【暑假衔接】人教A版新高二数学 新课预习-2.1.1 倾斜角与斜率（教师版+学生版）

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【划重点】
1．了解直线的斜率和倾斜角的概念.
2．理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.
3．了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．
【知识梳理】
知识点一 直线的倾斜角
1．倾斜角的定义
(1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
知识点二 直线的斜率
1．直线的斜率
把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α.
2．斜率与倾斜角的对应关系
3．过两点的直线的斜率公式
过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).
【例题详解】
一、直线的倾斜角
例1 (1)过两点和的直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据直线的斜率公式计算即可求出.
【详解】斜率，倾斜角为，，．
故选：D
(2)直线的倾斜角为（ ）
A．0B．C．D．
【答案】C
【分析】利用直线与轴垂直即可求得答案
【详解】因为直线与轴垂直，
故直线的倾斜角为
故选：C
跟踪训练1 (1)直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据直线倾斜角和斜率的关系即可.
【详解】直线
；
；
故选：C
(2)下列图形中，对直线的倾斜角与斜率描述正确的是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据倾斜角定义及倾斜角与斜率的关系可以判断.
【详解】对于:倾斜角为钝角, 且,则,与已知矛盾, 故错误;
对于:倾斜角定义:轴正向与直线向上的方向之间所成的角为倾斜角, 倾斜角错误,故错误;
对于:倾斜角为钝角, 且,则,,故正确;
对于:倾斜角定义:轴正向与直线向上的方向之间所成的角为倾斜角, 倾斜角错误,故错误;
故选: .
二、直线的斜率
例2 (1)下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角越大，它的斜率越大；B．两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等；
C．任何一条直线都有唯一的斜率；D．任何一条直线都有唯一的倾斜角．
【答案】D
【分析】根据直线的倾斜角和斜率概念分别判断即可.
【详解】对于:直线的倾斜角,,所以错误；
对于:两直线的倾斜角相等为,斜率不存在,所以错误；
对于:当直线的倾斜角为时直线斜率不存在，所以错误；
对于:任何一条直线都有唯一的倾斜角．所以正确.
故选：.
(2)已知点，直线的倾斜角为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据斜率公式列式计算即可.
【详解】因为直线的倾斜角为，，
可得直线的斜率为，
可得.
故选：C
跟踪训练2 (1)如图，直线l的斜率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由图中求出直线l的倾斜角，再根据斜率公式求出直线l的斜率.
【详解】如图，直线l的倾斜角为30°，tan30°，所以直线l的斜率为.
故选：B.
(2)直线过点，，则直线的斜率为______，倾斜角为______.
【答案】 1 /
【分析】根据斜率和倾斜角的定义求解即可.
【详解】因为直线过点，，
所以直线的斜率，
由斜率可得倾斜角为，
故答案为：；
三、斜率与倾斜角的变化关系
例3 (1)如图，已知直线的斜率分别为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题图，利用直线的斜率和倾斜角的关系求解.
【详解】解：设直线的倾斜角分别为，
由题图知，直线的倾斜角为钝角，.
又直线的倾斜角均为锐角，且，
，
.
故选：D.
(2)设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设直线的倾斜角为，则有，，作出()的图象，由图可得的范围，即可得答案.
【详解】设直线的倾斜角为，
则有，，
作出()的图象，如图所示：
由此可得.
故选：A.
(3)经过两点，的直线的倾斜角是锐角，则实数m的范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意列出相应的不等式，即可得答案.
【详解】由题意经过两点，的直线的倾斜角是锐角，
可知 ，且 ，
解得 ，即实数m的范围是，
故选：C
跟踪训练3 (1)已知直线l的斜率为，则直线l的倾斜角（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据倾斜角和斜率的关系求得正确答案.
【详解】因为，为锐角，
所以．
故选：C
(2)若直线的斜率为，倾斜角为且，则的取值范围是_________________.
【答案】
【分析】直接利用斜率和倾斜角的关系来得答案.
【详解】，且，
或，
即的取值范围是.
故答案为：.
四、直线与线段的相交关系求斜率范围
例4 (1)已知点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据两点斜率公式，结合图形以及倾斜角与斜率的关系即可求解.
【详解】直线的斜率分别为,
结合图形可知：直线过点且与线段相交时，，
故选：B
(2)已知两点，过点的直线与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分别求出点与线段端点所成直线的斜率，即可得直线的斜率范围，再由倾斜角与斜率关系求倾斜角范围即可求解.
【详解】由题意：如下图所示：
所以，，则，
若直线的倾斜角，则，所以，
故选：.
跟踪训练4 (1)直线与线段没有公共点，其中，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】数形结合即可求得的取值范围.
【详解】直线化为，
由题可知，当直线经过点时，解得，
当直线经过点时，解得，
若直线与线段没有公共点，
则有或，
即.
故选：A
(2)已知点，，若点在线段上，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】表示点与与直线的斜率取值范围，先求出与点连线斜率，再结合题意即可得出答案.
【详解】解：∵，∴可得为点与与直线的斜率取值范围，
如图所示：
∴与点连线斜率为，
与点连线斜率为，
∴可得斜率取值范围为．
故选:A．
【课堂巩固】
1．以下四个命题，正确的是（ ）
A．若直线l的斜率为1，则其倾斜角为45°或135°
B．经过两点的直线的倾斜角为锐角
C．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应
D．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应
【答案】D
【分析】根据直线的倾斜角和斜率的概念依次判断选项即可.
【详解】A：直线的斜率为1，则直线的倾斜角为，故A错误；
B：过点A、B的直线的斜率为，
即(为直线的倾斜角)，则为钝角，故B错误；
C：当直线的倾斜角为时，该直线的斜率不存在，故C错误；
D：若直线的斜率存在，则必存在对应的倾斜角，故D正确.
故选：D.
2．已知直线的斜率为,则的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据斜率和倾斜角之间的关系即可得倾斜角.
【详解】解:因为斜率为-1,设直线倾斜角为,,
所以,即.
故选:D
3．已知直线经过点，，该直线的倾斜角为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据两点表示直线斜率求出直线的斜率，再由斜率的定义即可得倾斜角.
【详解】因为直线过点，，
所以直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，则，
因为，所以，
故选：C.
4．若直线l的斜率k=2，又过一点(3，2)，则直线l经过点（ ）
A．(0，4)B．(4，0)
C．(0，4)D．(2，1)
【答案】B
【分析】利用斜率公式逐个验证即可
【详解】对于A，，不符合题意；
对于B，，所以B正确；
对于C，，不符合题意；
对于D，，不符合题意，
故选：B
5．若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据两点斜率公式求得斜率，再根据斜率与倾斜角的关系即可求解.
【详解】因为直线的斜率，
又因为直线的倾斜角为锐角，
所以，解得.
故选：C
6．经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】画出坐标系，连接，结合斜率变化可知，，联立斜率与倾斜角关系即可求解.
【详解】如图所示，
设直线l的倾斜角为，，
则，，
∵直线l与连接，的线段总有公共点，∴，
即，
∴．
故选：A．
7．已知点，，若点在线段AB上，则的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设，分别求出，，根据表示直线的斜率即可得到结果.
【详解】设，则，
因为点在线段上，所以的取值范围是，
故选：A.
8．已知、，若直线经过点，且与线段有交点，则的斜率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】作出图形，数形结合可得出直线的斜率的取值范围.
【详解】过点作，垂足为点，如图所示：
设直线交线段于点，设直线的斜率为，且，，
当点在从点运动到点（不包括点）时，直线的倾斜角逐渐增大，
此时；
当点在从点运动到点时，直线的倾斜角逐渐增大，此时.
综上所述，直线的斜率的取值范围是.
故选：D.
9．已知坐标平面内三点，为的边上一动点，则直线斜率的变化范围是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】D
【分析】作出图象，求出的斜率，再结合图象即可得解.
【详解】如图所示，
，
因为为的边上一动点，
所以直线斜率的变化范围是.
故选：D.
10．若正方形一边对角线所在直线的斜率为，则两条邻边所在直线斜率分别为______，______.
【答案】
【分析】建立直角坐标系，由已知可设，根据图象结合正方形的性质可知，两条邻边所在直线的倾斜角分别为，，根据两角和与差的正切公式，以及直线的倾斜角与斜率的关系，即可得出答案.
【详解】正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为，建立如图直角坐标系，
设对角线OB所在直线的倾斜角为，则，
由正方形性质可知，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，
故，
.
故答案为：；.
11．已知三点三点共线，则实数的值为__________.
【答案】6
【分析】依题意可得，根据斜率公式计算可得.
【详解】解：因为三点共线，
所以，即，解得；
故答案为：
12．直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则的斜率为___________.
【答案】
【分析】根据已知两点求斜率，以及直线斜率计算即可.
【详解】因为直线经过两点
所以直线的斜率为
所以直线的倾斜角为
又因为直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，所以直线的倾斜角为，
所以的斜率为
故答案为：.
13．直线过点，且与以、为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是__________．
【答案】
【分析】作出图形，求出、，观察直线与线段的交点运动的过程中，直线的倾斜角的变化，可得出直线的取值范围.
【详解】如下图所示：设过点且与轴垂直的直线交线段于点，设直线的斜率为，
且，，
当点从点移动到点（不包括点）的过程中，直线的倾斜角为锐角，
此时，；
当点从点（不包括点）移动到点的过程中，直线的倾斜角为钝角，
此时，.
综上所述，直线的斜率的取值范围是.
故答案为：.
14．已知，，三点.
(1)若直线的倾斜角为135°，求的值.
(2)是否存在，使得三点共线？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)；(2)存在，使得三点共线，
【分析】（1）根据题意得，再解方程即可得答案；
（2）根据三点共线时，列方程求解即可.
【详解】（1）解：因为，，直线的倾斜角为135°
所以，，解得
故的值为
（2）解：因为，，三点.
所以，当三点共线时，，即，解得
所以，存在，使得三点共线，
【课时作业】
1．直线经过，两点，则直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设出直线的倾斜角，求出其正切值，即斜率，进而可得出倾斜角.
【详解】设直线的倾斜角为，由已知可得直线的斜率，
又，所以倾斜角是，
故选：B.
2．若直线l的斜率为，则该直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据斜率的定义求解.
【详解】由定义：斜率 ，其中 为直线l的倾斜角， ，
又 ；
故选：C.
3．若直线的倾斜角为α，则α为（ ）
A．0B．C．D．不存在
【答案】C
【分析】为常数，所以直线的倾斜角为，得出结果.
【详解】解：为常数，所以直线的倾斜角为.
故选：C
4．倾斜角为的直线经过点和，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由倾斜角和两点坐标分别表示出斜率，由此可构造方程求得的值.
【详解】直线斜率，.
故选：C.
5．已知直线的斜率为，直线的倾斜角为直线的倾斜角的一半，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．不存在
【答案】C
【分析】根据斜率与倾斜角的关系，结合正切的二倍角公式，可得答案.
【详解】由直线的斜率为，设其倾斜角为，则，
由直线的倾斜角为直线的倾斜角的一半，设直线的倾斜角为，则，
，，解得或，由倾斜角的取值范围为，则，
故直线的斜率为.
故选：C.
6．经过两点，的直线的倾斜角是钝角，则实数m的范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】直线的倾斜角是钝角，则斜率小于0，列不等式解实数m的范围
【详解】直线的倾斜角是钝角，则直线斜率，解得或．
故选：D．
7．已知直线过点，且不过第四象限，则直线的斜率的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由直线不过第四象限，可画出所有符合要求的直线，观察可得.
【详解】
如图，，，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故.
故直线的斜率的最大值为2．
故选：A.
8．经过点作直线，且直线与连接点，的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】画出坐标系，连接，，，结合斜率变化可知，，联立斜率与倾斜角关系即可求解.
【详解】由题知，直线的倾斜角为，则，
，，
且直线与连接点，的线段总有公共点，
如下图所示，
则，即，
.
故选：B
9．已知点，若点在线段上，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，即可求解
【详解】可看作与的斜率，
则，，
因为点在线段上，
所以的取值范围为，
故选：A
10．已知直线的斜率不存在，且，则直线的斜率为___________.
【答案】0
【分析】由直线的倾斜角结合垂直关系得出直线的斜率.
【详解】直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为0，则斜率为0
故答案为：0
11．若直线的斜率为，则直线的倾斜角的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据正弦函数的取值范围，结合直线斜率与倾斜角的关系求解即可.
【详解】由题意可得直线的斜率，
令直线的倾斜角为，则，解得，
故答案为：
12．线段AB，其中，，过定点作直线l与线段相交，则直线l的斜率的取值范围是______.
【答案】
【分析】计算，，得到范围.
【详解】，，，故，，
两点之间横坐标不包含，故直线l的斜率的取值范围是.
故答案为：
13．已知实数，满足方程，当时，的取值范围为______.
【答案】
【分析】由题意，将问题转化为过定点且与已知线段相交的直线的斜率的取值范围，作图，可得答案.
【详解】由方程，令，解得，令，解得，设，
由表示的是点与点所连直线的斜率，则问题等价于过点与线段相交的直线的斜率的取值范围，作图如下：
则直线的斜率，直线的斜率，即，
故答案为：
14．已知，，.
(1)求直线和的斜率；
(2)若点在线段（包括端点）上移动时，求直线的斜率的取值范围.
【答案】(1)，；(2)
【分析】（1）利用斜率的坐标公式可求两条直线的斜率.
（2）求出线段的两个端点与点构成直线的斜率，根据图形的变化可求直线的斜率的变化范围.
【详解】（1）由斜率公式可得直线的斜率，
直线的斜率.
（2）如图所示，当点在AB上运动时，，，直线的斜率由负无穷增大到，由增大到正无穷大，所以直线的斜率的变化范围是.
15．已知坐标平面内三点A(-1，1)，B(1，1)，．
(1)求直线BC，AC的斜率和倾斜角；
(2)若D为的边AB上一动点，求直线CD的斜率和倾斜角α的取值范围．
【答案】(1)直线BC的斜率，倾斜角为；直线AC的斜率，倾斜角为；(2)
【分析】（1）根据两点间的斜率公式计算斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求解即可；
（2）数形结合，根据斜率与倾斜角变化的规律分析即可．
【详解】（1）由斜率公式得：，
因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是，
∴直线BC的倾斜角为，直线AC的倾斜角为；
（2）如图，当直线CD由CA逆时针旋转到CB时，
直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由增大到，
∴k的取值范围为，倾斜角α的取值范围为．
图示
倾斜角(范围)
α＝0°
0°<α<90°
α＝90°
90°<α<180°
斜率(范围)
k＝0
k>0
不存在
k<0