新高考高中数学核心知识点全透视专题8.4平面向量的数量积(专题训练卷)(原卷版+解析)

这是一份新高考高中数学核心知识点全透视专题8.4平面向量的数量积(专题训练卷)(原卷版+解析)，共22页。试卷主要包含了4 平面向量的数量积等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2023·广西·东兰县高级中学高二月考（文））已知向量，且，则( )
A．2B．1C．-2D．4
2．(2023·浙江诸暨·高一期末）已知，，求（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·宁夏·海原县第一中学高三月考（理））已知向量满足，则（ ）
A．4B．3C．2D．0
4．（2023·山东·高考真题）已知向量，，那么等于（ ）
A．B．C．1D．0
5．（2023·山东·高考真题）已知点，，点在函数图象的对称轴上，若，则点的坐标是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
6．（2023·山东·高考真题）已知点在函数的图象上，点的坐标是，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
7. （2023·新疆·哈密市第十五中学高三月考）设向量满足，，则等于（ ）
A．1B．2C．3D．5
8. (2023·全国·高三专题练习）已知直角梯形是边上的一点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023·广东兴宁·高二月考）在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，如图，则下列等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2023·广东·高三月考）下列说法中错误的是（ ）
A．已知，，则与可以作为平面内所有向量的一组基底
B．若与共线，则在方向上的投影为
C．若两非零向量，满足，则
D．平面直角坐标系中，，，，则为锐角三角形
11．（2023·广东·广州市第一中学高三月考）已知O为坐标原点，点，则（ ）
A．B．
C．D．
12．（2023·湖南郴州·高三月考）如图，在直角坐标系中，，，点在轴上且，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．与共线的单位向量的坐标可以是､
D．与的夹角的余弦值为
三、填空题
13．（2023·全国·高考真题（理））已知向量．若，则________．
14. （2023·全国·高考真题）已知向量，，，_______．
15．（2023·重庆国维外国语学校高二期中）已知，若，则与之间的夹角为_______.
16．（2023·天津二中高三月考）如图，在直角梯形中，已知，对角线交于点O，点M在上，且满足，则的值为________，点P为线段上的动点则的取值范围为_______．
四、解答题
17．（2023·河北·高三月考）已知不共线的向量、，其中．
（1）若向量与共线，求实数的值；
（2）若，求与的夹角的正切值．
18．（2023·河北承德第一中学高一月考）已知，
（1）求；
（2）设与的夹角为，求的值；
（3）若向量与互相垂直，求k的值.
19．（2023·安徽·高二月考）已知向量，，.
（1）求；
（2）若，，求.
20．（2023·北京·中国农业大学附属中学高一期末）已知点，点为一次函数图象上的一个动点．
（1）用含的代数式表示；
（2）求证：恒为锐角；
（3）若四边形为菱形，求的值．
21．（2023·山西·怀仁市第一中学校高三月考（文））在中，，点Q为的中点，交于点N.
（1）证明：点N为的中点；
（2）若，求.
22．（2023·江西·九江一中高二月考（理））已知向量，，函数．
（1）当时，求的值；
（2）是否存在实数，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
专题8.4 平面向量的数量积（专题训练卷）
一、单选题
1．（2023·广西·东兰县高级中学高二月考（文））已知向量，且，则( )
A．2B．1C．-2D．4
答案：B
分析：
利用向量垂直的坐标运算公式进行计算.
【详解】
∵，，
∴，
∵
∴．
∴．
故选：B．
2．(2023·浙江诸暨·高一期末）已知，，求（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：
利用向量数量积的坐标运算即可得解.
【详解】
∵，
∴
∴
故选：C.
3．（2023·宁夏·海原县第一中学高三月考（理））已知向量满足，则（ ）
A．4B．3C．2D．0
答案：B
分析：
由平面向量的数量积的运算性质求解即可
【详解】
，
故选：B
4．（2023·山东·高考真题）已知向量，，那么等于（ ）
A．B．C．1D．0
答案：A
分析：
利用向量数量积的坐标运算和两角和的正弦公式可得答案.
【详解】
，，
.
故选：A.
5．（2023·山东·高考真题）已知点，，点在函数图象的对称轴上，若，则点的坐标是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
答案：C
分析：
由二次函数对称轴设出点坐标，再由向量垂直的坐标表示计算可得．
【详解】
由题意函数图象的对称轴是，设，
因为，所以，解得或，所以或，
故选：C．
6．（2023·山东·高考真题）已知点在函数的图象上，点的坐标是，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：
根据在函数的图象上代入可得，再利用向量的模长公式求解即可.
【详解】
∵点在函数的图象上，
∴，，
∴点坐标为，，．
故选：D
7. （2023·新疆·哈密市第十五中学高三月考）设向量满足，，则等于（ ）
A．1B．2C．3D．5
答案：A
分析：
把与两式两边平方，再两式相减即可求解
【详解】
因为，
所以，
因为，
所以，
两式相减得：，
所以，
故选：A
8. (2023·全国·高三专题练习）已知直角梯形是边上的一点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：
法一：设（），把与表示为与的线性关系，把表示成关于的解析式，求解出取值范围；法二：建立坐标系，写出各点的坐标，进而求出的范围
【详解】
法一：因为在上，不妨设，
则（其中）
所以
，
因为，所以
法二：如图，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立直角坐标系.则，，，，其中∠ABC=45°，设点，其中，，
∴
∵
∴
故选：D.
二、多选题
9．（2023·广东兴宁·高二月考）在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，如图，则下列等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：ABC
分析：
根据数量积的定义结合图形即可分别判断.
【详解】
，由可得，即选项A正确，
，由可得，即选项B正确，
，由选项A，B可得，即选项C正确，
由，又，知选项D不正确.
故选：ABC.
10．（2023·广东·高三月考）下列说法中错误的是（ ）
A．已知，，则与可以作为平面内所有向量的一组基底
B．若与共线，则在方向上的投影为
C．若两非零向量，满足，则
D．平面直角坐标系中，，，，则为锐角三角形
答案：ABD
分析：
结合向量基底定义，投影的运算，及模的转化，夹角的运算分别检验各选项即可判断．
【详解】
对于A，，所以，故不能作为平面内所有向量的一组基底，错误；
对于B，与共线，则在方向上的投影为，所以错误；
对于，两非零向量，满足，则，则，
成立；
对于，，，，则，，，
，
，
，
所以为钝角，
则为钝角三角形，错误；
故选：．
11．（2023·广东·广州市第一中学高三月考）已知O为坐标原点，点，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：AC
分析：
根据平面向量数量积坐标表示，向量模的坐标公式以及两角差的余弦公式即可判断．
【详解】
对于A，，A正确；
对于B，，所以B不一定正确；
对于C，，
所以，C正确；
对于D，，
而，所以D不一定正确，
故选：AC．
12．（2023·湖南郴州·高三月考）如图，在直角坐标系中，，，点在轴上且，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．与共线的单位向量的坐标可以是､
D．与的夹角的余弦值为
答案：BD
分析：
根据平面向量数量积的定义可判断A错误；根据平面向量模的计算公式可知B正确；根据向量数乘的概念可判断C错误；根据向量夹角公式可判断D正确．
【详解】
对A，，A错误；
对B，，B正确；
对C，依题可知，，所以与共线的单位向量的坐标是和，C错误；
对D，设与的夹角为，，，，所以，所以，D正确．
故选：BD．
三、填空题
13．（2023·全国·高考真题（理））已知向量．若，则________．
答案：.
分析：
利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值
【详解】
,
，解得,
故答案为：.
14. （2023·全国·高考真题）已知向量，，，_______．
答案：
分析：
由已知可得，展开化简后可得结果.
【详解】
由已知可得，
因此，.
故答案为：.
15．（2023·重庆国维外国语学校高二期中）已知，若，则与之间的夹角为_______.
答案：##
分析：
根据向量垂直可求出，再根据向量夹角公式即可求出.
【详解】
，，
，，解得，
则，
，.
故答案为：.
16．（2023·天津二中高三月考）如图，在直角梯形中，已知，对角线交于点O，点M在上，且满足，则的值为________，点P为线段上的动点则的取值范围为_______．
答案：
分析：
以为基底化简，结合向量数量积的运算求得的值.设，以为基底化简，结合向量模的运算以及二次函数的性质求得的取值范围.
【详解】
.
设，
，
所以
.
的开口向上，对称轴为，
所以在上递减.
当，当，所以.
故答案为：；
四、解答题
17．（2023·河北·高三月考）已知不共线的向量、，其中．
（1）若向量与共线，求实数的值；
（2）若，求与的夹角的正切值．
答案：（1）；（2）．
分析：
（1）设，根据已知条件可得出关于实数、的方程组，即可解得实数的值；
（2）利用平面向量的数量积可求得的值，结合同角三角函数的基本关系可求得的值.
【详解】
（1）根据题意，向量与共线，可得，
；
（2），
所以，，
因为，则，因此，.
18．（2023·河北承德第一中学高一月考）已知，
（1）求；
（2）设与的夹角为，求的值；
（3）若向量与互相垂直，求k的值.
答案：（1）；（2）；（3）.
分析：
(1)由题意可得，进而求出它的模即可；
(2)根据公式计算即可；
(3)由可得，结合、计算即可.
【详解】
解：；
故
；
因为向量与互相垂直，
所以，即，
因为，，
所以
19．（2023·安徽·高二月考）已知向量，，.
（1）求；
（2）若，，求.
答案：（1）；（2）.
分析：
（1）由数量积坐标公式及辅助角公式即得；
（2）利用同角关系式及两角和的正弦公式可得.
【详解】
（1）
.
（2）因为，所以，
又，所以，
所以，
故.
20．（2023·北京·中国农业大学附属中学高一期末）已知点，点为一次函数图象上的一个动点．
（1）用含的代数式表示；
（2）求证：恒为锐角；
（3）若四边形为菱形，求的值．
答案：（1）；（2）证明见解析；（3）2．
分析：
（1）先用坐标表示，再利用向量数量积的坐标表示，结合点在直线上，即得解；
（2）由，结合（1）证明，且三点不共线即可；
（3）由，可求得点坐标，再由可得点坐标，再计算即可
【详解】
（1）设，所以
所以
因为点在直线上，
所以
（2）∵
∴
所以
若A，P，B三点在一条直线上，则，
得到，方程无解，所以
所以恒为锐角．
（3）因为四边形为菱形，
所以，即
化简得到，所以，所以
设，因为，所以，所以
21．（2023·山西·怀仁市第一中学校高三月考（文））在中，，点Q为的中点，交于点N.
（1）证明：点N为的中点；
（2）若，求.
答案：（1）证明见解析；（2）.
分析：
(1) 设，根据中线的性质得到：，再由三点共线的性质得到，进而得到结果；（2）由上一问得到，设，由三点共线得到，进而得到，再根据向量点积运算公式得到结果.
【详解】
（1）证明:设，
点Q为的中点，
，
.
，M，A三点共线，
，
解得，
点N为的中点.
（2）由（1）知，.
设，
，B，C三点共线，
，
解得，
，
，
，
，.
22．（2023·江西·九江一中高二月考（理））已知向量，，函数．
（1）当时，求的值；
（2）是否存在实数，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
答案：（1）；（2）不存在，理由见解析．
分析：
（1）化简函数解析式为，由可求得实数的值；
（2）分析可知方程在上有个不同的实根转化为或，可得出关于实数的不等式组，解不等式组，即可得出结论.
【详解】
（1）由已知可得，
，
故，
当，可得；
（2）由，，有四个不同的零点，
可得在上有个不同的实根，
即在上有个不同的实根，
即在上有个不同的实根，
所以，方程或，
则，则．
即不存在这样的实数，使函数，有四个不同的零点.