【暑假衔接】人教A版新高二数学 新课预习-2.3 直线的交点坐标与距离公式（教师版+学生版）

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1．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标
2．掌握两点间距离公式并会应用.
3．掌握点到直线距离的公式，会用公式解决有关问题.
4．掌握两条平行直线间的距离公式，并会求两条平行直线间的距离．
【知识梳理】
知识点一 两条直线的交点
1．两直线的交点
已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0. 点A(a，b)．
(1)若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有A1a＋B1b＋C1＝0 .
(2)若点A是直线l1与l2的交点，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1a＋B1b＋C1＝0，,A2a＋B2b＋C2＝0. ))
2．两直线的位置关系
知识点二 两点间的距离
公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
特别提醒：(1)此公式与两点的先后顺序无关．
(2) 原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq \r(x2＋y2).
知识点三 点到直线的距离、两条平行线间的距离
【例题详解】
一、求相交直线的交点坐标
例1 (1)经过直线 与直线 的交点，且平行于直线 的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
(2)直线l1：和l2：的交点的坐标为 ．
跟踪训练1 (1)过原点和直线与的交点的直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
(2)已知直线l1：与l2：相交于点，则 ．
二、两点间的距离
例2 (1)已知点，则为（ ）
A．5B．C．D．4
(2)点到直线的距离为，则的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．7
跟踪训练2 (1)光线从点射到轴上，经轴反射以后过点，光线从A到B经过的路程为（ ）
A．B．C．D．
(2)已知三点，且，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
三、点到直线的距离
例3 (1)在平面直角坐标系中，原点到直线的距离等于（ ）
A．1B．C．D．3
(2)已知点在直线上的运动，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
跟踪训练3 (1)点P为直线上任意一个动点，则P到点的距离的最小值为 .
(2)若直线m经过直线与直线的交点，且点到直线m的距离为1，则直线m的方程为 ．
四、两平行线间的距离
例4 (1)两条平行线，间的距离等于（ ）
A．B．C．D．
(2)直线与直线平行，则 .
跟踪训练4 (1)已知直线，相互平行，则、之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
(2)若直线与之间的距离为，则a的值为（ ）
A．4B．C．4或D．8或
五、距离的综合应用
例5 在平面直角坐标系中，从点发出的光线射向x轴，经x轴反射到直线上，再反射经过点，则光线由P到Q经过的路程长为 ．
例6 已知直线：．
（1）已知点，若点到直线的距离为，求的最大值并求此时直线的方程；
（2）若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，求的面积的最小值并求此时直线的方程．
跟踪训练5 点到直线的距离的取值范围为 ．
跟踪训练6 已知光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，
（1）求反射光线所在的方程；
（2）在直线l上求一点P，使；
（3）若点Q在直线l上运动，求的最小值．
【课堂巩固】
1．斜率为2，且过直线和直线交点的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
2．已知、，点M在x轴上，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
3．若点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，则的长为（ ）
A．B．C．D．
4．已知，两点到直线的距离相等，则实数a的值为（ ）
A．－3B．3C．－1D．－3或3
5．（多选）与直线平行且到的距离等于的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．（多选）对于直线.以下说法正确的有（ ）
A．的充要条件是
B．当时，
C．直线一定经过点
D．点到直线的距离的最大值为5
7．三条直线构成一个三角形，则的取值范围是 ．
8．两条平行直线与之间的距离为 ．
9．已知直线l经过点，.
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与l平行，且它们间的距离为4，求直线m的方程.
10．已知直线.
(1)当a=1时，求两直线的距离；
(2)若. 求a的值；
(3)写出原点到直线的距离，并求出该距离的最大值.
【课时作业】
1．若直线与直线的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．或
2．过直线：与：的交点，并与垂直的直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
3．直线与直线相交，则实数k的值为（ ）
A．或B．或C．或D．且
4．已知直线：与直线：的交点为，则点与点间的距离为（ ）
A．B．C．D．
5．已知三角形的三个顶点，则过A点的中线长为（ ）
A．B．C．D．
6．在直角坐标平面内，与点距离为2，且与点距离为3的直线共有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
7．已知点到直线的距离为1，则m的值为（ ）
A．或B．或15C．5或D．5或15
8．已知实数x，y满足，那么的最小值为（ ）
A．5B．10C．D．
9．(多选)已知三条直线x－2y＝1，2x＋ky＝3，3kx＋4y＝5相交于一点，则k的值为（ ）
A．－B．－1C．1D．
10．（多选）已知点到直线的距离相等，则实数m的值可以是（ ）
A．B．C．D．
11．点到直线的距离为 .
12．若两条平行直线：与：间的距离为2，则 .
13．已知直线，，则直线与之间的距离最大值为 .
14．已知直线在两坐标轴上的截距相等，且点到直线的距离为，则直线的条数为 .
15．在中，已知，，.
（1）求边所在的直线方程；
（2）求的面积.
16．已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为，，.
(1)求平行四边形ABCD的顶点D的坐标.
(2)求四边形ABCD的面积.
(3)求边AB上的高所在直线方程.
17．已知两直线l1与l2，直线l1经过点（0，3），直线l2过点（4，0），且l1∥l2．
(1)若l1与l2距离为4，求两直线的方程；
(2)若l1与l2之间的距离最大，求最大距离，并求此时两直线的方程．
18．在平面直角坐标系xOy，已知△ABC的三个顶点．
(1)求BC边所在直线的一般式方程；
(2)BC边上中线AD的方程为x－2y＋t＝0（t∈R），且△ABC的面积为4，求点A的坐标．
方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解
一组
无数组
无解
直线l1与l2的公共点的个数
一个
无数个
零个
直线l1与l2的位置关系
相交
重合
平行
点到直线的距离
两条平行直线间的距离
定义
点到直线的垂线段的长度
夹在两条平行直线间公垂线段的长
图示
公式(或求法)
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))