苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷基础练【第3章《勾股定理》章节复习巩固】(原卷版+解析)

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1．（2分）（2022八上·市北区期中）下列四组数能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．0.1，0.2，0.3B．1，1，2
C．10，24，26D．，，
2．（2分）（2022八上·市北区期中）如图，在“庆国庆，手拉手”活动中，某小组从营地A出发，沿北偏东方向走了1200m到达B点，然后再沿北偏西方向走了500m到达目的地C点，此时A，C两点之间的距离为（ ）
A．1000mB．1100mC．1200mD．1300m
3．（2分）（2022八上·西安月考）以下列各组数据为三角形的三边长，可以构成直角三角形的是（ ）
A．1，，3B．6，12，13C．6，8，10D．2，3，4
4．（2分）（2021八上·晋中期末）为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方 A 处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离 AB＝2.4 米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温.当身高为 1.8 米的市民 CD 正对门缓慢走到离门 0.8 米的地方时（即 BC＝0.8 米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离 AD 等于（ ）
A．1.0 米B．1.2 米C．1.25 米D．1.5 米
5．（2分）（2021八上·晋中期末）如图，在 4×4 的正方形网格中（每个小正方形边长均为 1），点A，B，C 在格点上，连接 AB，AC，BC，则△ABC 的形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定
6．（2分）（2022八上·上城期中）如图，中，，现将沿进行翻折，使点A刚好落在，则的长为（ ）
A．B．C．2D．
7．（2分）（2022八上·覃塘期中）如图，在中，，是的垂直平分线，与交于点，与 交于点F，D为边的中点，M为线段上一个动点．若，的面积为16，则周长的最小值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
8．（2分）如图，在中，，D为上一点．若，的面积为，则AC的长是（ ）
A．9B．12C．D．24
9．（2分）（2022八上·碑林期中）如图，中，，，，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
10．（2分）（2022八上·平阳期中）“赵爽弦图”被誉为“中国数学界的图腾”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形， 如图，连接，若大正方形的面积为的面积为8，则小正方形的面积是（ ）
A．B．1C．D．2
11．（2分）（2022八上·城阳期中）如图，已知．则点A所表示的数是 ．
12．（2分）（2022八上·城阳期中）《九章算术》是古代东方数学代表作，汇集了我国历代学者的劳动和智慧，被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”．其中记录了这样一个问题，原文：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：今有竹高10尺，末端被折断而抵达地面，离竹根部有3尺，则竹的余高为 尺．
13．（2分）（2022八上·鄞州月考）如图，有两棵树，一棵高10m，另一棵高4m，两树相距8m．一只小鸟从一棵树的树尖飞到另一棵树的树尖，那么这只小鸟至少要飞行 m．
14．（2分）（2021八上·阳高期末）如图，已知△ABC为等边三角形，高AH＝8cm，P为AH上一动点，D为AB的中点，则PD+PB的最小值为 cm．
15．（2分）（2021八上·晋中期末）如图，长方形 ABCO 的边 AO，CO 正好落在坐标轴上，且 AB=4，OA=2，点 D 是线段 OC 上一点，点 E 为线段 AB 上一点，沿 DE 折叠，使点 B 与点 O 重合，点 C 落到 C＇处，则此时点 D 的坐标为 ．
16．（2分）（2022八上·杭州期中）如图，已知等边，点D在的外侧，将绕点B顺时针旋转至，点F与点D相对应，连接，则的长为 .
17．（2分）（2022八上·杭州期中）如图，在中，已知，以为直角边向外作，分别以为直径向外作半圆，面积分别记为，已知，则为 .
18．（2分）（2022八上·平阳期中）如图，四边形是正方形，直线a，b，c分别通过A、D、C三点，且．若a与b之间的距离是2，b与c之间的距离是7，则正方形的面积是 ．
19．（2分）如图，台阶阶梯每一层高，宽，长，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是 ．
20．（2分）（2022八上·碑林期中）清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形ABCD的方法证明了勾股定理（如图）．连结CE，若，，则正方形ABCD的边长为 ．
21．（6分）（2021八上·大庆期末）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB=3，AD=5，求BD的长．
22．（6分）（2021八上·雨城期中）已知：如图，△ABC中，CD⊥AB，AB＝2 ，BC＝2，AC＝4.
（1）（3分）求证：△ABC是直角三角形；
（2）（3分）求CD的长.
23．（6分）（2021八上·卫辉期末）如图，星期天小明去钓鱼，鱼钩 在离水面的 的1.3米处，在距离鱼线1.2米处 点的水下0.8米处有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2米/秒的速度向鱼饵游去，那么这条鱼至少几秒后才能到达鱼饵处？
24．（6分）（2020八上·合江月考）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中， ABC的三个顶点A、B、C都在格点上．
（ 1 ）在图中画出与 ABC关于直线y成轴对称的 A1B1C1；
（ 2 ）求 ABC的面积；
（ 3 ）在x轴上找出一点P，使得PB+PC的值最小．（不需计算，在图上直接标记出点P的位置）
25．（6分）（2022八上·乳山期中）如图，将墙面和地平线的一部分分别标记，，且．把长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子底端离墙角6m．如果梯子的顶端下滑了2m，求梯子底部在水平方向滑动的距离BD．
26．（8分）（2022八上·保定期中）如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以10海里/时速度向北偏东航行，乙船向南偏东航行，5小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C、B两岛相距130海里，问乙船的航速是多少？
27．（8分）（2022八上·新昌期中）如图，在等腰中，． 垂足为．已知，
（1）（4分）求与的长．
（2）（4分）点是线段上的一动点，当为何值时，为等腰三角形．
28．（13分）（2022八上·杭州期中）如图1，在等腰直角三角形中，动点D在直线AB（点A与点B重合除外）上时，以CD为一腰在CD上方作等腰直角三角形，且，连接AE．
（1）（4分）判断AE与BD的数量关系和位置关系；并说明理由．
（2）（4分）如图2，若，P，Q两点在直线AB上且，试求PQ的长．
（3）（5分）在第（2）小题的条件下，当点D在线段AB的延长线（或反向延长线）上时，判断PQ的长是否为定值．分别画出图形，若是请直接写出PQ的长；若不是请简单说明理由．
阅卷人
一、选择题(共10题；每题2分，共20分)
得分
阅卷人
二、填空题(共10题；每题2分，共20分)
得分
阅卷人
三、解答题(共8题；共59分)
得分
2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（苏科版）基础
第3章《勾股定理》章节复习巩固
考试时间：100分 试卷满分：100分
1．（2分）（2022八上·市北区期中）下列四组数能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．0.1，0.2，0.3B．1，1，2
C．10，24，26D．，，
【答案】C
【完整解答】解：A．，不能构成三角形，故该选项不符合题意；
B．，不能构成三角形，故该选项不符合题意；
C．，能构成直角三角形，故该选项符合题意；
D．，不能构成直角三角形，故该选项不符合题意．
故答案为：C．
【思路引导】利用勾股定理的逆定理逐项判断即可。
2．（2分）（2022八上·市北区期中）如图，在“庆国庆，手拉手”活动中，某小组从营地A出发，沿北偏东方向走了1200m到达B点，然后再沿北偏西方向走了500m到达目的地C点，此时A，C两点之间的距离为（ ）
A．1000mB．1100mC．1200mD．1300m
【答案】D
【完整解答】解：如图，
由题意得：，，，
∴，
∴，
∴，
即A，C两点之间的距离为1300m，
故答案为：D．
【思路引导】先求出∠ABC的度数，再利用勾股定理求出AC的长即可。
3．（2分）（2022八上·西安月考）以下列各组数据为三角形的三边长，可以构成直角三角形的是（ ）
A．1，，3B．6，12，13C．6，8，10D．2，3，4
【答案】C
【完整解答】解：A、∵，∴不可以构成直角三角形；
B、∵，∴不可以构成直角三角形；
C、∵，∴可以构成直角三角形；
D、∵，∴不可以构成直角三角形.
故答案为：C.
【思路引导】若一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，那么该三角形就是直角三角形，据此判断.
4．（2分）（2021八上·晋中期末）为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方 A 处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离 AB＝2.4 米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温.当身高为 1.8 米的市民 CD 正对门缓慢走到离门 0.8 米的地方时（即 BC＝0.8 米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离 AD 等于（ ）
A．1.0 米B．1.2 米C．1.25 米D．1.5 米
【答案】A
【完整解答】解：过点D作于点E，
中
（米）
故答案为：A．
【思路引导】过点D作于点E，先求出AE的长，再利用勾股定理求出AD的长即可。
5．（2分）（2021八上·晋中期末）如图，在 4×4 的正方形网格中（每个小正方形边长均为 1），点A，B，C 在格点上，连接 AB，AC，BC，则△ABC 的形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定
【答案】B
【完整解答】解：由题意得：， ，，
∵，
∴，
∴∠BAC＝90°，
∴为直角三角形．
故答案为：B．
【思路引导】先利用勾股定理求出AC，AB和BC的长，再利用勾股定理的逆定理证出∠BAC＝90°，即可得到为直角三角形。
6．（2分）（2022八上·上城期中）如图，中，，现将沿进行翻折，使点A刚好落在，则的长为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【完整解答】解：设 ，则 ，
在 中，
，
，
在 中，
即：
解得： ，
故答案为：B.
【思路引导】由勾股定理求出BC=5，从而得出A'C=2，设 ，则 ，在 中，利用勾股定理建立关于x方程并解之即可.
7．（2分）（2022八上·覃塘期中）如图，在中，，是的垂直平分线，与交于点，与 交于点F，D为边的中点，M为线段上一个动点．若，的面积为16，则周长的最小值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】D
【完整解答】解：∵△CDM的周长=CM+MD+CD，
∴当CM+MD最小时，△CDM的周长最小．
∵EF是AC的垂直平分线，
∴A、C两点关于EF对称，
∴，
连接AD，交EF于点M，此时△CDM的周长最小，
∵AB=AC，D为BC边的中点，
∴，
∴，
∴，
∴△CDM的周长．
故答案为：D．
【思路引导】当CM+MD最小时，△CDM的周长最小，根据轴对称的性质知CM+MD=AM+MD≥AD，连接AD，交EF于点M，此时△CDM的周长最小，根据等腰三角形的三线合一得AD⊥BC，根据三角形的面积公式可求出AD，从而即可得出答案.
8．（2分）如图，在中，，D为上一点．若，的面积为，则AC的长是（ ）
A．9B．12C．D．24
【答案】D
【完整解答】解：∵的面积为，
∴
∴
在中，
∴
故答案为：D．
【思路引导】根据△ABD的面积=，可求出BC的长，再利用勾股定理求出CD，利用AC=AD+CD即可求解.
9．（2分）（2022八上·碑林期中）如图，中，，，，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【完整解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，
根据折叠的性质可知AC＝CD，∠A＝∠CDE，CE⊥AB，
∴B′D＝BC﹣CD＝4﹣3＝1，∠DCE+∠B′CF＝∠ACE+∠BCF，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECF＝45°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EF＝CE，∠EFC＝45°，
∴∠BFC＝∠B′FC＝135°，
∴∠B′FD＝90°，
∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CE，
∴AC•BC＝AB•CE，
∴CE＝，
∴EF＝，ED＝AE＝，
∴DF＝EF﹣ED＝
∴B′F＝．
选：A．
【思路引导】由勾股定理求出AB＝5，易求△ECF是等腰直角三角形，可得EF＝CE，∠EFC＝45°，继而求出∠B′FD＝90°，根据S△ABC＝AC•BC＝AB•CE，求出CE，即得EF的长，再求出AE、ED、DF，再利用勾股定理求出B′F的长即可.
10．（2分）（2022八上·平阳期中）“赵爽弦图”被誉为“中国数学界的图腾”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形， 如图，连接，若大正方形的面积为的面积为8，则小正方形的面积是（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【完整解答】解：设，
大正方形ABCD的面积为25，
，
，
的面积为8，
，
(负值舍去)，
，
小正方形EFGH的面积.
故答案为：B.
【思路引导】设AG=BH=b，AH=BE=a，根据大正方形的面积可得AB=5，由勾股定理可得a2+b2=25，根据△ABE的面积可得a的值，然后求出b，由图形可得小正方形EFGH的边长为a-b，进而可得其面积.
11．（2分）（2022八上·城阳期中）如图，已知．则点A所表示的数是 ．
【答案】
【完整解答】解：OB=OA=，
即数轴上点A所表示的数是，
故答案为：．
【思路引导】先利用勾股定理求出OB的长，再结合OA=OB，即可得到数轴上点A所表示的数是。
12．（2分）（2022八上·城阳期中）《九章算术》是古代东方数学代表作，汇集了我国历代学者的劳动和智慧，被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”．其中记录了这样一个问题，原文：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：今有竹高10尺，末端被折断而抵达地面，离竹根部有3尺，则竹的余高为 尺．
【答案】4.55
【完整解答】解：由题意得，如图所示，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴竹的余高为4.55尺，
故答案为：4.55．
【思路引导】设，则，利用勾股定理可得，再求出x的值即可。
13．（2分）（2022八上·鄞州月考）如图，有两棵树，一棵高10m，另一棵高4m，两树相距8m．一只小鸟从一棵树的树尖飞到另一棵树的树尖，那么这只小鸟至少要飞行 m．
【答案】10
【完整解答】解：如图，大树高为AC，小树高为BD，两树间距为BE，
两棵树的高度差为AC-BD，间距为BE=8m，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离＝= ＝10m．
故答案为：10.
【思路引导】小鸟分行的最短距离是一个两直角边分别为6m与8m的直角三角形斜边的长，根据勾股定理直接计算即可.
14．（2分）（2021八上·阳高期末）如图，已知△ABC为等边三角形，高AH＝8cm，P为AH上一动点，D为AB的中点，则PD+PB的最小值为 cm．
【答案】8
【完整解答】解：△ABC为等边三角形，AH为高
点H为BC中点
所以点B关于AH的对称点为点C，连接DC交AH于一点P，此时有最小值，最小值为DC长，
D为AB的中点
为AB上的高
所以PD+PB=PD+PC=DC=8cm
故答案为：8
【思路引导】点B关于AH的对称点为点C，连接DC交AH于一点P，此时有最小值，最小值为DC长，再利用等边三角形的性质可得，从而得解。
15．（2分）（2021八上·晋中期末）如图，长方形 ABCO 的边 AO，CO 正好落在坐标轴上，且 AB=4，OA=2，点 D 是线段 OC 上一点，点 E 为线段 AB 上一点，沿 DE 折叠，使点 B 与点 O 重合，点 C 落到 C＇处，则此时点 D 的坐标为 ．
【答案】（2.5，0）
【完整解答】解：∵AB∥OC，
∴∠BED=∠EDO，
由折叠的性质可得BE=OE，∠BED=∠OED，
∴∠EDO=∠OED，
∴OE=OD，
设BE=OE=x，则AE=4-x，
∴在Rt△AEO中，由勾股定理得：，
解得：，
∴OE=OD=2.5，
∴点 D 的坐标为（2.5，0）；
故答案为（2.5，0）．
【思路引导】设BE=OE=x，则AE=4-x，利用勾股定理可得，求出x的值，即可得到OE=OD=2.5，从而可得点 D 的坐标为（2.5，0）。
16．（2分）（2022八上·杭州期中）如图，已知等边，点D在的外侧，将绕点B顺时针旋转至，点F与点D相对应，连接，则的长为 .
【答案】
【完整解答】解：如图，连接 ，延长 交 于E，
∵ 绕点B顺时针旋转 至
∴ ，
∴ 是等边三角形， .
∵ ，
∴ ，
∴ 垂直平分
∴ ，
∵ ， ，
∴
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴
∴
.
故答案为： .
【思路引导】连接 ，延长 交 于E，由旋转的性质可求△BDF是等边三角形，从而求出∠DFA=30°，利用等腰三角形三线合一可得EF垂直平分BD，易证△DAB是等腰直角三角形，可得，即得，利用勾股定理求出EF，根据AF=EF-AE即可求解.
17．（2分）（2022八上·杭州期中）如图，在中，已知，以为直角边向外作，分别以为直径向外作半圆，面积分别记为，已知，则为 .
【答案】3
【完整解答】解： 以 ， ， ， 为直径向外作半圆的面积分别为 ， ， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
， ， ，
，
，
故答案为：3.
【思路引导】根据圆的面积公式将 ， ， ， 分别用含AB、BC、CD、AD的式子表示，再根据勾股定理得出等式，继而得出，据此即可求解.
18．（2分）（2022八上·平阳期中）如图，四边形是正方形，直线a，b，c分别通过A、D、C三点，且．若a与b之间的距离是2，b与c之间的距离是7，则正方形的面积是 ．
【答案】53
【完整解答】解：如图：过A作直线b于M，过D作直线c于N，
则，
∵，直线c，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵a与b之间的距离是2，b与c之间的距离是7，
∴，
在中，由勾股定理得：，
即正方形的面积为53.
故答案为：53.
【思路引导】过A作AM⊥直线b于M，过D作DN⊥直线c于N，由平行线的性质可得∠AMD=∠2+∠3=90°，根据正方形的性质可得AD=DC，∠1+∠2=90°，则∠1=∠3，利用AAS证明△AMD≌△CND，得到AM=CN，由题意可得AM=CN=2，DN=7，利用勾股定理可得DC2，进而可得正方形ABCD的面积.
19．（2分）如图，台阶阶梯每一层高，宽，长，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是 ．
【答案】
【完整解答】解：如图，阶梯的表面展开，形成一个矩形；
∵台阶阶梯每一层高，宽，长
∴ （）
故答案为：
【思路引导】将阶梯的表面展开，形成一个矩形，根据两点之间线段最短知AB的长即为最短距离，利用勾股定理求解即可.
20．（2分）（2022八上·碑林期中）清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形ABCD的方法证明了勾股定理（如图）．连结CE，若，，则正方形ABCD的边长为 ．
【答案】
【完整解答】解：如图所示：
由四个全等的直角三角形可得，BE=CF=4，AE=BF，
由勾股定理得，EF=＝＝3，
∴BF=BE-EF=4-3=1，
由勾股定理得，AB=＝＝，
故答案为：．
【思路引导】由四个全等的直角三角形可得，BE=CF=4，AE=BF，利用勾股定理求出EF=3，从而求出BF=BE-EF=1，再利用勾股定理求出AB即可.
21．（6分）（2021八上·大庆期末）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB=3，AD=5，求BD的长．
【答案】解： 四边形 是平行四边形
AB⊥AC，
在 中，
在 中，
【思路引导】 在 中，利用勾股定理求出AC，根据平行四边形的性质得出OA=， 在 中， 利用勾股定理求出OB，即可得BD。
22．（6分）（2021八上·雨城期中）已知：如图，△ABC中，CD⊥AB，AB＝2 ，BC＝2，AC＝4.
（1）（3分）求证：△ABC是直角三角形；
（2）（3分）求CD的长.
【答案】（1）证明：∵AB＝2 ，BC＝2，AC＝4.
∵AC2+BC2＝20＝AB2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）解：∵△ABC是直角三角形，
∴CD＝ .
【思路引导】（1）根据勾股定理的逆定理：只要较小两边的平方和等于较大边长的平方，那么这个三角形就是直角三角形，据此进行解答即可；
（2）根据三角形的面积公式，利用等积法进行解答即可.
23．（6分）（2021八上·卫辉期末）如图，星期天小明去钓鱼，鱼钩 在离水面的 的1.3米处，在距离鱼线1.2米处 点的水下0.8米处有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2米/秒的速度向鱼饵游去，那么这条鱼至少几秒后才能到达鱼饵处？
【答案】如图所示：过点C作CE⊥AB于点E，连接AC，
由题意可得：EC＝BD＝1.2m，AE＝AB−BE＝AB−DC＝1.3−0.8＝0.5m，
∴AC= m，
∴1.3÷0.2＝6.5s，
答：这条鱼至少6.5秒后才能到这鱼饵处.
【思路引导】 过点C作CE⊥AB于点E，连接AC， 根据勾股定理可得AC=，根据速度和距离可得时间.
24．（6分）（2020八上·合江月考）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中， ABC的三个顶点A、B、C都在格点上．
（ 1 ）在图中画出与 ABC关于直线y成轴对称的 A1B1C1；
（ 2 ）求 ABC的面积；
（ 3 ）在x轴上找出一点P，使得PB+PC的值最小．（不需计算，在图上直接标记出点P的位置）
【答案】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）△ABC的面积＝3×3﹣ ×2×3﹣ ×1×2﹣ ×1×3＝ ；
（3）如图所示，点P即为所求．
【思路引导】（1）依据轴对称的性质，即可得到与△ABC关于直线y成轴对称的△A1B1C1；
（2）依据割补法进行计算，即可得出△ABC的面积；
（3）作点B关于x轴的对称点B'，连接B'C交x轴于P，则PB+PC的值最小．
25．（6分）（2022八上·乳山期中）如图，将墙面和地平线的一部分分别标记，，且．把长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子底端离墙角6m．如果梯子的顶端下滑了2m，求梯子底部在水平方向滑动的距离BD．
【答案】解：由题意得：，，
在Rt中，可求得
在Rt中，，
∴梯子底部滑动的距离
【思路引导】利用勾股定理求出DF的长，再利用BD=DF-BF计算即可。
26．（8分）（2022八上·保定期中）如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以10海里/时速度向北偏东航行，乙船向南偏东航行，5小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C、B两岛相距130海里，问乙船的航速是多少？
【答案】解：依题意：，
从而可得：，
在中，，
由已知得：（海里），（海里），
从而可得：（海里），
乙船的速度为：（海里/时），
答：乙船的速度为24海里/小时．
【思路引导】先利用勾股定理求出AB的长，再利用“速度=路程÷时间”计算即可。
27．（8分）（2022八上·新昌期中）如图，在等腰中，． 垂足为．已知，
（1）（4分）求与的长．
（2）（4分）点是线段上的一动点，当为何值时，为等腰三角形．
【答案】（1）解：∵在中，，．
∴，
在中，，
又∵，，
∴，
解得：，
综上：，
（2）解：为等腰三角形有三种情况，
①当时，如图（1），；
②当时，如图（2），过点作，
∴
∵，，
∴，
在中，
∴；
③当时，如解图（3），
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
综上所述：当或或时，为等腰三角形．
【思路引导】（1）根据线段的和差关系可得BD=CB-CD，然后分别在Rt△ACD、Rt△ABD中，根据勾股定理计算即可；
（2）①当AP=AD时，结合AD的值可得AP；②当AD=DP时，过D作DH⊥AB，由等腰三角形的性质可得AP=2AH，由线段的和差关系可得BD=AB-CD=4，然后根据等面积法求出DH，再利用勾股定理求出DH，进而可得AP；③当AP=DP时，∠DAP=∠ADP，由同角的余角相等可得∠BDP=∠DBP，推出BP=DP=AP，据此求解.
28．（13分）（2022八上·杭州期中）如图1，在等腰直角三角形中，动点D在直线AB（点A与点B重合除外）上时，以CD为一腰在CD上方作等腰直角三角形，且，连接AE．
（1）（4分）判断AE与BD的数量关系和位置关系；并说明理由．
（2）（4分）如图2，若，P，Q两点在直线AB上且，试求PQ的长．
（3）（5分）在第（2）小题的条件下，当点D在线段AB的延长线（或反向延长线）上时，判断PQ的长是否为定值．分别画出图形，若是请直接写出PQ的长；若不是请简单说明理由．
【答案】（1）解：AE=BD，AE⊥BD，
理由如下：∵△ABC，△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，
∴∠ACE=∠DCB，且AC=BC，CE=CD，
∴△ACE≌△BCD（SAS）
∴AE=BD，∠EAC=∠DBC=45°，
∴∠EAC+∠CAB=90°，
∴AE⊥BD；
（2）解：∵PE=EQ，AE⊥BD，
∴PA=AQ，
∵EP=EQ=5，AE=BD=4，
∴AQ=，
∴PQ=2AQ=6；
（3）解：如图3，点D在AB的延长线上，
如图4，点D在BA的延长线上，
PQ为定值6
【完整解答】解：（3）如图3，若点D在AB的延长线上，
∵△ABC，△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，
∴∠ACE=∠DCB，且AC=BC，CE=CD，
∴△ACE≌△BCD（SAS）
∴AE=BD，∠CBD=∠CAE=135°，且∠CAB=45°，
∴∠EAB=90°，
∵PE=EQ，AE⊥BD，
∴PA=AQ，
∵EP=EQ=5，AE=BD=4，
∴AQ=，
∴PQ=2AQ=6；
如图4，若点D在BA的延长线上，
∵△ABC，△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，
∴∠ACE=∠DCB，且AC=BC，CE=CD，
∴△ACE≌△BCD（SAS）
∴AE=BD，∠CBD=∠CAE=45°，且∠CAB=45°，
∴∠EAB=90°，
∵PE=EQ，AE⊥BD，
∴PA=AQ，
∵EP=EQ=5，AE=BD=4，
∴AQ=，
∴PQ=2AQ=6.
【思路引导】（1）根据等腰直角三角形的性质可得AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，根据角的和差关系可得∠ACE=∠DCB，利用SAS证明△ACE≌△BCD，得到AE=BD，∠EAC=∠DBC=45°，则∠EAC+∠CAB=90°，据此解答；
（2）根据等腰三角形的性质可得PA=AQ，利用勾股定理可得AQ，进而可得PQ；
（3）若点D在AB的延长线上，同（1）可得∠EAB=90°，根据等腰三角形的性质可得PA=AQ，利用勾股定理可得AQ，进而可得PQ；若点D在BA的延长线上，同理求解即可.
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一、选择题(共10题；每题2分，共20分)
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二、填空题(共10题；每题2分，共20分)
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三、解答题(共8题；共59分)
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