新高考高中数学核心知识点全透视专题14.4等比数列及其求和(专题训练卷)(原卷版+解析)

这是一份新高考高中数学核心知识点全透视专题14.4等比数列及其求和(专题训练卷)(原卷版+解析)，共17页。试卷主要包含了4 等比数列及其求和等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2023·全国高二单元测试）在由正数组成的等比数列中，若，则的值为（ ）
A．2B．4C．8D．16
2．（2023·全国高二单元测试）等比数列中，若，，则（ ）
A．12B．10C．8D．4
3．（2023·全国高二单元测试）数列中，“对任意且都成立”是“是等比数列”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4.（2023·全国高考真题（文））已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（ ）
A．16B．8C．4D．2
5．（2023·江西九江一中高二月考（理））已知等比数列的各项均为正数，若，则（ ）
A．4B．3C．2D．8
6.（2023·全国高考真题（文））设是等比数列，且，，则（ ）
A．12B．24C．30D．32
7.（2023·自贡市第十四中学校高一期中）等比数列的前n项和为，已知，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全国高二单元测试）设等比数列的公比为，前项和为.若，，且，，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、多选题
9．（2023·大埔县虎山中学高三月考）已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．若，则数列的前2020项和为4040B．数列是公比为8的等比数列
C．D．若，则数列的前2020项和为
10.（2023·全国高三专题练习）在公比q为整数的等比数列中，是数列的前n项和，若，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．数列是等比数列D．数列是公差为2的等差数列
11.（2023·江苏姑苏·苏州中学高二月考）在公比为等比数列中，为其前项和，若，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．数列是等差数列
C．数列是等比数列D．数列是等比数列
12.（2023·全国高二单元测试）已知数列满足，数列的前n项和为，则下列结论正确的是（ ）
A．的值为2
B．数列的通项公式为
C．数列为递减数列
D．
三、填空题
13．（2023·广西南宁·高三模拟预测（文））已知各项均为正项的等比数列，公比，则_______．
14．（2023·全国高二单元测试）已知在各项均为正的数列中，，，，则___________.
16．（2023·北京东城·东直门中学高二月考）已知数列{an}满足a4+a7＝2，a5a6＝﹣8，若{an}是等差数列，则a1a10＝_________；若{an}是等比数列，则a1+a10＝_________.
四、解答题
17. （2023·海原县第一中学高二月考（理））已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且成等比数列，当n为何值时，取得最大值为多少？
18．（2023·全国高二单元测试）已知数列的前项和为，且，.
（1）求，，的值；
（2）求的通项公式.
19．（2023·江西九江一中高二月考（理））已知数列为各项均为正数的等比数列，若，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
20．（2023·全国高二单元测试）已知数列的前项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列是等比数列，公比为，且满足，，求数列的前项和.
21.（2023·江苏省苏州第十中学校高二月考）已知等差数列满足，前项和．
（1）求的通项公式；
（2）设等比数列满足，，数列的通项公式．
22．（2023·全国高二单元测试）某工厂去年12月试生产1050个高新电子产品，产品合格率为90%，从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品.若1月按照去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，每月不合格品的数量能否控制在100个以内？
（参考数据：，，，）
专题14.4 等比数列及其求和（专题训练卷）
一、单选题
1．（2023·全国高二单元测试）在由正数组成的等比数列中，若，则的值为（ ）
A．2B．4C．8D．16
答案：C
分析：
根据给定条件结合等比数列性质可得，再把所求的式子用等比数列性质化成用表示即可得解.
【详解】
因数列是正数组成的等比数列，则，
所以.
故选：C
2．（2023·全国高二单元测试）等比数列中，若，，则（ ）
A．12B．10C．8D．4
答案：D
分析：
设等比数列的公比为，由，求得公比即可.
【详解】
设等比数列的公比为，
则，
解得，即，
所以，
故选：D.
3．（2023·全国高二单元测试）数列中，“对任意且都成立”是“是等比数列”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：A
分析：
利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】
易知“是等比数列”能推出“对任意且都成立”.
当时，若，满足，此时不是等比数列.
故“对任意且都成立”是“是等比数列”的必要不充分条件，
故选：A.
4.（2023·全国高考真题（文））已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（ ）
A．16B．8C．4D．2
答案：C
【解析】
设正数的等比数列{an}的公比为，则，
解得，，故选C．
5．（2023·江西九江一中高二月考（理））已知等比数列的各项均为正数，若，则（ ）
A．4B．3C．2D．8
答案：A
分析：
根据给定条件，利用等比数列的性质变形即可计算作答.
【详解】
在等比数列中，，则，
依题意，，而的各项均为正数，于是得，
所以.
故选：A
6.（2023·全国高考真题（文））设是等比数列，且，，则（ ）
A．12B．24C．30D．32
答案：D
【解析】
设等比数列的公比为，则，
，
因此，.
故选：D.
7.（2023·自贡市第十四中学校高一期中）等比数列的前n项和为，已知，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
设公比为q,则，选A.
8．（2023·全国高二单元测试）设等比数列的公比为，前项和为.若，，且，，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
答案：B
分析：
先利用条件求出公比的值，然后利用等比数列求和公式以及可求出正整数的值.
【详解】
因为，
所以，得到，
因为，所以.
由，得，又，
所以，
因为，则，
所以，解得，
故选：B
二、多选题
9．（2023·大埔县虎山中学高三月考）已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．若，则数列的前2020项和为4040B．数列是公比为8的等比数列
C．D．若，则数列的前2020项和为
答案：AD
分析：
由分组求和可判断A;由等比数列的定义可判断B；由等差数列的性质可判断C；由裂项相消可判断D
【详解】
等差数列的前项和为，若，，
设的公差为，则有，
解得，，故，
若，
则的前2020项，故A正确；
由，得，
令，则当时，，
则数列是公比为的等比数列，故B错误；
由等差数列的性质可知，故C错误；
若，则的前2020项和
，故D正确，
故选：AD.
10.（2023·全国高三专题练习）在公比q为整数的等比数列中，是数列的前n项和，若，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．数列是等比数列D．数列是公差为2的等差数列
答案：AC
分析：
先求出以及可判断A；然后通过等比数列求和公式即可判断B；求出利用等比数列定义判断C；求出用等差数列的定义判断D；
【详解】
∵，，且公比q为整数，
∴，，
∴，或（舍去），故A正确；
，
∴，故B错误；
，
，，
故数列是等比数列，故C正确；
∵，∴，
，
故数列是公差为的等差数列，故D错误.
故选：AC.
11.（2023·江苏姑苏·苏州中学高二月考）在公比为等比数列中，为其前项和，若，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．数列是等差数列
C．数列是等比数列D．数列是等比数列
答案：ABC
分析：
根据给定条件求出数列的通项公式及前项和，再逐一分析各选项判断作答.
【详解】
因为等比数列的公比，又，则，而，解得，A正确；
前项和，则，数列是等差数列，B正确；
又，则，有，数列是等比数列，C正确；
因，则，显然不是常数，数列不是等比数列，D不正确.
故选：ABC
12.（2023·全国高二单元测试）已知数列满足，数列的前n项和为，则下列结论正确的是（ ）
A．的值为2
B．数列的通项公式为
C．数列为递减数列
D．
答案：ACD
分析：
对于A，令直接求解，对于B，当时，，然后与已知的式子相减可求出，对于C，利用进行判断，对于D，利用错位相减法求解即可
【详解】
当时，，∴，∴A正确；
当时，，
∴，
∴，∵上式对也成立，∴（），∴B错误；
∵，
∴数列为递减数列，∴C正确；
∵，∴，两式相减得，
∴，
∴．∴D正确．
故选：ACD．
三、填空题
13．（2023·广西南宁·高三模拟预测（文））已知各项均为正项的等比数列，公比，则_______．
答案：20
分析：
由条件结合等比下标性质可得，再利用通项公式可得结果.
【详解】
由是等比数列，得，
解得或（舍），
所以．
故答案为：20
14．（2023·全国高二单元测试）已知在各项均为正的数列中，，，，则___________.
答案：
分析：
由，得到，进而得到数列的奇数项和偶数项分别构成等比数列求解.
【详解】
因为，
，
所以数列的奇数项构成首项为1，公比为2的等比数列，
偶数项构成首项为2，公比为2的等比数列，
所以
.
故答案为：
16．（2023·北京东城·东直门中学高二月考）已知数列{an}满足a4+a7＝2，a5a6＝﹣8，若{an}是等差数列，则a1a10＝_________；若{an}是等比数列，则a1+a10＝_________.
答案：﹣728 ﹣7
分析：
答题空1：利用等差数列性质求出和a6的值，从而得到数列的公差，然后求出a1和a10即可求解；答题空2：利用等比数列的性质求出a4和a7的值，从而得到数列的公比，然后求出a1和a10即可求解.
【详解】
若{an}是等差数列，
则a4+a7＝a5+a6＝2，又a5a6＝﹣8，
所以a5和a6为的两根，
解得，或
当，时，公差，
易得，，，故；
当，时，公差，
易得，，，故；
若{an}是等比数列，设其公比为，
则a5a6＝a4a7＝﹣8，
又a4+a7＝2，
所以a4和a7为的两根，解得，或，
当，时，则，
故，，即；
当，时，则，
故，，即.
故答案为：﹣728；﹣7.
四、解答题
17. （2023·海原县第一中学高二月考（理））已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且成等比数列，当n为何值时，取得最大值为多少？
答案：或5，最大值为5．
分析：
设等差数列的公差为，根据等比中项性质求得公差，再利用等差数列的求和公式和二次函数的性质可求得其最值.
【详解】
解：设等差数列的公差为，
∵成等比数列，∴，即，则，
∴，
所以当或5时，取得最大值．最大值为5．
18．（2023·全国高二单元测试）已知数列的前项和为，且，.
（1）求，，的值；
（2）求的通项公式.
答案：（1），，；（2）.
分析：
（1）根据和计算可得结果；
（2）当时，利用两式相减法求出通项，再验证首项是否满足即可得解.
【详解】
（1）∵，，
∴，，.
（2）当时，，可得，
∴.
当时，，不满足上式.
∴.
19．（2023·江西九江一中高二月考（理））已知数列为各项均为正数的等比数列，若，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
答案：（1）；（2）．
分析：
（1）设公比为q，根据，求出公比和，即可得出答案；
（2）求出数列的通项，再利用裂项相消求和法即可得出答案.
【详解】
解：（1）设公比为q，
因为数列为各项均为正数的等比数列，且，
所以，，
，解得（舍去），
所以；
（2），
所以.
20．（2023·全国高二单元测试）已知数列的前项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列是等比数列，公比为，且满足，，求数列的前项和.
答案：（1）；（2）.
分析：
（1）利用可求得数列的通项公式；
（2）求出等比数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得的表达式.
【详解】
（1）因为数列的前项和，
当时，，
又当时，满足上式，
所以，；
（2）由（1）可知，，，
又，，
又数列是等比数列，，又，所以，，则，
因此，.
21.（2023·江苏省苏州第十中学校高二月考）已知等差数列满足，前项和．
（1）求的通项公式；
（2）设等比数列满足，，数列的通项公式．
答案：（1）；（2）或
分析：
（1）设等差数列的公差为，根据已知条件列关于和的方程组，解方程求得和的值，即可求解；
（2）等比数列的公比为，由等比数列的通项公式列方程组，解方程求得和的值，即可求解；
【详解】
（1）设等差数列的公差为，
由题意可得：，解得：，
所以；
（2）等比数列的公比为，
由题意可得：，解得或，
所以或，
所以数列的通项公式为：或.
22．（2023·全国高二单元测试）某工厂去年12月试生产1050个高新电子产品，产品合格率为90%，从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品.若1月按照去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，每月不合格品的数量能否控制在100个以内？
（参考数据：，，，）
答案：生产该产品一年后，每月不合格品的数量能控制在100个以内.
分析：
设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，，依据题意分别写出两个数列的通项公式，可得，作差分析单调性可得当时，是递增数列，当时，是递减数列，又，可知当时，，即得解
【详解】
设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，，
则由题意知，，
其中，2，…，24.
则从今年1月起，各月不合格产品数量是.
又由
，
可知当时，是递增数列，当时，是递减数列.
因为，，
所以当时，，
所以生产该产品一年后，每月不合格品的数量能控制在100个以内.