正确。
故选BCD。
船速小于于水速时最短过河位移问题
11．一船在静水中的速度为3m/s，它在一条河宽150m，水流速度为4m/s的河流中渡河，则该小船（ ）
A．不能垂直到达正对岸
B．渡河的时间可能少于50 s
C．以最短位移渡河时，位移大小为150 m
D．以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为200 m
【答案】AD
【详解】A．因为小船在静水中的速度小于河水的流速，由平行四边形法则求合速度不可能垂直河岸，所以小船不可能垂直河岸正达对岸，故A正确；
B．当小船船头垂直于河岸时，渡河时间最短，由运动学公式，可得小船最短渡河时间为
故B错误；
C．因为船在静水中的速度小于河水的流速，由平行四边形法则求合速度不可能垂直河岸，小船不可能垂直河岸正达对岸，如图所示
根据三角形相似可知，最短位移
故C错误；
D．船以最短时间50s渡河时，沿水流方向的位移大小
x=v水tmin=4×50m=200m
故D正确。
故选AD。
小船过河模型在其它运动中的运用
12．经过治理的护城河成为城市的一大景观，河水看似清浅，实则较深。某次落水救人的事件可简化如图，落水孩童抓住绳索停在A处，对面河岸上的小伙子从B处直线游过去，成功把人救起。河宽和间距如图中标注，假定河水在各处的流速均为1m/s，则（ ）
A．游泳时小伙子面对的方向是合运动的方向
B．小伙子在静水中游泳的速度至少应为0.6m/s
C．小伙子渡河的时间一定少于16s
D．若总面对着A处游，轨迹将为一条曲线且到达不了A处
【答案】BD
【详解】AB．由题可知，设小伙子在静水中的游泳的速度为，小伙子的合运动方向是从B到A，作出小伙子游泳时合速度与两个分速度的关系，如图所示
当与合速度垂直时有最小值，设AB与河岸的夹角为，根据几何关系有
解得
即游泳时小伙子面对的方向是与合速度方向垂直，此时最小的速度为
故A错误，B正确；
C．由AB分析可知，小伙子相对水的速度存在不确定性，其沿流水方向和垂直河岸方向的速度大小及合速度大小都不能确定，则渡河的时间不确定，故C错误；
D．若总面对着A处游，如图所示
由图可知的方向会不断变化，则有加速度产生，而的方向大小不变，根据运动的合成与分解，可知它们的合运动是变速曲线运动，位移变大，故达不了A处，故D正确。
故选BD。
三、解答题
13．汽艇在静水中的速度为，要渡过宽为d=200m的河，已知河水匀速流动，速度大小为。（sin37°=0.6，cs37°=0.8）
（1）汽艇渡过此河的最短时间是多少？登陆的地点离正对岸的距离x是多少？
（2）若汽艇要在正对岸登陆，船头指向与河岸上游的夹角是多大？渡河时间是多少？
【答案】（1）40s，120m；（2）53°，50s
【详解】（1）船头指向与河岸垂直时渡河时间最短，此时有：
登陆的地点离正对岸的距离是
（2）在正对岸登陆，速度矢量图如图所示
由几何知识可知，
解得
渡河时间是
14．每年4月初，随着副热带高压北进，夏季风给华南地区带来一场又一场降雨，进入前汛期。如图所示，某地防汛演练中，战士驾驶小船救人，河岸是平直的，河的宽度，小船在静水中的速度大小，河水的流速大小。小船从A点出发，到上游河对岸的B点救人，A、B连线与河岸的夹角为，取，。若小船船头先垂直河岸渡河，从A点运动到另一河岸的C点后，立即使船头指向上游沿河岸运动到B点，求该过程小船运动的时间t。
【答案】
【详解】由几何关系可知，A、B两点间沿水流方向的距离
设小船从A点运动到另一河岸的C点所用的时间为，有
解得
一、单选题
1．一条河宽120m船在静水中的速度为3m/s，水流速度是6m/s，则（ ）
A．该船过河最短时间为
B．该船过河最短距离为
C．当船头与岸所成夹角为时，船过河的位移最短
D．当该船以最短时间过河时，该船的运动方向与垂直岸方向的夹角为
【答案】C
【详解】AD．当船在静水中的速度与河岸垂直时，渡河时间最短，最短时间
此时船的运动方向与垂直岸方向的夹角
所以
选项AD错误；
B．船在静水中的速度为3m/s，小于水流速度6m/s，根据平行四边形定则，合速度不可能垂直于河岸，所以船不可能垂直到达对岸，即该船过河最短距离不可能为，选项B错误；
C．当合速度的方向与船在静水中速度的方向垂直，渡河位移最短，如图所示
可知船头与岸所成夹角
所以
选项C正确。
故选C。
2．一船在静水中的速度大小恒定为v1，水流速度的方向沿着河岸向右且大小恒定为v2，且v1>v2，河岸宽度恒定为d。小船从O点开始渡河，图中OB垂直于河岸，AB=BC=L。已知当小船划行方向垂直于河岸时，小船正好航行到C点。下列说法中正确的是（ ）
A．
B．若小船改变划行方向，最终到达对岸A点，则从O点到A点所用时间等于小船航行到C点所用时间
C．若小船的划行方向沿OA方向，则小船最终会航行到BC之间的某一点
D．若小船改变划行方向，最终到达对岸B点，则从O点到B点所用时间为
【答案】C
【详解】A．小船的实际运动轨迹为OC，即速度方向沿OC方向，所以根据几何知识可得
选项A正确；
B．如图小船航行到A点的合速度和小船航行到C点的合速度不同，但是位移相同，所以时间不同，选项B错误；
C．要小船沿OA方向划船，设垂直到达河岸方向的夹角为，则
说明当垂直对岸到达B点时船头和OB之间的夹角大于，因此沿OA方向划船不会垂直到达B点，会航行到BC之间的某一点，选项C正确；
D．若小船改变划行方向，最终到达对岸B点，则合速度指向B，如图
从O点到B点所用时间为
选项D错误。
故选C。
3．一条河宽100m，船在静水中的速度为4m/s，水流速度是5m/s，则（ ）
A．该船能垂直河岸横渡到对岸
B．当船头垂直河岸横渡时，过河所用的时间最短
C．当船头垂直河岸横渡时，船的位移最小，是100m
D．当船头垂直河岸横渡时，船沿岸方向的位移可能小于100m
【答案】B
【详解】A．设船在静水中的航速为v1，水流的速度v2；由题，船在静水中的航速小于水流的速度，根据平行四边形定则可知，船的合速度方向不可能垂直于河岸，则船不能垂直到达正对岸，故A错误；
B．将小船的速度分解为垂直河岸和沿河岸方向，在垂直于河岸的方向上，河宽一定，当在该方向上的速度最大时，渡河时间最短，所以当船头方向垂直河岸，在该方向上的速度等于静水航速，时间最短，为
故B正确；
C．船实际是按合速度方向运动，由于v1、v2的大小一定，根据作图法，由三角形定则分析可知，当船相对于水的速度v1与合速度垂直时，合速度与河岸的夹角最大，船登陆的地点离船出发点的最小距离；设船登陆的地点离船出发点的最小距离为S，根据几何知识得
代入解得
故船的位移最小，是125m ，故C错误；
D．当船头垂直河岸横渡时，由B选项知渡河时间为25s，则船沿岸方向的位移为
故D错误。
故选B。
4．如图所示，甲、乙两同学从河中O点出发，分别沿直线游到A点和B点后，立即沿原路线返回到O点，OA、OB分别与水流方向平行和垂直，且OA=OB=12m，若水流速度为2.0m/s 不变，两人在静水中游速相等均为2.5m/s，他们所用时间分别用t甲、t乙表示，则( )
A．t甲=9.6s
B．t甲=15s
C．t乙=12s
D．t乙=16s
【答案】D
【详解】设游速为，水速为，OA=OB=L，则甲整个过程所用时间
乙为了沿OB运动，速度合成如图
则乙整个过程所用时间
故选D。
二、多选题
5．小船过河，河宽300m，水流速度为5m/s，船在静水中的速度为4m/s，以下结论正确的是（ ）
A．船要以最短路程过河，船头必须指向正对岸
B．船不可能到达正对岸
C．船以最短路程过河所需时间为75s
D．船渡过河的最短时间为75s
【答案】BD
【详解】B．船在静水中的速度为4m/s，小于水流速度5m/s，根据平行四边形定则，合速度不可能垂直于河岸，所以船不可能到达正对岸，选项B正确；
D．当船在静水中的速度与河岸垂直时，渡河时间最短，最短时间
选项D正确；
AC．当合速度的方向与船在静水中速度的方向垂直，渡河路程最短，如图所示
此时有
则船以最短路程过河所需时间
选项AC错误。
故选BD。
6．一小船过河的运动轨迹如图所示。河中各处水流速度大小相同且恒定不变，方向平行于岸边。若小船相对于静水分别做匀加速、匀减速、匀速直线运动，船相对于静水的初速度均相同（且均垂直于岸边）。 由此可以确定（ ）
A．船沿AC轨迹运动时，船相对于静水做匀加速直线运动
B．船沿AC轨迹渡河所用的时间最短
C．船沿AD轨迹到达对岸前瞬间的速度最小
D．船沿三条不同轨迹渡河所用的时间相同
【答案】ABC
【详解】ABD．加速度的方向指向轨迹的凹侧，依题意可知，AC轨迹是匀加速运动，AB轨迹是匀速运动，AD轨迹是匀减速运动，故船沿AC轨迹过河所用的时间最短，选项D错误，AB正确；
C．船沿AD轨迹在垂直河岸方向的运动是减速运动，故船到达对岸的速度最小，选项C正确。
故选ABC。
7．一条河宽400m，船在静水中的速度是4m/s，水流速度为5m/s，则（ ）
A．该船一定不能垂直河岸到达对岸
B．当船头垂直河岸渡河时，渡河时间最短
C．当船头垂直河岸渡河时，船对水的位移最短
D．该船渡河过程中，船对岸的最小位移为400m
【答案】ABC
【详解】A．因为船速小于水速，小船不能垂直过岸，选项A正确；
B．无论什么时候只要船头垂直河岸渡河时，过河的时间是最短的，选项B正确；
C．当船头垂直河岸横渡时，沿河水方向，船的位移和水的位移相等，船和水的相对位移为0，选项C正确；
D．以水速的矢量末端为圆心，以船速矢量大小为半径做圆，从速度矢量始端做圆的切线，设此切线与水平方向夹角为，则小船沿此方向位移最小。如图：
即当船速与合速度垂直时，渡河的位移最小，最小位移为
选项D错误。
故选ABC。
8．如图所示，小船从河岸的O点沿虚线匀速运动到河对岸的P点，河水的流速、船在静水中的速度与虚线的夹角分别为、，河宽为L，且、的大小不变，渡河的时间为t，河水的流动方向与河岸平行，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，渡河的时间最短
B．渡河时间
C．渡河时间
D．
【答案】AC
【详解】A．当，渡河时间最短
A正确；
B．垂直于河岸方向上渡河的速度为，故渡河的时间
B错误；
C．合速度大小为，故渡河时间
C正确
D．小船合速度沿方向，故满足
D错误。
故选AC。
三、解答题
9．有一小船（视为质点）从岸边A点出发过宽m的河，河由宽度之比为的Ⅰ、Ⅱ区域组成。Ⅰ区域水速大小m/s，Ⅱ区域水速大小m/s，方向向右，如图所示。为保证小船安全过河，小船在Ⅰ、Ⅱ区域的相对静水速度分别为m/s和m/s。B点为对岸上的点，且A、B连线与河岸垂直。求：
（1）小船以最短时间过河到达的位置；
（2）小船以最短位移过河到达的位置。
【答案】（1）在B点下游m处；（2）B点
【详解】（1）船头正对对岸过河时用时最短,过Ⅰ区域有
s
水流方向位移
m
过Ⅱ区域有
s
水流方向位移
m
则小船最后在B点下游的位置离B的距离为
m
（2）过Ⅱ区域时，由于，当船头方向与合速度垂直时位移有最小值，则船实际速度大小
m/s
设水流方向位移为，由几何关系有
解得
m
即船过Ⅱ区域时沿水流方向位移是大于等于400m的。
要使船能够最终到达正对岸B点，则船过Ⅰ区域时沿河岸上游方向的位移大于等于400m即可。设船头与河岸上游夹角为，在垂直河岸方向有
沿河岸上游方向有
又
联立可解得
可见，只要船在Ⅰ区域船头与河岸上游夹角满足上式要求，船最终可以到达正对岸，所以小船以最短位移过河到达的位置是B点。